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专题 7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 离散型随机变量的判断】 ........................................................................................................................2
【题型 2 求离散型随机变量的分布列】 ................................................................................................................2
【题型 3 利用随机变量分布列的性质解题】 ........................................................................................................4
【题型 4 由随机变量的分布列求概率】 ................................................................................................................5
【题型 5 两点分布】 ................................................................................................................................................6
【题型 6 两个相关的随机变量的分布列问题】 ....................................................................................................7
【题型 7 分布列与其他知识综合】 ........................................................................................................................8
【知识点 1 离散型随机变量及其分布列】
1．随机变量与离散型随机变量
(1)随机变量
①定义：一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数 X(ω)与之对应，我们
称 X 为随机变量.
②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
③随机变量与函数的关系
联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间 Ω 相当于
函数的定义域.
区别：样本空间 Ω 不一定是数集，随机变量的取值 X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非
空数集到非空数集的一一对应.
(2)离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1，x2， ，xn，我们称 X 取每一个值 xi的概率 P(X=xi)=
pi，i=1，2， ，n 为 X 的概率分布列，简称分布列.
(2)分布列的表格表示
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
分布列也可以用等式形式表示为 P(X=xi)=pi，i=1，2， ，n，还可以用图形表示.
(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质
①pi≥0，i=1，2， ，n；
②p1+p2+ +pn=1.
3．离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；
第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
【题型 1 离散型随机变量的判断】
【例 1】（23-24 高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
①某食堂在中午半小时内进的人数 1； ②某元件的测量误差 2；
③小明在一天中浏览网页的时间 3； ④高一 2 班参加运动会的人数 4；
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【变式 1-1】（2024 高三·全国·专题练习）袋中有 2 个黑球、5 个红球，从中任取 2 个，可以作为随机变量
的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
【变式 1-2】（24-25 高二下·全国·课后作业）一串钥匙有 6 把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔
掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数 的可能取值为（ ）
A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6
C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5
【变式 1-3】（24-25 高二下·江苏·课后作业）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
【题型 2 求离散型随机变量的分布列】
【例 2】（23-24 高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为 ，则
的分布列为（ ）
A．
X 1 2
P 1 1
2 2
B．
X 0 1
P 1 1
2 2
C．
X 0 1 2
P 1 1 1
4 2 4
D．
X 0 1 2
P 1 1 1
2 4 4
【变式 2-1】（21-22 高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为 0.8，0.7，他
们各自投篮 1 次，设两人命中总次数为 X，则 X 的分布列为（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
【变式 2-2】（23-24 高二下·江苏盐城·期末）盒中有四张卡片，分别标有数字 1，2，3，4，现从盒中任取
两张卡片，记取到偶数的个数为 ．
(1)求 ( = 1)；
(2)求 的分布列．
【变式 2-3】（23-24 高二下·河北秦皇岛·阶段练习）设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求 = | －1|的分布列；
(2)求 1 < 2 ＋1 < 9 ．
【题型 3 利用随机变量分布列的性质解题】
【例 3】（2025 高三·全国·专题练习）下表是离散型随机变量 的概率分布，则常数 a 的值是（ ）
3 4 5 6
1

6 1 12
+ 2 6
A 1 B 1．6 ．12 C
1
．9 D
1
．2

【变式 3-1】（23-24 高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)（ = 1，
2，3），则 = （ ）
A 3 B 4 C 2 3．4 ．3 ．3 D．2
【变式 3-2】（23-24 高二下·吉林·期末）下表是离散型随机变量 的分布列，则常数 的值是（ ）
0 1 2
0.36 1 2 2
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【变式 3-3】（23-24 高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2),
