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2025 年广东省惠州市高考数学模拟试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 3 < < 1}， = { | 1 ≤ < 4}，则 ∪ =( )
A. { | 1 ≤ < 1} B. { | > 3} C. { | 3 < < 4} D. { | < 4}
2.已知复数 满足(1 ) = 2，则 =( )
A. 1 B. 1+ C. 1 D. 1 +
3.已知单位向量 ， 满足| | = 2，则 与 的夹角为( )
A. 3 8 B. 4 C. 2 D. 4
4 cos( + ) = 1.已知 9，cos( ) =
1
3，则 =( )
A. 1 2 1 29 B. 9 C. 9 D. 9
5.2024 年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁 4 位志愿者中选 3 位安排到物资分发、路线指
引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点 1 人.已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共
有( )
A. 9 种 B. 12 种 C. 15 种 D. 18 种
6.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， ， 分别为所在棱的中点， 为下底面的中心，则下列结论中
错误的是( )
A.平面 1 ⊥平面 1 1
B. // 1
C. ⊥ 1
D. //平面 1 1
7.已知函数 ( )是定义域为 的偶函数，且 ( + 1)为奇函数，若 (0) + (3) = 3，则( )
A. (1 ) = ( + 1) B. (2024) = 3
C.函数 ( )的周期为 2 D. (2025) = 3
8.已知 ， 均为锐角，且 + 2 > ，则( )
A. > B. > C. > D. >
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = ln| |，则( )
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A. ( )为偶函数 B. ( 4) < (3)
C. ( )无零点 D. ( )在( ∞,0)上单调递减
10.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛
物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后，集中于它的焦点.若抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，
为坐标原点，一条平行于 轴的光线从点 射入，经过 上的点 ( 1, 1)反射，再经过 上另一点 ( 2, 2)反
射后，沿直线 2射出，则( )
A. 的准线方程为 = 1 B. 1 2 = 4
C. 11若点 (2,1)，则| | = 2 D.设直线 与 的准线的交点为 ，则点 在直线 2上
11.设随机变量 的所有可能取值为 1，2，…， ，且 ( = ) = > 0( = 1,2, …, )，

=1 = 1，现定义 ( ) =
=1 2 ，则下列说法正确的是( )
A.若 = 1，则 ( ) = 0
B. 1若 = ( = 1,2, …, )，则 ( )随着 的增大而增大
C.若 = 2，则 ( )的最小值为 1
D.若 = 2 ，随机变量 的所有可能取值为 1，2，…， ，且 ( = ) = + + ( = 1,2, …, )，则 ( ) >
( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在△ 中， = 1， = 2 ，则 的值等于______．
13.一试验田某种作物一株生长果实个数 服从正态分布 (90, 2)，且 ( < 70) = 0.2，从试验田中随机抽
取 10 株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量 ，且 服从二项分布，则 的方差为______．
14 .已知函数 ( ) = + log ( > 0, > 0 且 ≠ 1)，若 ( ) ≥ 1 恒成立，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2( ∈ ).数列{ }是公比为 3 的等比数列，且 1 = 1．
(1)求数列{ }和数列{ }的通项公式；
(2)令 = ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
体育课上，同学们进行投篮测试.规定：每位同学投篮 3 次，至少投中 2 次则通过测试，若没有通过测试，
1
则该同学必须进行 50 次投篮训练.已知甲同学每次投中的概率为3，每次是否投中相互独立．
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(1)求甲同学通过测试的概率；
(2) 1若乙同学每次投中的概率为2，每次是否投中相互独立.经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练
的投篮次数之和记为 ，求 的分布列与数学期望 ( )．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 + 1 3 ．
( )讨论函数 ( )的单调性；
(Ⅱ)若曲线 = ( )上两点 、 处的切线都与 轴垂直，且线段 与 轴有公共点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图 1，△ 是等边三角形，△ 为等腰直角三角形， = = 2，将△ 沿 翻折到△
的位置，且点 不在平面 内(如图 2)，点 在线段 上(不含端点)．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 = 2．
( )当点 为线段 的中点时，求直线 与平面 所成角的大小；
( )设平面 与平面 的夹角为 ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 4 + 2 = 1( > 0)， (0, )， (0, ).
1
椭圆 内部的一点 ( , 2 )( > 0)，过点 作直线 交椭
圆于 ，作直线 交椭圆于 . 、 是不同的两点．
(1) 3若椭圆 的离心率是 2 ，求 的值；
(2)设△ 的面积是 1，△ 的面积是 2，若 1 = 5， = 1 时，求 的值；2
(3) 1若点 ( , )， ( , )满足 < 且 > ，则称点 在点 的左上方.求证：当 > 2时，点 在点
的左上方．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.2.1
14.
15.解：(1)由 2 = ( ∈ )，
可得 1 = 1 = 1，
当 ≥ 2 时， = = 2 1 ( 1)2 = 2 1，
上式对 = 1 时也成立，
则 = 2 1， ∈ ；
数列{ }是公比为 3 的等比数列，且 1 = 1 = 1，
可得 = 3 1 ；
(2) = = (2 1) 3 1，
可得数列{ 0 1 2 }的前 项和 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + (2 1) 3 1，
3 = 1 31 + 3 32 + 5 33 + . . . + (2 1) 3 ，
1
相减可得 2 = 1 + 2(31 + 32 + . . . + 3 1) (2 1) 3 = 1 + 2
3(1 3 )
1 3 (2 1) 3

