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专题 7.1 条件概率与全概率公式【六大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 条件概率的计算】 ....................................................................................................................................1
【题型 2 条件概率性质的应用】 ............................................................................................................................2
【题型 3 利用全概率公式求概率】 ........................................................................................................................3
【题型 4 利用贝叶斯公式求概率】 ........................................................................................................................4
【题型 5 条件概率与全概率公式的综合应用】 ....................................................................................................4
【题型 6 条件概率与其他知识综合】 ....................................................................................................................6
【知识点 1 条件概率】
1．条件概率
(1)条件概率的定义
一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)= 为事件 A 发生的条件下，事件
B 发生的条件概率，简称条件概率.
(2)性质
设 P(A)>0，Ω 为样本空间，则
①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
③设 和 B 互为对立事件，则 P( )=1-P(B|A).
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件 A 与 B，若 P(A)>0，则 P(AB)=P(A)·P(B|A).
3．求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)= .
(2)样本点法：P(B|A)= .
【题型 1 条件概率的计算】
【例 1】（24-25 高二上·广西桂林·阶段练习）某医学院校计划从 5 名男生和 3 名女生中选派 2 人参加义诊
活动，则在派出的 2 人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（ ）
A 3 4 3 2．4 B．5 C．5 D．5
【变式 1-1】（23-24 高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已
知甲、乙中靶的概率分别为 0.5 和 0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率
为（ ）
A 3 1．8 B．4 C
3
．7 D
2
．7
【变式 1-2】（23-24 高二下·湖南·期中）已知事件 发生的概率为 0.4，事件 发生的概率为 0.5，若在事件
发生的条件下，事件 发生的概率为 0.6，则在事件 发生的条件下，事件 发生的概率为（ ）
A．0.85 B．0.8 C．0.75 D．0.7
【变式 1-3】（23-24 高二下·河北承德·期末）投掷 3 枚质地均匀的骰子，设事件 = “这 3 枚骰子朝上的点
数之和为奇数”，事件 = “恰有 1 枚骰子朝上的点数为奇数”，则 ( | ) = （ ）
A 1 B 3 1 3．2 ．4 C．4 D．8
【题型 2 条件概率性质的应用】
3 1
【例 2】（23-24 高二下·山东青岛·期中）已知事件 , ，若 ( | ) = 4， ( ) = 3，则 ( ) = （ ）
A 1 1 2 3．4 B．2 C．3 D．4
【变式 2-1】（23-24 高二下·安徽马鞍山·期末）假设 A，B 是两个事件，且 ( ) > 0， ( ) > 0，则下列结
论一定正确的是（ ）
A． ( | ) ( ) = ( ) B． ( ∣ ) = ( | )
C． ( | ) ≤ ( ) ( ) D． ( | ) ≤ ( )
【变式 2-2】（24-25 高二下·全国·课后作业）已知 ( | ) = 0.6, ( | ) = 0.3，且 , 相互独立，则 ( ) =
（ ）
A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解
【变式 2-3】（24-25 高二下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
( )
A． ( | ) < ( ) B． ( | ) = ( )是可能的
C．0 < ( | ) < 1 D． ( | ) = 0
【知识点 2 全概率公式】
1．全概率公式及应用
(1)全概率公式
一般地，设 是一组两两互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ，
n，则对任意的事件 ，有 P(B)= .我们称此公式为全概率公式.
(2)全概率公式的意义
全概率公式的意义在于，当直接计算事件 B 发生的概率 P(B)较为困难时，可以先找到样本空间 Ω 的一
个划分 Ω= ， 两两互斥，将 看成是导致 B 发生的一组原
因，这样事件 B 就被分解成了 n 个部分，分别计算 P( )，P( )， ，P( )，再利用全概率公式求
解.
2．贝叶斯公式
设 是一组两两互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ，n，则对
任意的事件 ，P(B)>0，有 .
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件
如下：
(1)A 的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即 P(Ai)已知；
(2)事件 B 是已经发生的确定事实，且 A 的每种情况发生的条件下 B 发生的概率已知，即 P( )已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；
(4)求解的目标是用 A 的某种情况 Ai的无条件概率求其在 B 发生的条件下的有条件概率 P( ).
3．利用全概率公式的解题思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件 Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求 P(Ai)和所求事件 B 在各个互斥事件 Ai发生条件下的概率 P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算.
