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专题 7.6 离散型随机变量大题专项训练【六大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 求离散型随机变量的分布列
1．（24-25 高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获
价值 50 元的奖品；有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖.某顾客从此 10 张奖券
中任抽 2 张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值 的分布列，并求出 (5 ≤ ≤ 25)的值.
【解题思路】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率；
（2）由已知有 的可能取值为 0，10，20，50，60 并求出对应概率，即得分布列，进而由 (5 ≤ ≤ 25) =
( = 10) + ( = 20)求值.
2
【解答过程】（1）该顾客中奖的概率 = 1 C6C2 = 1
1 = 2.
10 3 3
（2） 的可能取值为 0，10，20，50，60.
C2 1 C
1C1 2 C2 1
( = 0) = 6 3 6 3C2 = 3， ( = 10) = C2 = 5， ( = 20) = 2 =10 10 C10 15，
C1C1 2 C1C1 1( = 50) = 1 6 1 3C2 = 15， ( = 60) =10 C2 =10 15.
故随机变量 的分布列为
0 10 20 50 60
1 2 1 2 1
3 5 15 15 15
所以 (5 ≤ ≤ 25) = ( = 10) +
2 1 7
( = 20) = 5 + 15 = 15.
2．（23-24 高二下·北京顺义·期中）从一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌4台， 品牌6台．如果从中随
机挑选2台，
(1)求2台电脑中恰好有一台A品牌的概率；
(2)求这2台电脑中 品牌台数的分布列．
【解题思路】（1）先求随机挑选两台的取法共有C210种，再求 2 台电脑种恰有一台 品牌电脑的取法有C1 C14 6
种即可；
（2）由条件确定随机变量 的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.
【解答过程】（1）随机挑选两台的取法共有C210种，
2 台电脑种恰有一台 品牌电脑的取法有C1 14 C6种
C1 12 C 24 8台电脑种恰有一台 品牌电脑的概率是 4 6C2 =10 45 = 15.
（2）2 台电脑种 品牌的台数为 , 可能取值为0,1,2．
( = 0) = C
0 C24 6 15 5
C2 = =10 45 15，
1 1
( = 1) = C4 C6 = 24 8C210 45 = 15，
C2 C0 6 2
( = 2) = 4 6
C2
= = .
10 45 15
所以 的分布列为：
0 1 2
5 8 2
15 15 15
3．（24-25 高二下·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、
迎迎、妮妮.现有 8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮
数量/只 1 2 3 1 1
从中随机地选取 5 只.
(1)求选取的 5 只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；
(2)若选取完整的奥运会吉祥物记 100 分；若选出的 5 只中仅差一种记 80 分；差两种记 60 分；以此类推，
设 表示所得的分数，求 的分布列.
【解题思路】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率；
（2）由已知 的取值为 100，80，60，40，再求出对应的概率，即可得分布列.
C1C11 2C13C1C11 1 6 3
【解答过程】（1）选取的 5 只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率 = C5 = 56 = 28.8
（2） 的取值为 100，80，60，40，
C1 C1 3( = 100) = 2 3C5 =8 28，
2 2 1 1 2
( = 80) = C3 C2 C3+C2 C3 +C
3
3 C2 22+C3 31
C5
=
8 56
，
1 2 2 1 3
( = 60) = C3 C2 C3+C2 C3 +C
2
3 C33 = 9
C5 28，8
C2 C
3 1
( = 40) = 2 3C5 =8 56.
所以 的分布列为
100 80 60 40
3 31 9 1
28 56 28 56
4．（23-24 高二下·广东湛江·期中）A，B 两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、
打成平局和失败分别记 + 3分、m 分和 0 分．比赛两局，已知在每局比赛中 A 获胜、打成平局和战败的概
率分别为 0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立．
(1)若 = 2，求 A 两局得分之和为 5 的概率；
(2)若 = 3，用 X 表示 B 两局比赛的得分之和，求 X 的分布列．
【解题思路】（1）由 A 两局得分之和为 5 等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可；
（2）由题意可知 X 的可能取值为 0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得 X 的分布列．
【解答过程】（1）若 = 2，由已知条件得，A 两局得分之和为 5 等价于一胜一负，
所以 A 两局得分之和为 5 的概率为C12 × 0.2 × 0.5 = 0.2．
（2）因为在一局比赛中 A 获胜、打成平局和战败的概率分别为 0.5，0.3，0.2，
所以在一局比赛中 B 获胜、打成平局和失败的概率分别为 0.2，0.3．0.5，
若 = 3，则 X 的可能取值为 0，3，6，9，12，
( = 0) = 0.52 = 0.25，
( = 3) = C12 × 0.3 × 0.5 = 0.3，
( = 6) = 0.32 + C12 × 0.2 × 0.5 = 0.29，
( = 9) = C12 × 0.2 × 0.3 = 0.12，
( = 12) = 0.22 = 0.04，
所以 X 的分布列为
X 0 3 6 9 12
P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04
5．（2025 高三·全国·专题练习）第 24 届冬季奥林匹克运动会于 2022 年 2 月 4 日至 20 日在北京和张家口举
行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，
特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取 2 题，冬奥知识题中抽取 1 题回答，已知学生（含甲）
3 2
答对每道夏奥知识题的概率为4，答对每道冬奥知识题的概率为3，每题答对与否不影响后续答题.
