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浙江省2025年中考考前必刷模拟卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．DeepSeek团队在人工智能研发过程中坚持自主创新．实验数括显示，他们的模型训练效率达到了惊人的2.4×1015次浮点运算/秒．若某次连续训练持续了1.2×104秒，则总共完成了多少次浮点运算（　　）
A．2.48×1019 B．2.88×1018 C．2.88×1019 D．2.88×1020
3．如图，数轴上点A表示的数是2025，OA＝OB，则点B表示的数是（　　）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．a3 a2＝a6
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a3 （﹣a）2＝a5
5．下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买1000张奖券，一定会中奖1次
C．要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
D．x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件
6．如图，在△ABC中，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点P，过点P作射线BP交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝65°，∠BDC＝95°，则∠AED的度数为（　　）
A．85° B．75° C．60° D．55°
7．估计的值应在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
8．一把精美的扇子如图所示，扇子打开后扇形的圆心角为120°，且2OA＝AB＝6，这个环形扇面的面积是（　　）
A．21π B．23π C．24π D．25π
9．某城市规划建设两栋住宅楼，前排楼高19.6米．为了确保后排建筑底层在冬至日正午有日照，两楼之间的最小间距应为多少米（已知当地冬至日正午太阳光线与地平面的夹角为35°，sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）（　　）
A．28米 B．29米 C．30米 D．33米
10．如图，长方形纸片MPQN的宽MP为10cm，三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°．将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上，边AB与纸片的边PQ交于点D，则BD的最大值是（　　）
A． B．4cm
C． D．5cm
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：3x2﹣48＝　 　 ．
12．如图，易拉罐的上，下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若∠1＝70°，则∠2＝　 　 ．
13．计算的结果是 　 　 ．
14．已知一次函数y＝kx+2（k是常数，k≠0）的图象过点（1，m）与（2，n），若m＞0，n＜0，则k的取值范围是　 　 ．
15．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫作点P的“相伴点”．已知点A1的“相伴点”为A2，点A2的“相伴点”为A3，点A3的“相伴点”为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3， ，An．若点A1的坐标为（2，3），则点A2025的坐标为　 　 ．
16．如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿中线AM折叠，得到△AMC，如图2，再次沿过点M的直线将△AMC折叠，得到△MDE，其中点D为折痕MD与AC边的交点，点E为点A的对应点，ME与AC边交于点F，如图3所示．当点D在边AC上，且△EFD为直角三角形时，EF的长度是　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）已知x2﹣3x﹣6＝0，求代数式的值．
19．（8分）如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
20．（8分）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生有 　 　 人，图①中m的值是 　 　 ；
（2）本次调查获取样本数据的众数为 　 　 元，中位数为 　 　 元；
（3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
21．（8分）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB为等边三角形，AB＝6，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与OC交于点D，∠BOE＝15°，点B的横纵坐标之和为．
（1）点C的坐标为 　 　 ；（请直接写出结果）
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求线段CD的长度．
23．（10分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2＜x＜5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
24．（12分）已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为圆上一点，DF是⊙O的切线，连结CD，与AB交于点E．
（1）如图1，延长BA与DF交于点F．
①若∠ACD＝25°，求∠F的大小．
②若AF＝3，DF＝5，求⊙O的半径．
（2）如图2，AC＞BC，DF∥AB，延长CA与DF交于点F，若，求△BCE与△CDF的面积比．
浙江省2025年中考考前必刷模拟卷
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．DeepSeek团队在人工智能研发过程中坚持自主创新．实验数括显示，他们的模型训练效率达到了惊人的2.4×1015次浮点运算/秒．若某次连续训练持续了1.2×104秒，则总共完成了多少次浮点运算（　　）
A．2.48×1019 B．2.88×1018 C．2.88×1019 D．2.88×1020
【分析】根据有理数的运算法则求解．
【解答】解：2.4×1015×1.2×104＝2.88×1019，
故选：C．
3．如图，数轴上点A表示的数是2025，OA＝OB，则点B表示的数是（　　）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
【分析】根据OA＝OB可得点A、B表示的数是相反数解题即可．