【题型 3 利用全概率公式求概率】
【例 3】（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）已知一道解答题共有两小问，第一问 5 分，第二问 8 分，现
每 10 个人有 6 个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为 0.1，第一问
解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为 0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46
【变式 3-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）某人参加抽奖游戏，现有三叠外形、大小、图案均相同的卡片，
分别有 10 张、15 张、20 张，若每叠中有 2 张中奖卡片，则随机选择一叠卡片抽取，中奖的概率是（ ）
A 1 B 7 C 13 1．9 ．90 ．90 D．6
【变式 3-2】（23-24 高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有 20 名运动员，其中一级运动员 4
人，二级运动员 6 人，三级运动员 10 人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级
的概率分别为 0.9，0.6，0.2，则这 20 名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62
【变式 3-3】（24-25 高二下·全国·课后作业）无人酒店是利用人工智能与物联网技术，为客人提供自助入住
等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感．去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择，某游客去
该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率
为 0.8，如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为 0.6，则该游客第二天入住无人酒店
的概率为（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
【题型 4 利用贝叶斯公式求概率】
【例 4】（23-24 高二下·广东广州·期末）有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 5%，
第 2，3 台加工的次品率均为 3%，加工出来的零件混放在一起. 已知第 1，2，3 台车床加工的零件数分别
占总数的20%，30%，50%. 如果取到的零件是次品，则它是第 3 台车床加工的概率是（ ）
A 17 15．50 B．34 C
9 5
．34 D．17
【变式 4-1】（24-25 高三上·江苏扬州·期末）某工厂有 , 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别
是98%和99%，已知某批产品的60%和40%分别是 , 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发
现不合格，则该产品是由 A 车间生产的概率为（ ）
A 3 4 3 1．4 B．7 C．7 D．2
【变式 4-2】（2024·陕西宝鸡·三模）托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一
( | ) ( )
个公式： ( | ) = ( | ) ( )+ ( | ) ( )．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所
有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可
能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测
结果为阳性的全概率为 0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的
概率（ ）
A．0.1% B．8% C．9% D．99%
【变式 4-3】（23-24 高二下·江苏扬州·阶段练习）假设甲袋中有 3 个白球和 3 个红球，乙袋中有 2 个白球和
2 个红球．现从甲袋中任取 2 个球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 个球．已知从乙袋中取出的是 2 个红球，则
从甲袋中取出的也是 2 个红球的概率为（ ）
A 5 B 16 C 3 D 3．13 ．75 ．8 ．5
【题型 5 条件概率与全概率公式的综合应用】
【例 5】（23-24 高二下·山东临沂·期中）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数
据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场
率与出场时比赛获胜率如下表所示.
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.2 0.3 0.3 0.2
比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率；
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率.
【变式 5-1】（23-24 高二下·江苏徐州·期中）设甲袋中有 4 个白球和 2 个红球，乙袋中有 2 个白球和 2 个红
球．
(1)现从甲袋中任取 2 个球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 个球．求从乙袋中取出的是 2 个红球的概率；
(2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取 2 个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球
是白球的概率．
【变式 5-2】（23-24 高二下·河南信阳·期末）两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率 3%，第二批占
60%，次品率为 .将两批产品混合，从混合产品中任取 1 件是合格品的概率为 97.6%.
(1)求 ；
(2)已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率.
【变式 5-3】（23-24 高二下·江苏常州·期中）甲袋中有 3 个白球和 2 个红球，乙袋中有 2 个白球和 3 个红球.
先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取 2 个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；
(2)求第一次取出的是白球的概率；
(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；
【题型 6 条件概率与其他知识综合】
【例 6】（23-24 高三下·上海·开学考试）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为 4.8，4.9，
5.0，5.1．视力 5.0 为正常视力．否则就是近视．某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查，随机抽
查了 100 名近视学生的成绩（按照各科占一定权重计算而得的满分 100 分的综合成绩），得到频率分布直
方图如下：
(1)估计该校近视学生学习成绩的第 85 百分位数；（精确到 0.1）
(2)已知该校学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩 ≥ 85分视作优秀），从该校学生中任选
一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）
【变式 6-1】（23-24 高二下·安徽蚌埠·阶段练习）将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为
1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为 x，第二次出现的点数为 y，
(1)记事件 A 为“ + ≤ 5”，求 ( )；
(2)记事件 B 为“| | = 3”，求 ( | ).
