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专题 7.3 离散型随机变量的数字特征【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 求离散型随机变量的均值】 ....................................................................................................................2
【题型 2 均值的性质】 ............................................................................................................................................4
【题型 3 由离散型随机变量的均值求参数】 ........................................................................................................6
【题型 4 求离散型随机变量的方差、标准差】 ....................................................................................................8
【题型 5 方差的性质】 ..........................................................................................................................................11
【题型 6 求两点分布的均值与方差】 ..................................................................................................................13
【题型 7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 ......................................................................................15
【题型 8 决策问题】 ..............................................................................................................................................19
【知识点 1 离散型随机变量的均值】
1．离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称 E(X)=x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn为离散型随机变量 X 的均值或数学期望，数学期望简称
期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而 E(X)是
不变的，它描述 X 取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
2．均值的性质
若离散型随机变量 X 的均值为 E(X)，Y=aX+b，其中 a,b 为常数，则 Y 也是一个离散型随机变量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特别地，当 a=0 时，E(b)=b；
当 a=1 时，E(X+b)=E(X)+b；
当 b=0 时，E(aX)=aE(X).
【题型 1 求离散型随机变量的均值】
【例 1】（23-24 高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了 AI 电商行业的快速发
展，已知 2020—2023 年中国 AI 解决方案提供商企业数量分别为 1617，2106，2329，2896，从这 4 个数字
中任取 2 1个数字，当所取两个数字差的绝对值小于 500 时，随机变量 = 2；当所取两个数字差的绝对值不
小于 500 时，随机变量 = 1，则 ( ) = （ ）
A 1 2 3．2 B．3 C．4 D
5
．6
【解题思路】先根据已知求出分布列的概率，再求出数学期望即可.
【解答过程】从这 4 个数字中任取 2 个数字，结果有 6 种，
1 1
所取两个数字差的绝对值小于 500 的结果有 2 种，故 = = 3，2
2
不小于 500 的结果有 4 种，故 ( = 1) = 3.
= 1 × 1 +1 × 2 5所以 ( ) 2 3 3 = 6.
故选：D.
【变式 1-1】（23-24 高二下·陕西宝鸡·阶段练习）若随机变量 的分布列如表，则 ( ) = （ ）
1 2 3 4
1 1 1
4 4 3
A 12． 5 B
31 19 8
．12 C．12 D．5
【解题思路】由分布列的性质求出 ，利用期望公式计算 ( ).
1 1 1 1
【解答过程】根据题意可得 = 1 4 4 3 = 6，
则 ( ) = 1 ×
1 1 1 1 31
4 +2 × 4 +3 × 6 +4 × 3 = 12.
故选：B.
【变式 1-2】（23-24 高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼
此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团.
(1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率.
(2)求同学甲选报足球社的概率.
(3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，
设报名足球社的同学人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．
【解题思路】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解，
（2）由古典概型的概率公式求解即可，
（3）根据相互独立事件概率乘法公式求解概率，即可得到分布列，由期望公式求解期望.
【解答过程】（1）先从 3 个同学中选出 2 个同学，有C23 = 3,
从 4 个社团中选 2 个，有C24 = 6种方法，因此每位同学选报社团都有 6 种方法，
1 5 5
因此恰好两个同学选报的社团一样的概率为 = 3 × 6 × 6 = 12
2 C
1 1
（ ）同学甲选报足球社的概率为 3C2 = ，4 2
3 1 2（ ）甲报足球的概率为3，不报的概率为3，
1 1
乙丙报足球的概率均为2，不报的概率为2，
故 可取0,1,2,3，
1 1 1 1 1 1( = 3) = 3 × 2 × 2 = 12, ( = 2) = 3 × 2 ×
1 × 2 + 2 × 1 × 1 11
2 3 2 2
= 3,
1 1 1 2 1 1 5 2 1 1 1
( = 1) = 3 × 1 2 × 1 2 + 3 × 2 × 1 2 × 2 = 12 , ( = 0) = 3 × 1 2 × 1 2 = 6 ,
故 的分布列为：
0 1 2 3
2 5 4 1
12 12 12 12
5 8 3 16 4
故 ( ) = 0 + 12 + 12 + 12 = 12 = 3.
【变式 1-3】（23-24 高二下·天津滨海新·期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 18，36，
9．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查．用
表示抽取的 3 人中睡眠充足的员工人数，求随机变量 的分布列与数学期望．
【解题思路】（1）根据题意，利用分层抽样的方法，即可求解；
（2）根据题意，得到变量 的可能取值为0,1,2,3，分别求得相应的概率，列出分布列，结合期望的计算公
式，即可求解.
【解答过程】（1）解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为18,36,9，
现采用分层抽样的方法，从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查，
18
则从甲部门的员工中抽取7 × 18+36+9 = 2人，
36
从乙部门的员工中抽取7 × 18+36+9 = 4人，
从丙部门的员工中抽取7 × 918+36+9 = 1人.
（2）解：若抽取的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，
现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查，用 表示抽取的 3 人中睡眠充足的员工人数，则 的可能
取值为0,1,2,3，
3 1 2
则 ( = 0) = C3 1 C4C3 12C3 = , ( = 1) = 3 = ，7 35 C7 35
( = 2) = C
2
4C1 33 18
C3 = 35, ( = 3) =
C4 4
7 C3
= ，
7 35
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 4
1 12 18 4
35 35 35 35
则数学期望为 = 0 × 1 +1 × 12( ) 35 35 +2 ×
18
35 +3 ×
4 12
35 = 7 .
【题型 2 均值的性质】
【例 2】（23-24 高二下·广东江门·期末）已知 的分布列为
1 2 3 4
1 1 1
6 6 3
设 = 2 5，则 ( ) = （ ）
A 2 B 5 19 3．3 ．6 C． 6 D．2
【解题思路】先利用分布列的性质求解参数，然后求解期望，得到结果即可.
1 1 1 1
【解答过程】由题意得6 + 6 + 3 + = 1，解得 = 3，
1
故 ( ) = 1 × 6 +2 ×
1
6 +3 ×
1 1 17
3 +4 × 3 = 6 ，而 = 2 5，
则 ( ) = 2 ( ) 5 = 2 ×
17
6 5 =
2
3，故 A 正确.
故选：A.
π
【变式 2-1】（23-24 高二下·贵州黔西·期末）已知随机变量 的概率分布列为 ( = ) = sin4 2( = 1,2)，
(1其中 是常数，则 ) = （ ）
A 2 4 8．3 B．3 C．2 D．9
【解题思路】利用分布列的性质求出 ，再利用期望的定义及性质求解即得.