( = 0,1,2)，其中 a 是常数，则下列说法不正确的是（ ）
A + + = 1 B = 4． ( = 0) ( = 1) ( = 2) ． 3
C 8． (0 ≤ < 2) = 9 D．
4
( ≥ 1) = 9
【题型 4 由随机变量的分布列求概率】
【例 4】（24-25 高二下·全国·课后作业）设 是一个离散型随机变量，其分布列如下，则 (| | = 1)等于
（ ）
1 0 1
1 1 2 1
3 3
2 + 3
A 2 B 1 1 3．3 ．3 C．4 D．4
【变式 4-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）公园的某个位置摆放了 10 盆牡丹花，编号分别为 0，1，2，
3，…，9，若从中任取 1 盆，则编号“大于 5”的概率是（ ）
A 1 B 2 C 3 1．2 ．5 ．5 D．10
【变式 4-2】（23-24 高二下·上海金山·期末）设随机变量 X 的分布列 ( = ) = 2 ( = 1,2,3)，则 ( ≥ 2)的
值为（ ）
A 3 4 5．1 B．7 C．7 D．7
【变式 4-3】（23-24 高二下· 2 5辽宁葫芦岛·期末）设随机变量 的分布列如下表，则 < 1 = （ ）
4
1 2 3 4
P 1 a 1 1
12 3 3
A 5 1 7 1．12 B．2 C．12 D．6
【知识点 2 两点分布】
1．两点分布
(1)两点分布的定义
对于只有两个可能结果的随机试验，用 A 表示“成功”， 表示“失败”，定义 X=
如果 P(A)=p，则 =1-p，那么 X 的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称 X 服从两点分布或 0—1 分布.
(2)两点分布的理解
两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为 1.可设任意一个为 0，另一个相应为 1.
【题型 5 两点分布】
【例 5】（23-24 高二下·福建龙岩·期中）若随机变量 X 服从两点分布， ( = 1) = 0.33，则 ( = 0) =
（ ）
A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77
【变式 5-1】（23-24 高二下·内蒙古赤峰·期中）若 服从两点分布， ( = 1) ( = 0) = 0.34，则 ( = 1)
= （ ）
A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77
【变式 5-2】（23-24 高二下·山东聊城·期末）已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 0) = 2 2， ( = 1)
= ，那么 = ．
【变式 5-3】（24-25 高二下·河南洛阳· 3阶段练习）已知随机变量 X 服从两点分布，且 ( = 1) = 2 ( = 0)，
则 ( = 1) = ．
【题型 6 两个相关的随机变量的分布列问题】
【例 6】（24-25 高二下·全国·随堂练习）设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量 = | 1|，则 ( = 1)等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【变式 6-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.1 0.3 0.2
若随机变量 = 2 2，则 ( = 2)等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【变式 6-2】（2024 高二下·全国·专题练习）已知随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 32
π
求随机变量 = sin2 的分布列．
【变式 6-3】（24-25 高二·全国·课后作业）已知随机变量 的分布列如表所示．
2 1 0 1 2 3
1 1 1 1 1 1
12 4 3 12 6 12
(1)求随机变量 = 2的分布列；
(2) 11若 ( < ) = 12，求实数 的取值范围．
【题型 7 分布列与其他知识综合】
【例 7】（23-24 高二下·天津·期中）甲、乙两人各进行 3 3次射击，甲每次击中目标的概率时4，乙每次击中
2
目标的概率3，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影
响．
(1)求甲至少有 1 次未击中目标的概率；
(2)记甲击中目标的次数为 ，求 的概率分布列；
(3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率．
【变式 7-1】（2024·湖北黄冈·二模）某校高三年级拟派出甲 乙 丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛
3
分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为4；
2 3 3
乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为3和4；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为 和2 ，其中
1 < < 32 4
(1)甲 乙 丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2) 29若甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为72，求 的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 ，求 的分布列.
【变式 7-2】（2024 高三·全国·专题练习）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维
评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图，评分在区间
[90,100]，[70,90)，[60,70)，[50,60)上，分别对应为 A，B，C，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动
与健康的重视，初评获 A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，
B 1 1原获 等级的学生有4的概率提升为 A 等级；原获 C 等级的学生有5的概率提升为 B 等级；原获 D 等级的学
1
生有6的概率提升为 C 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．
(1)若初评中甲获得 C 等级，乙、丙获得 D 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为 C 等级的人数为 ξ，求 ξ
的分布列；
(2)从全体高三学生中任选 1 人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是 B 等级的概率．
【变式 7-3】（23-24 高二下·江苏盐城·期中）从甲、乙、丙、丁 4 人中随机抽取 3 个人去做传球训练.训练
规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每
次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量 ，求 的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第 1 次由甲将球传出，记 次传球后球在甲手中的概率为
， = 1,2,3, .
