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第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇）
【人教 A 版 2019】
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 19 题，单选 8 题，多选 3 题，填空 3 题，解答 5 题，满分 150 分，限时 120 分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 2 4 15分）（23-24 高二下·河南·期中）已知 ( ) = 5, ( ) = 11, ( ∣ ) = 22，则 ( ∣ ) = （ ）
A 1 B 5 3 44．2 ．11 C．4 D．75
2．（5 分）（24-25 高二下·全国·课后作业）若随机变量 X 的分布列如下：
1 2 3 4
0.1 0.4 0.3
则 (| 1| > 1) = （ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．（5 分）（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期末）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记
为1,2,3,4,5,6），记事件 = “第一次掷出的点数小于 4”，事件 = “两次点数之和大于 4”，则 ( ∣ ) =
（ ）
A 3 B 2 1 1．4 ．3 C．2 D．3
4．（5 分）（24-25 高二下·全国·课后作业）已知随机变量 的分布列为
1 0 1
1 1
2 3
若 = + 3 7， ( ) = 3，则 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5 分）（23-24 5高二下·山东青岛·期中）若随机变量 服从二项分布 (6, )，且 ( = 3) = 16，则 (
2)
= （ ）
A 19 21． 2 B．10 C． 2 D．11
6．（5 分）（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量 ～
(1000,2500)（单位：个），估计 300 天内小笼包的销售量约在 950 到 1050 个的天数大约是 （ ）（若随
机变量 ～ ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973）
A．205 B．246 C．270 D．275
7．（5 分）（23-24 高二下·河南信阳·期末）2024 年 5 月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票 3 枚，巢湖是继
《太湖》（5 枚）、《鄱阳湖》（3 枚）、《洞庭湖》（4 枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从
15 枚邮票中随机抽取 2 枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为 ，则 ( ) = （ ）
A 2 2 3．5 B．3 C．1 D．2
8．（5 分）（24-25 高二下·全国·课后作业）已知 , 两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小
球．其中， 盒中有 3 个红球，1 个白球； 盒中有 1 个红球，3 个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小
球，一共取三次，此时记 盒中的红球个数为 , 盒中的红球个数为 ，则（ ）
A． ( ) > ( ), ( ) = ( ) B． ( ) < ( ), ( ) > ( )
C． ( ) > ( ), ( ) < ( ) D． ( ) < ( ), ( ) = ( )
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·陕西咸阳·期末）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布
, 2 21 1 、 2, 2 ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量 1 = 0.4kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从正态分布的参数 2 = 1.99
10．（6 分）（23-24 高二下·广东深圳·期中）在某班中，男生占 40%，女生占 60%，在男生中喜欢体育锻
炼的学生占 80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占 60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确
的是（ ）
A 8．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为25
B 17．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为25
C 9．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为17
D 9．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为17
11．（5 分）（23-24 高二下·浙江嘉兴·期末）2024 年 6 月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，
其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得 6 分，有选错的得 0
分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得 3 分；若某小题正确选项为三
个，漏选一个正确选项得 4 分，漏选两个正确选项得 2 分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，
在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择 1 个选项，乙同学
在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择 2 个选项，甲、乙两位同学的得分分别记为 和 ，
则（ ）
A． ( = 0) > ( = 0) B． ( = 6) > ( = 6)
C． ( ) > ( ) D． ( ) > ( )
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高二下·安徽安庆·期中）已知随机变量 ξ 的分布如下：则实数 a 的值为 .
ξ 1 2 3
P 1 3
4 1
2 2
2
13．（5 分）（23-24 高二下·河北石家庄·期末）设 , 2是一个随机试验中的两个事件，且 ( ) = 3， ( ) =
5 5
12， ( + ) = 6，则 ( | ) = ．
14．（5 分）（23-24 高二下·江苏无锡·阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干
排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小
球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子
中.记格子从左到右的编号分别为0,1 2, ,10，用 X 表示小球最后落入格子的号码，则 ( ) = .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（24-25 高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并
说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数；
(4)一瓶果汁的容量为500 ± 2mL.