【变式 6-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为 4.8，4.9，
5.0，5.1．视力 ≥ 5.0为正常视力．否则就是近视．某地区对学生视力与学习成绩进行调查，随机抽查了 100
名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：
(1)能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；（不需说明理由）
(2)估计该地区近视学生学习成绩的第 85 百分位数；（精确到 0.1）
(3)已知该地区学生的近视率为 54%，学生成绩的优秀率为 36%（成绩 ≥ 85分为优秀），从该地区学生中任
选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）
【变式 6-3】（23-24 高二下·江苏南京·期中）某学校高二 1 班有五名学生报名参加社团活动，社团活动共有
“记者在线”、“机器人行动”、“音乐之声”三个项目，每人都要报名且限报其中一项．
(1)求“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
(2)已知其中一项目恰只有三名学生报名，求只有甲同学一人报“记者在线”的概率.专题 7.1 条件概率与全概率公式【六大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 条件概率的计算】 ....................................................................................................................................1
【题型 2 条件概率性质的应用】 ............................................................................................................................3
【题型 3 利用全概率公式求概率】 ........................................................................................................................5
【题型 4 利用贝叶斯公式求概率】 ........................................................................................................................7
【题型 5 条件概率与全概率公式的综合应用】 ....................................................................................................9
【题型 6 条件概率与其他知识综合】 ..................................................................................................................11
【知识点 1 条件概率】
1．条件概率
(1)条件概率的定义
一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)= 为事件 A 发生的条件下，事件
B 发生的条件概率，简称条件概率.
(2)性质
设 P(A)>0，Ω 为样本空间，则
①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
③设 和 B 互为对立事件，则 P( )=1-P(B|A).
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件 A 与 B，若 P(A)>0，则 P(AB)=P(A)·P(B|A).
3．求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)= .
(2)样本点法：P(B|A)= .
【题型 1 条件概率的计算】
【例 1】（24-25 高二上·广西桂林·阶段练习）某医学院校计划从 5 名男生和 3 名女生中选派 2 人参加义诊
活动，则在派出的 2 人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（ ）
A 3 4 3 2．4 B．5 C．5 D．5
【解题思路】运用条件概率公式，结合古典概型，组合和组合数公式计算即可.
【解答过程】记“派出的 2 人中有男生”为事件 A，“另一人恰好是女生”为事件 .
( ) ( ) 1 1
则 C C 3( | ) = 5 3 ( ) = ( ) = C25+C1 1 = .5C3 5
故选：C.
【变式 1-1】（23-24 高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已
知甲、乙中靶的概率分别为 0.5 和 0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率
为（ ）
A 3 B 1 C 3 D 2．8 ．4 ．7 ．7
【解题思路】利用条件概率公式进行求解即可.
【解答过程】设事件 :甲中靶，事件 :乙中靶，事件 :弓箭靶被射中，
则 ( ) = 0.5, ( ) = 0.4,
所以 ( ) = 1 = 1 (1 0.5)(1 0.4) = 0.7，
= ( ) = (1 0.5) × 0.4 = 0.2，
= 0.2 2即 | 0.7 = 7，
故选：D.
【变式 1-2】（23-24 高二下·湖南·期中）已知事件 发生的概率为 0.4，事件 发生的概率为 0.5，若在事件
发生的条件下，事件 发生的概率为 0.6，则在事件 发生的条件下，事件 发生的概率为（ ）
A．0.85 B．0.8 C．0.75 D．0.7
【解题思路】根据条件概率公式计算即可.
( ) ( )
【解答过程】因为 ( ) = 0.4, ( ) = 0.5, ( | ) = ( ) = 0.5 = 0.6,
所以 ( ) = 0.3,
( )
= = 0.3所以 ( | ) ( ) 0.4 = 0.75.
故选：C.
【变式 1-3】（23-24 高二下·河北承德·期末）投掷 3 枚质地均匀的骰子，设事件 = “这 3 枚骰子朝上的点
数之和为奇数”，事件 = “恰有 1 枚骰子朝上的点数为奇数”，则 ( | ) = （ ）
A 1 3 1 3．2 B．4 C．4 D．8
【解题思路】求出 ( )、 ( )，由条件概率公式计算可得答案.
【解答过程】因为每枚骰子朝上的点数有奇数 1，3，5 三个，偶数有 2，4，6 三个，
所以 3 枚骰子朝上的点数之和为奇数的情况有奇数+奇数+奇数，偶数+偶数+奇数，
= C
1
3C13C1 13+3C3C1C1共两种情况，可得 ( ) 3 3
1
C1C1C1 =6 6 6 2，
恰有 1 枚骰子朝上的点数为奇数的情况有偶数+偶数+奇数，
3C1C1 = 3 3C
1 3
可得 ( ) 3C1C1C1 = ，6 6 6 8
( ) 3
则 3( | ) = 8 ( ) = 1 = 4.