(1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？
(2)求学生甲答对的题数 X 的分布列.
【解题思路】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解.
（2）根据随机变量 的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解分布列.
3 2 1 3 1 2 7
【解答过程】（1）学生甲恰好答对两题的概率 = × 3 +2 ×4 4 × 4 × 3 = 16.
（2）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3.
2
且 1 1( = 0) = 1 × 3 =4 48，
= C1 × 3 × 1 1
2
( = 1) 12 4 4 × 3 + ×
2 = 1
4 3 6，
7( = 2) = 16，
2
= 3 × 2 3( = 3) 4 3 = 8，
所以 X 的分布列为
0 1 2 3
1 1 7 3
48 6 16 8
题型二 求离散型随机变量的均值
6．（2024 高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知
2 3 1
甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为3，4，2，且他们答对与否互不影响．
(1)已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率；
(2)若答对题目得 2 分，答错题目扣 1 分，用 表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求 的分布列与数学期
望．
【解题思路】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件 , , ，三人中恰有两人答对题目记为事件 ，利用相
互独立事件的概率乘法公式分别求得 ( )， ( )，再由条件概率公式计算；
（2）确定 的所有可能取值为 3，0，3，6，分别计算出概率得分布列，然后由期望公式计算出期望．
【解答过程】（1）甲、乙、丙答对题目分别记为事件 , , ，三人中恰有两人答对题目记为事件 ，
( ) =
2
+ + = 3 ×
3 × 1 2 1 1 1 34 2 + 3 × 4 × 2 + 3 × 4 ×
1
2 =
11
24，
2 3 1 2 1 1 1( ) = + = 3 × 4 × 2 + 3 × 4 × 2 = 3，
( ) 1
所以 8( | ) = = 3 ( ) 11 = 11．
24
（2）由题意可知， 的所有可能取值为 3，0，3，6，
则 1( = 3) = 1 2 × 1 3 × 1 1 = 24，3 4 2
( = 0) = 2 × 3 ×
1 + 2 × 3 × 1 + 21 1 1 1 × 1 3 × 1 1 =
1
2 4 3 ，3 4 3 2 4 2 4
3 1 2 1 2 3 11( = 3) = 1 2 × 3 1
3 4
× 2 + 3 × 1 ×4 2 + 3 × 4 × 1 =2 24，
= 2 × 3 × 1 = 1( = 6) 3 4 2 4．
所以 的分布列为
3 0 3 6
1 1 11 1
24 4 24 4
= 3 × 1 +0 × 1 +3 × 11 +6 × 1 = 11故 ( ) 24 4 24 4 4 ．
7．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，
当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方
2
参加比赛，已知甲每局获胜的概率为3，假设每场比赛的结果相互独立．
(1)求甲以3:1获胜的概率；
(2)设比赛场数为 ．试求 的分布列及数学期望 ( )；
(3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？
【解题思路】（1）根据乘法公式计算即可求解；
（2）根据独立事件的乘法公式计算出 ( = 3), ( = 4), ( = 5)，列出分布列，即可求出 ( )；
（3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论.
【解答过程】（1）若甲以3:1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2:1，
2
所以 = C2 2 1 2 243 =3 3 3 81．
（2）易知 取值为 3，4，5．
3 3
9 1( = 3) = 1 + 2 = =3 3 27 3，
2
= C2 2 × 1 × 2 + C2 1
2
× 2 × 1 = 10( = 4) 3 3 3 3 3 3 ，3 3 27
( = 5) = C2 2
2 1 2
4 × =
8
3 3 27，
故 的概率分布列为：
3 4 5
1 10 8
3 27 27
所以 1的数学期望为： ( ) = 3 × 3 +4 ×
10
27 +5 ×
8 107
27 = 27 ．
（3）采用“五局三胜制”甲会以3:0、3:1、3:2获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率：
= 2
3 2 2 2
+ C2 2 1 2 2 2 1 2 64
3 3
+ C =
3 3 3 4 3 3 3 81
；
采用“三局两胜制”甲会以2:0、2:1获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率：
2 2 1 2 1 2 20 60 = 3 + C2 3 3 3 = 27 = 81
64 60
因为81 > 81，所以甲应该采用“五局三胜制”．
8．（24-25 高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活
动，规则如下：①单选题答对得 20 分，答错得 0 分；②多选题答对得 30 分，选对但不全得 10 分，有错选
得 0 分；③每名竞赛参与者答题 3 道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先
回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为 0.8；多选题全对的概率为 0.4，选对
但不全的概率为 0.3．
(1)若该学生选择方案一，求该学生得分 X 的分布列及数学期望；
(2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？
【解题思路】（1）根据题意，得到随机变量 的取值可能是 0，20，40，60，求得相应的概率，列出分布列，
结合期望的公式，即可求解；
（2）选择方案二，记得分为变量 ，可能取值为0,10,20,30,40,50,70，求得相应的概率，列出分布列，求得
( )，结合 ( ) > ( )，即可得到结论.