①直接写出 1， 2， 3的值；
②求 +1与 的关系式（ ∈ N*），并求 （ ∈ N*）.专题 7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 离散型随机变量的判断】 ........................................................................................................................2
【题型 2 求离散型随机变量的分布列】 ................................................................................................................3
【题型 3 利用随机变量分布列的性质解题】 ........................................................................................................7
【题型 4 由随机变量的分布列求概率】 ................................................................................................................8
【题型 5 两点分布】 ..............................................................................................................................................10
【题型 6 两个相关的随机变量的分布列问题】 ..................................................................................................11
【题型 7 分布列与其他知识综合】 ......................................................................................................................13
【知识点 1 离散型随机变量及其分布列】
1．随机变量与离散型随机变量
(1)随机变量
①定义：一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数 X(ω)与之对应，我们
称 X 为随机变量.
②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
③随机变量与函数的关系
联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间 Ω 相当于
函数的定义域.
区别：样本空间 Ω 不一定是数集，随机变量的取值 X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非
空数集到非空数集的一一对应.
(2)离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1，x2， ，xn，我们称 X 取每一个值 xi的概率 P(X=xi)=
pi，i=1，2， ，n 为 X 的概率分布列，简称分布列.
(2)分布列的表格表示
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
分布列也可以用等式形式表示为 P(X=xi)=pi，i=1，2， ，n，还可以用图形表示.
(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质
①pi≥0，i=1，2， ，n；
②p1+p2+ +pn=1.
3．离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；
第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
【题型 1 离散型随机变量的判断】
【例 1】（23-24 高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
①某食堂在中午半小时内进的人数 1； ②某元件的测量误差 2；
③小明在一天中浏览网页的时间 3； ④高一 2 班参加运动会的人数 4；
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【解答过程】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数 1可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对
于②，某元件的测量误差 2不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，小明在一天中浏览网页的时间 3不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一 2
班参加运动会的人数 4可以一一列举出来，故④是离散型随机变量；
故选：D.
【变式 1-1】（2024 高三·全国·专题练习）袋中有 2 个黑球、5 个红球，从中任取 2 个，可以作为随机变量
的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
【解题思路】根据随机变量的定义判断.
【解答过程】选项 A 的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故 A 错误；
选项 B 取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是 0，1，2，故 B 正确；
选项 C 是一个事件而非随机变量，故 C 错误；
选项 D 中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故 D 错误．
故选：B.
【变式 1-2】（24-25 高二下·全国·课后作业）一串钥匙有 6 把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔
掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数 的可能取值为（ ）
A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6
C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5
【解题思路】由离散型随机变量的实际含义即可求解.
【解答过程】由试验次数 的含义可知，至少试验一次才可能刚好打开，
如果第五次依然没有打开，此时不管开锁是否成功，都能确定能开锁的钥匙.
所以 的所有可能取值为：1,2,3,4,5.
故选：D.
【变式 1-3】（24-25 高二下·江苏·课后作业）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性
【解题思路】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于 A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数
之和为5，是常量，A 错误；
对于 B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B 错误；
对于 C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C
正确；
对于 D，事件发生的可能性不是随机变量，D 错误.
故选：C.
【题型 2 求离散型随机变量的分布列】
【例 2】（23-24 高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为 ，则
的分布列为（ ）
A．
X 1 2
P 1 1
2 2
B．
X 0 1
P 1 1
2 2
C．
X 0 1 2
P 1 1 1
4 2 4
D．
X 0 1 2
P 1 1 1
2 4 4
【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案.
1
【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为2，且相互独立， 的取值可能为 0，1，2.
