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第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（23-24 高二下·河南商丘·期中）已知事件 ， ，若 ，且 ( ) = 0.4， ( ) = 0.7，则下列
结论正确的是（ ）
A． ( ) = 0.28 B． ( | ) = 0.4
C． | = 0.5 D
4
． ( | ) = 7
【解题思路】根据条件概率公式计算，注意在 时， ( ) = ( )．
【解答过程】因为 ，
( )
所以 ( ) = ( ) = 0.4， ( | ) = ( ) =
0.4 4
0.7 = 7，
( | ) = 1，
( ) = 1 ( ) = 0.6， ( ) = ( ) ( ) = 0.7 0.4 = 0.3，
( )
( | ) = = 0.3 ( ) 0.6 = 0.5，
故选：C．

2．（5 分）（23-24 高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2),
( = 0,1,2)，其中 a 是常数，则下列说法不正确的是（ ）
A 4． ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1 B． = 3
C 8 4． (0 ≤ < 2) = 9 D． ( ≥ 1) = 9
【解题思路】根据分布列的性质，求出 ，结合选项，逐项判定，即可求解.

【解答过程】由 ( = ) = ( +1)( +2),( = 0,1,2)，
得 ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1，

即2 + 6 + 12 = 1，解得 =
4
3，故 AB 正确；
2 2 8(0 ≤ < 2) = ( = 0) + ( = 1) = 3 + 9 = 9，故 C 正确；
2 1 1( ≥ 1) = ( = 1) + ( = 2) = 9 + 9 = 3，故 D 错误.
故选：D.
3．（5 分）（23-24 高二下·四川乐山·期末）某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似
服从正态分布 ~ ( , 2)（其中 和 分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以
上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是（ ）名．
附：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( < ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 < ≤ + 2 )
≈ 0.9545， ( 3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9937．
A．456 B．1587 C．3174 D．8413
【解题思路】根据条件，得到 = 65，利用正态分布的对称性得出 = 11，即可求解.
【解答过程】由题知 = 65， ( > 87) = 22810000 = 0.0228，所以 (65 < < 87) = 0.5 0.0228 = 0.4772 ≈
(65 2 < ≤65+2 )
2 ，
得到 = 11，所以 (65 < ≤ 76) = 0.68272 = 0.34135，得到学生甲的名次大致是10000 × (0.5 0.34135) ≈
1587，
故选：B.
4．（5 分）（23-24 高二下·陕西渭南·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要
选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享
1 1 1 1 1 1
单车的概率分别为3，3，3，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为4，5，6，结果这一天他迟
到了，在此条件下，他坐公交车去上班的概率为（　　）
A 12 B 15 3 4．37 ．37 C．5 D．7
【解题思路】设事件 表示“自驾”，事件 表示“坐公交”，事件 表示“骑共享车”，事件 表示“迟到”，利用
全概率公式以及条件概率公式即可.
【解答过程】由题意，设事件 表示“自驾”，事件 表示“坐公交”，事件 表示“骑共享车”，
事件 表示“迟到”，
则 ( ) = ( ) = ( ) = 13,
( | ) = 1, ( | ) = 1, ( | ) = 14 5 6,
所以 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 1 × (1 + 1 + 1 373 4 5 6) = 180,
小明迟到了，由贝叶斯公式得他坐公交车去上班的概率是
( ) ( ) ( | ) 1 × 1
( | ) = 3 5 12 ( ) = ( ) = 37 = 37.
180
故选：A.
5．（5 分）（23-24 高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3
次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到 3 次为止．设学生一次发球成功的概率为 ( ≠ 0)，发球次
数为 ，若 的数学期望 ( ) > 1.75，则 的取值可能是（ ）
A 1 7 5 3．2 B．12 C．12 D．4
【解题思路】分别计算出发球 1 次、2 次、3 次所对应的概率，然后计算数学期望进行判断计算即可.
【解答过程】根据题意，发球次数为 1 的概率为 ( = 1) = ，
发球次数为 2 的概率 ( = 2) = (1 ) ，
发球次数为 3 的概率 ( = 3) = (1 )2 + (1 )3 = 1 2，
则 ( ) = ( = 1) + 2 ( = 2) + 3 ( = 3) = + 2(1 ) + 3(1 2) > 1.75，
解得 > 5 12或 < 2，由 ∈ (0,1)
1
可得 ∈ 0, .
2
故选：C.