【解答】解：如图，OA＝OB，点A在数轴上表示的数是2025，
∴点B在数轴上表示的数是﹣2025，
故选：A．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．a3 a2＝a6
C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a3 （﹣a）2＝a5
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故该项不正确，不符合题意；
B、a3 a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；
C、（﹣3a）3＝﹣27a3，故该项不正确，不符合题意；
D、a3 （﹣a）2＝a5，故该项正确，符合题意；
故选：D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为，买1000张奖券，一定会中奖1次
C．要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查
D．x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件
【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，必然事件的定义逐项分析判断．
【解答】解：A、甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则甲的成绩更稳定，故该选项不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，买1000张奖券，不一定会中奖，故该选项不符合题意；
C、要了解小明一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查，故该选项不符合题意；
D、x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件，故该选项符合题意；
故选：D．
6．如图，在△ABC中，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点P，过点P作射线BP交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝65°，∠BDC＝95°，则∠AED的度数为（　　）
A．85° B．75° C．60° D．55°
【分析】由作图过程可知，BD为∠ABC的平分线，可得∠ABC＝2∠ABD．由题意得∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝30°，则∠ABC＝60°，再结合平行线的性质可得∠AED＝∠ABC＝60°．
【解答】解：由作图过程可知，BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD．
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝95°﹣65°＝30°，
∴∠ABC＝60°．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝60°．
故选：C．
7．估计的值应在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】根据二次根式的混合运算的方法求出的结果，再根据算术平方根的定义估算无理数1的大小即可．
【解答】解：原式＝211，
∵45，
∴51＜6，
即56，
故选：D．
8．一把精美的扇子如图所示，扇子打开后扇形的圆心角为120°，且2OA＝AB＝6，这个环形扇面的面积是（　　）
A．21π B．23π C．24π D．25π
【分析】根据题意，用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为2OA＝AB＝6，
所以OA＝3，
所以OB＝9，
则大扇形的面积为：；
小扇形的面积为：，
所以这个环形扇面的面积是27π﹣3π＝24π．
故选：C．
9．某城市规划建设两栋住宅楼，前排楼高19.6米．为了确保后排建筑底层在冬至日正午有日照，两楼之间的最小间距应为多少米（已知当地冬至日正午太阳光线与地平面的夹角为35°，sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）（　　）
A．28米 B．29米 C．30米 D．33米
【分析】画出示意图，根据前楼高和35°角的正切值可得两楼之间的最小间距应为多少米．
【解答】解：如图：前排楼AB高19.6米，太阳光线AC与地面BC的夹角为35°，
由题意得：AB⊥BC，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝19.6米，
∴BC28（米），
故选：A．
10．如图，长方形纸片MPQN的宽MP为10cm，三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°．将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上，边AB与纸片的边PQ交于点D，则BD的最大值是（　　）
A． B．4cm
C． D．5cm
【分析】如图，连接BC，过C作CT⊥AB于T，求解，BC，AT＝AC cos60°＝4，，AD＝4+DT，，由BD最大，可得AD最小，可得DT最小，可得CD最小，当CD⊥PQ时，CD最小，再进一步求解即可．
【解答】解：如图，连接CD，过C作CT⊥AB于T，
∵三角板ABC中，AC＝8cm，∠A＝60°，∠ACB＝90°，
∴AB16，，
∴AT＝AC cos60°＝4，，
∴AD＝4+DT，DT，
∵BD最大，
∴AD最小，
∴DT最小，
∴CD最小，当CD⊥PQ时，CD最小，
此时四边形MPDC为矩形，
∴CD＝MP＝10，
∴DT，
∴AD，
∴BD，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：3x2﹣48＝　3（x+4）（x﹣4）　 ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣16）＝3（x+4）（x﹣4），
故答案为：3（x+4）（x﹣4）
12．如图，易拉罐的上，下底面互相平行，用吸管吸易拉罐内的饮料时，若∠1＝70°，则∠2＝　110°　 ．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求解即可．
【解答】解：如图，
∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
13．计算的结果是 　　 ．
【分析】将原式通分并计算后进行约分即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
14．已知一次函数y＝kx+2（k是常数，k≠0）的图象过点（1，m）与（2，n），若m＞0，n＜0，则k的取值范围是　﹣2＜k＜﹣1　 ．
【分析】根据y随x的增大而减小，即可得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2的图象过点（1，m）与（2，n），m＞0，n＜0，