16．（15 分）（23-24 高二下·云南曲靖·阶段练习）有 20 件产品，其中 5 件是次品，其余都是合格品，现
不放回的从中依次抽 2 件.
(1)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(2)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.
17．（15 分）（23-24 高二下·河南郑州·期末）已知随机变量 ( , 2)，且正态密度函数在( ∞,25)上单
调递增，在(25, + ∞)上单调递减， (17 ≤ ≤ 33) ≈ 0.6827.
(1)求参数 ， 的值；
(2)求 (9 ≤ < 17).（结果精确到 0.0001）
附：若 ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
18．（17 分）（23-24 高二下·宁夏银川·阶段练习）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随
机抽取该流水线上的 20 件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），如表．
质量（克） (490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]
个数 3 4 7 5 1
(1)从抽取的 20 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505 克的产品数量，求 X 的分布列：
(2)从该流水线上任取 5 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的期望与方差．
19．（17 分）（23-24 高二下·河南安阳·期中）某校组织全校学生参加“防范校园欺凌”知识竞赛，现从中随
机抽取了 100 名学生，将他们的得分（满分：100 分）分成如下 6 组：[40,50),[50,60),[60,70), ,[90,100]，
绘制成频率分布直方图如下：
(1)求 的值，并估计这 100 名学生的平均得分.（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
(2)若该校决定奖励竞赛得分排名前40%的学生，小明本次竞赛获得 78 分，估计他能否获得奖励.
(3)从样本中竞赛得分不低于 80 的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人进行学习交流，再从参
加学习交流的学生中任选 3 人，记这 3 人中得分在[90,100]内的人数为 ，求 的分布列和数学期望.第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 2 4 15分）（23-24 高二下·河南·期中）已知 ( ) = 5, ( ) = 11, ( ∣ ) = 22，则 ( ∣ ) = （ ）
A 1 5 3 44．2 B．11 C．4 D．75
【解题思路】应用条件概率计算即可.
( ) 3
【解答过程】 ( ) = ( ) ( ∣ ) = 25 ×
15
22 =
3
11，则 ( ∣ ) =
11 3
( ) = 4 = 4.
11
故选:C.
2．（5 分）（24-25 高二下·全国·课后作业）若随机变量 X 的分布列如下：
1 2 3 4
0.1 0.4 0.3
则 (| 1| > 1) = （ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【解题思路】根据题意，由分布列的性质可得 的值，然后代入计算，即可得到结果.
【解答过程】由题可得0.1 + 0.4 + + 0.3 = 1，解得 = 0.2．
由| 1| > 1，可得 = 3或 4，
则 (| 1| > 1) = （ = 3或 = 4） = ( = 3) + ( = 4) = 0.2 + 0.3 = 0.5．
故选：B.
3．（5 分）（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期末）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记
为1,2,3,4,5,6），记事件 = “第一次掷出的点数小于 4”，事件 = “两次点数之和大于 4”，则 ( ∣ ) =
（ ）
A 3 2 1 1．4 B．3 C．2 D．3
【解题思路】利用条件概率公式即可求得 ( ∣ )的值.
3 1
【解答过程】由题意可知 ( ) = 6 = 2，
事件 与事件 同时发生，
有(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)共 12 种可能，
12 1 ( ) 2( ) = 6×6 = 3，所以 ( ∣ ) = ( ) = 3.
故选：B.
4．（5 分）（24-25 高二下·全国·课后作业）已知随机变量 的分布列为
1 0 1
1 1
2 3
若 = + 3 7， ( ) = 3，则 = （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由分布列的性质得到 ，再由 ( + 3) = ( ) +3求解即可；
1 1
【解答过程】由分布列的性质，得2 + 3 + = 1，
∴ = 16．
∴ 1 1 1 1( ) = 1 × 2 +0 × 3 +1 × 6 = 3．
∴ = 1 7( ) ( + 3) = ( ) +3 = 3 + 3 = 3，
∴ = 2．
故选：B.