2
故选：B.
【题型 2 条件概率性质的应用】
3 1
【例 2】（23-24 高二下·山东青岛·期中）已知事件 , ，若 ( | ) = 4， ( ) = 3，则 ( ) = （ ）
A 1 1 2 3．4 B．2 C．3 D．4
【解题思路】利用条件概率公式求解即可．
1 3 1
【解答过程】由题可知， ( ) = ( ) ( | ) = 3 × 4 = 4，
故选：A．
【变式 2-1】（23-24 高二下·安徽马鞍山·期末）假设 A，B 是两个事件，且 ( ) > 0， ( ) > 0，则下列结
论一定正确的是（ ）
A． ( | ) ( ) = ( ) B． ( ∣ ) = ( | )
C． ( | ) ≤ ( ) ( ) D． ( | ) ≤ ( )
【解题思路】根据概率的性质以及条件概率公式即可判断 ABC；举例判断 D.
( )
【解答过程】对于 A，由于 ( | ) = ( ) ，则 ( | ) ( ) = ( )，A 正确；
( ) ( )
对于 B，由于 ( | ) = ( ) ， ( | ) = ( ) ，而 ( )， ( )不一定相等，故 ( ∣ ) = ( | )不一定成立，B
错误；
( ) ( ) ( )
对于 C，当 , 相互独立时， ( | ) = ( ) = ( ) = ( )，而0 < ( ) ≤ 1，则 ( | ) ≥ ( ) ( )，C
错误；
对于 D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设 A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于 4，
1 1 1 ( ) 2
则 ( ) = 2, ( ) = 2, ( ) = 3， ( | ) = ( ) = 3，则 ( | ) > ( )，D 错误，
故选：A.
【变式 2-2】（24-25 高二下·全国·课后作业）已知 ( | ) = 0.6, ( | ) = 0.3，且 , 相互独立，则 ( ) =
（ ）
A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解
【解题思路】根据相互独立事件的定义可得.
【解答过程】 ∵ , 相互独立， ∴ ( | ) = ( ) = 0.6, ( | ) = ( ) = 0.3，
∴ ( ) = ( ) ( ) = 0.6 × 0.3 = 0.18．
故选：A.
【变式 2-3】（24-25 高二下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
( )
A． ( | ) < ( ) B． ( | ) = ( )是可能的
C．0 < ( | ) < 1 D． ( | ) = 0
【解题思路】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误.
( )
【解答过程】由 ( | ) = ( ) ，当0 < ( ) < 1，则 ( | ) > ( )，A 错误；
当 A 或 B 为不可能事件时， ( | ) = 0，C 错误；
( )
B：要使 ( | ) = ( )，即 ( ) = ( )，当 恰好为 A 的子事件成立，正确；
( )
D：由 ( | ) = ( ) = 1，故错误.
故选：B.
【知识点 2 全概率公式】
1．全概率公式及应用
(1)全概率公式
一般地，设 是一组两两互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ，
n，则对任意的事件 ，有 P(B)= .我们称此公式为全概率公式.
(2)全概率公式的意义
全概率公式的意义在于，当直接计算事件 B 发生的概率 P(B)较为困难时，可以先找到样本空间 Ω 的一
个划分 Ω= ， 两两互斥，将 看成是导致 B 发生的一组原
因，这样事件 B 就被分解成了 n 个部分，分别计算 P( )，P( )， ，P( )，再利用全概率公式求
解.
2．贝叶斯公式
设 是一组两两互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ，n，则对
任意的事件 ，P(B)>0，有 .
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件
如下：
(1)A 的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即 P(Ai)已知；
(2)事件 B 是已经发生的确定事实，且 A 的每种情况发生的条件下 B 发生的概率已知，即 P( )已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；
(4)求解的目标是用 A 的某种情况 Ai的无条件概率求其在 B 发生的条件下的有条件概率 P( ).
3．利用全概率公式的解题思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件 Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求 P(Ai)和所求事件 B 在各个互斥事件 Ai发生条件下的概率 P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算.
【题型 3 利用全概率公式求概率】
【例 3】（24-25 高三上·四川德阳·阶段练习）已知一道解答题共有两小问，第一问 5 分，第二问 8 分，现
每 10 个人有 6 个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为 0.1，第一问
解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为 0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46
【解题思路】设相应事件，由题意可得 ( ), | , | ，根据对立事件求出所需事件的概率，依据全概
率公式求解.
