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2024-2025学年云南省昭通一中教研联盟高一（下）期中
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.下列命题中，正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 向量与向量的模相等
4.在中，满足，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知是内一点，且满足，则点一定是的( )
A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
7.已知函数是定义在上的奇函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.如图所示，点为正八边形的中心，已知，点为线段，上一动点，则的范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A.
B. 已知向量，，则与的夹角为
C. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底
D. 若向量是与向量同向的单位向量，则
10.定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
11.若函数，则下列判断正确的是( )
A. 是减函数
B. 在上的最小值为
C. 若，均为正整数，则为有理数
D. 若在上有零点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则 ______用和表示．
13.若向量满足，，则在上的投影向量是______．
14.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是两个不共线的向量，已知．
求证：，，三点共线；
若以，且，求实数的值．
16.本小题分
已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，．
是线段上靠近的三等分点，求点的坐标；
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知在中，，，分别为边，上的点，且，．
若，用向量方法求证：；
延长到，若为常数，，求的长度．
18.本小题分
若函数满足：对于任意正数，，都有，，且，则称函数为“函数”．
试判断函数是否是“函数”，并说明理由；
若函数其中为自然对数的底数，为“函数”，求实数的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，和平行的充要条件为．
已知，，求；
设向量，的夹角为，证明：；
已知非零向量，满足，求．
参考答案
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15.解：证明：由，
所以，
所以，
所以、共线，且有公共点，
所以，，三点共线；
由，且，
所以，
即，
所以，
解得，
所以实数的值为．
16.解：设，则，故，
得，所以，所以；
由题意，
又因为与的夹角为锐角，
所以且与不共线，
则解得
则的取值范围为．
17.解：证明：根据题意可知，，，分别为边，上的点，且，，
，，
又，，
，，，
，
即，得证；
，，三点共线，设，
又，，可得，
由在边上，可得，即，又，则．
18.解：根据题意，对于，当，时，，
因为
所以，
所以是“函数”；
当，时，由是“函数”，
得，即对一切正数恒成立．
因为，所以对一切正数恒成立，
所以，
由，得，
所以，
因为，所以，
由对一切正数，恒成立，
必有，即，
综合可得：，即的取值范围为．
19.解：因为，
可得：；
证明：因为
，
且，则，
所以；
解：已知，则，
因为，
所以，
则可得：，
又因为，
所以，即，
，
将代入上式可得：，
设与的夹角为，，
根据向量的夹角公式，
因为，所以，
因为，且，所以，
与的夹角为，
则．
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