∴k+2＞0，2k+2＜0，
解得﹣2＜k＜﹣1．
故答案为：﹣2＜k＜﹣1．
15．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫作点P的“相伴点”．已知点A1的“相伴点”为A2，点A2的“相伴点”为A3，点A3的“相伴点”为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3， ，An．若点A1的坐标为（2，3），则点A2025的坐标为　（2，3）　 ．
【分析】根据题意，依次求出点A2，A3，A4，…，的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A1的坐标为（2，3），
则﹣3+1＝﹣2，2+1＝3，
所以点A2的坐标为（﹣2，3）．
同理可得，点A3的坐标为（﹣2，﹣1），点A4的坐标为（2，﹣1），点A5的坐标为（2，3），…，
由此可见，从点A1开始，这列点的坐标按（2，3），（﹣2，3），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）循环．
又因为2025÷4＝506余1，
所以点A2025的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
16．如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿中线AM折叠，得到△AMC，如图2，再次沿过点M的直线将△AMC折叠，得到△MDE，其中点D为折痕MD与AC边的交点，点E为点A的对应点，ME与AC边交于点F，如图3所示．当点D在边AC上，且△EFD为直角三角形时，EF的长度是　或　 ．
【分析】根据折叠性质及勾股定理求出AM，分∠EDF＝90°和∠EFD＝90°两种情况进行讨论，利用等边三角形的性质及勾股定理即可解答．
【解答】解：∵△ABC沿中线AM折叠，得到△AMC，
∴AM⊥MC，∠CAM＝30°，，
在Rt△AMC中，由勾股定理得，
①当∠EDF＝90°，如图，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADM＝∠EDM＝（180°+90°）÷2＝135°，
∴∠AMD＝∠EMD＝180°﹣135°﹣30°＝15°，
∴∠FMC＝90°﹣2×15°＝60°，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴∠FMC＝∠C＝∠CFM＝60°，
∴，
∴；
②当∠EFD＝90°，如图，
∵∠EFD＝90°，∠C＝60°，
∴∠CFM＝∠EFD＝90°，，
在Rt△CMF中，由勾股定理得，
∴EF＝EM﹣MF＝AM﹣MF＝2；
综上，EF的长度是或，
故答案为：或．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、绝对值的运算法则计算，再合并即可．
【解答】解：
＝﹣3﹣1
＝﹣1．
18．（8分）已知x2﹣3x﹣6＝0，求代数式的值．
【分析】先根据已知条件，求出x2﹣3x的值，然后把所求分式进行化简，最后把x2﹣3x的值代入化简后的式子进行计算即可．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣6＝0，
∴x2﹣3x＝6，
∴
＝3．
19．（8分）如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得AD∥BC，AD＝BC．根据平行线的性质，得∠ADB＝∠CBD，则∠ADE＝∠CBF．根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE＝CF，∠AED＝∠CBF，从而证明AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）根据勾股定理得到BD4，连接AC交EF于O，求得DO＝OBBD＝2，根据平行四边形的性质得到EO＝OFEF，设DE＝BF＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADB＝∠CBD．
∴∠ADE＝∠CBF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴AE＝CF，∠AED＝∠CBF．
∴AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵BD⊥AD，AB＝5，BC＝AD＝3，
∴BD4，
连接AC交EF于O，
∴DO＝OBBD＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO＝OFEF，
∴DE＝BF，
设DE＝BF＝x，
∴EF＝2x+4，
∵EF﹣AF＝2，
∴AF＝2x+2，
∵AF2＝AD2+DF2，
∴（2x+2）2＝32+（4+x）2，
∴x（负值舍去），
∴DE的长为．
20．（8分）为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生有 　50　 人，图①中m的值是 　32　 ；
（2）本次调查获取样本数据的众数为 　10　 元，中位数为 　15　 元；
（3）根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
【分析】（1）以5元组的4人占8%求出调查的总人数；
（2）根据从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，得中位数为15元，10元组16人，人数最多，得众数为10元；
（3）2400乘20元和30元总人数占比，即得．
【解答】解：（1）本次接受随机调查的学生有4÷8%＝50（人），，
故答案为：50，32．
（2）∵10元组16人，人数最多，
∴众数为10，
∵4元的4人，10元的16人，15元的12人，且4+16＜25，4+16+12＞26，
∴从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，
∴中位数为15．
故答案为：10，15．
（3）（人），
答：该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人．
21．（8分）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件）
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时100﹣m的值即可．
【解答】解：（1）设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件．
根据题意，得，
解得．
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）根据题意，得m≤1.5（100﹣m），
解得m≤60，
W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m）＝10m+3000，
