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2025届河南省高考数学模拟卷（5）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
5.某市为修订用水政策，制定更合理的用水价格，随机抽取户居民，得到他们的月均用水量，并整理得如下频率分布直方图根据直方图的数据信息，下列结论中正确的是( )
A. 户居民的月均用水量的中位数大于
B. 户居民的月均用水量低于的用户所占比例超过
C. 户居民的月均用水量的极差介于与之间
D. 户居民的月均用水量的平均值介于与之间
6.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.函数，若，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图像如图所示，已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，则( )
A. 函数的最大值为 B. 函数的最小值为
C. 函数的最大值为 D. 函数的最小值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减 D. 在上有个零点
10.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线与圆交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法中正确的是( )
A. 若直线的斜率为，则
B. 的最小值为
C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为
D. 若点，则周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 ．
13.某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为，，，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ．
14.在正三棱锥中，，，点在内部运动包括边界，点到棱，，的距离分别记为，，，且，则点运动路径的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的角，，的对边分别为，，，已知C.
求
若点是边上一点，且，，求的值．
16.本小题分
某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能，，来提升综合能力初始时，机器人选择学习技能，且每次学习后会等可能地选择学习或；每次学习后，有的概率继续学习，的概率学习；每次学习后，有的概率继续学习，的概率学习设，，分别表示第次学习后接着学习技能，，的概率．
若机器人仅进行三次学习，求学习技能次数的分布列及其数学期望；
求及其最大值；
已知，，
若数列的前项和为，证明：．
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，，是的上、下顶点，且过点的直线交于，两点异于，，直线与交于点．
求的方程
证明：点的纵坐标为定值．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是的中点．
判断、、、四点是否共面结论不要求证明；
证明：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
已知函数
判断函数的单调性；
若存在，使得，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，则．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由，取，
则非零向量，同向共线，
显然不成立．
反之，如果成立，
两边平方得到，
则，
故成立．
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选C．
3.【答案】
【解析】由题意得，，
则，
则．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由，
得，
，
故
故选：．
5.【答案】
【解析】由频率分布直方图可知，
，
解得，
对于，月均用水量在 的频率为，
月均用水量在的频率为，
所以户居民的月均用水量的中位数在，故 A错误；
对于，因为户居民的月均用水量低于的用户的频率为
，
所以户居民的月均用水量低于的用户所占比例为，故 B错误；
对于，由图知，极差的最大值为，最小值为，
所以户居民的月均用水量的极差介于与之间，故C正确；
对于，户居民的月均用水量的平均值为
，故D错误．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，
可以看作是圆上的一动点与定点连线的斜率，
由题设可知过点与圆相切的直线斜率存在，设为，即，
所以圆心到直线的距离为，
解得，
数形结合可知，
，即的最小值为．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：因为函数在上为减函数；
又因为所以为奇函数，
若，不等式恒成立，
则不等式，因为为奇函数，所以，
因为为减函数，所以恒成立，
所以恒成立，所以，
，，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，所以实数的取值范围是．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：不妨设函数的定义域为，
从图像成看出实线所表示的函数图像在上单调递增且一直在轴上方，
即对应的函数值大于零；
虚线所表示的函数图像在上有增有减，
但一直在轴及其上方，即对应的函数值大于或等于零；
所以可以判断实线所表示的函数图像为函数的图像，
虚线所表示的函数图像为其导函数的图像．
已知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为，即，且时，；时，
对于函数，因为，
所以，函数在上单调递增，
且；；
所以函数既没有最小值也没有最大值，故A、均不正确；
对于函数，因为时，，，
所以，函数在上单调递增；
因为时，，，所以，
函数在上单调递减；
又，所以时，函数有最大值故C正确；D错误．
选C
9.【答案】
【解析】解：对于，的最小正周期为，故A正确；
对于，因为，
故的图象不关于直线对称，故B错误；
对于，当时，
，单调递减，故C正确；
对于，令，
得，解得，
因为，所以当时，，
当时，，，
所以在上有个零点，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】，
，
令，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故F，
，即，
故，
综上所述，．
故选：．
11.【答案】
【解析】由题意得点在抛物线：上，
所以，解得，所以：，则，
设直线：，与联立得，
设，，所以，，
所以，
当时，，项错误；
，
则，
当且仅当，时等号成立，项正确；
如图，
过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，
取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，
则，是梯形的中位线，
由抛物线的定义可得，
所以，所以以为直径的圆与轴相切，
所以为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，
又为的中点，所以点的纵坐标为，
又点在抛物线上，所以点的横坐标为，项正确；
过作垂直于准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号，项错误．
故选BC．
12.【答案】
【解析】解：已知数列为等差数列，，，
得：，则，
，则，
联立，解得，，
则通项公式为，
代入，得．
故答案为．
13.【答案】

【解析】解：第一空：由全概率公式可得：；
第二空：恰好买到两件优质产品是“优不优，优不优，优不优”这三个互斥事件的和，
故所求概率为：．
故答案为：；．
14.【答案】
【解析】解：正三棱锥中，，，
，，，
可将该三棱锥放置在棱长为的正方体之中，如图．
过作各个面的垂线，如图，
，
，
，
在以为球心，为半径的球面与面的交线上，
设在面的射影为，
由题意可知：，
，
截面圆的半径为，
在内以为圆心，为半径的圆弧上，
到的距离为，
图中，，
的轨迹为图中三段阴影所在的圆弧，
轨迹长为．
故答案为：．
15.【答案】解：因为，
则，
即，
又，则，
又，所以；
因为，所以，
则，
记，则，
在中，，
在中，由正弦定理得，
由及得，，
解得，
所以．
16.【答案】解：设三次学习中学习技能次数为，则的取值可以为，，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
第一次学，第二次学，第三次学，则，
故，
故的分布列为：
故；
已知，
设，又，
所以
因此为等比数列，且公比为，首项为，
故，故，
要使得最大，则为偶数，此时，
此时单调递减，故当时，取到最大值；
证明：，
，
，
，
，
，
所以
，
由于，
所以．

17.【答案】解：因为，所以，
因为，其中，
所以设，，解得．
所以椭圆的方程为．
显然直线的斜率存在，设直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去得，．
设，，
当，即时，
有，
直线方程为：，
直线方程为：
两式相除得，，
因为，所以，
整理得即点的纵坐标为定值．
18.【答案】解：、、三个不共线的点确定平面，显然平面，
所以、、、四点不共面；
证明：方法一：如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，故，
又平面的法向量为，
所以，故，
又平面，故平面；
方法二：
如图，取中点，再取中点，连接、和，
由为中点，则，且，
在正方体中，为中点，
故，且，
所以，且，
则四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面，
方法三：如图，取中点，连接、，
在梯形中，为中点，则，
因为平面，平面，所以平面，
在正方体中，为中点，则，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，所以平面平面，
又平面，故平面；
由方法一：可知，
又，，故，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．

19.【答案】解：的定义域为，
，
当时，恒成立
当时，由得，或，由得
当时，由，得或，由，得．
综上可得，当时，在上为增函数
当时，在，上单调递增，在上单调递减
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
由得时，在上单调递增，在上最大值为，故不存在，使得
当时，若，即，在上单调递减，在上的最大值为．
若存在，使得，只需，解得，又因为，解得
若，即，在上单调递增，在上单调递减，在上最大值为，
只需，解得．
综上可得，的取值范围为．
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