资源简介

2024-2025 学年高一下学期期中数学试卷（提高篇）
【人教 A 版（2019）】
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第二册第六章、第七章、第八章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）m，n 为空间两条不重合直线， 为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A． ⊥ ， ⊥ ，则 //
B．m，n 与 所成角均为 30°，则 //
C． // ， // ， // ，则直线 m，n 到 的距离相等
D． // ， // ，则 m，n 可以是异面直线
2．（5 1分）在 △ 中，点 D 在 BC 上，且满足| | = 4| |，点 E 为 AD 上任意一点，若实数 x，y 满足
2
= + 1，则 + 的最小值为（ ）
A．2 2 B．4 3 C．4 + 2 3 D．9 + 4 2
3．（5 分）已知 是复数， 是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A． 2 = | |2 B．若| | = 1，则| 1 i|的最大值为 2 +1
C．若 = (1 2i)2，则复平面内 对应的点位于第一象限 D．若1 3i是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈
R)的一个根，则 = 8

4．（5 分）已知点 在边长为 2 的正八边形 1, 2, , 8的边上，点 在边 1 2上，则 1 1 的取值范围
是（ ）
A．[ 4 2 2,2 2] B．[ 4,4 + 2 2]
C．[ 2 2,4 + 2 2] D．[ 2 2,4]
5．（5 分）瑞士数学家欧拉于 1748 年提出了著名的欧拉公式：ei = cos + isin ，其中e是自然对数的底数，
i是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
π
A i 3．eπi = 1 B．e3 的虚部为 i
2
π π
C i．复数e4 在复平面内对应的点位于第二象限 D．|e i2 e i|( ∈ R)的最大值为2
6．（5 分）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的
多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学
家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体，如
图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（ ）
A． 3 B．2 3 C．3 3 D．3
7．（5 分）在锐角 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , , 为 △ 的面积， = 4，且2 = 2 ( )2，则
△ 的周长的取值范围是（ ）
A． 8,4 5 + 4 B． 12,2 5 + 2 C． 8,2 5 + 2 D． 12,4 5 + 4
8．（5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， , 分别为 1, 1 1的中点， 为正方体
1 1 1 1表面上的动点.下列叙述正确的是（ ）
π
A．当点 在侧面 1 1 上运动时，直线 与平面 所成角的最大值为2
B．当点 为棱 1 1的中点时， ∥ 平面
C．当点 时，满足 ⊥ 平面 的点 共有 2 个
D．当点 在棱 61上时，点 到平面 的距离的最小值为 6
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）已知 1, 2为复数，则下列说法正确的是（ ）
A． 1 + 2 = 1 + 2 B．| 1| = | 2|，则 1 =± 2
C．若 1 2 = 0，则 1 = 0或 2 = 0 D．若| 1 i| = 1，则| 1 + i|的最大值为 3
10．（6 分）已知 △ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若 cos = cos ，则 △ 为等腰三角形
B．若 = 2 ，则 = 2 cos
C．若 = 3， = 2 ，则 △ 面积最大值为 3
D． = 2π3 ，角 B 的平分线 BD 交 AC 边于 D，且 = 3，则 + 的最小值为 12
11．（6 分）如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 , , 分别是棱 , 1, 的中点，则下列说
法正确的有（ ）
A．直线 1 与直线 1 共面
B 1． 1 = 3
C．过点 , , 的平面，截正方体的截面面积为 9
D．二面角 1
1
1的平面角余弦值为3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12 1．（5 分）已知| 1| = 2，| 2| = 3，| 1 + 2| = 4，则 的值为 ．2
π
13．（5 分）如图，在 △ 中，∠ = 3， = 2 ，
1
为 上一点，且满足 = + 2 ，若
| | = 2，| | = 3，则 的值为 .
14．（5 分）已知矩形 ， = 5， = 2，将 △ 沿对角线 进行翻折，得到三棱锥 ，在
翻折的过程中，下列结论：
①三棱锥 10的体积最大值为 9 ；
②三棱锥 的外接球体积不变；
③异面直线 与 所成角的最大值为90°；
④ 与平面 2所成角的余弦值最小值为3.