π
【解答过程】由 ( = ) = sin4 2( = 1,2)，得 ( = 1) = , ( = 2) =
1
2 ，
由 ( = 1) + ( = 2) = 1，得 = 23，
于是 ( ) = 1 × ( = 1) + 2 × ( = 2) = 2 = 43，
1 3
所以 ( ) = 2 ( ) = 2.
故选：C.
【变式 2-2】（23-24 高二下·安徽·期末）从一批含有 8 件正品，2 件次品的产品中不放回地抽 3 次，每次抽
取 1 件，设抽取的次品数为 ，则 (5 + 1) = （ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
3
【解题思路】根据题意，得到变量 的取值分别为0,1,2，求得相应的概率，得到 ( ) = 5,再结合 (5 + 1)
= 5 × ( ) +1，即可求解.
【解答过程】由题意，随机变量 的取值分别为0,1,2，
8 7 6 7 2 8 7 8 2 7 8 7 2 7
可得 ( = 0) = 10 × 9 × 8 = 15； ( = 1) = 10 × 9 × 8 + 10 × 9 × 8 + 10 × 9 × 8 = 15
( = 2) = 2 1 8 2 8 1 8 2 1 110 × 9 × 8 + 10 × 9 × 8 + 10 × 9 × 8 = 15，
所以 ( ) = 0 ×
7 7 1 3 3
15 +1 × 15 +2 × 15 = 5,可得 (5 + 1) = 5 ( ) +1 = 5 × 5 +1 = 4.
故选：D.
【变式 2-3】（23-24 1高二下·广西·期末）若随机变量 服从两点分布，其中 ( = 0) = 3，则以下正确的是
（ ）
A 1 4． ( ) = 3 B． (2 + 3) = 3
C． (2 + 2) =
8
3 D
7
． (2 + 1) = 3
【解题思路】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断.
1 2
【解答过程】因为随机变量 X 服从两点分布，且 ( = 0) = 3，则 ( = 1) = 3，
= 0 × 1 2 2故 ( ) 3 +1 × 3 = 3，故 A 错误；
(2 + 3) = 2 ( ) + 3 =
13
3 ，故 B 错误；
10(2 + 2) = 2 ( ) + 2 = 3 ，故 C 错误；
7(2 + 1) = 2 ( ) + 1 = 3，故 D 正确.
故选：D.
【题型 3 由离散型随机变量的均值求参数】
【例 3】（23-24 高二下·天津滨海新·期中）已知随机变量 X 的分布列：
x 1 0 1
P 1 1 1
2 3 6
满足 = + 3, = 5( ) 3，则 a 的值为（ ）
A．4 B． 4 C．2 D． 2
1 1 1
【解题思路】根据期望的计算公式可得 ( ) = 2 +0 + 6 = 3，即可利用期望的性质求解.
= 1 1 1【解答过程】由表可得 ( ) 2 +0 + 6 = 3，
= + 3, 5 1 5又 ( ) = 3可得 ( ) = ( ) +3 = 3 + 3 = 3,解得 = 4，
故选：A.
【变式 3-1】（23-24 13高二下·山东青岛·期中）已知随机变量 的分布列如下所示，且 ( ) = 6 ，则 =
（ ）
1 2 3
1
2
A 1．8 B
1 C 1 D 1．6 ．4 ．3
【解题思路】利用分布列的性质及期望公式即可求解.
1 1
【解答过程】由分布列的性质可得， + + 2 = 1，所以 + = 2，
13
又因为 ( ) = 6 ，
1 13 2
所以 ( ) = + 2 + 3 × 2 = 6 ，即 + 2 = 3，
+ = 1 = 1
联立方程 2 ，解得 62 1 ， + 2 = =
3 3
所以 = 16.
故选：B.
【变式 3-2】（23-24 高二下·广西玉林·期末）随机变量 Y 的分布列为下表所示，若 Y 的期望值为 1，则：
（ ）
2 0 2
( )
A． + + = 1 B．2 + 2 = 4
C． 2 + 2 = 2 D． =
【解题思路】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可.
【解答过程】由分布列的性质可知， + + = 1，故 A 正确；
因为 Y 的期望值为 1，所以 2 + 2 = 1，所以 C 错.
若2 + 2 = 4 + = 2 > 1，不满足分布列性质，B 错，
由上，有 = 12，显然 D 错.
故选：A.
【变式 3-3】（23-24 高二下·广东肇庆·阶段练习）下表是离散型随机变量 的分布列，且满足 28( ) = 5 ，则
， 的值分别是（ ）
3 4 5 9
1 1
5 3
A 4 1 B 1 4 C 1 2 D 2 1．15，5 ．5，15 ．15，5 ．5，15
【解题思路】运用离散型随机变量的分布列、期望计算即可.
1 1 7
【解答过程】由题意，得 + + 5 + 3 = 1，所以 + = 15①．
1
因为 ( ) = 3 + 4 + 5 × 5 +9 ×
1 28
3 = 5 ，所以3 + 4 =
8
5②．
由①② 1 4解得： = 5， = 15．
故选：A.
【知识点 2 离散型随机变量的方差】
1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
则称 为随机变
量 X 的方差，并称 为随机变量 X 的标准差，记为 .
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程
度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
2．方差的有关性质
当 a，b 均为常数时，随机变量 Y=aX+b 的方差 D(Y)=D(aX+b)= .
特别地，当 a=0 时，D(b)=0；当 a=1 时，D(X+b)=D(X)；
当 b=0 时，D(aX)= .
3．两点分布的均值与方差
一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
4．求离散型随机变量 ξ 的均值与方差的步骤
(1)理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能的全部值.
(2)求 ξ 取每个值的概率.
(3)写出 ξ 的分布列.
(4)由均值的定义求 E(ξ).
(5)由方差的定义求 D(ξ).
【题型 4 求离散型随机变量的方差、标准差】
【例 4】（23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足 = 2 1，则下列结论错误的是（ ）
A． = 0.1 B． ( ) = 2， ( ) = 1.4
C． ( ) = 2， ( ) = 1.8 D． ( ) = 3， ( ) = 7.2
【解题思路】选项 A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项 B 和 C
的正误；选项 D，利用期望和方差的性质，即可求解.