【解答过程】设“解出第一问”为事件 ，“解出第二问”为事件 ，
由题意可得： 6( ) = 10 = 0.6, | = 0.1, | = 0.7，
则 = 0.4, ( | ) = 0.3，
所以 ( ) = ( ) ( | ) = 0.18，
= | = 0.04，
所以 ( ) = ( ) + = 0.22.
故选：C.
【变式 3-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）某人参加抽奖游戏，现有三叠外形、大小、图案均相同的卡片，
分别有 10 张、15 张、20 张，若每叠中有 2 张中奖卡片，则随机选择一叠卡片抽取，中奖的概率是（ ）
A 1 7 13 1．9 B．90 C．90 D．6
【解题思路】记事件 = {在第 叠卡片中抽奖， = 1,2,3}，事件 = {中奖}，根据全概率公式即可求解.
【解答过程】记事件 = {在第 叠卡片中抽奖， = 1,2,3}，事件 = {中奖}，
2 1 2 2
则 ( | 1) = 10 = 5, ( | 2) = 15， ( | 3) = 20 =
1
10．
由全概率公式可得 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) + ( 3) ( | 3)
= 1 × 1 + 1 × 2 + 1 × 1 = 133 5 3 15 3 10 90．
故选:C.
【变式 3-2】（23-24 高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有 20 名运动员，其中一级运动员 4
人，二级运动员 6 人，三级运动员 10 人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级
的概率分别为 0.9，0.6，0.2，则这 20 名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（ ）
A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62
【解题思路】由全概率公式即可求解.
【解答过程】设事件 B 为“选出的运动员能晋级”，
1为“选出的运动员是一级运动员”，
2为“选出的运动员是二级运动员”，
3为“选出的运动员是三级运动员”，
则 ( | 1) = 0.9， ( | 2) = 0.6， ( | 3) = 0.2，
= 4 = 1 = 6 = 3 = 10 1又根据题意可得 ( 1) 20 5， ( 2) 20 10， ( 3) 20 = 2，
∴ 由全概率公式可得：
= 4 6 10( ) ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) + ( 3) ( | 3) = 20 × 0.9 + 20 × 0.6 + 20 × 0.2 = 0.46，
∴ 任选一名运动员能够晋级的概率为 0.46.
故选：B.
【变式 3-3】（24-25 高二下·全国·课后作业）无人酒店是利用人工智能与物联网技术，为客人提供自助入住
等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感．去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择，某游客去
该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率
为 0.8，如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为 0.6，则该游客第二天入住无人酒店
的概率为（ ）
A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5
【解题思路】由题意记事件 1 = {第一天入住无人酒店}， 2 = {第二天入住无人酒店}， 1 = {第一天入住常
规酒店}，得到 ( 2| 1)和 ( 2| 1)，再由全概率公式求解即可；
【解答过程】记事件 1 = {第一天入住无人酒店}， 2 = {第二天入住无人酒店}， 1 = {第一天入住常规酒店
}，
根据题意可知 ( 1) = ( 1) = 0.5, ( 2| 1) = 0.8， ( 2| 1) = 0.6，
则由全概率公式可得 ( 2) = ( 1) ( 2| 1) + ( 1) ( 2| 1) = 0.7．
故选：B.
【题型 4 利用贝叶斯公式求概率】
【例 4】（23-24 高二下·广东广州·期末）有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 5%，
第 2，3 台加工的次品率均为 3%，加工出来的零件混放在一起. 已知第 1，2，3 台车床加工的零件数分别
占总数的20%，30%，50%. 如果取到的零件是次品，则它是第 3 台车床加工的概率是（ ）
A 17 15 9 5．50 B．34 C．34 D．17
= 17【解题思路】根据全概率公式找出 ( ) 500，再由贝叶斯公式求解.
【解答过程】记取到“第 1，2，3 台车床加工的零件”分别为事件 1, 2, 3,
“取到次品”为事件 ，
= 1故 ( 1) 5, =
3 , = 1( 2) 10 ( 3) 2,
1 3 3( | 1) = 20, ( | 2) = 100, ( | 3) = 100,
由全概率公式可得： ( ) = ( 1) × ( | 1) + ( 2) × + × =
17
( | 2) ( 3) ( | 3) 500,
( ) ( | ) 15
由贝叶斯公式： ( 3 33| ) = ( ) = 34,
故选:B.