所有正确的命题的序号是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
π
15．（13 分）已知向量 = ( 1,0)， = ( ,1)，且 与 的夹角为4．
(1)求 及| + 2 |；
(2)若 + 与 +2 所成的角是锐角，求实数 的取值范围．
16．（15 分）如图，三棱柱 1 1 1的侧棱垂直于底面，其高为 2cm，底面三角形的边长分别为 3cm，
4cm，5cm.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积 ；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
17．（15 分）已知复数 = i2020 + (1 i)2（其中i为虚数单位），若复数z的共轭复数为 ，且 1 = 4 + 3i．
(1)求复数 ；
(2)求复数 1；
(3)若 21是关于 的方程 + = 0的一个根，求实数 ， 的值，并求出方程 2 + = 0的另一个复数
根．
cos +1
18．（17 分）在① = 2 sin = tan sin + sin = sin 3sin ，② ，③( ) ( + ) ，这三个条件中任
选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 △ 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若__________.
(1)求角 B；
(2)若 + = 4，求 △ 周长的最小值.
19．（17 分）三棱台 1 1 1中， ⊥ ，面 1 1 ⊥ 面 1 1， 1 = 1 1 = 1 = 2, = 4，
且 151与底面 所成角的正弦值为 .5
(1)求证： ⊥ 面 1 1；
(2)求三棱台 1 1 1的体积；
π
(3)问侧棱 1上是否存在点 ，使二面角 成6？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.12024-2025 学年高一下学期期中数学试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）m，n 为空间两条不重合直线， 为空间平面，下列命题正确的是（ ）
A． ⊥ ， ⊥ ，则 //
B．m，n 与 所成角均为 30°，则 //
C． // ， // ， // ，则直线 m，n 到 的距离相等
D． // ， // ，则 m，n 可以是异面直线
【解题思路】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断.
【解答过程】对于 A， ⊥ ， ⊥ ，则有可能 ，A 错误；
对于 B，m，n 与 所成角均为 30°，则 , 可能相交或平行或异面，B 错误；
对于 C， // ， // ， // ，直线 m，n 到 的距离可以不相等，C 选项错误；
对于 D， // ， // ，则 m，n 可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，D 选项正确.
故选：D.
2 1．（5 分）在 △ 中，点 D 在 BC 上，且满足| | = 4| |，点 E 为 AD 上任意一点，若实数 x，y 满足
2
= + 1，则 + 的最小值为（ ）
A．2 2 B．4 3 C．4 + 2 3 D．9 + 4 2
【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点 , , 共线得 + 4 = 1，且 > 0, > 0，
再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.
【解答过程】 = + = +4 ，
由 , , 三点共线可得 + 4 = 1，且 > 0, > 0，
1 2 1 2 4 2 4 2
所以 + = + ( + 4 ) = 9 + + ≥ 9 + 2 × = 9 + 4 2，
4 2 = = 2 2 1当且仅当 即 , =
4 2时等号成立.
7 14
故选：D.
3．（5 分）已知 是复数， 是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A． 2 = | |2 B．若| | = 1，则| 1 i|的最大值为 2 +1
C．若 = (1 2i)2，则复平面内 对应的点位于第一象限 D．若1 3i是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈
R)的一个根，则 = 8
【解题思路】设出复数的代数形式计算判断 A；利用复数的几何意义判断 B；求出复数 判断 C；利用复数
相等求出 判断 D.
【解答过程】对于 A，设 = + i( , ∈ R)，则| |2 = 2 + 2, 2 = ( + i)2 = 2 2 +2 i， 2 ≠ | |2，A
错误；
对于 B，由| | = 1知，在复平面内表示复数 的点在以原点为圆心的单位圆上，
| 1 i|可看作该单位圆上的点到点(1,1)的距离，因为圆心到(1,1)的距离为 2，
则该单位圆上的点到点(1,1)的距离最大值为 2 +1，B 正确；
对于 C， = (1 2i)2 = 3 4i, = 3 + 4i，则复平面内 对应的点位于第二象限，C 错误；
对于 D，依题意，(1 3i)2 + (1 3i) + = 0，整理得( + 8) + ( 3 6)i = 0，
, ∈ R + 8 = 0而 ，因此 3 6 = 0 ，解得 = 2, = 10，D 错误．
故选：B.