5．（5 5分）（23-24 高二下·山东青岛·期中）若随机变量 服从二项分布 (6, )，且 ( = 3) = 16，则 (
2)
= （ ）
A 19 21． 2 B．10 C． 2 D．11
5
【解题思路】根据 ( = 3) = 16求出 ，根据 的分布列求出
2的分布列，再求期望可得答案.
【解答过程】因为 (6, )，所以
5 1
因为 ( = 3) = C3 36 (1 )3 = 16，所以
3(1 )3 = 64，
解得 = 12，
6 6
( = 0) = C0 16 =
1
64，
3
2 ( = 1) = C
1 1
6 =2 32，
1 6 15 1 6 ( = 2) = C2 = 3
5
6 2 64，
( = 3) = C6 =2 16，
6 6
( = 4) = C4 1
15 5 1 3
6 =2 64， ( = 5) = C6 =2 32，
6
1( = 6) = C6 16 =2 64，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
1 3 15 5 15 3 1
64 32 64 16 64 32 64
所以 2的分布列为
2 0 1 4 9 16 25 36
1 3 15 5 15 3 1
64 32 64 16 64 32 64
所以
3( 2) = 1 × 32 +4 ×
15
64 +9 ×
5
16 +16 ×
15
64 +25 ×
3 1
32 +36 × 64 = 10.5.
故选：C.
6．（5 分）（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量 ～
(1000,2500)（单位：个），估计 300 天内小笼包的销售量约在 950 到 1050 个的天数大约是 （ ）（若随
机变量 ～ ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973）
A．205 B．246 C．270 D．275
【解题思路】由正态曲线的性质求出 (950 ≤ ≤ 1050) = ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，即可求解．
【解答过程】依题意，得 = 1000, = 50，
则 (950 ≤ ≤ 1050) = ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，
则估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是：300 × 0.6827 = 204.81 ≈ 205，
故选：A.
7．（5 分）（23-24 高二下·河南信阳·期末）2024 年 5 月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票 3 枚，巢湖是继
《太湖》（5 枚）、《鄱阳湖》（3 枚）、《洞庭湖》（4 枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从
15 枚邮票中随机抽取 2 枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为 ，则 ( ) = （ ）
A 2 2 3．5 B．3 C．1 D．2
【解题思路】利用超几何分布概率公式，分别求出 ( = ), = 0,1,2，再求 ( ).
【解答过程】依题意， 的可能取值有 0，1，2.
2 1 1 2
则 ( = 0) = C12 22C2 = 35， ( = 1) =
C12C3 = 12C2 35， ( = 2) =
C3
2 =
1
，
15 15 C15 35
则 ( ) = 0 × 2235 +1 ×
12 1 2
35 +2 × 35 = 5.
故选:A.
8．（5 分）（24-25 高二下·全国·课后作业）已知 , 两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小
球．其中， 盒中有 3 个红球，1 个白球； 盒中有 1 个红球，3 个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小
球，一共取三次，此时记 盒中的红球个数为 , 盒中的红球个数为 ，则（ ）
A． ( ) > ( ), ( ) = ( ) B． ( ) < ( ), ( ) > ( )
C． ( ) > ( ), ( ) < ( ) D． ( ) < ( ), ( ) = ( )
【解题思路】得到 与 的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差.
【解答过程】由已知 = 0,1，
3 2 1 1( = 0) = 4 × 3 × 2 = 4，
3 2 1 3 1 2 1 3 2 3( = 1) = 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 = 4，
则 的分布列为：
0 1
1 3
4 4
2 2
= 0 × 1 +1 × 3 = 3 = 0 3 × 1 + 1 3 × 3可得 ( ) 4 4 4， ( ) 4 4 =
3
4 4 16；
由已知 = 0,1，
3 2 1( = 0) = 4 × 3 × 2 +
3 1
4 × 3 ×
2 1 3 2 3
2 + 4 × 3 × 2 = 4，
3 2 1 1( = 1) = 4 × 3 × 2 = 4，
则 的分布列为：
0 1
3 1
4 4
3 1 1 2 3 2 1 3
可得 ( ) = 0 × 4 +1 × 4 = 4， ( ) = 0
1 × + 1 14 × =4 4 4 16；
所以 ( ) > ( ), ( ) = ( ).