【变式 4-1】（24-25 高三上·江苏扬州·期末）某工厂有 , 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别
是98%和99%，已知某批产品的60%和40%分别是 , 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发
现不合格，则该产品是由 A 车间生产的概率为（ ）
A 3．4 B
4 3 1
．7 C．7 D．2
【解题思路】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【解答过程】依题意，该产品是由 A 车间生产的概率为：
0.6×(1 0.98) 0.6×0.02 3
0.6×(1 0.98)+0.4×(1 0.99) = 0.6×0.02+0.4×0.01 = 4.
故选：A.
【变式 4-2】（2024·陕西宝鸡·三模）托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一
( | ) ( )
个公式： ( | ) = ( | ) ( )+ ( | ) ( )．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所
有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可
能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测
结果为阳性的全概率为 0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的
概率（ ）
A．0.1% B．8% C．9% D．99%
【解题思路】记一个人得病为事件 A，检测结果为阳性为事件 B，得 ( | ) ( ) + ( | ) (
( | ) ( )
) = 0.01098，从而计算 ( | ) = ( | ) ( )+ ( | ) ( )求出得到答案.
【解答过程】记一个人得病为事件 A，检测结果为阳性为事件 B，
则 ( ) = 0.1％， ( | ) = 99％， ( | ) ( ) + ( | ) ( ) = 0.01098，
( | ) ( )
( | ) = 99％×0.1％所以 ( | ) ( )+ ( | ) ( ) = ≈ 90.01098 ％，
所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%，
故选：C．
【变式 4-3】（23-24 高二下·江苏扬州·阶段练习）假设甲袋中有 3 个白球和 3 个红球，乙袋中有 2 个白球和
2 个红球．现从甲袋中任取 2 个球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 个球．已知从乙袋中取出的是 2 个红球，则
从甲袋中取出的也是 2 个红球的概率为（ ）
A 5 16 3 3．13 B．75 C．8 D．5
【解题思路】利用全概率公式及贝叶斯公式计算可得.
【解答过程】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为 个的事件为 ，事件 的概率为 ( )，
从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为 ，事件 的概率为 ( )，由题意：
2 0 2 0
① C3C3 1 C( 2
C4 1
0) = C2 = 5， ( | 0) = C2 =6 6 15；
C1C1 3 C2 0② ( ) = 3 3 = ， ( | ) = 3
C3 1
1 C2 5 16 C2
= ；
6 5
0 2
③ C C 1 C
2C0 2
( 2) =
3 3
C2 = 5， ( | 2) =
4 2
C2 =6 6 5；
所以 ( ) = ( 0) ( | 0) + ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2)
1 1 3 1 1 2 16
= 5 × 15 + 5 × 5 + 5 × 5 = 75
( ) ( ) ( | ) 1 × 2
所以 3( 2| ) =
2 2 2 5 5
( ) = ( ) = 16 = 8，
75
3
即已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为8.
故选：C.
【题型 5 条件概率与全概率公式的综合应用】
【例 5】（23-24 高二下·山东临沂·期中）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数
据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场
率与出场时比赛获胜率如下表所示.
比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒
出场率 0.2 0.3 0.3 0.2
比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7
(1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率；
(2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率.
【解题思路】（1）根据全概率公式即得出答案.
（2）根据条件概率的计算公式即可求解.
【解答过程】（1）记“甲跑第一棒”为事件 1，“甲跑第二棒”为事件 2，“甲跑第三棒”为事件 3，
“甲跑第四棒”为事件 4，“运动队获胜”为事件 .
则 ( ) = ( 1) ( | 1 ) + ( 2) ( | 2 ) + ( 3) ( | 3 ) + ( 4) ( | 4 )
= 0.2 × 0.6 + 0.3 × 0.8 + 0.3 × 0.7 + 0.2 × 0.7 = 0.71.
( 4 ) ( 4) ( | )2 4 0.2×0.7 14（ ） ( 4| ) = ( ) = ( ) = 0.71 = 71.
【变式 5-1】（23-24 高二下·江苏徐州·期中）设甲袋中有 4 个白球和 2 个红球，乙袋中有 2 个白球和 2 个红
球．
(1)现从甲袋中任取 2 个球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 个球．求从乙袋中取出的是 2 个红球的概率；
(2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取 2 个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球
是白球的概率．
【解题思路】（1）运用互斥事件的定义，结合全概率公式进行求解即可；
（2）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可.