4．（5 分）已知点 在边长为 2 的正八边形 1, 2, , 8的边上，点 在边 1 2上，则 1 1 的取值范围
是（ ）
A．[ 4 2 2,2 2] B．[ 4,4 + 2 2]
C．[ 2 2,4 + 2 2] D．[ 2 2,4]

【解题思路】以 1为原点，建立平面直角坐标系，表示出点 、 的坐标，计算 1 1 即可.
【解答过程】以 1为原点， 1 2为 轴， 1 6为 轴建立平面直角坐标系，

设 ( 1, 1), ( 2,0)，则 1 = ( 2,0), 1 = ( 1, 1)，

所以 1 1 = 1 2，
π
由于正八边形的每个外角都为4；
则 2 ∈ [0,2], 1 ∈ [ 2,2 + 2]，

所以 1 1 = 1 2 ∈ [ 2 2,4 + 2 2].
故选：C.
5．（5 分）瑞士数学家欧拉于 1748 年提出了著名的欧拉公式：ei = cos + isin ，其中e是自然对数的底数，
i是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
π
A．eπi = 1 B e i 3． 3 的虚部为 i
2
πi πC．复数e4 在复平面内对应的点位于第二象限 D．|e i2 e i|( ∈ R)的最大值为2
【解题思路】由欧拉公式及复数的相关概念逐项计算判断即可.
【解答过程】对于 A，eπi = cosπ + isinπ = 1，A 错误；
πi π πB e = cos + isin = 1 + 3对于 ， 由 3 3 3 2 i
3
，其虚部为 ，B 错误；
2 2
πi π π π
对于 C，e4 = cos4 + isin
2 2 i
4 = + i，则复数e4 在复平面内对应的点
2 , 2 位于第一象限，C 错误；2 2 2 2
π
对于 D，|e i2 e i| = |cos π + isin π cos isin | = |i cos isin | = |(1 sin )i cos |2 2
π
= cos2 + (1 sin )2 = 2 2sin ≤ 2，当 = 2 +2 π( ∈ Z)时取等号，D 正确，
故选：D.
6．（5 分）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的
多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学
家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体，如
图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（ ）
A． 3 B．2 3 C．3 3 D．3
【解题思路】对于正八面体，需要找出其外接球半径和内切球半径的关系，再根据球的表面积公式 = 4π
2，来计算表面积的比.
【解答过程】设正八面体的棱长为 a，正八面体的中心到顶点的距离就是外接球半径 R，
∴ = 2 ,中心到面的距离就是内切球半径 r,
2
1 2
正八面体的体积 = 2 33 × × × × 2 = ，2 3
= 1 1 13 × 表 × = 3 × 8 × × × × sin60
° = 2 3 6，解得 =
2 3 6
2
2
根据球的表面积公式 = 4π 2，外接球表面积 1 = 4π 2 = 4π = 2π 22 ，
2
内切球表面积 2 = 4 2 = 4 6 =
2
3
2
6 ；
21 2π
则外接球与内切球表面积之比 2π = 2 = 32 3
故选：D.
7．（5 分）在锐角 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , , 为 △ 的面积， = 4，且2 = 2 ( )2，则
△ 的周长的取值范围是（ ）
A． 8,4 5 + 4 B． 12,2 5 + 2 C． 8,2 5 + 2 D． 12,4 5 + 4
1 4
【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得tan2 = 2,tan = 3，然后根据正弦定理及三角变换可得 + = 5
(sin + sin ) = 4 5sin( + )，再根据三角形是锐角三角形，得到 的范围，转化为三角函数求值域的问
题.
【解答过程】 ∵ 2 = 2 ( )2 = 2 2 2 +2 = 2 2 cos ，
∴ = cos = 12 sin ，
∴1 cos = 1 2 2sin ，即2sin 2 = sin2cos2， 为锐角，
1
∴tan 2 =
1
2,tanA = 1 1 =
4
3,sin =
4 3
4 5
,cos = 5，又 = 4，

由正弦定理可得sin = sin = sin = 5，
所以 + = 5(sin + sin ) = 5[sin + sin( + )]
3 4
= 5 sin + 5 sin + 5 cos = 8sin + 4cos
= 4 sin tan = 1 5 ( + )，其中 2， = 2，
因为 △ 为锐角三角形，
π π π π
所以2 < < 2，则2 + < + < 2 + ，
π π
即：2 2 < + < 2 + 2，
2
所以cos2 < sin( + ) ≤ 1，又cos2 = 5，
∴8 < 4 5sin( + ) ≤ 4 5，即 + ∈ 8，4 5 ，
故 △ 的周长的取值范围是 12,4 5 + 4 .