故选：A.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·陕西咸阳·期末）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布
1, 21 、 , 22 2 ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量 1 = 0.4kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从正态分布的参数 2 = 1.99
【解题思路】利用正态分布的性质，逐一进行判断即可.
【解答过程】由图象可知，甲图象关于直线 = 0.4对称，乙图象关于直线 = 0.8对称，
所以 1 = 0.4, 2 = 0.8, 1 < 2，故 A，C 正确；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故 B 正确；
1
因为乙图象的最大值为1.99，即 2π = 1.99，所以 2 ≠ 1.99，故 D 错误；2
故选：ABC.
10．（6 分）（23-24 高二下·广东深圳·期中）在某班中，男生占 40%，女生占 60%，在男生中喜欢体育锻
炼的学生占 80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占 60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确
的是（ ）
A 8．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为25
B 17．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为25
C 9．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为17
D 9．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为17
【解题思路】由已知结合条件概率公式及全概率公式检验各选项即可判断.
【解答过程】用 1， 2分别表示抽到学生是男生、女生，用 表示抽到的学生喜欢体育锻炼，
由题意得 ( 1) = 40%， ( 2) = 60%， ( | 1) = 80%， ( | 2) = 60%，
则 ( 1 ) = ( 1) ( | 1) = 0.4 × 0.8 = 0.32 =
8
25，
17
由全概率公式得 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) = 0.4 × 0.8 + 0.6 × 0.6 = 25，故 A、B 正确；
(
( | ) = 1
) ( | 1) 0.4×0.8 8
1 ( ) = 0.68 = 17， ( 2| ) = 1 ( 1| ) = 1
8 9
17 = 17，故 C 错误，D 正确；
故选：ABD.
11．（5 分）（23-24 高二下·浙江嘉兴·期末）2024 年 6 月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，
其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得 6 分，有选错的得 0
分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得 3 分；若某小题正确选项为三
个，漏选一个正确选项得 4 分，漏选两个正确选项得 2 分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，
在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择 1 个选项，乙同学
在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择 2 个选项，甲、乙两位同学的得分分别记为 和 ，
则（ ）
A． ( = 0) > ( = 0) B． ( = 6) > ( = 6)
C． ( ) > ( ) D． ( ) > ( )
【解题思路】对于甲同学得分 和乙同学得分 ，分有两个正确选项和三个正确选项两种情况计算出
= 0, = 4, = 6， = 0, = 4, = 6的概率，求得 、 的分布列，进而求得 ( ), ( )， ( ), ( )，对四
个选项进行判断.
1 2 1 1 1 1 2
【解答过程】 ( = 0) = 2 3 + 2 3 = 2, ( = 4) = 2 3 =
1
3,
1 1 1
( = 6) = 2 3 = 6,
的分布列为
0 4 6
1 1 1
2 3 6
1 1 1 7由此可得 ( ) = 0 × 2 +4 × 3 +6 × 6 = 3,
2 2
= 0 7 × 1 + 4 7 × 1
2
( ) 2 3 + 6
7 × 16 =
53
3 3 3 9 .
1 C1 1 1 C2 1 1 C2 1
( = 0) = 22 2 = 3 , ( = 4) = 2
3
2 = 2 , ( = 6) = 2
2
2 = 6 ,C3 C3 C3
的分布列为
0 4 6
1 1 1
3 2 6
由此可得 ( ) = 0 ×
1
3 +4 ×
1
2 +6 ×
1
6 = 3，
( ) = (0 3)2 ×
1
3 + (4 3)
2 × 12 + (6 3)
2 × 16 = 5.
故 AD 正确，BC 错误，
故选：AD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 1 1高二下·安徽安庆·期中）已知随机变量 ξ 的分布如下：则实数 a 的值为 2或4 .
