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2024-2025 学年陕西省西安市高新一中高一（下）期中
数学试卷
一、选择题：本题共 11 小题，第 1-8 小题每小题 5 分，第 9-11 小题每小题 6 分，共 58 分。
1.已知集合 = { | 2 2 < 0}， = { |3 1 > 0}，则 ∪ =( )
A. ( ∞,0) B. (0,2) C. ( 1, + ∞) D. ( 1,2)
2.已知平面向量 , 不共线， = 4 + 6 , = + 3 , = 3 ，则( )
A. ， ， 三点共线 B. ， ， 三点共线
C. ， ， 三点共线 D. ， ， 三点共线
3.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A. ( ) = 2 2 B. ( ) = (| | 1)
C. ( ) = 1 2 D. ( ) = lg( + + 1)
4.在△ 中， = 30°， = 2, = 2 2，则角 的大小为( )
A. 45° B. 135°或 45° C. 15° D. 105°或 15°
5.已知| | = 1，| | = 2， 与 3 的夹角为 4，则 在
上的投影向量为( )
A. 12 B.
2 C. 1 D. 2 2 2 2
6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画
中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角 ， 间的圆弧长为 ，嘴角间的距离为 ，圆弧所对的圆心角为 (
为弧度角)，则 、 和 所满足的恒等关系为( )
sin
A. 2
2 cos 2
= B.
2 = 2 2 C. = D. =
7 1.已知实数 0是函数 ( ) = 2 3 2 + 4 4 的一个零点，实数 1、 2、 3满足 1 > 2 > 3 > 0，且
( 1) ( 2) ( 3) > 0，则( )
A. 0 < 1 B. 0 > 1 C. 0 < 3 D. 0 > 3
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8.已知点 为△ 外接圆的圆心，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 = 3， = 2，内角 取
最大值时△ 的面积为( )
A. 5 B. 2 5 C. 10 D. 2 3
9.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A.若 // ， / / ，则 / /
B.若 = ( , 2), = (1 + , 1)，且 与 的夹角为钝角，则 ∈ ( 2,1)
C.若平面向量 , , 两两的夹角相等，且| | = 1, | | = 1, | | = 3，则| + + | = 2
D.若 + = +
，且 +
| | |
= ，则四边形 为菱形 | | |
10.设复数 在复平面内对应的点为 ，原点为 ， 为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.若| | = 1，则 =± 1 或 =±

B.若点 的坐标为( 1,1)，则 对应的点在第三象限
C.若 = 3 2 ，则 的模为 7
D.若 1 ≤ | | ≤ 2，则点 的集合所构成的图形的面积为
11.已知△ 三个内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 = ，则△ 是等腰三角形
B.在锐角△ 中，不等式 > 恒成立
C.若 + + > 0，则△ 为锐角三角形
D.若( 3 2 ) = 3( )，则 1 1的取值范围是( 2 , 4 ]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0 时， ( ) = 2 + 1 1，则 ( 2 4 )的值为______．
13.如图，在四边形 中， = 8， = 3， = 5，∠ = 3，cos∠ =
1
7，则△ 的面积 ．
14.平面向量 , 满足| | = | | = 1 1，对任意的实数 ，不等式| 2 | ≤ | + |恒成立，则| |的最
小值为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，为了测量两山顶 ， 间的距离， ， ， ， 四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在 ， 两点
进行测量，途中在点 测得∠ = 75°，∠ = 30°，在点 测得∠ = 45°，∠ = 75°，测得 =
2 6 ．
(1)求点 和点 之间的距离；
(2)求两山顶 ， 间的距离．
16.(本小题 15 分)
函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示．
(1)求函数 = ( )的解析式；
(2) 1 先将函数 = ( )的图象上各点的横坐标缩小为原来的2，再将得到的函数图象向左平移24个单位长度，