故选：D.
8．（5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， , 分别为 1, 1 1的中点， 为正方体
1 1 1 1表面上的动点.下列叙述正确的是（ ）
π
A．当点 在侧面 1 1 上运动时，直线 与平面 所成角的最大值为2
B．当点 为棱 1 1的中点时， ∥ 平面
C．当点 时，满足 ⊥ 平面 的点 共有 2 个
D．当点 在棱 61上时，点 到平面 的距离的最小值为 6
【解题思路】 与 不可能垂直，故选项 A 错误；平移 与平面相交于一点 ，故选项 B 错误；当点
时，满足 ⊥ 平面 的点 P 共有 1 个.当点 为平面 1 1的中心时，故判断选项 C；利用体积相等即可
求出点 P 到平面 6的距离的最小值为 判断选项 D.
6
π
【解答过程】由于线面角的最大值为2，
π
∵ 与 不可能垂直，故直线 与平面 所成角的最大值达不到2.选项 A 错误；
取 的中点为 ， 1 1的中点为 ,连接 1 1, 1 1相交于点 ，连接 , ,
∵ // 且 = ，故 // ，
∵ ∈ 平面 1, 面 1，故 不能与平面 平行，故选项 B 错误；
当点 时，满足 ⊥ 平面 的点 P 共有 1 个.
当点 为平面 1 1的中心时，故选项 C 错误
∵ 1 = ， 到平面 的距离始终为2，
1 1 1
故当点 运动到点 1时， △ 取得最小值为2 × 2 × 1 = 4，
1 1 1 1
故 = = 3 △ × 2 = 24 = 3 △ ，
∵ = 3, = 2, = 5,
2 2 2
1△ = 2 ×
3 × 2 = 6，
2 2 8
故 = 6，故选项 D 正确.
6
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）已知 1, 2为复数，则下列说法正确的是（ ）
A． 1 + 2 = 1 + 2 B．| 1| = | 2|，则 1 =± 2
C．若 1 2 = 0，则 1 = 0或 2 = 0 D．若| 1 i| = 1，则| 1 + i|的最大值为 3
【解题思路】对于 A：根据共轭复数的定义结合复数运算分析判断；对于 B：举反例说明即可；对于 C：根
据模长性质分析判断；对于 D：根据复数的几何意义分析可知点 1的轨迹是以点 A 为圆心，半径为 1 的圆，
结合圆的性质分析判断.
【解答过程】设 1 = + i， 2 = + i( , , , ∈ )，则 1 = i， 2 = i，
对于选项 A：因为 1 + 2 = + ( + )i， 1 + 2 = + ( + )i，
所以 1 + 2 = 1 + 2，故 A 正确；
对于选项 B：例如 1 = 1 + i， 2 = 1 i，则| 1| = | 2| = 2，
但 1 =± 2不成立，故 B 错误；
对于选项 C：若 1 2 = 0，则| 1 2| = | 1| | 2| = 0，
则| 1| = 0或| 2| = 0，所以 1 = 0或 2 = 0，故 C 正确；
对于选项 D：设复数 1,i, i在复平面内对应的点分别为 1, (0,1), (0, 1)，
因为| 1 i| = | 1| = 1，可知点 1的轨迹是以点 A 为圆心，半径为 1 的圆，
则| 1 + i| = | 1| ≤ | | +1 = 3，当且仅当点 A 在线段 1上时，等号成立，
所以| 1 + i|的最大值为 3，故 D 正确；
故选：ACD．
10．（6 分）已知 △ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ）
A．若 cos = cos ，则 △ 为等腰三角形
B．若 = 2 ，则 = 2 cos
C．若 = 3， = 2 ，则 △ 面积最大值为 3
D 2π． = 3 ，角 B 的平分线 BD 交 AC 边于 D，且 = 3，则 + 的最小值为 12
【解题思路】根据正弦定理和二倍角公式即可判断 AB；对 C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对
D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断.