【解答过程】对于选项 A，因为0.1 + 0.4 + + 0.2 + 0.2 = 1，解得 = 0.1，所以选项 A 正确，
又 ( ) = 0 × 0.1 + 1 × 0.4 + 2 × 0.1 + 3 × 0.2 + 4 × 0.2 = 2， ( ) = (0 2)2 × 0.1 + (1 2)2 × 0.4 + (2 2)2
× 0.1 + (3 2)2 × 0.2 + (4 2)2 × 0.2 = 1.8，
所以选项 B 错误，选项 C 正确，
对于选项 D，因为 = 2 1，所以 ( ) = (2 1) = 2 ( ) 1 = 2 × 2 1 = 3， ( )
= (2 1) = 4 ( ) = 4 × 1.8 = 7.2，所以选项 D 正确，
故选：B.
【变式 4-1】（23-24 高二下·江苏徐州·期中）不透明口袋中有 个相同的黑色小球和红色 白色 蓝色的小球
各 1 个，从中任取 4 个小球， 表示当 = 2时取出黑球的数目， 表示当 = 3时取出黑球的数目，则下列结
论中成立的是（ ）
A． ( ) < ( ), ( ) < ( ) B． ( ) > ( ), ( ) < ( )
C． ( ) < ( ), ( ) > ( ) D． ( ) > ( ), ( ) > ( )
【解题思路】当 = 2时， 的可能取值为 1，2，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差；当 = 3时，η
可取 1，2，3，分别求出相应的概率，进而求出期望和方差，再比较即可得解得.
【解答过程】当 = 2时，ξ 的可能取值为 1，2，
1 3
= C2C3 = 2 = C
2C22 3 = 3( = 1) C4 5， ( = 2)5 C45 5，
= 1 × 2 +2 × 3 = 8 = 9 × 2 + 4 × 3 6因此 ( ) 5 5 5， ( ) 25 5 25 5 = 25；
当 = 3时， 的可能取值为 1，2，3，
C1 3 2 2 3 1 C( = 1) = 3 3 =
1
， C C 3 C( = 2) = 3 3 = ， ( = 3) = 3
C3 1
C4 5 C4 4 =6 6 5 C6 5，
1
因此 ( ) = 1 × 5 +2 ×
3
5 +3 ×
1 = 2 1 3 1 25 ， ( ) = 1 × 5 +0 × 5 +1 × 5 = 5，
所以 ( ) < ( )， ( ) < ( ).
故选：A.
【变式 4-2】（24-25 高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，
1 3
否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为3，4，在前 3 次投篮中，乙投篮
的次数为 ，求 的分布列、方差及标准差．
【解题思路】依题意，确定 的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式
计算即得.
【解答过程】由题意得， 的可能取值为 0，1，2．
1 1 1( = 0) = 3 × 3 = 9，
1 2 2 1 7( = 1) = 3 × 3 + 3 × 4 = 18，
= 2 3 1( = 2) 3 × 4 = 2．
故 的分布列为
0 1 2
1 7 1
9 18 2
1 7 1 25( ) = 0 × 9 +1 × 18 +2 × 2 = 18，
2 2 2
( ) = 0 25 ×
1 + 1 25 × 79 18 + 2
25 × 1 = 149
18 18 18 2 324．
∴ ( ) = 149．18
【变式 4-3 】（23-24 高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量 的分布列 = = ( = 1,2,3,4,5)．
5
(1)求常数 的值；
(2)求 ≥ 3 ；
5
(3)求随机变量 = |5 3|的分布列及方差．
【解题思路】（1）由题意可得 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1，可求 ；
2 ≥ 3 = = 3（ ）由 + = 4 + ( = 1)，求解即可；
5 5 5
（3） 的所有可能值为0,1,2，由（1）可求 的分布列，进而可求 ( )， ( ).
【解答过程】（1）由题意得随机变量 的分布列如下表所示．
1 2 3 4 1
5 5 5 5
2 3 4 5
由分布列的性质得 + 2 + 3 + 4 + 5 = 1 1，解得 = 15．
2 3 4 5 4（ ） ≥ 3 = = 3 + = 4 + ( = 1) = + + = ．
5 5 5 15 15 15 5
（3） 的所有可能值为0,1,2，
∴ 1 2 2( = 0) = 5， ( = 1) = 5， ( = 2) = 5
所以 的分布列为：
0 1 2
1 2 2
5 5 5
1 2 2 6所以 ( ) = 0 × 5 +1 × 5 +2 × 5 = 5，
6 2 2 2 ( ) = (0 ) ×
1 6 2 6 2 14
5 5
+ (1 ) × 5 + (2 ) ×5 5 5 = 25.
【题型 5 方差的性质】
5 7 1【例 】（23-24 高二下·福建福州·期中）随机变量 的分布列如下，且 ( ) = 5，则 = （ ）2
0 1 2
0.2 1 2
A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.08
【解题思路】根据分布列的性质和期望可求 1， 2，从而可求方差.
1 + 2 = 0.8,
7 1 = 0.2,【解答过程】根据题意可得 0 × 0.2 + 1 × 解得1 + 2 × 2 = , 2 = 0.6,5
1 1 1
2 = 4 ( ) = 4 × 0.2 × (1.4 0)
2 + 0.2 × (1 1.4)2 + 0.6 × (2 1.4)2
= 14 × (0.392 + 0.032 + 0.216) = 0.16．
故选:C．
【变式 5-1】（23-24 高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量 满足 (2 + 3) = 7, (2 + 3) = 16，
则下列选项正确的是（ ）
A． ( ) = 72, ( ) =
13
2 B． ( ) = 2, ( ) = 4
C． ( ) = 2, ( ) = 8 D． ( ) = 72, ( ) = 8
【解题思路】根据已知条件利用期望和方差的性质求解即可.
【解答过程】因为 (2 + 3) = 7, (2 + 3) = 16，
所以2 ( ) + 3 = 7,22 ( ) = 16，
解得 ( ) = 2, ( ) = 4.
故选：B.
【变式 5-2】（23-24 高二下·河北·期中）已知离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3
4 2
9 9
若 ( ) = 1，则 (3 + 1) = （ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【解题思路】根据分布列的性质以及数学期望求出 , 的值，即可求得 ( )，根据方差的性质，即可求得答
案.
【解答过程】由题意知 + = 1 4 2 = 39 9 9，
由 ( ) = 1得0 × + 1 ×
4 2 1 8
9 +2 × 9 +3 = 1，解得 = 27, = 27，
故 ( ) = (0 1)2 ×
8 + (1 1)2 × 4 + (2 1)2 × 2 + (3 1)2 × 1 = 227 9 9 27 3，
故 (3 + 1) = 9 ( ) = 6，
故选：C.