6．（5 分）（23-24 高二下·江苏泰州·期末）已知 20 条试题中有 8 条选择题，甲无放回地依次从中抽取 5
条题，乙有放回地依次从中抽取 5 条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的 5 条题中选择题的条数分别
为 1, 2， 1, 2的期望分别为 ( 1), ( 2)，方差分别为 ( 1), ( 2)，则（ ）
A． ( 1) = ( 2), ( 1) < ( 2) B． ( 1) = ( 2), ( 1) > ( 2)
C． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) > ( 2)
【解题思路】随机变量 1服从超几何分布, 随机变量 2服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、
方差公式计算即可.
【解答过程】由题意可知， 1的可能取值为0,1,2,3,4,5， 2的可能取值为0,1,2,3,4,5，
随机变量 1服从超几何分布，随机变量 2服从二项分布，
根据超几何分布的均值方差公式得：
= 5, = 20, = 8，即 ( 1) =
= 5×8 20 = 2，
( 1) = (1
) = 5×8 8 20 5 3 15 18 1 20 × (1 20) × 20 1 = 2 × 5 × 19 = 19.
根据超二项分布的均值方差公式得：
= 5, = 8 220 = 5，即 ( 2) = = 5 ×
2
5 = 2
( 2) = (1 ) = 5 ×
2 3 6
5 × 5 = 5，
所以 ( 1) = ( 2)， ( 1) < ( 2).
故选：A.
7．（5 分）（23-24 高二下·江苏常州·阶段练习）设随机变量 ( , )，记 = C (1 ) ，
= 0,1,2, , ，下列说法正确的是（ ）
A．当 k 由 0 增大到 n 时， 先增后减，当且仅当 k 取某一个正整数时达到最大
B．如果( + 1) 为正整数，当且仅当 = ( + 1) 时， 取最大值
C．如果( + 1) 为非整数，当且仅当 k 取( + 1) 的整数部分时， 取最大值
D． ( ) = (1 )
【解题思路】对于 ABC：根据二项分布的概率公式列式，结合组合公式计算分析最值；对于 D：根据二项
分布的期望公式分析判断.
【解答过程】对于 ABC：因为 ( , )， = C (1 ) ， = 0,1,2, , ，
≥ 1 1 1 C (1 ) ≥ C (1 ) +1由 ≥ ，得

+1 C (1 ) ≥ C +1 +1 1
，
(1 )
解得( + 1) 1 ≤ ≤ ( + 1) ，
若( + 1) 为正整数，则 = ( + 1) 或 = ( + 1) 1时， 取最大值，故 B 错误；
若( + 1) 为非整数，则 取( + 1) 的整数部分时， 取最大值，故 C 正确；
综上所述，当 k 由 0 增大到 n 时， 先增后减，在某一个（或两个）k 值处达到最大. 故 A 错误；
对于 D：因为 ( ) = ，故 D 错误.
故选：C.
8．（5 分）（2025 高三下·浙江绍兴·学业考试）一个袋中有 m 个红球，n 个白球，p 个黑球
（1 ≤ < ≤ 5， ≥ 4），从中任取 1 个球（每球取到的机会均等），设 1表示取出的红球个数， 2表示
取出的白球个数，则
A． ( 1) > ( 2), ( 1) > ( 2) B． ( 1) > ( 2), ( 1) < ( 2)
C． ( 1) < ( 2), ( 1) > ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2)
【解题思路】列出随机变量 1和 2的分布列，分别计算出 ( 1), ( 2), ( 1), ( 2)的值，结合1 ≤ < ≤ 5，
可以判断出 ( 1), ( 2)和 ( 1), ( 2)大小关系，选出正确答案.
【解答过程】由题意可知：随机变量 1的分布列如下图所示：
1 0 1
+
P + + + +
+
所以有 ( 1) = 0 + + +1 + + = + + ,
+ +
( 1) = (0
)2 + + + (1
)2
+ + + + + +
= ( + + )2，
随机变量 2的分布列如下图所示：
1 0 1
+
P + + + +
+
( 2) = 0 + + +1 + + = + + ，
( ) = (0 )2
+ 2 +
1 + + + + + (1 ) + + + + = ( + + )2，
因为1 ≤ < ≤ 5，所以 < ，因此有 ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2)，
故选 D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·山西临汾·期中）单个水果的质量 Y（单位:克）服从正态分布 (15, 2)，且 ( > 17)
= ，规定单个水果的质量与 15 克的误差不超过 2 克即是优质品.现从这批水果中随机抽取 n 个，其中优质
品的个数为 X，下列结论正确的是（ ）.