= (2 2 ) 3 2，
可得 = 1 + ( 1) 3 ．
16.解：(1)记事件 为甲同学通过测试，
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甲同学在 3 次投篮中，投中 2 次或 3 次，
所以 ( ) = 2( 1 )2 (1 13 3 3 ) +
3 1 3 7
3( 3 ) = 27，
7
则甲同学通过测试的概率为27；
(2)记乙同学通过测试为事件 ，
乙同学在 3 次投篮中，投中 2 次或 3 次，
所以 ( ) = 2 1 2 13( 2 ) (1 2 ) +
3
3(
1
2 )
3 = 12，
易知 的所有可能取值为 0，50，100，
所以 ( = 0) = 727 ×
1
2 =
7 7
54， ( = 50) = 27 × (1
1
2 ) + (1
7
27 ) ×
1 1
2 = 2，
( = 100) = (1 7 1 1027 ) × (1 2 ) = 27，
则 的分布列为：
0 50 100
7 1 10
54 2 27
故 ( ) = 0 × 7 1 10 167554 + 50 × 2 + 100 × 27 = 27 ．
17.解：(Ⅰ)由题设知 ≠ 0, ′( ) = 3 2 6 = 3 ( 2 )．
2
令 ′( ) = 0 得 1 = 0, 2 = ．
当( ) > 0 时，
若 ∈ ( ∞,0)，则 ′( ) > 0，
所以 ( )在区间( ∞,0)上是增函数；
2
若 ∈ (0, )，则 ′( ) < 0，
2
所以 ( )在区间(0, )上是减函数；
若 ∈ ( 2 , + ∞)，则 ′( ) > 0，
2
所以 ( )在区间( , + ∞)上是增函数；
( )当 < 0 时，
若 ∈ ( ∞, 2 )，则 ′( ) < 0，
所以 ( ) 2在区间( ∞, )上是减函数；
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若 ∈ ( 2 , 0)，则 ′( ) > 0，
所以 ( ) 2在区间( , 0)上是增函数；
若 ∈ (0, + ∞)，则 ′( ) < 0，
所以 ( )在区间(0, + ∞)上是减函数．
(Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知，曲线 = ( )上的两点 、 的纵坐标为函数的极值，
= ( ) = 0, = 2 (0) = 1 3 2 4 3且函数 在 处分别是取得极值 ， ( ) = 2 + 1．
2
因为线段 与 轴有公共点，所以 (0) ( ) ≤ 0．
4 3 3
即( 2 + 1)(1 ) ≤ 0．
( +1)( 3)( 4)
所以 3 ≤ 0．
故( + 1)( 3)( 4) ≤ 0，且 ≠ 0．
解得 ≤ 1 或 3 ≤ ≤ 4．
即所求实数 的取值范围是( ∞, 1] ∪ [3,4]．
18.解：(1)证明：取 中点为 ，连接 ， ，
因为 = ， = ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又因为 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)( )取 的中点 ，因为△ 为等边三角形，△ 为等腰直角三角形， = = 2，
所以 ⊥ ， ⊥ ，且 = 1, = 3，
由 = 2，则 2 + 2 = 2，
故 E ⊥ ，
如图建立空间直角坐标系，
得 (0,0,1)， (0, 3, 0)， (1,0,0)， ( 1,0,0) 3 1， (0, 2 , 2 )，
= ( 2,0,0) = ( 1, 3则 ， 2 ,
1
2 )， = (0, 3, 1)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
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= 2 = 0
则 ，
= + 3 12 + 2 = 0
令 = 3，则 = 1， = 0，
故 = (0, 1, 3)．
设直线 与平面 所成角为 ，