= 1( = 0) 2 ×
1
2 =
1
4， ( = 1) = 2 ×
1 × 1 = 1 1 1 12 2 2， ( = 2) = 2 × 2 = 4，
所以 的分布列为：
X 0 1 2
P 1 1 1
4 2 4
故选：C.
【变式 2-1】（21-22 高二上·辽宁辽阳·期末）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为 0.8，0.7，他
们各自投篮 1 次，设两人命中总次数为 X，则 X 的分布列为（ ）
A．
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
【解题思路】列出 X 的可能取值，求出每个 X 对应的概率，即可求出分布列.
【解答过程】易知 X 的可能取值为 0，1，2， ( = 0) = 0.2 × 0.3 = 0.06， ( = 1)
= 0.8 × 0.3 + 0.2 × 0.7 = 0.38， ( = 2) = 0.8 × 0.7 = 0.56，
故 X 的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选：D.
【变式 2-2】（23-24 高二下·江苏盐城·期末）盒中有四张卡片，分别标有数字 1，2，3，4，现从盒中任取
两张卡片，记取到偶数的个数为 ．
(1)求 ( = 1)；
(2)求 的分布列．
【解题思路】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意 的可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可得到分布列.
【解答过程】（1） = 1表示的随机事件是“取到的两张卡片上的数字是一个偶数、一个奇数”，
C1×C1 2
所以 ( = 1) = 2 2C2 =4 3；
（2）依题意 的可能取值为0，1，2，
2 1 1
= C2 = 1 = C2×C2 = 2 = C
2 1
则 ( = 0) C2 6， ( = 1) C2 3， ( = 2)
2
C2 = 6，4 4 4
所以 的分布列如下所示：
0 1 2
1 2 1
6 3 6
【变式 2-3】（23-24 高二下·河北秦皇岛·阶段练习）设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求 = | －1|的分布列；
(2)求 1 < 2 ＋1 < 9 ．
【解题思路】（1）计算出 后，结合 的可能取值计算对应概率即可得；
（2）由题意可得 1 < 2 ＋1 < 9 = (0 < < 4) = ( = 1) + ( = 2) + ( = 3)，计算即可得.
【解答过程】（1）0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.3 + = 1，故 = 0.3，
的可能取值为0、1、2、3，
( = 0) = ( = 1) = 0.1， ( = 1) = ( = 0) + ( = 2) = 0.2 + 0.1 = 0.3，
( = 2) = ( = 3) = 0.3， ( = 3) = ( = 4) = 0.3，
故其分布列为：
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
（2）由1 < 2 ＋1 < 9，可得0 < < 4，
故 1 < 2 ＋1 < 9 = ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = 0.1 + 0.1 + 0.3 = 0.5.
【题型 3 利用随机变量分布列的性质解题】
【例 3】（2025 高三·全国·专题练习）下表是离散型随机变量 的概率分布，则常数 a 的值是（ ）
3 4 5 6
1

6 1 12
+ 2 6
A 1．6 B
1 1 1
．12 C．9 D．2
【解题思路】根据分布列的性质可求 的值.
1
【解答过程】由2 + 6 + +
1
2 +
1
6 = 1
1
，解得 = 9，
故选：C.

【变式 3-1】（23-24 高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)（ = 1，
2，3），则 = （ ）
A 3 B 4 C 2 3．4 ．3 ．3 D．2
【解题思路】利用离散型随机变量 X 的分布列的概率之和为 1，代入计算即可.
【解答过程】因为 ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = 1，
1 1 1 1 1 1
所以1×2 + 2×3 + 3×4 = 1 + + = 1 = 1，2 2 3 3 4 4
= 4所以 3．
故选：B．
【变式 3-2】（23-24 高二下·吉林·期末）下表是离散型随机变量 的分布列，则常数 的值是（ ）
0 1 2
0.36 1 2 2
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解题思路】直接根据分布列的概率和为 1 列方程计算即可.
【解答过程】由已知得0.36 + 1 2 + 2 = 1，解得 = 0.2或 = 1.8（舍去）.