A．若 = 12，则 ( )的最大值为 3
B．若 = 11, = 18，当 ( = )取最大值时， = 9

C = 1
2 1
．当 4，n 为偶数时， ( = 2 ) = =0 2
D 1．若 = 6， ( ≥ 2) ≥ 0.9，则 n 的最小值为 6
【解题思路】对于 A，由二项分布的方差公式直接验算即可判断；对于 B，由题意列出不等式组即可验算；
对于 C，由二项分布概率的可加性即可验算；对于 D，由题意得 ( = 0) + ( = 1) ≤ 0.1，将它转换为关
于 的不等式即可求解.
【解答过程】由题意可知，优质品的质量位于 13 克至 17 克之间，即 (13 < < 17) = 1 2 ，可知 ~
( ,1 2 ).
A (12,1 2 ), ( ) = 12(1 2 )2 ≤ 12 × (1 2 )+2
2
对于 ， = 32 ，
当且仅当 = 14时， ( )取得最大值 3，故 A 正确.
B 11, 3 ( = ) ( = ) ≥ ( = 1)对于 ， ，当 取最大值时，
4 ( = ) ≥ ( = + 1) ，
3 1 11 +1 10 C ≥ C +1 3 111 11
即 4 4 4 4
3 1 11 1 12
，解得8 ≤ ≤ 9，即 = 8或 9，故 B 错误.
C 11 ≥ C 1
3 1
4 4 11 4 4

2
对于 C 1， , , =
1 1
( = 2 ) 2 ( = ) = 2，故 C 正确.2 =0 =0
对于 D， , 2 ，因为 ( ≥ 2) ≥ 0.9，所以 ( = 0) + ( = 1) ≤ 0.1，
3
1 2 1 1
所以 + C13 × 3 × ≤ 0.13 ，化简得(2 + 1)
1 ≤ 0.1
3 ，

令 ( ) = (2 + 1) 13 ，
( +1) 2 +3
因为 ( ) = 6 +3 < 1，所以 ( )单调递减，
又 (4) > 0.1， (5) < 0.1，所以 n 的最小值为 5，故 D 错误.
故选：AC.
10．（6 分）（23-24 高二下·河北·阶段练习）某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参
与者均有机会获得奖品.学校设置了 3 个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中
红色箱子放有 2 个红球，2 个黄球，2 个绿球，黄色箱子放有 2 个黄球，1 个绿球，绿色箱子放有 1 个黄球，
2 个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取 1 个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的
箱子中随机抽取 1 个小球，如此重复，抽取 3 个小球，抽奖结束.若抽取的 3 个小球颜色全不相同为一等奖，
3 个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A 1．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为6
B 9．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为16
C 81．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为202
D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大
【解题思路】设 1, 2, 3分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球， 1, 2分别表示获得一等奖，二等
奖，根据事件的关系与条件概率公式逐项求解即可得结论.
【解答过程】设 1, 2, 3分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球，
1, 2分别表示获得一等奖，二等奖，
( ) 1 × 1 × 1+11 1 ×
1 × 1
对于A, ( | ) = 3 3 4 3 3 4
1
1 1 ( ) = 1 = 6，所以 A 正确；1 3
( 2 2)
1 × 3 × 3
对于B, ( 2| 2) = 3 4 4
9
( ) = 1 = 16，所以 B 正确；2 3
1 1 1 1
对于 C，设甲获奖为事件 ，甲获得一等奖的概率为 ( 1) = 3 × 3 × 4 × 2 = 18,
1 3 1 3 3 89 101
甲获得二等奖的概率为 ( 2) = + 3 × 4 × 4 × 2 = 216，所以 3 ( ) = 216，
1 3 3 3
甲第一次取到绿球且获奖的概率为 ( 3 ) = 3 × 4 × 4 = 16，
( 3 ) = = 81所以甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为 ( 3| ) ( ) 202，故 C 正确；
3
对于 D 1 1 1 5，甲第一次取球取到红球获奖的概率为 ( 1 ) =
1 + 3 × 3 × 4 × 2 =3 54，
1 3 3 3
甲第一次取球取到黄球获奖的概率为 ( 2 ) = 3 × 4 × 4 = 16，
= 1 × 3 × 3 = 3甲第一次取球取到绿球获奖的概率为 ( 3 ) 3 4 4 16，
则甲第一次取球取到绿球或者黄球获奖的概率最大，故 D 错误.
故选：ABC.