【解答过程】对于 A：若 cos = cos ，根据正弦定理则sin cos = sin cos ，
即sin2 = sin2 ，因为2 ,2 ∈ (0,π)，所以2 = 2 或2 + 2 = π
π
即 = 或 + = 2，所以 △ 为等腰三角形或直角三角形，A 错误；
对 B，因为 = 2 ，则sin = sin2 ，sin = 2sin cos ，
则根据正弦定理有 = 2 cos ， 故 B 正确；
C = , = 2 + 2 > 3对 ，设 ， 2 < 3 1 < < 3.
cos = 9+
2 4 2 2
则 2×3× =
9 3
6 ，
2
sin = 2 4 21 cos2 = 1 9 3 = 1 9 54 +81，
6 36 2
1 3 4 2
所以 △ = 2| | | | sin = 1
9 54 +81
2 36 2
= 3 4+10 2 9 = 3 4 + 10 2
3
9 = ( 2 22 2 4 4 5) + 16，4
当 2 5 = 0, = 35 ∈ (1,3)时，三角形 的面积取得最大值4 × 16 = 3，故 C 正确；
对 D，由题意可知， △ = △ + △ ，
1 π π
由角平分线性质和三角形面积公式得2 sin
2π = 1 13 2 × 3 × sin3 + 2 × 3 × sin3，
1 1 1
化简得 = 3( + )，即 + = 3，
+ = 3( + ) 1 + 1 = 3 2 + + 因此 ≥ 3(2 + 2 · ) = 12，


当且仅当 = ，即 = = 6时取等号，即 + 的最小值为12，则 D 正确.
故选：BCD.
11．（6 分）如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 , , 分别是棱 , 1, 的中点，则下列说
法正确的有（ ）
A．直线 1 与直线 1 共面
B． 1 1 = 3
C．过点 , , 的平面，截正方体的截面面积为 9
D 1．二面角 1 1的平面角余弦值为3
【解题思路】对于 A 项，通过证明 ∥ 1 1,说明直线 1 , 1 共面；对于 B 项，三棱锥的体积问题，是通
过等体积转化，使其易于求解；对于 C 项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积；对于 D
项，作出二面角 1 1的平面角，计算其余弦值
【解答过程】
　　
对于 A 项，如图①，分别连接 1 1, , ,在正方体 1 1 1 1中，
易得四边形 1 1是矩形,
∴ 1 1 ∥ ，
又 ∵ , 分别是棱的中点，
∴ ∥ ,
故 ∥ 1 1,即 , 1 1可确定一个平面，故 A 项正确；
对于 B 项，如图②，
1 1 = 1 = 3
1 1
△ 1 × = 3 × 2 × 1 × 1 × 2 =
1
3,故 B 项正确；
对于 C 项，如图，③连接 , , 1, 1 易得 ∥ 1, 1 ∥ 1
因平面 1 1//平面 1 1，则 1为过 , , 的平面与平面 1 1的一条截线，
即过点 , , 的平面即平面 1.
由 = 2, = 5, 1 = 2 2, 1 = 5,可得四边形 1为等腰梯形，
1 2 9
故其面积为： 1 = 2( 2 + 2 2) 5
2 2 = 3 2 × 3 2 = ，故 C 项错误.
2 2 2 2
对于 D 项，如图④，连接 , 交于 ， 1 , 1 ，
1 ⊥ 平面 , 平面 ,所以 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， 1 ∩ = ， 1 平面 1 1, 平面 1 1，
所以 ⊥ 平面 1 1,即∠ 1 1是二面角 1 1的平面角，
又 21 1 = 2 2， 1 = 1 = 22 + ( 2) = 6，
2 2 2 2 2 2
故cos∠ 1 + 1 1 1 ( 6) +( 6) (2 2) 11 1 = 2 = = 3，故 D 项正确；1 1 2×6
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12．（5 分）已知| 1| = 2，| 2| = 3，| 1 + 2| = 4
1
，则 的值为
1 ± 156 i ．2 6
9 1 4 2 1
【解题思路】先证明 · = | |2，由条件，根据模的性质可得 1 1 = 4， 2 2 = 9， + = 3，令 = ，可2 1 2
4
得9 + = 3，解方程可得结论.