故选：B.

【变式 3-3】（23-24 高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2),
( = 0,1,2)，其中 a 是常数，则下列说法不正确的是（ ）
A 4． ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1 B． = 3
C． 8 4(0 ≤ < 2) = 9 D． ( ≥ 1) = 9
【解题思路】根据分布列的性质，求出 ，结合选项，逐项判定，即可求解.

【解答过程】由 ( = ) = ( +1)( +2),( = 0,1,2)，
得 ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1，
4
即2 + 6 + 12 = 1，解得 = 3，故 AB 正确；
2 2 8(0 ≤ < 2) = ( = 0) + ( = 1) = 3 + 9 = 9，故 C 正确；
( ≥ 1) =
2 1 1
( = 1) + ( = 2) = 9 + 9 = 3，故 D 错误.
故选：D.
【题型 4 由随机变量的分布列求概率】
【例 4】（24-25 高二下·全国·课后作业）设 是一个离散型随机变量，其分布列如下，则 (| | = 1)等于
（ ）
1 0 1
1 1 2 2 1
3 3 + 3
A 2 B 1 1 3．3 ．3 C．4 D．4
【解题思路】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可.
1 1
【解答过程】由离散型随机变量的性质可得3 +1 2 + 3
2 + 3 = 1，
1 2
即(3 1)(3 2) = 0，解得 = 3或 = 3，
= 23时1 2 < 0，不合题意， ∴ =
1
3.
∴ (| | = 1) = ( = 1) + ( = 1) = 1 ( = 0) = 23.
故选：A.
【变式 4-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）公园的某个位置摆放了 10 盆牡丹花，编号分别为 0，1，2，
3，…，9，若从中任取 1 盆，则编号“大于 5”的概率是（ ）
A 1 2 3 1．2 B．5 C．5 D．10
【解题思路】设编号为随机变量 ，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式
求 ( > 5)即可.
【解答过程】设任取 1 盆的编号为随机变量 ，
则 的可能取值为 0，1，2，…，9，
且 ( = 0) = ( = 1) = ( = 2) = = ( = 9) = 110，
∴ ( > 5) = ( = 6) + ( = 7) + ( = 8) + ( = 9) = 4 210 = 5．
故选：B.
4-2 23-24 · · X ( = ) = 【变式 】（ 高二下 上海金山 期末）设随机变量 的分布列 2 ( = 1,2,3)，则 ( ≥ 2)的
值为（ ）
A．1 B 3．7 C
4
．7 D
5
．7
【解题思路】由离散型随机变量的分布列性质求出 ，然后求解 ( ≥ 2)即可.

【解答过程】因为随机变量 X 的分布列 ( = ) = 2 ( = 1,2,3)，
8
所以21 + 22 + 23 = 1，解得： = 7，
8 8
2( ≥ 2) = ( = 2) + ( = 3) = 7 + 7 = 7 +
1 = 3.
4 8 7 7
故选：B.
【变式 4-3】（23-24 2 5高二下·辽宁葫芦岛·期末）设随机变量 的分布列如下表，则 < 1 = （ ）
4
1 2 3 4
P 1 a 1 1
12 3 3
A 5 1 7 1．12 B．2 C．12 D．6
2 5
【解题思路】根据题意，解 4 < 1可得 1 < < 4，结合分布列计算 (1 < < 4)，即可得答案.
2 5 2 5
【解答过程】根据题意， 4 < 1，解得1 < < 4，则 < 1 = (1 < < 4)， 4
结合分布列：
(1 < < 4) = ( = 2) + ( = 3) = 1 ( = 1) ( = 4) = 1 1 1 712 3 = 12.
故选：C.
【知识点 2 两点分布】
1．两点分布
(1)两点分布的定义
对于只有两个可能结果的随机试验，用 A 表示“成功”， 表示“失败”，定义 X=
如果 P(A)=p，则 =1-p，那么 X 的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称 X 服从两点分布或 0—1 分布.