【变式 5-3】（24-25 高二·全国·课后作业）设 > 0，若随机变量 的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差中最大的是（ ）
A． ( ) B． (| |) C． (2 1) D． (2| | 1)
【解题思路】利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.
1
【解答过程】由题意，得 + 2 + 3 = 1，则 = 6，
1
所以 ( ) = 1 × 6 +0 ×
1
3 +2 ×
1
2 =
5 1 1
6， (| |) = 1 × 6 +0 × 3 +2 ×
1 = 72 6，
2
( ) = 1 × 1 5 + 1 5
2 1 2 2 2
所以 6 3 × 0 + 2 × 2
5 = 53 = 1 × 1 7 + 1 × 0 7 + 1 ×
6 6 6 36， (| |) 6 6 3 6 2
2
2 7 = 29
6 36，
所以 (2 1) = 4 ( ) = 4 ×
53
36 =
53 29
9 ， (2| | 1) = 4 (| |) = 9 ，
即 (2 1)最大，
故选：C.
【题型 6 求两点分布的均值与方差】
【例 6】（23-24 高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 1) = ( = 1,2)，若
1
2 < 1 < 2 < 1，则下列判断正确的是（ ）
A． ( 2) < ( 2) B． ( 1) > ( 2)
C． ( 1) < ( 1) D． ( 1) > ( 2)
【解题思路】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案.
【解答过程】∵ ( 1) = 1， ( 2) = 2，∴ ( 1) < ( 2)，
∵ ( 1) = 1(1 1)， ( 2) = 2(1 2)，
1
二次函数 = (1 )在区间 ,1 上单调递减，
2
∴ ( 2) > ( 2)， ( 1) > ( 1)，且 ( 1) > ( 2).
故选：D.
【变式 6-1】（23-24 高二下·山西太原·期中）设随机变量 服从两点分布，若 ( = 1) ( = 0) = 0.4，则
( ) = （ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【解题思路】由题意可得 ( = 1) + ( = 0) = 1，再结合 ( = 1) ( = 0) = 0.4，可求出
( = 1), ( = 0)，从而可求出 ( )
【解答过程】由题意得 ( = 1) + ( = 0) = 1，
因为 ( = 1) ( = 0) = 0.4，
所以解得 ( = 1) = 0.7, ( = 0) = 0.3，
所以 ( ) = 1 × 0.7 + 0 × 0.3 = 0.7，
故选：D.
【变式 6-2】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足 ( = 0)
2
= 9 ( =1)，且 ( = 0) < ( = 1)，则 ( ) = （ ）
A 1 B 1 2 1．3 ．2 C．3 D．4
【解题思路】根据两点分布的性质可得 ( = 0) + ( = 1) = 1，结合题意求得 ( = 1)，再根据两点分布
的期望公式即可得解.
【解答过程】解：因为随机变量 X 的分布列服从两点分布，
所以 ( = 0) + ( = 1) = 1，
2
1 2则 ( = 1) + 9 ( =1) = 1，解得 ( = 1) = 3或3，
又因 ( = 0) < ( = 1)，
2 1
所以 ( = 1) = 3，则 ( = 0) = 3，
= 2所以 ( ) 3.
故选：C.
【变式 6-3】（2024· 1浙江·模拟预测）已知随机变量 满足 ( = 0) = ， ( = 1) = 1 ，且0 < < 2，
= 1,2．若 ( 1) < ( 2)，则（ ）
A． 1 < 2，且 ( 1) < ( 2) B． 1 > 2，且 ( 1) > ( 2)
C． 1 < 2，且 ( 1) > ( 2) D． 1 > 2，且 ( 1) < ( 2)
【解题思路】根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由 ( 1) < ( 2)可得 1 > 2,根据方
差公式构造二次函数,借助函数的单调性即可得出结果.
【解答过程】由题知变量 1， 2的分布列均为两点分布．变量 1， 2的分布列如下：
1 0 1 2 0 1
1 1 1 2 1 2
则 ( 1) = 1 1， ( 2) = 1 2， ( 1) = 1(1 1)， ( 2) = 2(1 2)，
由 ( 1) < ( 2) 1 1 < 1 2 1 > 2，因为0 < <
1
2， = 1,2，
函数 = (1 )在 0, 1 上单调递增，所以 ( 1) > ( 2 2).
故选:B．
【题型 7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】
【例 7】（23-24 高二下·江苏扬州·期中）元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒
中装有 1 个红球，1 个黄球，1 个白球和 1 个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回
地每次摸出 1 个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两
个节目，摸到白球或黄球表演 1 个节目，摸到黑球则不用表演节目.
(1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记 X 为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望、方差.
【解题思路】（1）结合排列知识应用古典概型概率公式求解即可；
（2）由题设 的可能值为 0，1，2，3，4，并计算出对应概率即得分布列，进而求数学期望和方差.
A2 1
【解答过程】（1）设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件 E，则 ( ) = 3A3 = ，4 4
1
所以该同学摸球三次后停止摸球的概率为4.
（2）由题意， 的可能取值为 0，1，2，3，4.
2 1 2 1 2 3
( = 0) =
1
4， ( = 1) =
1 A 1 C A 1 A 1
A2 = 6， ( = 2) =
2 2 2 3
4 A2
+ A3 = 6， ( = 3) =4 4 A2 = 6， ( = 4) = A2 = 4.4 4
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
1 1 1 1 1
4 6 6 6 4
1 1 1 1 1
所以 ( )=0 × 4+1 × 6+2 × 6+3 × 6+4 × 4=2，
1( )=(0 2)2 × 4+(1 2)
2 × 16+(2 2)
2 × 1 2 16+(3 2) × 6+(4 2)
2 × 1=74 3.
【变式 7-1】（23-24 高二下·青海海东·阶段练习）甲 乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机
变量 , ，已知甲 乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7,8,9,10，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为
2 ,0.2, ,0.2，乙射中10,9,8,7环的概率分别为0.3,0.3, , .
(1)求 , 的分布列；
(2)请根据射击环数的期望及方差来分析甲 乙的射击技术.
【解题思路】（1）根据概率和为 1 求 , ，进而可得分布列；
（2）根据分布列分别为期望和方差，对比分析即可.