最后得到函数 = ( )的图象，求 ( )在区间[0, 8 ]上的值域．
17.(本小题 15 分)
+1
已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 3 ．
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(1)求角 ；
(2)若△ 是锐角三角形，边长 = 4，求△ 面积的取值范围．
18.(本小题 17 分)
( ) ( )已知函数 满足 ( ) + 2 ( ) = 3 2 + 2 + 3，函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若不等式 (log2 ) 2 ≤ 0 在 ∈ [4,8]上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若关于 2 (| |) + 6 7的方程 | | 4 2 = 0 有四个不同的实数解，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)

设 ， 是平面内相交成 角( ≠ 2 )的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系 .向量 1和 2
分别是与 轴和 轴正方向同向的单位向量，若向量 = 1 + 2，则把有序实数对( , )叫做向量 在斜
坐标系 中的坐标，记作 = ( , ).在如图所示的斜坐标系 中，若 = (3,0), =
(0,2), = (3,2), , 分别是 ， 的中点， ， 分别与 交于 ， 两点．
(1)试求向量 的坐标，并求出当 = 时| 3 |的值；
(2)若∠ 为锐角，求 的取值范围；
(3)若 与 相交于点 ，求证：四边形 与 的面积之比为定值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5
13.15 34
14. 32
15.解：(1)由题意可得 = 2 6 ，∠ = 75°，∠ = 45°，
所以∠ = 60°，
在△ 中，根据正弦定理，sin∠ = sin∠ ， = 2 6 ，
2
2 6 45°
即 60° = 45 ，即 = 60 × 2 6 =
2
3 × 2 6 = 4，
2
即 = 4 ；
(2)在△ 中，∠ = 30°，∠ = 120°，
2 6
由正弦定理可得： 30° = 120 ， = 6 2 ，
△ 中，∠ = ∠ ∠ = 45°，
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos∠
= 42 + (6 2)2 2 × 4 × 6 2 × 22 = 40，
所以 = 2 10 ．
所以两山顶 ， 间的距离为 2 10 ．
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16. 2 ( 2)解：(1)由图可知， = 2 = 2，
函数 ( ) 2 的最小正周期为 = 2 × ( 3 6 ) = ，
∴ = 2 = 2，
∵ ( 6 ) = 2 (2 ×

6 + ) = 2，
∴ sin( + 3 ) = 1，
∵ 2 < <

2，
5 则 6 < + 3 < 6，
∴ + = 3 2，则 =

6，
故 ( ) = 2 (2 + 6 )；
(2)将函数 = ( ) 1的图象的横坐标缩小为原来的2，可得到函数 = 2 (4 +

6 )的图象，

再将得到的函数图象向左平移24个单位，最后得到函数 = ( )的图象，
则 ( ) = 2 [4( + 24 ) +

6 ] = 2 (4 +

3 )，
当 0 ≤ ≤ 8时，3 ≤ 4 +

3 ≤
5
6，
1
则2 ≤ sin(4 +

3 ) ≤ 1，
所以 1 ≤ ( ) ≤ 2，
( ) 在区间[0, 8 ]上的值域为[1,2]．
17.解：(1) +1 +1根据题意可知， = 3 ，即 = 3 ，
因为 ≠ 0，所以 3 = 1，
所以 2 ( 6 ) = 1，即 sin(
) = 16 2，
因为 为三角形的内角，
所以 6 =

6，所以 = 3；
(2) = 4 = 已知 ， 3，
4 (

3+ ) 4(
3
2 +
1
2 )所以 = = =
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= 2 3 +2 = 2 + 2 3 ，

0 < < 0 < <
因为 2 2

，即 ，解得 < < ，
0 < < 0 < 2 < 6 22 3 2
∈ ( 3所以 3 , + ∞)，
1
所以 ∈ (0, 3)，所以 ∈ (2,8)，
= 12 × 4 × sin