11．（6 分）（23-24 高二下·浙江嘉兴·期末）2024 年 6 月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，
其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得 6 分，有选错的得 0
分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得 3 分；若某小题正确选项为三
个，漏选一个正确选项得 4 分，漏选两个正确选项得 2 分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，
在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择 1 个选项，乙同学
在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择 2 个选项，甲、乙两位同学的得分分别记为 和 ，
则（ ）
A． ( = 0) > ( = 0) B． ( = 6) > ( = 6)
C． ( ) > ( ) D． ( ) > ( )
【解题思路】对于甲同学得分 和乙同学得分 ，分有两个正确选项和三个正确选项两种情况计算出
= 0, = 4, = 6， = 0, = 4, = 6的概率，求得 、 的分布列，进而求得 ( ), ( )， ( ), ( )，对四
个选项进行判断.
【解答过程】 ( = 0) =
1
2
2
3 +
1
2
1 1 1 2 1 1 1 1
3 = 2, ( = 4) = 2 3 = 3, ( = 6) = 2 3 = 6,
的分布列为
0 4 6
1 1 1
2 3 6
由此可得 ( ) = 0 ×
1 +4 × 1 +6 × 1 = 72 3 6 3,
2 1 2 1 2 ( ) = 0 7 × + 4 72 × 3 + 6
7 × 16 =
53
3 3 3 9 .
1 C1 1 1 C2 1 1 C2 1
( = 0) = 22 2 = 3 , ( = 4) =
3
2 2 = 2 , ( = 6) = 2
2
2 = ,C3 C3 C3 6
的分布列为
0 4 6
1 1 1
3 2 6
由此可得 1 1( ) = 0 × 3 +4 × 2 +6 ×
1
6 = 3，
( ) = (0 3)2 ×
1
3 + (4 3)
2 × 1 2 12 + (6 3) × 6 = 5.
故 AD 正确，BC 错误，
故选：AD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高二下·山东临沂·期末）某校举行乒乓球比赛，决赛采用 5 局 3 胜制，甲、乙两名同
2 1
学争夺冠亚军，如果每局比赛甲获胜的概率为3，那么在甲获胜的条件下，第 1 局甲输的概率为 4 ．
【解题思路】根据最终比赛所进行局数进行讨论得到甲获胜的概率，和第一局甲输的概率，再根据条件概
率公式即可得解.
【解答过程】甲获胜记为事件 A，甲第一局输后获胜记为事件 B，
2 3 8 2 2 1 8 2 2 1 2 2
甲获胜可以三局获胜概率为C33 = 27，四局获胜概率为C
2
3 3 = 27，五局获胜概率为C
2
4 =3 3 3 3 3
16
81，
= 8 8 16 64所以甲获胜概率为 ( ) 27 + 27 + 81 = 81，
1 2 3 8 1
第一局甲输的概率是可以分为两种情况，最终甲四局获胜概率为3 C
3 2
3 = C3 81，最终甲五局获胜概率为3 3
2 2 1 2 8
3 3
3 = 81，
8 8 16
故第一局甲输最终甲获胜的概率 ( ) = 81 + 81 = 81，
16
1
则所求概率为8164 = 4.
81
1
故答案为：4.
13．（5 分）（23-24 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任
7
意摸出 2 个球，至少得到一个白球的概率是9.现从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 ，则 (2 1)
= 2 .
【解题思路】设白球的个数为 ，则红球和黑球的个数为10 ，记两个都不是白球的事件为 ，则至少有一
个白球的事件与事件 为对立事件，由此求出白球的个数；得出 的取值可能为 0，1，2，3，求出 的分布
列和数学期望，再由期望性质求解．
【解答过程】设白球的个数为 ，则黑球和红球的个数为10 ；
记两个都不是白球的事件为 ，则至少有一个白球的事件与事件 为对立事件；
2
所以 7 2 C( ) = 1 10 9 = 9 = C2 ，解得 = 5，10
所以白球的个数为 5；
从袋中任意摸出 3 个球，到白球的个数 的取值可能为：0，1，2，3；
0 3 1 2
则 ( = 0) = C5 C5 1 C C 5C3 = 12， ( = 1) =
5 5
10 C3
= ，
10 12
C2 C1 3 0 ( = 2) = 5 5 = 5 ( = 3) = C5·C5 = 1C3 12， C3 ，10 10 12
所以 的分布列为：
0 1 2 3
1 5 5 1
12 12 12 12
1所以的数学期望 ( ) = 0 × 12 +1 ×
5 5 1 3
12 +2 × 12 +3 × 12 = 2，
3
则 (2 1) = 2 ( ) 1 = 2 × 2 1 = 2．
故答案为：2.