【解答过程】（1）由题意可得0.2 + 2 + + 0.2 = 1，解得 = 0.2；
0.3 + 0.3 + 2 = 1，解得 = 0.2；
所以 的分布列为
10 9 8 7
0.4 0.2 0.2 0.2
的分布列为
10 9 8 7
0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）得 ( ) = 10 × 0.4 + 9 × 0.2 + 8 × 0.2 + 7 × 0.2 = 8.8，
( ) = (10 8.8)2 × 0.4 + (9 8.8)2 × 0.2 + (8 8.8)2 × 0.2 + (7 8.8)2 × 0.2 = 1.36；
( ) = 10 × 0.3 + 9 × 0.3 + 8 × 0.2 + 7 × 0.2 = 8.7，
( ) = (10 8.7)2 × 0.3 + (9 8.7)2 × 0.3 + (8 8.7)2 × 0.2 + (7 8.7)2 × 0.2 = 1.21.
由于 ( ) > ( ), ( ) > ( )，说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定.
【变式 7-2】（23-24 高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定
每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量 的分布列和期望 ( )；
(2)若0 < < 1 203，设随机变量 的方差为 ( )，求证： ( ) < 81．
【解题思路】（1）依题意 可能的取值为2，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；

（2）根据 ( ) = 2 [ ( )]2 ，表示出 ( )，再换元，利用二次函数的性质计算可得.
=1
【解答过程】（1）由题随机变量 可能的取值为2，3，
则 ( = 2) = 2 + (1 )2 = 2 2 2 + 1，
( = 3) = 2 2(1 ) + 2 (1 )2 = 2 2 2，
故 的分布列为：
2 3
2 2 2 + 1 2 2 2
故 ( ) = 2 × (2 2 2 + 1) + 3 × (2 2 2) = 2 2 +2 + 2；

（2）由（1）知， ( ) = 2 [ ( )]2
=1
2
= 4 × (2 2 2 + 1) + 9 × (2 2 2) 2 2 + 2 + 2 ，
1 2 1
令 = 2 2 2 = 2 + 2，因为0 < <
1 < 1 4
2 3 2，故
0 < < 9，
此时4 × (2 2 2 + 1) + 9 × (2 2 2) ( 2 2 + 2 + 2)2
= 4(1 ) + 9 ( + 2)2
= 2 + ，
1
因为二次函数 = 2 + 关于 = 2对称，又0 < <
4 4 20
9，当 = 9时 = 81，
20
所以 2 + < 81，
即 ( ) < 2081．
【变式 7-3】（23-24 高二下·北京·期末）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了 、 、 、 、 、
共 6 座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的 200 名乘客，记录了他们的乘车情况，
得到下表（单位：人）：
下
合计
车站上车站
/ / 5 6 4 2 7 24
12 / / 20 13 7 8 60
5 7 / / 3 8 1 24
13 9 9 / / 1 6 38
4 10 16 2 / / 3 35
2 5 5 4 3 / / 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
(1)在试运营期间，从在 站上车的乘客中任选 1 人，估计该乘客在 站下车的概率；
(2)以频率估计概率，在试运营期间，从在 站上车的所有乘客和在 站上车的所有乘客中各随机选取 1 人，
设其中在 站下车的人数为 ，求随机变量 的分布列以及数学期望；
(3)为了研究各站客流量的相关情况，用 1示所有在 站上下车的乘客的上、下车情况，“ 1 = 1”表示上车，
1 = 0”表示下车．相应地，用 2， 3分别表示在 站， 站上、下车情况，直接写出方差 1， 2， 3大
小关系．
【解题思路】（1）利用频率来求概率即可；
（2）由题意可知， 可取 0，1，2，求出相应的概率，从而可求出随机变量 的分布列及数学期望；
（3）利用两点分布的方差公式依次求出进行比较即可.
【解答过程】（1）设选取的乘客在 站上车、在 站下车为事件 ，
由已知，在 站上车的乘客有 60 人，其中在 站下车的乘客有 20 人，
所以 ( ) = 20 160 = 3．
（2 6 1）从在 站上车的所有乘客中任选 1 人，该乘客在 站下车的概率为24 = 4
由题意可知， 可取 0，1，2
( = 0) = (1 1) × (1 1) = 14 3 2，
( = 1) = 14 × (1
1
3) + (1
1
4) ×
1 5
3 = 12，
( = 2) = 1 1 14 × 3 = 12，
随机变量 的分布列为
0 1 2
1 5 1
2 12 12
所以随机变量 的数学期望为
1 5 1 7( ) = 0 × 2 +1 × 12 +2 × 12 = 12．
（3）因为在 站上车的有 60 人，下车的有 36 人，
所以 ( 1 = 1) =
60 5
96 = 8， ( 1 = 0) =
36 = 396 8，
5 3 15
所以 ( 1) = 8 × 8 = 64 ≈ 0.2344，
因为在 站上车的有 24 人，下车的有 56 人，
所以 ( = 1) = 24 3 56 72 80 = 10， ( 2 = 0) = 80 = 10，
3 7 21
所以 ( 2) = 10 × 10 = 100 = 0.21，
因为在 站上车的有 38 人，下车的有 26 人，
所以 ( 38 19 26 133 = 1) = 64 = 32， ( 3 = 0) = 64 = 32，
( ) = 19 × 13 247所以 3 32 32 = 1024 ≈ 0.2412，
所以 ( 2) < ( 1) < ( 3).