(2)两点分布的理解
两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为 1.可设任意一个为 0，另一个相应为 1.
【题型 5 两点分布】
【例 5】（23-24 高二下·福建龙岩·期中）若随机变量 X 服从两点分布， ( = 1) = 0.33，则 ( = 0) =
（ ）
A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77
【解题思路】根据两点分布的概念计算即可.
【解答过程】 ( = 0) = 1 ( = 1) = 0.67.
故选：C.
【变式 5-1】（23-24 高二下·内蒙古赤峰·期中）若 服从两点分布， ( = 1) ( = 0) = 0.34，则 ( = 1)
= （ ）
A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77
【解题思路】利用两点分布的性质可得答案.
【解答过程】依题意可得 ( = 1) + ( = 0) = 1，
( = 1) ( = 0) = 0.34，
1+0.34
所以 ( = 1) = 2 = 0.67.
故选：B.
【变式 5-2】（23-24 高二下·山东聊城·期末）已知随机变量 服从两点分布，且 ( = 0) = 2 2， ( = 1)
= 1，那么 = 2 ．
【解题思路】根据概率之和为 1 即可求解.
1
【解答过程】由题意可知 ( = 0) + ( = 1) = + 2 2 = 1 = 2或 = 1，
由于 > 0，所以 = 12，
1
故答案为：2.
【变式 5-3】（24-25 高二下·河南洛阳·阶段练习）已知随机变量 X 服从两点分布，且 ( = 1) =
3
2 ( = 0)，
则 3( = 1) = 5 ．
【解题思路】根据随机变量 X 服从两点分布，得到 ( = 1) + ( = 0) = 1，再结合条件求解.
【解答过程】解：由随机变量 X 服从两点分布，得 ( = 1) + ( = 0) = 1，
3
又因为 ( = 1) = 2 ( = 0)，
所以 3( = 1) = 5．
3
故答案为：5.
【题型 6 两个相关的随机变量的分布列问题】
【例 6】（24-25 高二下·全国·随堂练习）设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量 = | 1|，则 ( = 1)等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【解题思路】根据 ( = 1) = ( = 0) + ( = 2)计算.
【解答过程】因为 = | 1|，
所以 ( = 1) = ( = 0) + ( = 2) = 0.2 + 0.1 = 0.3.
故选：A.
【变式 6-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.1 0.3 0.2
若随机变量 = 2 2，则 ( = 2)等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【解题思路】由离散型随机变量分布列的性质计算即可.
【解答过程】由离散型随机变量的分布列的性质得0.1 + 0.1 + + 0.2 + 0.3 = 1，
解得 = 0.3，
∵ 随机变量 = 2 2，
∴ ( = 2) = ( = 2) = 0.3．
故选：A.
【变式 6-2】（2024 高二下·全国·专题练习）已知随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 32
π
求随机变量 = sin2 的分布列．
【解题思路】由题意得当 = 1，5 时， = 1；当 = 2，4，6 时， = 0；当 = 3时， = 1．结合互斥概
率加法公式计算相应的概率即可得解.
π
【解答过程】由 = sin2 ，得
当 = 1，5 时， = 1；
当 = 2，4，6 时， = 0；
当 = 3时， = 1．
则 ( = 1) = ( = 1) + ( = 5) = 1 + 1 172 32 = 32，
( = 0) = ( = 2) + ( = 4) + ( = 6) = 1 + 1 1 114 16 + 32 = 32，
( = 1) = ( = 3) = 18，
所以随机变量 Y 的分布列为
Y 1 0 1
P 17 11 1
32 32 8
【变式 6-3】（24-25 高二·全国·课后作业）已知随机变量 的分布列如表所示．
2 1 0 1 2 3
1 1 1 1 1 1
12 4 3 12 6 12
(1)求随机变量 = 2的分布列；
(2)若 11( < ) = 12，求实数 的取值范围．
【解题思路】（1）先根据 = 2及 的所有可能取值得 的所有可能取值，再根据 的取值的概率求出 的取
值的概率，从而可得 的分布列；
（2）根据 的分布列可求出结果.