14．（5 分）（23-24 高二下·天津·期中）下列说法正确的有 ①②④ ．
①已知随机变量 ， ，满足 + 2 = 4 1，且 服从正态分布 (3,1)，则 ( ) = 2
②已知随机变量 服从正态分布 (4,1)，且 ( ≥ 5) = 0.1587，则 (3 < < 5) = 0.6826
③ 1 80已知随机变量 服从二项分布 5, ，则 ( = 3) =
3 243
④已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 0) = 0.6， ( = 1) = 0.4，令 = 3 2，则 ( = 2) = 0.6
【解题思路】命题①，根据条件，利用期望的运算性质，即可求解；命题②，根据条件，利用正态分布的
对称性，即可求解；命题③，根据条件，利用二项分布的概率计算公式，即可求解；命题④，根据条件，
利用 ( = 2) = ( = 0)，即可求解.
【解答过程】对于命题①，因为 服从正态分布 (3,1)，所以 ( ) = 3，
又 + 2 = 4 1 1 1 3 1，即 = 2 2 ，所以 ( ) = (2 2 ) = 2 2 ( ) = 2 2 = 2，故命题①正确，
对于命题②，因为随机变量 服从正态分布 (4,1)，且 ( ≥ 5) = 0.1587，
所以 (3 < < 5) = 1 0.1587 × 2 = 0.6826，故命题②正确，
③ 5, 1 ( = 3) = C3( 1
3 2
对于命题 ，因为随机变量 服从二项分布 ，所以 5 ) (1
1 ) = 40
3 3 3 243
，故命题③错误，
对于命题④，因为 = 3 2，由 = 2，得到 = 0，所以 ( = 2) = ( = 0) = 0.6，故命题④正确，
故答案为：①②④.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（23-24 高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其
2
中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是5，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭
2 3
的概率为3，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为4．
(1)求小张第二天中午吃米饭的概率；
(2)记小张前两天中午吃面食的次数为 X，求 X 的分布列．
【解题思路】（1）利用全概率公式即可得到答案；
（2）首先分析出 X 的可能取值有 0，1，2，再按步骤写出分布列即可.
【解答过程】（1）记 = “小张第 i 天中午吃面食”， = 1,2， = “小张第 j 天中午吃米饭”， = 1,2，
由题意可知 1与 1对立， 2与 2对立，
2 2 3 1 5
由全概率公式，得 ( 2) = ( 1) ( 2| 1 ) + ( 1) ( 2| 1 ) = 5 × 3 + 5 × 4 = 12，
5
即小张第二天中午吃米饭的概率为12．
（2）由题意可知，X 的可能取值有 0，1，2．
3 1 3则 ( = 0) = 5 × 4 = 20， ( = 1) =
2
5 ×
2 3 3 43
3 + 5 × 4 = 60， ( = 2) =
2 × 15 3 =
2
15，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P 3 43 2
20 60 15
16．（15 分）（23-24 高二下·湖南邵阳·期中）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在 A，B
两个信封中，A 信封中有 6 道选择题和 3 道论述题，B 信封中有 3 道选择题和 2 道论述题.参赛选手先在任
一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封.
(1)若同学甲从 B 信封中抽取了 2 题，求第 2 题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从 A 信封中抽取了 2 题，答题结束后误将题目放回了 B 信封，接着同学丙从 B 信封中抽取题目
作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从 A 信封中取出的是 2 个论述题的概率.
【解题思路】（1）设出事件，利用全概率公式求解即可；
（2）设出事件 A， 1， 2， 3并求出对应的概率，利用全概率公式求出 ( )，然后利用条件概率公式求解
即可.
【解答过程】（1）设事件 表示“甲第 i 次从 B 信封中取到论述题”， = 1，2，
2 3 1 2 1则 ( 1) = 5， ( 1) = 5， ( 2| 1 ) = 4， ( 2| 1 ) = 4 = 2.
2 2 1 3 1 2由全概率公式得第 题抽到论述题的概率 ( 2) = ( 1) ( 2| 1 ) + ( 1) ( 2| 1 ) = 5 × 4 + 5 × 2 = 5.