【题型 8 决策问题】
【例 8】（24-25 高二下·辽宁鞍山·阶段练习）为更好利用“学习强国”平台开展学习，推动学习型单位建设，
某单位组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置 6 个不同的题目，参赛人员从中随机抽取 3 个题目进行作答，
若所抽取的 3 个题目全部作答正确，则进入下一轮比赛，否则退出比赛．对这 6 个题目，某科室的甲能正
确作答其中的 4 2个题目，乙能正确作答每个题目的概率均为3，且甲乙对每个题目的作答都是相互独立的．
(1)已知甲乙两人总共正确作答 3 个题目，求甲答对 1 道乙答对 2 道的概率；
(2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由．
【解题思路】（1）利用相互独立事件、互斥事件概率计算出甲乙两人总共正确作答 3 个题目的概率 1，甲
2
答对 1 道题目乙答对 2 道题的概率为 2，由 可得答案；1
2
（2）设甲正确作答题目个数 ，计算出 ( )， ( )，设乙正确作答题数为 ，则 ~ 3, ，可得 ( )，
3
( )，比较 ( )、 ( )， ( )、 ( )可得答案．
【解答过程】（1）甲乙两人总共正确作答 3 个题目，
包括：甲答对 3 道乙答对 0 道、甲答对 2 道乙答对 1 道、甲答对 1 道乙答对 2 道．
C3 1 3 C2 1 2 1 2 2
甲乙两人总共正确作答 3 个题目的概率为 = 4 + 4C2 C12 2 C4C2 2 2 2 311 C3 3 C3 33 1 +6 6 3 C3 C3 3 1 =6 3 135．
1 C
1C2 2 2 2 4
甲答对 道题目乙答对 2 道题的概率为 = 4 2 22 C3 C3 =6 3 1 3 45．

3 1 2 12所以甲乙两人总共正确作答 个题目，甲答对 道乙答对 2 道的概率为 = = ；1 31
（2）设甲正确作答题目个数为 ，则 可以取值为 1，2，3．
C1 2 2 1 3 0
则 ( = 1) = 4C2 1C3 = 5， ( = 2) =
C4C2 = 3 C C 1C3 5， ( = 3) =
4 2
6 6 C3
= 5，6
的分布列为
1 2 3
1 3 1
5 5 5
( ) = 1 × 1 +2 × 35 5 +3 ×
1
5 = 2，
( ) = (1 2)2 × 1 + (2 2)2 × 3 + (3 2)2 × 1 = 25 5 5 5．
2
设乙正确作答题数为 ，则 ~ 3, ， ( ) = 3 ×
2
3 3
= 2，
( ) = 3 × 23 × 1
2 = 2．
3 3
因为 ( ) = ( )，所以甲乙两人实力相当，
而 ( ) < ( )，甲比乙更稳定，因此派甲去较为合适．
【变式 8-1】（2024 高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲 乙两名射手进行选拔测试.已知
甲 乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 X，Y，甲 乙两名射手在每次射击中击中的
环数均大于 6 环，且甲射中 10，9，8，7 环的概率分别为 0.5，3a，a，0.1，乙射中 10，9，8 环的概率分别
为 0.3，0.3，0.2.
(1)求 X，Y 的概率分布；
(2)求 X，Y 的数学期望与方差，以此比较甲 乙的射击技术并从中选拔一人.
【解题思路】（1）借助概率之和为 1 可计算出 的值及乙射中 7 环的概率，即可得其概率分布；
（2）借助期望及方差的公式计算即可得.
【解答过程】（1）依题意，0.5 + 3 + + 0.1 = 1，解得 = 0.1，
∵ 乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，
∴ 乙射中 7 环的概率为1 (0.3 + 0.3 + 0.2) = 0.2，
∴ 的概率分布为：
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
的概率分布为：
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）可得
( ) = 10 × 0.5 + 9 × 0.3 + 8 × 0.1 + 7 × 0.1 = 9.2（环），
( ) = 10 × 0.3 + 9 × 0.3 + 8 × 0.2 + 7 × 0.2 = 8.7（环），
( ) = (10 9.2)2 × 0.5 + (9 9.2)2 × 0.3 + (8 9.2)2 × 0.1 + (7 9.2)2 × 0.1 = 0.96，
( ) = (10 8.7)2 × 0.3 + (9 8.7)2 × 0.3 + (8 8.7)2 × 0.2 + (7 8.7)2 × 0.2 = 1.21，
由于 ( ) > ( )，说明甲平均射中的环数比乙高，
又因为 ( ) < ( )，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，
所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会.
【变式 8-2】（24-25 高三上·重庆黔江·阶段练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 500 位顾客
进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值
之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 45 元，其余 3 个均为 15 元，求顾客所获的奖励额为 60 元的
概率；
(2)商场对奖励总额的预算是 30000 元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获
的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的 4 个球由 2 个标有面值 15
元和 2 个标有面值 45 元的两种球组成；方案二：袋中的 4 个球由 2 个标有面值 20 元和 2 个标有面值 40 元
的两种球组成.
【解题思路】（1）由古典概型结合组合数公式求解；
（2）分别求解两方案的均值和方差比较可得结果
C1C1 1
【解答过程】（1）设顾客的奖励额为 X,依题意得 ( = 60) = 1 3C2 =4 2
（2）根据方案一，设顾客的奖励额为 1,其可能取值为 30，，30m60，90
C2 1 1 2 ( = 30) = 21 C2 =
1 C2C2 4 2 C2 1
6， ( 1 = 60) = 2 =4 C4 6 = 3， ( 1 = 90) = C2 =4 6
1 2 1
( 1) = 30 × 6 + 60 × 3 + 90 × 6 = 60
1 2 1
( 1) = (30 60)2 × 6 + (60 60)
2 × 3 + (90 60)
2 × 6 = 300
根据方案二，设顾客的奖励额为 2,其可能取值为 40，60，80
2 1 1 2
C 1 C C 4 2 C 1( 22 = 40) = C2 = 6， ( 2 = 60) =
2 2
C2 = 6 = 3， ( 2 = 80) =
2
4 4 C2
=
4 6
1 2 1
( 2) = 40 × 6 + 60 × 3 + 80 × 6 = 60
1 2 1 400
( 2) = (40 60)2 × 6 + (60 60)
2 × 3 + (80 60)
2 × 6 = 3
商场对奖励总额的预算是 30000 元，故每个顾客平均奖励额最多为 60，两方案均符合要求，但方案二奖励
的方差比方案一小，所以应选择方案二.
【变式 8-3】（2024 高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除
了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 X 分别为 0 元，20 万元，40 万元，且 ( = 20) = 0.3，期
望 ( ) = 30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 Y 分别为 10 万元，20 万元，30 万元，其概率依次为
0.3,0.4,0.3．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差 ( )；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
【解题思路】（1）设出 = 0, = 40的概率，依题列出方程组求解即得 的分布列，算出方差；
（2）依题列出 Y 的分布列，算出期望与方差，再与 的期望与方差比较即得.