= |cos < > | = | |则 ， =
2 3
2×2 =
3
2 ，| || |
故直线 与平面 所成角为 60°．
( )设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)， = (0, 3, 1)， = ( 1,0, 1)，
= 3 = 0
则 1 1 1
，
1 = 1 1 = 0
取 1 = 1，则 1 = 3， 1 = 3，
故 1 = ( 3, 1, 3)，
= (0 < < 1)，则 = (0, 3, 1)， = (2,0,0)， = (1, 3 , 1 )，
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 = 2 = 0则 2

，
2 = 2 + 3 2 + (1 ) 2 = 0
取 2 = 1，得 2 = (0, 1, 3 )，
2
所以 = |cos 1, 2 | =
1
7 ×
16 8 +1
4 2 2 +1，
令 = 4 2 2 1，则 4 ≤ < 2，
16 2 8 +1 4 +1 3
所以 4 2 2 +1 = +1 = 4 +1，
1因为 4 ≤ < 2 时，0 ≤ 4
3
+1 < 3，
0 ≤ < 21所以 7 ，
故 的取值范围是[0, 217 )．
19.解：(1)因为椭圆 的离心率是 3，
2
2
当 0 < < 2 时， 3 4 ，得 = 1；
2 = 2
当 > 2 时， 3 2= 4，得 = 4；2
所以 的值为 1 或 4；
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1
(2) 1由题意，直线 的斜率 存在，直线 的斜率

存在， = 2
1，直线 的方程 = + 1，
= 2 2
设 ( , ).
2
4 +
2
= 1 2 +1 2 4
1
则 2+1 3
3
= 1 4
2 = 0 = 2+1． = = ，直线 的方程 = 2 1，设 2
2 + 1
( , )，
2
4 +
2
= 1 2+9 2 3 则 3 4 2 = 0 =
12
2+9， = 2 1
1

由图， 1 2
| | | | sin∠
= ，2 12| | | | sin∠
注意到∠ + ∠ = ，则 sin∠ = sin∠ ．
又| | = ( 2 2 2 ) + ( ) = 1 + | |，
同理可得| | = 1 + 2 | |, | | = 1 + 2 2 | |, | | = 1 + | |，
4 3 3
1 = | | | | = | || |
| || 2 | | |
则 +1
2 2+1 +9
2 | | | | | || |
=
| || 12
= = | | = 5 = 1．
| 3 3 2+1
2+9 | 2 |+9
1
(3)证明：由题意，直线 的斜率 1 2 存在，直线 的斜率 存在， 2 = =
，直线 的方程 =
2
1 2
2 + ，设 ( , ).
= 1 2 2 + (1 2 )
2+ 2 2 2 4 (1 2 ) 4 (2 1) 则 2 2 2 + = 0 = + = 1 (1 2 )
2+ 2 2，
4 2
1+ 1+2
= 2 =
1+2 ，直线 的方程 = 2 ，设 ( , )， 2
= 1+2 2 (1+2 )2+ 2 2 2 4 (1+2 ) 4 (2 +1) 则 2 2 2 = 0 = 2 2 2， + 4 2 = 1
(1+2 ) +
= 4 [ (2 1) (2 +1)则 (1 2 )2+ 2 2 (2 +1)2+ 2 2 ]
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= 4 (2 1)[(2 +1)
2+ 2 2] (2 +1)[(1 2 )2+ 2 2] 8 (4 2 1 2 2)
[(1 2 )2+ 2 2][(2 +1)2+ 2 2] = [(1 2 )2+ 2 2][(2 +1)2+ 2 2]，
2
又 ( , 1 12 )在椭圆内部，则 4 + 4 2 < 1 4
2 2 2 1 > 0，故 > ，
1 1 1 1
又根据题意知 > 2 , 2 > ，所以 > 2 > ，所以当 > 2时，点 在点 的左上方．
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