（2）设事件 A 为“丙从 B 信封中取出的第一个题是选择题”，
事件 1为“乙从 A 信封中取出 2 个选择题”，
事件 2为“乙从 A 信封中取出 1 个选择题和 1 个论述题”，
事件 3为“乙从 A 信封中取出 2 个论述题”，
则 1， 2， 3两两互斥且 1 ∪ 2 ∪ 3 = Ω，
C2 5 C1C1 1 C2 1
则 ( 6 6 3 31) = C2 = 12， ( 2) = C2 = 2， ( 3) = C2 =9 9 9 12，
5 4 3( | 1 ) = 7， ( | 2 ) = 7， ( | 3 ) = 7，
所以 ( ) = ( 1) ( | 1 ) + ( 2) ( | 2 ) + ( 3)
5 5 1 4 1 3 13
( | 3 ) = 12 × 7 + 2 × 7 + 12 × 7 = 21，
( 3 ) ( 3) ( | )
1 × 3
故所求概率 ( | ) = = 3 = 12 7
3
3 ( ) ( ) 13 = 52.
21
17．（15 分）（23-24 高二下·宁夏银川·阶段练习）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随
机抽取该流水线上的 20 件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），如表．
质量（克） (490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]
个数 3 4 7 5 1
(1)从抽取的 20 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505 克的产品数量，求 X 的分布列：
(2)从该流水线上任取 5 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的期望与方差．
【解题思路】（1）运用超几何分布可得分布列；
（2）根据二项分布期望，方差公式即得.
【解答过程】（1）重量超过 505 的产品数量为 6 件，则重量未超过 505 克的产品数量为 14 件，
X 的取值可能为 0，1，2，X 服从超几何分布，
2 1 1 2
( = 0) = C14 91C2 = 190， ( = 1) =
C14C6 84 42 C6 15
20 C2
=
20 190
= 95， ( = 2) = C2 =20 190，
故 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 91 42 15
190 95 190
（2）由质量超过 505 克的产品的频率为0.3，
故可估计从该流水线上任取 1 件产品质量超过 505 克的产品的概率为0.3，
从流水线上任取 5 件产品互不影响，该问题可看成 5 次独立重复试验，
即 ~ (5,0.3)，则 ( ) = 5 × 0.3 = 1.5， ( ) = 5 × 0.3 × (1 0.3) = 1.05．
18．（17 分）（23-24 高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成
为许多人的一种生活习惯，每年 4 月 23 日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，
从高一年级全部 1000 名学生中随机抽取 100 名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，
得到样本的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间 服从正态分布 ( , 2)，其中 可以近似为 100 名学
生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示）， 2 = 3.82．
(1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于 6.8 小时的人数（四舍五入取整）；
(2)若从高一全体学生中随机抽取 5 名学生进行座谈，设选出的 5 人中每周阅读时间在 10.6 小时以上的学生
人数为 Y，求随机变量 Y 的分布列，数学期望与方差．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( , + ) ≈ 0.6827， ( 2 , + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 , + 3 ) ≈ 0.9973．
【解题思路】（1）利用正态分布相关知识即可求解；
（2）因为 ~ (10.6,3.82)，所以每周阅读时间在 10.6 小时以上的概率为 ( > 10.6) = 1 12，可得 ~ (5,2)，
然后求出对应的概率即可得解．
【解答过程】（1）样本中 100 名学生每周阅读时间的均值为：
2 × 0.1 + 6 × 0.2 + 10 × 0.3 + 14 × 0.25 + 18 × 0.15 = 10.6，
即 = 10.6，又 = 3.8，所以 ~ (10.6,3.82)，
1
所以 ( ≤ 6.8) = ( ≤ ) = 2 × (1 0.6827) = 0.15865，
所以全年级学生中每周阅读时间不高于 6.8 小时的人数大约为：0.15865 × 1000 ≈ 159（人）
（2）因为 ~ 2 10.6 = 1(10.6,3.8 )，所以每周阅读时间在 小时以上的概率为 ( > 10.6) 2，可得 ~ 5,
1
，
2
5 1 5 5 5 5故 ( = 0) = C0 1 = = C1 15 = 2 32， ( = 1) 5 2 32， ( = 2) = C
2 1
5 =2 16，
5
5
5 5 5 1
( = 3) = C3 1 4 15 = 16， 2 ( = 4) = C5 = 32 32， ( = 5) = C
5 1
5 =2 32，
随机变量 Y 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
1 5 5 5 5 1
32 32 16 16 32 32
故 ( ) = 5 ×
1 = 52 2，
1 1 5
( ) = 5 × 2 × 2 = 4．
19．（17 分）（2024 高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件
除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 X 分别为 0 元，20 万元，40 万元，且 ( = 20) = 0.3，期
望 ( ) = 30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 Y 分别为 10 万元，20 万元，30 万元，其概率依次为
0.3,0.4,0.3．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差 ( )；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
【解题思路】（1）设出 = 0, = 40的概率，依题列出方程组求解即得 的分布列，算出方差；
（2）依题列出 Y 的分布列，算出期望与方差，再与 的期望与方差比较即得.