【解答过程】（1）由随机变量 的分布列知， 的可能取值为 0，1，4，9，
则 1( = 0) = ( = 0) = 3，
1 1 4 1( = 1) = ( = 1或 = 1) = 4 + 12 = 12 = 3，
1 1 3 1( = 4) = ( = 2或 = 2) = 12 + 6 = 12 = 4
= = 1( = 9) ( = 3) 12．
可得随机变量 的分布列如表所示．
0 1 4 9
1 1 1 1
3 3 4 12
1 1 1 11 1 1 1 1
（2）因为3 + 3 + 4 = 12，3 + 3 + 4 + 12 = 1，
又因为 ( < ) =
11
12，所以4 < ≤ 9.
∴实数 的取值范围是(4,9]．
【题型 7 分布列与其他知识综合】
3
【例 7】（23-24 高二下·天津·期中）甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率时4，乙每次击中
2
目标的概率3，假设两人射击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影
响．
(1)求甲至少有 1 次未击中目标的概率；
(2)记甲击中目标的次数为 ，求 的概率分布列；
(3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率．
【解题思路】（1 3）由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为4，射
击 3 次，相当于 3 次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果．
（2）根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概
率，写出分布列．
（3）甲恰比乙多击中目标 2 次，包括甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次，甲恰击中目标 3 次且乙恰击
中目标 1 次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果．
【解答过程】（1）记“甲连续射击 3 次，至少 1 次未击中目标”为事件 1，
由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，
3 3
3 37
射击 次，相当于 3 次独立重复试验，故 ( 1) = 1 ( 1) = 1 ( ) =4 64；
（2）依题可知 的可能取值为 0，1，2，3，
3 3
并且 (3,4)， ( = ) = C
( 33 ) (
1 ) ( = 0,1,2,3)
4 4
1 3 2
即 ( = 0) = ( ) = 164， ( = 1) = C
1
3(
3)( 14 ) =
9
4 4 64，
2 3
( = 2) = C23(
3 ) 1 = 274 64， ( = 3) = (
3 ) = 27
4 4 64，
的概率分布列为：
0 1 2 3
1 9 27 27
64 64 64 64
（3）设甲恰好比乙多击中目标 2 次为事件 A，甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 1，甲恰击中
目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 2，
则 = 1 + 2， 1、 2为互斥事件， ( ) = ( 1) + ( ) =
27 × 1 + 27 × 6 72 64 27 64 27 = 64，
∴ 7甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为64.
【变式 7-1】（2024·湖北黄冈·二模）某校高三年级拟派出甲 乙 丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛
3
分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为4；
2 3 3
乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为3和4；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为 和2 ，其中
1 3
2 < < 4
(1)甲 乙 丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2) 29若甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为72，求 的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 ，求 的分布列.
【解题思路】（1）利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可.
（2）利用互斥事件的加法公式及相互独立事件的概率公式，列式解方程即得.
（3）利用（2）的结论，求出 的可能值及对应的概率列出分布列.
3 2 9 2 3 1
【解答过程】（1）甲进入决赛的概率为 1 = ( ) =4 16，乙进入决赛的概率为 2 = 3 × 4 = 2，
3 2
丙进入决赛的概率为 3 = (2 ) = (
3 ) + 9 1 < < 3 1 9
4 16，而2 4，则2
< 3 < 16，
所以甲进入决赛的可能性最大.
（2）甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为
9
16
1
2 [1 (
3
2 )] +
9
16 (1
1 3
2) (2 ) + (1
9
16)
1 3 29
2 (2 ) = 72，
整理可得18 2 27 + 10 = 0 1 3 2，而2 < < 4，所以 = 3.