【解答过程】（1）记事件 1：从甲袋中取出 2 个红球， 2：从甲袋中取出 2 个白球， 3：从甲袋中取出 1
个白球和 1 个红球，B：从乙袋中取出 2 个红球．
显然， 1， 2， 3两两互斥，且 1 + 2 + 3正好为“从甲袋中任取 2 个球”的样本空间Ω．
由全概率公式，得 ( ) = ( 1) ( | 1 ) + ( 2) ( | 2 ) + ( 3) ( | 3 )
2
= C2 C
2 C1C1 C2 C2 C24 + 4 2 3 4 2 4C2 C2 C2 C2 + C2 C2 =6 6 6 6 6 6 25．
2 4答：从乙袋中取出的是 个红球的概率为25．
（2）设“取出的是甲袋”为事件 1，“取出的是乙袋”为事件 2，“第一次取出的球是红球”为事件 B，“第二次
1
取出的球是白球”为事件 C，则 ( 1) = ( 2) = 2，
2×4 4 2×2( | 1 ) = 6×5 = 15， ( | 2 ) = 4×3 =
1
3，
故 ( ) = ( 1)
1 4 1 1 3
( | 1 ) + ( 2) ( | 2 ) = 2 × 15 + 2 × 3 = 10，
1 1 1 1 5
( ) = ( 1) ( | 1 ) + ( 2) ( | 2 ) = 2 × 3 + 2 × 2 = 12
( ) 3
所以 ( | ) = ( ) =
10 18
5 = 25
12
18
答：第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为25．
【变式 5-2】（23-24 高二下·河南信阳·期末）两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率 3%，第二批占
60%，次品率为 .将两批产品混合，从混合产品中任取 1 件是合格品的概率为 97.6%.
(1)求 ；
(2)已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率.
【解题思路】（1）设出事件，利用全概率公式列出方程，求出 = 0.02；
（2）利用条件概率求出答案.
【解答过程】（1）记事件 A：任取一件产品是次品，记事件 ：第 批的产品， = 1.2.
则 ( | 1 ) = 3%， ( | 2 ) = ， ( 1) = 0.40， ( 2) = 0.60，
由 ( ) = ( 1) + ( 2) = 0.4 × 0.03 + 0.6 × = 1 0.976，解得 = 0.02.
( ) ( | ) ( )
（2 0.6×0.02 1） ( 2| ) =
2 2 2
( ) = ( ) = 1 0.976 = 2.
1
已知取到的是次品，则它取自第二批产品的概率2.
【变式 5-3】（23-24 高二下·江苏常州·期中）甲袋中有 3 个白球和 2 个红球，乙袋中有 2 个白球和 3 个红球.
先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取 2 个球.
(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；
(2)求第一次取出的是白球的概率；
(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；
【解题思路】
(1)合理设出事件，利用条件公式进行求解；
(2) 利用全概率公式进行求解；
(3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解；
【解答过程】（1）记“随机取到甲袋”为事件 1，“随机取到乙袋”为事件 2，“第一次取出的是白球”为事件
，“第二次取出的是白球”为事件 .
1 A2 3( 1 ) = ( 1) ( |
3
1 ) = 2 × A2 =5 20.
3
所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为20.
2 ( ) = + = 1 × 3 + 1 × 2 1（ ） ( 1) ( | 1 ) ( 2) ( | 2 ) 2 5 2 5 = 2
1
所以第一次取到白球的概率为2.
3 ( ) = 1 A
2 1 A2 1
（ ） ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = × 3 21 1 2 2 2 A2 + ×5 2 A2 =5 5
( ) 1
所以 ( ) = 5 2| ( ) = 1 = 5.
2
2
所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为5.
【题型 6 条件概率与其他知识综合】
【例 6】（23-24 高三下·上海·开学考试）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为 4.8，4.9，
5.0，5.1．视力 5.0 为正常视力．否则就是近视．某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查，随机抽
查了 100 名近视学生的成绩（按照各科占一定权重计算而得的满分 100 分的综合成绩），得到频率分布直
方图如下：
(1)估计该校近视学生学习成绩的第 85 百分位数；（精确到 0.1）
(2)已知该校学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩 ≥ 85分视作优秀），从该校学生中任选
一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）
【解题思路】（1）根据频率分布直方图，先估算出第 85 百分位数所在的组别，再运用所占比率即可算得
结果；
（2）根据频率分布直方图及条件概率可得结果.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，成绩 90 分以下所占比例为7% +13% +20% +24% = 64%，
85 90 + 0.85 0.64因此第 百分位数一定位于[90,100]内，由 0.036 ≈ 95.8，
可以估计该地区近视学生的学习成绩的第 85 百分位数约为 95.8.