【解答过程】（1）设 ( = 0) = ， ( = 40) = ，
依题意得 + + 0.3 = 1①，又 ( ) = 0 × + 20 × 0.3 + 40 = 30②，
由①②解得： = 0.1， = 0.6．
∴X 的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则 ( ) = (0 30)2 × 0.1 + (20 30)2 × 0.3 + (40 30)2 × 0.6 = 180．
（2）由题得 Y 的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则 ( ) = 10 × 0.3 + 20 × 0.4 + 30 × 0.3 = 20，
( ) = (10 20)2 × 0.3 + (20 20)2 × 0.4 + (30 20)2 × 0.3 = 60．
由 ( ) > ( )可知采用平台广告投放期望收益较大，又 ( ) > ( )，说明平台广告投放的风险较高．
综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告．第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（提高篇）
【人教 A 版 2019】
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 19 题，单选 8 题，多选 3 题，填空 3 题，解答 5 题，满分 150 分，限时 120 分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（23-24 高二下·河南商丘·期中）已知事件 ， ，若 ，且 ( ) = 0.4， ( ) = 0.7，则下列
结论正确的是（ ）
A． ( ) = 0.28 B． ( | ) = 0.4
C． | = 0.5 D． ( | ) =
4
7

2．（5 分）（23-24 高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2),
( = 0,1,2)，其中 a 是常数，则下列说法不正确的是（ ）
A 4． ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1 B． = 3
C 8 4． (0 ≤ < 2) = 9 D． ( ≥ 1) = 9
3．（5 分）（23-24 高二下·四川乐山·期末）某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似
服从正态分布 ~ ( , 2)（其中 和 分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以
上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是（ ）名．
附：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( < ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 < ≤ + 2 )
≈ 0.9545， ( 3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9937．
A．456 B．1587 C．3174 D．8413
4．（5 分）（23-24 高二下·陕西渭南·阶段练习）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要
选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享
1 1 1 1 1 1
单车的概率分别为3，3，3，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为4，5，6，结果这一天他迟
到了，在此条件下，他坐公交车去上班的概率为（　　）
A 12 B 15 3 4．37 ．37 C．5 D．7
5．（5 分）（23-24 高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3
次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到 3 次为止．设学生一次发球成功的概率为 ( ≠ 0)，发球次
数为 ，若 的数学期望 ( ) > 1.75，则 的取值可能是（ ）
A 1 B 7 5．2 ．12 C．12 D
3
．4
6．（5 分）（23-24 高二下·江苏泰州·期末）已知 20 条试题中有 8 条选择题，甲无放回地依次从中抽取 5
条题，乙有放回地依次从中抽取 5 条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的 5 条题中选择题的条数分别
为 1, 2， 1, 2的期望分别为 ( 1), ( 2)，方差分别为 ( 1), ( 2)，则（ ）
A． ( 1) = ( 2), ( 1) < ( 2) B． ( 1) = ( 2), ( 1) > ( 2)
C． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) > ( 2)
7．（5 分）（23-24 高二下·江苏常州·阶段练习）设随机变量 ( , )，记 = C (1 ) ，
= 0,1,2, , ，下列说法正确的是（ ）
A．当 k 由 0 增大到 n 时， 先增后减，当且仅当 k 取某一个正整数时达到最大
B．如果( + 1) 为正整数，当且仅当 = ( + 1) 时， 取最大值
C．如果( + 1) 为非整数，当且仅当 k 取( + 1) 的整数部分时， 取最大值
D． ( ) = (1 )
8．（5 分）（2025 高三下·浙江绍兴·学业考试）一个袋中有 m 个红球，n 个白球，p 个黑球
（1 ≤ < ≤ 5， ≥ 4），从中任取 1 个球（每球取到的机会均等），设 1表示取出的红球个数， 2表示
取出的白球个数，则
A． ( 1) > ( 2), ( 1) > ( 2) B． ( 1) > ( 2), ( 1) < ( 2)
C． ( 1) < ( 2), ( 1) > ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2)
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·山西临汾·期中）单个水果的质量 Y（单位:克）服从正态分布 (15, 2)，且 ( > 17)
= ，规定单个水果的质量与 15 克的误差不超过 2 克即是优质品.现从这批水果中随机抽取 n 个，其中优质
品的个数为 X，下列结论正确的是（ ）.