【解答过程】设 = + i ( , ∈ R)，则 = i，
所以 · = ( + i)( i) = 2 + 2 = | |2，
由题意， 1 1 = 4， 2 2 = 9，
9 4
( 1 + 2)(
1 2
1 + 2) = 1 1 + 2 2 + 1 2 + 2 1 = 4 + 9 + + = 16，2 1
9 1 4 2 1 4
所以 2 +2 = 3，令1 = ，则9 + = 3，即9 3 + 4 = 0，2
1 1 1
所以 = ± 15i6 ，即 = 6 ±
15i．
6 2 6
1
故答案为： ± 15i6 ．6
π
13．（5 分）如图，在 △ 中，∠ = 3， = 2 ， 为
1
上一点，且满足 = + 2 ，若
| | = 2，| | = 3，则 的值为 1 .

【解题思路】由 = 2 ， 为 上一点，且满足 = + 1 12 ( ∈ R)，可求得 = 4，再用 及
表示出 及 ，进而求数量积即可.
【解答过程】由 = 2 ，可得 = 23 ，
又 ， ， 三点共线，
则有 = +(1 ) = + 2 2 3 ，
1 2 2 1 1
由于 = + 2 ( ∈ R)，所以 3 = 2，即 = 4，
又 = + = + 23 ，
π
且∠ = 3，| | = 2，| | = 3，
= (1 1 2故 4 + 2 ) ( + 3 )
1 2 1 2 1
= 4 + 3 3
= 1 × 4 + 1 × 9 14 3 3 × 2 × 3 ×
1
2 = 1.
故答案为：1.
14．（5 分）已知矩形 ， = 5， = 2，将 △ 沿对角线 进行翻折，得到三棱锥 ，在
翻折的过程中，下列结论：
① 10三棱锥 的体积最大值为 9 ；
②三棱锥 的外接球体积不变；
③异面直线 与 所成角的最大值为90°；
④ 与平面 2所成角的余弦值最小值为3.
所有正确的命题的序号是 ①②④ .
【解题思路】对于①，由棱锥体积公式即可判断；对于②，由外接球的定义可得 中点为外接球球心，其
1
半径为2 =
3
2，再用球的体积公式计算即可；对于③，由线面垂直的判定定理可得 ⊥ 平面 ，从而可
得 ⊥ ，即可判断；对于④, 由条件可知 到面 的距离最大时，线面角最大，然后代入计算，即可
判断.
【解答过程】
1
对于①， = 3 Δ ，
当平面 ⊥ 平面 时，三棱锥 的高最大，
1 1 10
此时体积最大值为 2 5 = 3 × 2 × 2 × 5 × = 9 ，故①正确；3
对于②，设 的中点为 ，
则由Rt △ ,Rt △ 知， = = = ，
1 3所以 为三棱锥 外接球的球心，其半径为2 = 2，
4 3 3 9π
所以外接球体积为3π × = 2 ，即三棱锥 2 的外接球体积不变，故②正确；
对于③，若 ⊥ ，由 ⊥ ， ∩ = ，
平面 ， 平面 ，
可得 ⊥ 平面 ，因为 平面 ，则 ⊥ ，
因 > ，根据直角三角形斜边最长，知道不成立，故③错误；
对于④，因为 是定值，则只需 到面 的距离最大时，
与平面 所成角最大，
当平面 ⊥ 平面 时， 到面 的距离为2 5，
3
2 5
设 与平面 所成角为 ，此时sin = 3 = 5，
2 3
2因为 为锐角，所以cos = 1 sin2 = 3，
即 2与平面 所成角的余弦值最小值为3，故④正确．
故答案为：①②④.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
π
15．（13 分）已知向量 = ( 1,0)， = ( ,1)，且 与 的夹角为4．
(1)求 及| + 2 |；
(2)若 + 与 +2 所成的角是锐角，求实数 的取值范围．
【解题思路】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得 的值，计算出向量 +2
的坐标，利用平面向量的模长公式可求得| + 2 |的值；
（2）求出向量 + 的坐标，分析可知 + + 2 > 0且向量 + 与 +2 不共线，结合平面向量
的坐标运算可求得实数 的取值范围.