3 9 1 5（ ）依题意，甲 乙 丙进入决赛的概率分别为16,2,9，
随机变量 的可能取值有0,1,2,3，
7 1 4 7 29 9 1 5 5( = 0) = 16 × 2 × 9 = 72, ( = 2) = 72, ( = 3) = 16 × 2 × 9 = 32，
= 9 1 5 9 1 5 9 1 5 11( = 1) 16 (1 2) (1 9) + (1 16) 2 (1 9) + (1 16) (1 2) 9 = 32，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
7 11 29 5
72 32 72 32
【变式 7-2】（2024 高三·全国·专题练习）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维
评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图，评分在区间
[90,100]，[70,90)，[60,70)，[50,60)上，分别对应为 A，B，C，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动
与健康的重视，初评获 A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，
1 1
原获 B 等级的学生有4的概率提升为 A 等级；原获 C 等级的学生有5的概率提升为 B 等级；原获 D 等级的学
1
生有6的概率提升为 C 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．
(1)若初评中甲获得 C 等级，乙、丙获得 D 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为 C 等级的人数为 ξ，求 ξ
的分布列；
(2)从全体高三学生中任选 1 人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是 B 等级的概率．
【解题思路】（1）求出 的所有可能取值及其对应的概率，即可求出 ξ 的分布列；
（2）记事件 为“该学生复评晋级”，事件 为“该学生初评是 ”，由条件概率公式与全概率公式代入求解即
可.
【解答过程】（1）依题意 的所有可能取值为0，1，2，3，
所以 ( = 0) =
1 × 5 × 55 6 6 =
5
36，
4 5 5 1 1 5 11
( = 1) = 15 × 6 × 6 + 5 × C2 × 6 × 6 = 18，
= 4( = 2) 5 × C
1 1 5 1 1 1 41 4 1 1 1
2 × 6 × 6 + 5 × 6 × 6 = 180， ( = 3) = 5 × 6 × 6 = 45，
∴ 的分布列如下：
0 1 2 3
5 11 41 1
36 18 180 45
（2）记事件 为“该学生复评晋级”，事件 为“该学生初评是 ”，
( ) 0.6× 1 90
所以 ( | ) = 4 ( ) = 0.6× 1+0.15× 1+0.05× 1 = 113．
4 5 6
【变式 7-3】（23-24 高二下·江苏盐城·期中）从甲、乙、丙、丁 4 人中随机抽取 3 个人去做传球训练.训练
规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每
次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量 ，求 的分布列；
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第 1 次由甲将球传出，记 次传球后球在甲手中的概率为
， = 1,2,3, .
①直接写出 1， 2， 3的值；
②求 +1与 的关系式（ ∈ N*），并求 （ ∈ N*）.
【解题思路】（1）列出随机变量 的所有可能取值并求得对应的概率，写出其分布列即得；
（2）记 1 1 表示事件“经过 次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求得 +1 = 2 + 2， = 1,2,3，再通
过构造等比数列求得数列的通项 即得.
【解答过程】（1） 的可能取值为 2 和 3，
C2 3
则 ( = 2) = 3C3 =
3
4，
C 1
( = 3) = 3C3 =4 4 4
所以随机变量 的分布列为：
2 3
3 1
4 4
（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第 1 次由甲将球传出， 次传球后球在甲手中的概率
为 ， = 1,2,3, ，
1
则有 1 = 0， 2 = 2 × 2 ×
1 = 2 12 22 = 2， = 2 ×
1 1 1 2 1
3 2 × 2 × 2 = 23 = 4.
②记 表示事件“经过 次传球后，球在甲手中”，
+1 = +1 + +1
所以 +1 = ( +1 + +1) = ( +1) + ( +1)
1 1
= ( ) ( +1| ) + ( ) ( +1| ) = (1 ) 2 + 0 = 2 (1 )
即 = 1 +1 2 +
1
2， = 1,2,3，
所以 1 1 1 +1 3 = 2 ，且
1 1
1 3 = 3 ≠ 0.3
1 1 1
所以数列 表示以 3为首项， 2为公比的等比数列，3
1 1 1 1 = × = 1 × 1
1 1 1 1 1
所以 3 3 ，所以 3 + =2 2 3 3 1 2
1 ( 1)
即 次传球后球在甲手中的概率是3 1 + .2 1

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