ξ 1 2 3
P 1 3
4 1
2 2
2
1
【解题思路】由4 +1
3
2 + 2
2 = 1求解.
1 3
【解答过程】解：由题可得4 +1 2 + 2
2 = 1，
∴ = 1 = 12或 4，经检验适合题意.
1 1
故答案为：2或4.
13 2．（5 分）（23-24 高二下·河北石家庄·期末）设 , 是一个随机试验中的两个事件，且 ( ) = 3， ( ) =
5
12， =
5 1
( + ) 6，则 ( | ) = 2 ．
【解题思路】先由条件求得 和 ( ∩ )，再代入条件概率公式计算即得.
2 5 2 1
【解答过程】因 ( ) = 3， ( ) = 12，则 = 1 3 = 3，
( ∩ ) = ( ∪ ) = 1 ( + ) = 1 5 16 = 6，
( ∩ ) 1
则 ( | ) = = 6 = 1 ( ) 1 2.
3
1
故答案为：2.
14．（5 分）（23-24 高二下·江苏无锡·阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干
排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小
球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子
5
中.记格子从左到右的编号分别为0,1 2, ,10，用 X 表示小球最后落入格子的号码，则 ( ) = 2 .
1
【解题思路】由题设分析得到 10, ，进而利用二项分布的方差公式可得.
2
1
【解答过程】设 = “向右下落”， = “向左下落”，则 ( ) = = 2，
因为小球最后落入格子的号码 等于事件 发生的次数，
1
而小球下落的过程中共碰撞小木钉 10 次，所以 10, ，
2
( ) = 10 × 1 × 1 = 5故 2 2 2.
5
故答案为：2.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（24-25 高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并
说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间所查酒驾的人数；
(4)一瓶果汁的容量为500 ± 2mL.
【解题思路】根据离散型随机变量概念性质可解.
【解答过程】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为 0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机
变量，也是离散型随机变量．
（2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为 0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是
离散型随机变量．
（3）明年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间，所查酒驾的人数可能为 0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随
机变量，也是离散型随机变量．
（4）由于果汁的容量在 498mL~502mL 之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量,是连续性随机变量.
16．（15 分）（23-24 高二下·云南曲靖·阶段练习）有 20 件产品，其中 5 件是次品，其余都是合格品，现
不放回的从中依次抽 2 件.
(1)第一次和第二次都抽到次品的概率；
(2)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.
【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）利用条件概率求解即可.
【解答过程】（1）设“第一次抽到次品”为事件 ，“第二次抽到次品”为事件 .
5 1
第一次抽到次品的概率 ( ) = 20 = 4.
C1 1 ( ) = 5
C4
C1 1 =
5×4 = 1
20C19 20×19 19
.
( )
（2 1 1 4）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为 ( ∣ ) = ( ) = 19 ÷ 4 = 19.
17．（15 分）（23-24 高二下·河南郑州·期末）已知随机变量 ( , 2)，且正态密度函数在( ∞,25)上单
调递增，在(25, + ∞)上单调递减， (17 ≤ ≤ 33) ≈ 0.6827.
(1)求参数 ， 的值；
(2)求 (9 ≤ < 17).（结果精确到 0.0001）
附：若 ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
= 17
【解题思路】（1）由题设及特殊区间的概率值得到 + = 33 ，即可确定参数；
（2）利用正态分布的对称性求 ( ≥ 17)、 ( ≥ 9)，进而求目标概率值.
1 = 25 (17 ≤ ≤ 33) ≈ 0.6827 = 17【解答过程】（ ）依题设， ，而 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827 ，则 + = 33 ，解得 = 8，
所以 = 25， = 8.