A．若 = 12，则 ( )的最大值为 3
B 1．若 = 11, = 8，当 ( = )取最大值时， = 9

1 2C 1．当 = 4，n 为偶数时， ( = 2 ) = =0 2
D．若 = 16， ( ≥ 2) ≥ 0.9，则 n 的最小值为 6
10．（6 分）（23-24 高二下·河北·阶段练习）某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参
与者均有机会获得奖品.学校设置了 3 个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中
红色箱子放有 2 个红球，2 个黄球，2 个绿球，黄色箱子放有 2 个黄球，1 个绿球，绿色箱子放有 1 个黄球，
2 个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取 1 个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的
箱子中随机抽取 1 个小球，如此重复，抽取 3 个小球，抽奖结束.若抽取的 3 个小球颜色全不相同为一等奖，
3 个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A 1．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为6
B 9．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为16
C 81．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为202
D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大
11．（6 分）（23-24 高二下·浙江嘉兴·期末）2024 年 6 月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，
其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得 6 分，有选错的得 0
分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得 3 分；若某小题正确选项为三
个，漏选一个正确选项得 4 分，漏选两个正确选项得 2 分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，
在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择 1 个选项，乙同学
在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择 2 个选项，甲、乙两位同学的得分分别记为 和 ，
则（ ）
A． ( = 0) > ( = 0) B． ( = 6) > ( = 6)
C． ( ) > ( ) D． ( ) > ( )
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高二下·山东临沂·期末）某校举行乒乓球比赛，决赛采用 5 局 3 胜制，甲、乙两名同
2
学争夺冠亚军，如果每局比赛甲获胜的概率为3，那么在甲获胜的条件下，第 1 局甲输的概率为 ．
13．（5 分）（23-24 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任
意摸出 2 7个球，至少得到一个白球的概率是9.现从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 ，则 (2 1)
= .
14．（5 分）（23-24 高二下·天津·期中）下列说法正确的有 ．
①已知随机变量 1， ，满足 + 2 = 4，且 服从正态分布 (3,1)，则 ( ) = 2
②已知随机变量 服从正态分布 (4,1)，且 ( ≥ 5) = 0.1587，则 (3 < < 5) = 0.6826
③ 1 80已知随机变量 服从二项分布 5, ，则 ( = 3) =
3 243
④已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 0) = 0.6， ( = 1) = 0.4，令 = 3 2，则 ( = 2) = 0.6
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（23-24 高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其
2
中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是5，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭
2 3
的概率为3，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为4．
(1)求小张第二天中午吃米饭的概率；
(2)记小张前两天中午吃面食的次数为 X，求 X 的分布列．
16．（15 分）（23-24 高二下·湖南邵阳·期中）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在 A，B
两个信封中，A 信封中有 6 道选择题和 3 道论述题，B 信封中有 3 道选择题和 2 道论述题.参赛选手先在任
一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封.
(1)若同学甲从 B 信封中抽取了 2 题，求第 2 题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从 A 信封中抽取了 2 题，答题结束后误将题目放回了 B 信封，接着同学丙从 B 信封中抽取题目
作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从 A 信封中取出的是 2 个论述题的概率.
17．（15 分）（23-24 高二下·宁夏银川·阶段练习）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随
机抽取该流水线上的 20 件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），如表．
质量（克） (490,495] (495,500] (500,505] (505,510] (510,515]
个数 3 4 7 5 1
(1)从抽取的 20 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505 克的产品数量，求 X 的分布列：
(2)从该流水线上任取 5 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的期望与方差．
18．（17 分）（23-24 高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成
为许多人的一种生活习惯，每年 4 月 23 日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，
从高一年级全部 1000 名学生中随机抽取 100 名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，
得到样本的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间 服从正态分布 ( , 2)，其中 可以近似为 100 名学
生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示）， 2 = 3.82．
(1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于 6.8 小时的人数（四舍五入取整）；
(2)若从高一全体学生中随机抽取 5 名学生进行座谈，设选出的 5 人中每周阅读时间在 10.6 小时以上的学生
人数为 Y，求随机变量 Y 的分布列，数学期望与方差．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( , + ) ≈ 0.6827， ( 2 , + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 , + 3 ) ≈ 0.9973．
19．（17 分）（2024 高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件
除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 X 分别为 0 元，20 万元，40 万元，且 ( = 20) = 0.3，期
望 ( ) = 30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 Y 分别为 10 万元，20 万元，30 万元，其概率依次为
0.3,0.4,0.3．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差 ( )；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．

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