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2025届河南省高考数学模拟卷（3）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在四面体中，，，，点为的中点，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知为等差数列的前项和，且，则( )
A. B. C. D.
5.是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合在中只有种类型的碱基，分别用、、和表示，中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是，或者是，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序如图所示为一条单链模型示意图，现在某同学想在碱基和碱基之间插入个碱基，个碱基和个碱基，则不同的插入方式的种数为( )
A. B. C. D.
6.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A. 该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为
B. 该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间
7.已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交于，两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为，直线：，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数为偶函数
B. 曲线的对称轴为，
C. 在区间单调递增
D. 的最小值为
10.函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
11.已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集”下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.设为坐标原点，为椭圆的上顶点，点在上，线段交轴于点若，且，则的离心率等于 ．
14.已知三棱锥的顶点，，，均在半径为的球面上，平面，，，则二面角的正切值最小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，且的面积为．
求；
求的周长．
16.本小题分
某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用人类反馈强化学习技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为．
在某次测试中输入了个问题，聊天机器人的回答有个被采纳，现从这个问题中抽取个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人的回答被采纳的概率为，求的值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换．定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角规定逆时针方向为正如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点．现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上．
求曲线的方程并确定点的位置；
点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点．记的坐标为．
(ⅰ)求数列的前项和；
(ⅱ)记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面为正方形，，且．

求证：平面平面．
若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半．
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，
讨论的单调性
为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与轴交点的纵坐标记为，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据题意，或，
，
则，故选：．
2.【答案】
【解析】由，得，．
3.【答案】
【解析】，
，
．故选：．
4.【答案】
【解析】 设等差数列的公差为，则，
所以，
则．故选：．
5.【答案】
【解析】总共需要插入个碱基，所以先选出个位置放碱基，有种
再选个位置放碱基，有种
剩下一个位置放碱基，有种；
所以一共有种；故选：．
6.【答案】
【解析】对于，该地农户家庭年收入低于万元的农户比率为，故选项A正确；
对于，该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率为，故选项B正确；
对于，估计该地农户家庭年收入的平均值为万元，故选项C错误；
对于，家庭年收入介于万元至万元之间的频率为，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间，故选项D正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】，，
，
函数、的图象关于点中心对称，，
两函数的图象交点成对出现，每一对都关于点对称，
且点在函数、的图象上，
， ，
所以 ．
故选C．
8.【答案】
【解析】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为，
设，，
联立方程，化简得：，，
则，，故C的方程为，
由抛物线定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离，
联立方程，化简得：，
由得与相离，
如图，，，分别是过点向准线、直线：以及过点向直线：引垂线的垂足，连接，，
所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和，
当且仅当点为线段与抛物线的交点时等号成立，
所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线：的距离，即．
故选：．
9.【答案】
【解析】
，
对于，，则为偶函数，故A正确；
对于，由，，则，，即对称轴，，故B错误；
对于，由，得，
由于正弦函数在上单调递减，
所以在单调递增，故C正确
对于，当时，取到最小值，最小值为，故D错误．
故选AC．
10.【答案】
【解析】因为，
所以，
由知，
，
即一定有两个不等的变号零点，设为，，不妨取，
所以，
，
所以，且，
故有两个极值点，其中左极值点为负，右极值点为正，
且左极值点比右极值点离轴的距离更近，
对比选项可知，和符合题意．
故选：．
11.【答案】
【解析】选项A，任取，则，取，
故，
所以存在这样的使得成立，选项A正确
选项B任取点，取点，
表示的几何意义是，
即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图，
当点运动时直线与曲线均有交点，故选项B是正确的
选项C任取点，取点，
表示的几何意义是，
即对曲线每一个点与原点构成的直线，与之垂直的直线与曲线都存在交点，如图，
当点运动时，直线与曲线均有交点，选项C是正确的
选项D在函数上取点时，若存在使得成立，
则，
则一定有，不满足函数的定义域，
故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D不正确
故选：．
12.【答案】
【解析】，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：如图：
设，．
过作轴，交轴于，则，因此．
因为，而，所以．
因为，因此，即．
因为点在上，所以，即，因此由得，
所以椭圆的离心率．
故答案为：
14.【答案】
【解析】由题意，三棱锥的顶点，，，均在半径为的球面上，且平面，且，可将三棱锥放置到如图所示的长方体中，如图：
设三棱锥的外接球的半径为，，，
因为平面，，且，
由长方体的性质知，
又，得到，所以，
过作交于，连接，
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角，
又由，得，当且仅当时，等号成立，
所以，
则，即二面角的正切值最小为，
故答案为：．
15.【答案】解：，
由正弦定理可得，，化简可得，，
由余弦定理可得，，
，
，
，，的面积为．
解得：，
由余弦定理，可得：，
解得：，解得：，
的周长．
16.【答案】解：由题可知的所有取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列：
则；
记“输入的问题没有语法错误”为事件，记“输入的问题有语法错误”为事件，
记“回答被采纳”为事件，
由已知得，，，，，，
所以由全概率公式得，
解得．
17.【答案】解：由题意得，即
，故曲线方程为，
点在曲线上，，故曲线方程为，
由对称性可知，点为坐标原点；
由题意得，得，
又直线的斜率为且，，，
将代入中，得，
将和相加，得，从而，是首项为，公比为的等比数列，
；
(ⅱ)点在定直线上，证明如下：
，，
直线的方程为：
，
令，得，
直线的方程为，直线的方程为，
联立
解得
直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得
直线的方程为，
令，得，
直线与直线的交点坐标为，
故点在定直线上．
18.【答案】解：在中，，得，
则，即，
因为四边形为正方形，则，
又因，平面，平面，则平面，
又因面，则平面平面；
以点为坐标原点，分别为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，
则，得，即，
因，
，且，
则，
因，则，即，
设平面的法向量，
则，即，取，则，
则点到平面的距离为．

，
设平面的法向量，
则，即，取，则，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值为．

19.【答案】解：的定义域为，
，
当时，，，
当时，令得，，，，，
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
证明：当时，，，
由得，即，
所以，直线的斜率为，
直线的方程为，
令，得，即，
因为，所以，所以，
所以．
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