π
【解答过程】（1）因为向量 = ( 1,0)， = ( ,1)，且 与 的夹角为4，
π
则cos4 =

| | = 2+1 =
2，解得 = 1，
| | 2
所以， = ( 1,1)，则 +2 = ( 1,0) +2( 1,1) = ( 3,2)，
故| + 2 | = ( 3)2 + 22 = 13.
（2）由（1）可得 + = ( 1,0) + ( 1,1) = ( 1, )，且 +2 = ( 3,2)，
3
因为 + 与 +2 所成的角是锐角，则 + + 2 = 3 + 3 + 2 > 0，解得 > 5，
且向量 + 与 +2 不共线，则 3 ≠ 2 2，即 ≠ 2，
3
因此，实数 的取值范围是 ,2 ∪ (2, + ∞).
5
16．（15 分）如图，三棱柱 1 1 1的侧棱垂直于底面，其高为 2cm，底面三角形的边长分别为 3cm，
4cm，5cm.
(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积 ；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
【解题思路】（1）求出三棱柱的体积，得到 △ 的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
【解答过程】（1）因为底面三角形的边长分别为 3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为 3cm，4cm，
又因为三棱柱 1 1 1的侧棱垂直于底面，其高为 2cm，
所以 1 1 31 1 = 2 × 3 × 4 × 2 = 12(cm ).
设圆柱底面圆的半径为 ，
1
则 = 2 △ 2× ×3×42 + + = = 1，3+4+5
圆柱体积 1 = π × 12 × 2 = 2π(cm3).
所以剩下的几何体的体积 = (12 2π)cm3.
（2）由（1）直三棱柱 1 1 1可补形为棱长分别为 3cm，4cm，2cm 的长方体，
它的外接球的球半径 满足2 = 32 + 42 + 22 = 29，即 = 29cm.2
2
29
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为 = 4π × = 29πcm22 .
17．（15 分）已知复数 = i2020 + (1 i)2（其中i为虚数单位），若复数z的共轭复数为 ，且 1 = 4 + 3i．
(1)求复数 ；
(2)求复数 1；
(3)若 1是关于 的方程 2 + = 0的一个根，求实数 ， 的值，并求出方程 2 + = 0的另一个复数
根．
【解题思路】（1）化简复数 ，再根据共轭复数的概念求解；
（2）根据复数的除法的运算求解；
（3）将 1 = 2 i代入方程 2 + = 0运算求出 , ，代回方程求解.
【解答过程】（1） = i2020 + (1 i)2 = i4 2i = 1 2i，
所以复数 的共轭复数为 = 1 + 2i．
（2）因为 1 = 4 + 3i，
(1 2i)(4+3i)
= 4+3i = = 10 5i所以 1 1+2i (1 2i)(1+2i) 5 = 2 i
所以 1 = 2 i.
（3）若 1 = 2 i是关于 的方程 2 + = 0的一个根，则(2 i)2 (2 i) + = 0，
即( 4)i +3 2 + = 0，
3 2 + = 0,
所以 4 = 0,
解得： = 4， = 5，
则 2 4 + 5 = 0，即( 2)2 = i2，
所以方程另一根为2 + i．
cos +1
18．（17 分）在① = ，②2 sin = tan ，③( )sin + sin3sin ( + ) = sin ，这三个条件中任
选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 △ 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若__________.
(1)求角 B；
(2)若 + = 4，求 △ 周长的最小值.
【解题思路】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解；
（2）由余弦定理可得 2 = 16 3 ，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积
公式求出面积
cos +1
【解答过程】（1）选① = 3sin ，
sin 1+cos
由正弦定理可得sin = ,sin > 0，即得 3sin = 1 + cos 3sin ，
π π π
即有sin 1 π = 2，由于0 < < π，可得 6 = 6，即 =6 3.
选②2 sin = tan ，
由正弦定理可得2sin sin = sin tan ，
因为sin > 0，sin > 0，所以2sin = sin cos ，即cos =
1
2.
π
由于0 < < π，可得 = 3.
选③( )sin + sin( + ) = sin ，
由正弦定理和诱导公式可得( ) + 2 = 2，即为 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2cos = = 1
π
由余弦定理可得 2 2. 由于0 < < π，可得 = 3.