∵10＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵m≤60，
∴当m＝60时W值最大，W最大＝10×60+3000＝3600，
100﹣60＝40（件）．
答：第二次购进甲种布料60件、乙种布料40件全部售完后获得的利润最，最大利润是3600元．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB为等边三角形，AB＝6，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过A，B两点，且与OC交于点D，∠BOE＝15°，点B的横纵坐标之和为．
（1）点C的坐标为 　　 ；（请直接写出结果）
（2）求反比例函数的解析式；
（3）求线段CD的长度．
【分析】（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点A作AN⊥y轴于N，证明△OBM≌△OAN（AAS），得BM＝AN，OM＝ON，设B（x，y），则A（y，x），然后由中点坐标公式求解；
（2）设B点坐标为（x，y），则．再根据，求得xy＝9，即可求得k＝9，从而求解；
（3）先由点C坐标求得，再证明OC是第一象限角的平分线，从而可得OC所在直线的解析式为y＝x，再联立，求得D点的坐标为（3，3），从而可求得OD的长，然后由CD＝OC﹣OD求解即可．
【解答】解：（1）过点B作BM⊥x轴于M，过点A作AN⊥y轴于N，
则∠BMO＝∠ANO＝90°，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB，
∵∠BOE＝15°，
∴∠AON＝∠BOE＝15°，
∴△OBM≌△OAN（AAS），
∴BM＝AN，OM＝ON，
设B（x，y），则A（y，x），
∵点C为AB的中点，
∴点，
∵点B的横纵坐标之和为，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵△OAB为等边三角形，AB＝6，
∴OB＝AB＝6，
设B点坐标为（x，y），则．
∵B的横纵坐标之和为，
∴．
解得xy＝9．
∴k＝9．
∴反比例函数的解析式为．
（3）∵，
∴，
∵△OAB为等边三角形，点C为AB的中点，
∴，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝45°，
∴OC是第一象限角的平分线，
∴OC所在直线的解析式为y＝x．
联立，
解得，
∴D点的坐标为（3，3）．
∴OD＝3，
∴．
∴CD的长度为．
23．（10分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若﹣2＜x＜5．
①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值；
②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系．
【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）①根据当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝﹣4a求解即可；
②由称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间可知当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），则a1＞0，a2＜0分别求出最小值即可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，
∴对称轴为直线；
（2）①∵a＞0，
∴抛物选开口向上，
∵﹣2＜﹣1＜5，
∴当 x＝﹣1时，该函数最小值为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∵该函数的最小值为﹣8，
∴﹣4a＝﹣8，
∴a＝2；
②∵抛物线对称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间，且两个函数的最小值相等，
当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），
∴a1＞0，a2＜0，
当a1＞0时，，
当a2＜0时，，
∵两个函数的最小值相等，
∴﹣4a1＝32a2，即a1＝﹣8a2．
24．（12分）已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D为圆上一点，DF是⊙O的切线，连结CD，与AB交于点E．
（1）如图1，延长BA与DF交于点F．
①若∠ACD＝25°，求∠F的大小．
②若AF＝3，DF＝5，求⊙O的半径．
（2）如图2，AC＞BC，DF∥AB，延长CA与DF交于点F，若，求△BCE与△CDF的面积比．
【分析】（1）①连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
②利用切割线定理解答即可；
（2）过点C作CH⊥FD，交FD的延长线于点H，CH交AB于点G，连接OD，利用矩形的判定与性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，设CG＝4k，则CH＝9k，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得线段OE，BE，FD，最后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）①连接OD，如图，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠FOD．
∵∠FOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，
∴∠FOD＝50°，
∴∠F＝40°．
②∵DF是⊙O的切线，
∴FD2＝FA FB，
∴FB，
∴AB＝FB﹣FA，
∴⊙O的半径AB；
（2）过点C作CH⊥FD，交FD的延长线于点H，CH交AB于点G，连接OD，如图，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵DF∥AB，CH⊥FD，
∴CG⊥AB，
∴四边形ODHG为矩形，
∴OD＝GH，OG＝DH，
∵，
∴．
∵DF∥AB，
∴△CAG∽△CFH，
∴，
设CG＝4k，则CH＝9k，
∴OD＝GH＝5k，
∴OA＝OB＝5k，AB＝2OD＝10k，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CG⊥AB，
∴△CGB∽△ACG，
∴，
∴，
∴BG＝2k或8k，
∵AC＞BC，
∴BG＜AG，
∴BG＝2k，
∴AG＝8k，
∴OG＝OB﹣BG＝3k，
∵OD⊥DF，CG⊥AB，
∴OD∥CG，
∴△DOE∽△CGE，
∴，
∴，
∴OEk，
∴EG＝OG﹣OEk，AE＝OA+OEk．
∴BE＝EG+BGk．
∵DF∥AB，
∴△CAE∽△CFD，
∴，
∴FD＝15k．
∴△BCE与△CDF的面积比．

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