（2）设 = “该地区近视学生”， = “该地区优秀学生”，
0.024
由频率分布直方图可得 ( | ) = + 0.036 × 10 = 0.48，
2
又 ( ) = 0.54, ( ) = 0.36，
( ) ( | ) ( )
= = = 0.48×0.54所以 ( | ) ( ) ( ) 0.36 = 0.72，
即若此人的成绩为优秀，则此人近视的概率为 0.72.
【变式 6-1】（23-24 高二下·安徽蚌埠·阶段练习）将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为
1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为 x，第二次出现的点数为 y，
(1)记事件 A 为“ + ≤ 5”，求 ( )；
(2)记事件 B 为“| | = 3”，求 ( | ).
【解题思路】（1）先用穷举法得到先后抛掷两次，出现点数( , )的基本事件总数，从中找出满足 + ≤ 5
的事件数，根据古典概型的概率计算公式即可得到所求的概率；
（2）求出事件 AB 包含的事件数和概率，进而可得条件概率.
【解答过程】（1）投掷骰子 2 次得到的所有结果为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),
(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共 16 种，
事件 A 包含的结果有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)共 10 种，
则 10 5( ) = 16 = 8.
（2）事件 AB 2 1包含的结果有：(1,4),(4,1)共 2 种，则 ( ) = 16 = 8，
( ) 1
( | ) = = 8
1
( ) 5 = 5.
8
【变式 6-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为 4.8，4.9，
5.0，5.1．视力 ≥ 5.0为正常视力．否则就是近视．某地区对学生视力与学习成绩进行调查，随机抽查了 100
名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：
(1)能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；（不需说明理由）
(2)估计该地区近视学生学习成绩的第 85 百分位数；（精确到 0.1）
(3)已知该地区学生的近视率为 54%，学生成绩的优秀率为 36%（成绩 ≥ 85分为优秀），从该地区学生中任
选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）
【解题思路】（1）由题干无法得出各成绩层次近视率的情况即可判断结果；
（2）先估算出第 85 百分位数所在的组别，再运用所占比率即可算得结果；
（3）明确此题为条件概率，需要求积事件 的概率，而这可以用乘法公式 ( ) = ( | ) ( )进行转化，
即可求得.
【解答过程】（1）因从题干频率分布直方图不可以看到，不同成绩层次的同学近视率的情况，故不能据此
判断学生的学习成绩与视力状况相关；
（2）由频率分布直方图可知，成绩 90 分以下所占比例为7% +13% +20% +24% = 64%，因此第 85 百分
位数一定位于[90,100] 内，
由90 + 10 × 85 64 35100 64 = 90 + 6 ≈ 95.8，可以估计该地区近视学生的学习成绩的第 85 百分位数约为95.8；
（3）设 = “该地区近视学生”， = “ 0.024该地区优秀学生”，由频率分布直方图可得 ( | ) = ( 2
+0.036) × 10 = 0.48,
( ) ( | ) ( )
( ) = 0.54, ( ) = 0.36 0.48×0.54，所以 ( | ) = ( ) = ( ) = 0.36 = 0.72.
即若此人的成绩为优秀，则此人近视的概率为 0.72.
【变式 6-3】（23-24 高二下·江苏南京·期中）某学校高二 1 班有五名学生报名参加社团活动，社团活动共有
“记者在线”、“机器人行动”、“音乐之声”三个项目，每人都要报名且限报其中一项．
(1)求“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
(2)已知其中一项目恰只有三名学生报名，求只有甲同学一人报“记者在线”的概率.
【解题思路】（1）5 名学生分三组，按人数分为 3，1，1 或 2，2，1 分类计算即可；
（2）记事件 为“其中一项目恰只有三名学生报名”，事件 为“只有甲同学一人报记者在线”，利用条件概率
公式计算即可.
【解答过程】（1）“每个项目都有人报名”，则 5 名学生分三组，即人数分为 3，1，1 或 2，2，1；
2 2
故此时报名情况有C3 3 C5C3 35A3 + A2 A3 = 150种.2
（2）记事件 为“其中一项目恰只有三名学生报名”，事件 为“只有甲同学一人报记者在线”，
事件 为“其中一项目恰只有三名学生报名”，报名情况有C3A3 + C3C2A25 3 5 3 2 = 120种，
所以 120( ) = 35 ，
若 , 同时发生，即其中一项目恰只有三名学生报名，且只有甲同学一人报“记者在线”，则有C34A22 = 8种，
8
所以 ( ) = 35，
8
( ) 1
所以 ( | ) = ( ) =
35
120 = 15.
35

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