π
（2）由（1）知 = ，由余弦定理可得 2 + 2 23 = 2 cos = ，
即为( + )2 2 = 3 ，而 + = 4，即 2 = 16 3 .
若 + = 4，则4 ≥ 2 ，可得 ≤ 4（当且仅当 = = 2时取得等号），
则 ≥ 16 3 × 4 = 2，所以 △ 周长的最小值为 6.
19．（17 分）三棱台 1 1 1中， ⊥ ，面 1 1 ⊥ 面 1 1， 1 = 1 1 = 1 = 2, = 4，
且 1与底面 所成角的正弦值为 15.5
(1)求证： ⊥ 面 1 1；
(2)求三棱台 1 1 1的体积；
π
(3)问侧棱 1上是否存在点 ，使二面角 成6？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.1
【解题思路】（1）连接 1 ，过 1作 1 // 1交 于 ，由已知可得 1 ⊥ 1，又平面 1 1 ⊥ 平面
1 1，则 1 ⊥ 平面 1 1，可得 1 ⊥ ，又 ⊥ ，则可得 ⊥ 平面 1 1.
（2）由已知可得平面 1 1 ⊥ 平面 ，过 1作 1 ⊥ ，连接 ，可得 1 ⊥ 平面 ，求得 1 =
3，如图，延长侧棱交于点 ，作 ⊥ 于 ，连接 ，可求得 = 2，又因为 1与底面 所成角的
正弦值为 15，可求得 1 = 5，即可求得三棱台的体积.5
（3）如图，作 // 交 于 ，过 作 ⊥ 于 ，则 // ，由（2），可得 ⊥ 平面 ，则∠
即为二面角 的平面角，设 = 2 5 ，则 = 2 2 ， = 2 3 ，由 // ， 可得 = 2
(1 )，
π π
若∠ = 1 16，可得 = 4，即 为 1中点，即侧棱 1上是存在点 ，使二面角 成6，则 = 2.1
【解答过程】（1）连接 1 ，
在梯形 1 1中，过 1作 1 // 1交 于 ，
由 1 = 1 1 = 1 = 2, = 4，
则 △ 1 为等边三角形,则∠ = 60°，
四边形 1 1为菱形，则∠ 1 = 30°，
所以∠ 1 = 90°，即 1 ⊥ 1，
因为平面 1 1 ⊥ 平面 1 1，平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = 1，
1 平面 1 1，
所以 1 ⊥ 平面 1 1，
又 平面 1 1，所以 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ 1 = ， 、 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 平面 1 1.
（2）因为 ⊥ 平面 1 1， 平面 ，
所以平面 1 1 ⊥ 平面 ，
过 1作 1 ⊥ ，连接 ， 1 平面 1 1，
平面 1 1 ∩ 平面 = ，
则 1 ⊥ 平面 ，
故几何体的高为 1 = 3，
如图，延长侧棱交于点 ，作 ⊥ 于 ，连接 ，
由已知 为 中点， = 2，
由（1）得， ⊥ 平面 ，
10
因为 1与底面 所成角的正弦值为 15，则余弦值为 ，5 5
2 3
= 2 1 = 2 3， = 15 = 2 5， = 2 2，
5
= 2 + 2 = 4，
由（1）得 ⊥ ，则 = 2 2 = 2，
又因为 1与底面 所成角的正弦值为 15，5
3
所以 1 = 15 = 5，
5
故三棱台体积为 = 1 × 3 1 × 2 × 4 + 13 × 2 × 4 +
1 × 2 × 4 = 7 3.
2 4 8 3
（3）如图， 作 // 交 于 ，过 作 ⊥ 于 ，则 // ，
由（2）可得， ⊥ 平面 ，
则∠ 即为二面角 的平面角，
又 平面 ，则 ⊥ ，
设 = 2 5 10 10，则 = = × 2 5 = 2 2 ，5 5
则 = 2 5 2 (2 2 )2 = 2 3 ，
由 // ，得 = ，又 = = 2 2(1 )，
= 2 2(1 )所以 × 2 = 2(1 )，
2 2
π
若∠ = 6，则tan∠ =
2 3 3
2(1 ) = ，3
解得 = 1 54，所以 = ，即 为 2 1中点，
π
即侧棱 1上是存在点 ，使二面角 成6，
5 1
则 2 = = .1 5 2

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