【解答过程】（1）解：由题意知，随机变量 的取值可能是 0，20，40，60，
可得 ( = 0) = 0.2 × 0.2 × 0.2 = 0.008，
( = 20) = 0.8 × 0.2 × 0.2 + 0.2 × 0.8 × 0.2 + 0.2 × 0.2 × 0.8 = 0.096，
( = 40) = 0.8 × 0.8 × 0.2 + 0.8 × 0.2 × 0.8 + 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.384，
( = 60) = 0.8 × 0.8 × 0.8 = 0.512，
则变量 的分布列如下表所示：
0 20 40 60
0.008 0.096 0.384 0.512
所以期望为 ( ) = 0 + 20 × 0.096 + 40 × 0.384 + 60 × 0.512 = 48．
（2）解：若该学生选择方案二，记得分为变量 ，则 的取值可能为0,10,20,30,40,50,70，
可得 ( = 0) = 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.012， ( = 10) = 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.012，
( = 20) = 0.3 × 0.8 × 0.2 × 2 = 0.096，
( = 30) = 0.3 × 0.8 × 0.2 × 2 + 0.4 × 0.2 × 0.2 = 0.112，
( = 40) = 0.3 × 0.8 × 0.8 = 0.192，
( = 50) = 0.3 × 0.8 × 0.8 + 0.4 × 0.8 × 0.2 × 2 = 0.32，
( = 70) = 0.4 × 0.8 × 0.8 = 0.256，
则变量 的分布列为：
0 10 20 30 40 50 70
0.11
0.012 0.012 0.096 0.192 0.32 0.256
2
所以期望为 ( ) = 0 × 0.012 + 10 × 0.012 + 20 × 0.096 + 30 × 0.112 + 40 × 0.192
+50 × 0.32 + 70 × 0.256 = 47．
结合（1）知 ( ) > ( )，
所以选择方案一，能使得该生的得分更高．
9．（24-25 高二下·全国·课前预习）在某项目的选拔比赛中， ， 两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，
队队员是 1, 2, 3， 队队员是 1, 2, 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表
中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得 1 分，负队得 0 分（不存在平局），设 队， 队最后所得总分
分别为 ， ，且 + = 3．
对阵队员 队队员胜 队队员负
2 11 1 3 3
2
2 3
2 5 5
3
3 4
3 7 7
(1)求 队得分为 1 分的概率；
(2)求 的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．
【解题思路】（1） 队得分为 1 分，说明三场比赛中， 队队员只赢了一次，根据表格即可求出概率；
（2）由题意可得随机变量 的可能取值为0,1,2,3，根据表格逐一求出概率即可得到分布列,进而得到数学期
望,根据数学期望判断实力强弱.
【解答过程】（1）设 队得分为 1 分的事件为 ，
2 3 4 1 2 4 1 3 3 41
则 ( ) = ( = 1) = 3 × 5 × 7 + 3 × 5 × 7 + 3 × 5 × 7 = 105．
（2）随机变量 的可能取值为0,1,2,3,
1 3 4 12 4( = 0) = 3 × 5 × 7 = 105 = 35，
41( = 1) = 105，
2 2( = 2) = 3 × 5 ×
4 2 3 3 1
7 + 3 × 5 × 7 + 3 ×
2 × 3 = 40 85 7 105 = 21．
2 2 3 12 4( = 3) = 3 × 5 × 7 = 105 = 35．
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
4 41 8 4
35 105 21 35
因此随机变量 的数学期望
( ) = 0 ×
4
35 +1 ×
41 8 4 157
105 +2 × 21 +3 × 35 = 105．
因为 + = 3，所以 = 3 ，
则随机变量 的数学期望
( ) = (3 ) = 3 ( )
= 3 157 158105 = 105，
所以 ( ) < ( )，故 队实力较强．
10．（23-24 高二下·内蒙古赤峰·期中）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛.比赛分为“无
人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第
一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得 4
分，否则得 0 分；“机器人操作”比赛合格得 6 分，否则得 0 分.