3 = 3 ∈ (2 3, 8 3)．
18.解：(1)因为 ( ) + 2 ( ) = 3 2 + 2 + 3，
所以 ( ) + 2 ( ) = 3 2 2 + 3，
故联立上述方程组，解得 ( ) = 2 2 + 1．
(2)由(1)知， ( ) = 2 2 + 1， ( ) = ( ) 1 = + 2．
因为不等式 (log2 ) 2 ≤ 0 在 ∈ [4,8]上恒成立，
所以 2 +
1
2 2 ≤ 0 在 ∈ [4,8]上恒成立，2
设 = log2 ，则 ∈ [2,3]，所以 +
1
2 ≤ 0 在 ∈ [2,3]上恒成立，
所以 ≥ 1 + 1 2 1 2 2 = ( 1) ，在 ∈ [2,3]上恒成立，
因为 ∈ [2,3] 1 1 1 1 1 1 1 4，所以 2 ∈ [ 3 , 2 ]当 = 3时，( 1) 取得最大值，最大值为( 1)
2
3 = 9，
所以 ≥ 1 + 1 2 2 = (
1
1)
2在 ∈ [2,3]上恒成立，则 ≥ 49，
4所以 的取值范围是[ 9 , + ∞)．
(3) 6 7方程 2 (| |) + | | = 4 = 2 = 0 2 +
2 4+ 6 7等价于 | | | | 4 2 = 0，
即 2| |2 (4 + 6)| | + 6 5 = 0，| | ≠ 0，
令| | = ，则 2 2 (4 + 6) + (6 5) = 0( ≠ 0)，
2 (| |) + 6 =7因为方程 | | 4 2 = 0 有四个不同的实数解，
所以 2 2 (4 + 6) + (6 5) = 0( ≠ 0)，有两个不同的正根 1 2，
> 0
记 ( ) = 2 2 (4 + 6) + (6 = 5)，所以 (0) = 6 5 > 0， > 5．
4 6 6
2×2 > 0
5
综上， 的取值范围为{ | > 6 }.
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19.解：(1)由题意得 // ，故 = ，
因为 为 的中点， = 1，所以 = = 2，
因为 = (3,0), = (0,2), = (3,2)，
所以 = + ，
所以 = 2 2 2 43 = 3 + 3 = (2, 3 )，
所以 = = ( 1, 43 )，
// = = 1同理， ， ， 为 的中点，所以 = 2，
故 = 1 = 13 3
+ 1 3
= (1, 23 )，
则 = = (1, 23 )，
即 = + 2 3 ，
又 = 3 ， = 2， = 3，
2故 = ( 2
2
+ )2 = + 4 + 4
2
3 3 9
4 4
= | |2 + | 3 | |
|cos + | 3 9 |
2
= 9 + 4 1 4 1333 × 3 × 2 × 2 + 9 × 4 = 9 ，
故| | = 133 = 1339 3 ；
(2) = = 1 2
2 2 2 3 3 = 3
1 6 ，
= = 2 2 3 3
= 13
2 3 ，
若∠ 为锐角，则 > 0 且 , 不同向共线，
2
由于 = 3
1 , = 1 2 6 3 3
，两向量显然不共线，
其中 = ( 2 1 ) ( 1 3 6 3
2
3 )
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2 7 1
= 9 |
|2 + 18 |
| | | + | 9 |
2
= 29 × 9+
7 4
18 × 3 × 2 + 9 > 0，
7
故3 >
14
9， >
2
3，
又 ， 是平面内相交成 角( ≠ 2 )的两条不共线射线，
故 ∈ (0, 2 ) ∪ (

2 , )，
= 在 ∈ (0, 2 ) ∪ (

2 , )上单调递减，
设 21 = 3，故 ∈ (0, 1)，其中 1为锐角，

而 = 在 ∈ (0, 2 )上单调递增，所以 ∈ (0, 1)，
而 2 2 51 = 1 ( 3 ) = 3 ，故 ∈ (0,
5
3 )；
(3)证明：连接 ， 与 相交于点 ，连接 ， ，
则 // ，且 = 12 ，点 为 中点，四边形 为平行四边形，
其中 = = 12

， = 2，
2
所以 = = = 3，
设 = 2 ，则 = 3 ， = = 2 + 3 = 5 ，
所以 = + = 5 + 3 = 8 ，
故四边形 8 4与平行四边形 的面积比为 = 10 = 5，
1
又平行四边形 与平行四边形 的面积比为4，
故四边形 与平行四边形 4 1 1的面积之比为5 × 4 = 5，为定值．
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