【解答过程】（1）设 ( = 0) = ， ( = 40) = ，
依题意得 + + 0.3 = 1①，又 ( ) = 0 × + 20 × 0.3 + 40 = 30②，
由①②解得： = 0.1， = 0.6．
∴X 的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则 ( ) = (0 30)2 × 0.1 + (20 30)2 × 0.3 + (40 30)2 × 0.6 = 180．
（2）由题得 Y 的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则 ( ) = 10 × 0.3 + 20 × 0.4 + 30 × 0.3 = 20，
( ) = (10 20)2 × 0.3 + (20 20)2 × 0.4 + (30 20)2 × 0.3 = 60．
由 ( ) > ( )可知采用平台广告投放期望收益较大，又 ( ) > ( )，说明平台广告投放的风险较高．
综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告．专题 7.3 离散型随机变量的数字特征【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 求离散型随机变量的均值】 ....................................................................................................................2
【题型 2 均值的性质】 ............................................................................................................................................2
【题型 3 由离散型随机变量的均值求参数】 ........................................................................................................3
【题型 4 求离散型随机变量的方差、标准差】 ....................................................................................................5
【题型 5 方差的性质】 ............................................................................................................................................6
【题型 6 求两点分布的均值与方差】 ....................................................................................................................7
【题型 7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】 ........................................................................................7
【题型 8 决策问题】 ................................................................................................................................................9
【知识点 1 离散型随机变量的均值】
1．离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称 E(X)=x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn为离散型随机变量 X 的均值或数学期望，数学期望简称
期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而 E(X)是
不变的，它描述 X 取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
2．均值的性质
若离散型随机变量 X 的均值为 E(X)，Y=aX+b，其中 a,b 为常数，则 Y 也是一个离散型随机变量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特别地，当 a=0 时，E(b)=b；
当 a=1 时，E(X+b)=E(X)+b；
当 b=0 时，E(aX)=aE(X).
【题型 1 求离散型随机变量的均值】
【例 1】（23-24 高二下·广西·期中）近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了 AI 电商行业的快速发
展，已知 2020—2023 年中国 AI 解决方案提供商企业数量分别为 1617，2106，2329，2896，从这 4 个数字
1
中任取 2 个数字，当所取两个数字差的绝对值小于 500 时，随机变量 = 2；当所取两个数字差的绝对值不
小于 500 时，随机变量 = 1，则 ( ) = （ ）
A 1 2 3 5．2 B．3 C．4 D．6
【变式 1-1】（23-24 高二下·陕西宝鸡·阶段练习）若随机变量 的分布列如表，则 ( ) = （ ）
1 2 3 4
1 1 1
4 4 3
A 12 31 19 8． 5 B．12 C．12 D．5
【变式 1-2】（23-24 高二下·天津滨海新·期中）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼
此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团.
(1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率.
(2)求同学甲选报足球社的概率.
(3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，
设报名足球社的同学人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．
【变式 1-3】（23-24 高二下·天津滨海新·期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 18，36，
9．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的 7 人中有 3 人睡眠不足，4 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查．用
表示抽取的 3 人中睡眠充足的员工人数，求随机变量 的分布列与数学期望．
【题型 2 均值的性质】
【例 2】（23-24 高二下·广东江门·期末）已知 的分布列为
1 2 3 4
1 1 1
6 6 3
设 = 2 5，则 ( ) = （ ）
A 2 5 19．3 B．6 C． 6 D
3
．2
π
【变式 2-1】（23-24 高二下·贵州黔西·期末）已知随机变量 的概率分布列为 ( = ) = sin4 2( = 1,2)，
1
其中 是常数，则 ( ) = （ ）
A 2 4 8．3 B．3 C．2 D．9
【变式 2-2】（23-24 高二下·安徽·期末）从一批含有 8 件正品，2 件次品的产品中不放回地抽 3 次，每次抽
取 1 件，设抽取的次品数为 ，则 (5 + 1) = （ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【变式 2-3】（23-24 高二下·广西·期末）若随机变量 服从两点分布，其中 ( = 0) =
1
3，则以下正确的是
（ ）
A 1 4． ( ) = 3 B． (2 + 3) = 3
C． (2 + 2) =
8 7
3 D． (2 + 1) = 3
【题型 3 由离散型随机变量的均值求参数】
【例 3】（23-24 高二下·天津滨海新·期中）已知随机变量 X 的分布列：
x 1 0 1
P 1 1 1
2 3 6
满足 = + 3, 5( ) = 3，则 a 的值为（ ）
A．4 B． 4 C．2 D． 2
【变式 3-1】（23-24 · 13高二下 山东青岛·期中）已知随机变量 的分布列如下所示，且 ( ) = 6 ，则 =
（ ）
1 2 3
1
2
A 1 1 1 1．8 B．6 C．4 D．3
【变式 3-2】（23-24 高二下·广西玉林·期末）随机变量 Y 的分布列为下表所示，若 Y 的期望值为 1，则：
（ ）
2 0 2
( )
A． + + = 1 B．2 + 2 = 4
C． 2 + 2 = 2 D． =
【变式 3-3】（23-24 28高二下·广东肇庆·阶段练习）下表是离散型随机变量 的分布列，且满足 ( ) = 5 ，则
， 的值分别是（ ）
3 4 5 9
1 1
5 3
A 4 1 1 4 1 2 2 1．15，5 B．5，15 C．15，5 D．5，15
【知识点 2 离散型随机变量的方差】
1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
则称 为随机变
量 X 的方差，并称 为随机变量 X 的标准差，记为 .
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程
度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
2．方差的有关性质
当 a，b 均为常数时，随机变量 Y=aX+b 的方差 D(Y)=D(aX+b)= .
特别地，当 a=0 时，D(b)=0；当 a=1 时，D(X+b)=D(X)；
当 b=0 时，D(aX)= .
3．两点分布的均值与方差
一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
4．求离散型随机变量 ξ 的均值与方差的步骤
(1)理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能的全部值.
(2)求 ξ 取每个值的概率.
(3)写出 ξ 的分布列.
(4)由均值的定义求 E(ξ).
(5)由方差的定义求 D(ξ).