（2）由（1）知： ( 2 ≤ ≤ + 2 ) = (9 ≤ ≤ 41) ≈ 0.9545，
正态曲线关于 = 25对称 ，即 ( < 9) = ( > 41)，
1
则 ( < 9) ≈ 2 × (1 0.9545) = 0.02275， ( ≥ 9) ≈ 1 ( < 9) ≈ 0.97725，
由 (17 ≤ ≤ 33) ≈ 0.6827
1
，则 ( < 17) = 2 × [1 (17 ≤ ≤ 33)] ≈
1
2 × (1 0.6827) = 0.15865，
因此 ( ≥ 17) = 1 ( < 17) ≈ 0.84135，
所以 (9 ≤ ≤ 17) = ( ≥ 9) ( ≥ 17) ≈ 0.97725 0.84135 = 0.1359.
18．（17 分）（23-24 高二下·宁夏银川·阶段练习）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随
机抽取该流水线上的 20 件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），如表．
质量（克） (490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]
个数 3 4 7 5 1
(1)从抽取的 20 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505 克的产品数量，求 X 的分布列：
(2)从该流水线上任取 5 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的期望与方差．
【解题思路】（1）运用超几何分布可得分布列；
（2）根据二项分布期望，方差公式即得.
【解答过程】（1）重量超过 505 的产品数量为 6 件，则重量未超过 505 克的产品数量为 14 件，
X 的取值可能为 0，1，2，X 服从超几何分布，
2 1 1 2
( = 0) = C14 91C2 = 190， ( = 1) =
C14C6 = 84 42 C6 15C2 190 = 95， ( = 2) = C2 = 190，20 20 20
故 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 91 42 15
190 95 190
（2）由质量超过 505 克的产品的频率为0.3，
故可估计从该流水线上任取 1 件产品质量超过 505 克的产品的概率为0.3，
从流水线上任取 5 件产品互不影响，该问题可看成 5 次独立重复试验，
即 ~ (5,0.3)，则 ( ) = 5 × 0.3 = 1.5， ( ) = 5 × 0.3 × (1 0.3) = 1.05．
19．（17 分）（23-24 高二下·河南安阳·期中）某校组织全校学生参加“防范校园欺凌”知识竞赛，现从中随
机抽取了 100 名学生，将他们的得分（满分：100 分）分成如下 6 组：[40,50),[50,60),[60,70), ,[90,100]，
绘制成频率分布直方图如下：
(1)求 的值，并估计这 100 名学生的平均得分.（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
(2)若该校决定奖励竞赛得分排名前40%的学生，小明本次竞赛获得 78 分，估计他能否获得奖励.
(3)从样本中竞赛得分不低于 80 的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人进行学习交流，再从参
加学习交流的学生中任选 3 人，记这 3 人中得分在[90,100]内的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
【解题思路】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为 1 求出 ，再估算平均成绩.
（2）求出竞赛得分排名前40%的最低成绩即可得解.
（3）求出参加学习交流的学生中成绩在两个区间内的人数，再求出 的可能值及各个值对应的概率，列出
分布列并求出期望.
【解答过程】（1）依题意，(0.01 + + 0.02 + 0.03 + + 0.01) × 10 = 1，解得 = 0.015，
成绩在区间[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率依次为：0.1,0.15,0.2,0.3,0.15,0.1，
所以这 100 名学生的平均得分为45 × 0.1 + 55 × 0.15 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.15 + 95 × 0.1 = 70.5.
（2）由（1）知，成绩在区间[80,100]的频率为0.25，成绩在区间[70,100]的频率为0.55，
则竞赛得分排名前40%的最低成绩 ∈ (70,80)，于是(80 ) × 0.03 + 0.25 = 0.4，解得 = 75，
而78 > 75，所以估计小明能获得奖励.
（3）参加学习交流的 10 人中，得分在[80,90) 0.15的人数为0.15+0.1 × 10 = 6，在[90,100]内的人数为 4，
的可能值为 0，1，2，3，
3 2 1 1 2 3
( = 0) = C6C3 =
1
6, ( = 1) =
C6C4 1
C3 = 2, ( = 2) =
C6C4
C3 =
3 C4 1
10 10 10 10
， ( = 3) = C3 =10 30，
所以 的分布列为
0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30
1
数学期望为 ( ) = 0 × 6 +1 ×
1 +2 × 32 10 +3 ×
1 6
30 = 5.

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