【题型 4 求离散型随机变量的方差、标准差】
【例 4】（23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足 = 2 1，则下列结论错误的是（ ）
A． = 0.1 B． ( ) = 2， ( ) = 1.4
C． ( ) = 2， ( ) = 1.8 D． ( ) = 3， ( ) = 7.2
【变式 4-1】（23-24 高二下·江苏徐州·期中）不透明口袋中有 个相同的黑色小球和红色 白色 蓝色的小球
各 1 个，从中任取 4 个小球， 表示当 = 2时取出黑球的数目， 表示当 = 3时取出黑球的数目，则下列结
论中成立的是（ ）
A． ( ) < ( ), ( ) < ( ) B． ( ) > ( ), ( ) < ( )
C． ( ) < ( ), ( ) > ( ) D． ( ) > ( ), ( ) > ( )
【变式 4-2】（24-25 高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，
1 3
否则由对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为3，4，在前 3 次投篮中，乙投篮
的次数为 ，求 的分布列、方差及标准差．
【变式 4-3】（23-24 高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量 的分布列 = = ( = 1,2,3,4,5)．
5
(1)求常数 的值；
(2)求 ≥ 3 ；
5
(3)求随机变量 = |5 3|的分布列及方差．
【题型 5 方差的性质】
7 1
【例 5】（23-24 高二下·福建福州·期中）随机变量 的分布列如下，且 ( ) = 5，则 = （ ）2
0 1 2
0.2 1 2
A．0.64 B．0.32 C．0.16 D．0.08
【变式 5-1】（23-24 高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量 满足 (2 + 3) = 7, (2 + 3) = 16，
则下列选项正确的是（ ）
A． ( ) = 72, ( ) =
13
2 B． ( ) = 2, ( ) = 4
C． ( ) = 2, ( ) = 8 D． ( ) = 72, ( ) = 8
【变式 5-2】（23-24 高二下·河北·期中）已知离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3
4 2
9 9
若 ( ) = 1，则 (3 + 1) = （ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【变式 5-3】（24-25 高二·全国·课后作业）设 > 0，若随机变量 的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差中最大的是（ ）
A． ( ) B． (| |) C． (2 1) D． (2| | 1)
【题型 6 求两点分布的均值与方差】
【例 6】（23-24 高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 1) = ( = 1,2)，若
1
2 < 1 < 2 < 1，则下列判断正确的是（ ）
A． ( 2) < ( 2) B． ( 1) > ( 2)
C． ( 1) < ( 1) D． ( 1) > ( 2)
【变式 6-1】（23-24 高二下·山西太原·期中）设随机变量 服从两点分布，若 ( = 1) ( = 0) = 0.4，则
( ) = （ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【变式 6-2】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足 ( = 0)
2
= 9 ( =1)，且 ( = 0) < ( = 1)，则 ( ) = （ ）
A 1 1 2 1．3 B．2 C．3 D．4
1
【变式 6-3】（2024·浙江·模拟预测）已知随机变量 满足 ( = 0) = ， ( = 1) = 1 ，且0 < < 2，
= 1,2．若 ( 1) < ( 2)，则（ ）
A． 1 < 2，且 ( 1) < ( 2) B． 1 > 2，且 ( 1) > ( 2)
C． 1 < 2，且 ( 1) > ( 2) D． 1 > 2，且 ( 1) < ( 2)
【题型 7 离散型随机变量的均值与方差的综合应用】
【例 7】（23-24 高二下·江苏扬州·期中）元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒
中装有 1 个红球，1 个黄球，1 个白球和 1 个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回
地每次摸出 1 个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两
个节目，摸到白球或黄球表演 1 个节目，摸到黑球则不用表演节目.
(1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记 X 为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望、方差.
【变式 7-1】（23-24 高二下·青海海东·阶段练习）甲 乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机
变量 , ，已知甲 乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7,8,9,10，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为
2 ,0.2, ,0.2，乙射中10,9,8,7环的概率分别为0.3,0.3, , .
(1)求 , 的分布列；
(2)请根据射击环数的期望及方差来分析甲 乙的射击技术.
【变式 7-2】（23-24 高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定
每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量 的分布列和期望 ( )；
(2) 0 < < 1 20若 3，设随机变量 的方差为 ( )，求证： ( ) < 81．
【变式 7-3】（23-24 高二下·北京·期末）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了 、 、 、 、 、
共 6 座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的 200 名乘客，记录了他们的乘车情况，
得到下表（单位：人）：
下
合计
车站上车站
/ / 5 6 4 2 7 24
12 / / 20 13 7 8 60
5 7 / / 3 8 1 24
13 9 9 / / 1 6 38
4 10 16 2 / / 3 35
2 5 5 4 3 / / 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
(1)在试运营期间，从在 站上车的乘客中任选 1 人，估计该乘客在 站下车的概率；
(2)以频率估计概率，在试运营期间，从在 站上车的所有乘客和在 站上车的所有乘客中各随机选取 1 人，
设其中在 站下车的人数为 ，求随机变量 的分布列以及数学期望；
(3)为了研究各站客流量的相关情况，用 1示所有在 站上下车的乘客的上、下车情况，“ 1 = 1”表示上车，
1 = 0”表示下车．相应地，用 2， 3分别表示在 站， 站上、下车情况，直接写出方差 1， 2， 3大
小关系．
【题型 8 决策问题】
【例 8】（24-25 高二下·辽宁鞍山·阶段练习）为更好利用“学习强国”平台开展学习，推动学习型单位建设，
某单位组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置 6 个不同的题目，参赛人员从中随机抽取 3 个题目进行作答，
若所抽取的 3 个题目全部作答正确，则进入下一轮比赛，否则退出比赛．对这 6 个题目，某科室的甲能正
2
确作答其中的 4 个题目，乙能正确作答每个题目的概率均为3，且甲乙对每个题目的作答都是相互独立的．
(1)已知甲乙两人总共正确作答 3 个题目，求甲答对 1 道乙答对 2 道的概率；
(2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由．
【变式 8-1】（2024 高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲 乙两名射手进行选拔测试.已知
甲 乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 X，Y，甲 乙两名射手在每次射击中击中的
环数均大于 6 环，且甲射中 10，9，8，7 环的概率分别为 0.5，3a，a，0.1，乙射中 10，9，8 环的概率分别
为 0.3，0.3，0.2.
(1)求 X，Y 的概率分布；
(2)求 X，Y 的数学期望与方差，以此比较甲 乙的射击技术并从中选拔一人.
【变式 8-2】（24-25 高三上·重庆黔江·阶段练习）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 500 位顾客
进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值
之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 45 元，其余 3 个均为 15 元，求顾客所获的奖励额为 60 元的
概率；
(2)商场对奖励总额的预算是 30000 元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获
的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的 4 个球由 2 个标有面值 15
元和 2 个标有面值 45 元的两种球组成；方案二：袋中的 4 个球由 2 个标有面值 20 元和 2 个标有面值 40 元
的两种球组成.
【变式 8-3】（2024 高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除
了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 X 分别为 0 元，20 万元，40 万元，且 ( = 20) = 0.3，期
望 ( ) = 30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 Y 分别为 10 万元，20 万元，30 万元，其概率依次为
0.3,0.4,0.3．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差 ( )；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．

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