已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7.
(1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记 为博文同学的累计得分，求 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由.
【解题思路】（1）依题意可得 的可能取值为0，4，10，求出所对应的概率，即可求出 的分布列；
（2）求出 ( )，若甲同学先进行“机器人操作”，记 为甲同学的累计得分，求出 ( )，即可判断.
【解答过程】（1）由题意得， 的可能取值为0，4，10，
所以 ( = 0) = 1 0.8 = 0.2， ( = 4) = 0.8 × (1 0.7) = 0.24， ( = 10) = 0.8 × 0.7 = 0.56，
所以 的分布列为：
0 4 10
0.2 0.24 0.56
（2）由（1）可得 ( ) = 0 × 0.2 + 4 × 0.24 + 10 × 0.56 = 6.56，
若甲同学先进行“机器人操作”，记 为甲同学的累计得分， 的可能取值为0，6，10，
所以 ( = 0) = 1 0.7 = 0.3， ( = 6) = 0.7 × (1 0.8) = 0.14， ( = 10) = 0.7 × 0.8 = 0.56，
所以 ( ) = 0 × 0.3 + 6 × 0.14 + 10 × 5.6 = 6.44，
因为 ( ) > ( )，所以甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛.
题型三 求离散型随机变量的方差、标准差
11．（24-25 高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育
老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出 4 人进行定点投篮，4 人都投篮一次为一轮活动，已知选出
4 4 1的 位同学中有两位同学进球的概率为5，另外两位同学进球的概率为5．
(1)记一轮活动结束后，进球个数为 ，求 的分布列与方差；
(2)若随机变量 = + ( > 0)，其中 ( ) = 11, ( ) = 16，求 , ．
【解题思路】（1）由题意可知：进球个数 的可能取值为0,1,2,3,4，求分布列，进而可得方差；
（2 16）由（1）可知： ( ) = 2， ( ) = 25，根据期望和方差的性质列式求解即可.
【解答过程】（1）由题意可知：进球个数 的可能取值为0,1,2,3,4，则有：
2 2
16( = 0) = 1 4 × 1 1 =5 5 625，
2
4 1 1 4
2 136
( = 1) = C1 × 1 1 42 5 × 5 × 1 + C5 2 × 5 × 5 × 1 =5 625，
2 2 2 2
4( = 2) = 4 × 1 1 + 1 × 1 4 + C1 × × 1 4 × C1 ×
1 × 1 = 321
5 5 5 5 2 5 5 2 5
1 ，
5 625
2 2
= 4 × C1 × 1 × 1 + 1 × C1 × 4 136( = 3) 45 2 5 1 5 5 2 5 × 1 = ，5 625
2 2
( = 4) = 4 × 1 =
16
5 5 625，
则 的分布列为：
0 1 2 3 4
16 136 321 136 16
625 625 625 625 625
16 136 321
所以 ( ) = 0 × 625 +1 × 625 +2 × 625 +3 ×
136 16
625 +4 × 625 = 2．
16 136( ) = (0 2)2 × 2625 + (1 2) × 625 + (2 2)
2 × 321 + (3 2)2 × 136625 625 + (4 2)
2 × 16 16625 = 25．
2 1 16（ ）由（ ）可知： ( ) = 2， ( ) = 25，
若随机变量 = + ( > 0)，且 ( ) = 11, ( ) = 16，
2 + = 11
可得 16 2 = 16 ，解得 = 5, = 1.
25
12．（24-25 高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由
1 3
对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为3，4，在前 3 次投篮中，乙投篮的次数
为 ，求 的分布列、方差及标准差．
【解题思路】依题意，确定 的所有可能值，计算出每个值对应的概率，列出分布列，运用均值、方差公式
计算即得.
【解答过程】由题意得， 的可能取值为 0，1，2．
1 1 1( = 0) = 3 × 3 = 9，
= 1 2 2 1 7( = 1) 3 × 3 + 3 × 4 = 18，
2 3 1( = 2) = 3 × 4 = 2．
故 的分布列为
0 1 2
1 7 1
9 18 2
( ) = 0 ×
1
9 +1 ×
7
18 +2 ×
1 = 252 18，
2 2
1 7
2 1 149
( ) = 0 25 × 9 + 1
25 × 25
18 18 18
+ 2 × 2 =18 324．
∴ ( ) = 149．18
13．（24-25 高二下·全国·课前预习） , 两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的
概率如下表：
机床
次品数 1 0 1 2 3
0.7 0.2 0.06 0.04
机床
次品数 2 0 1 2 3
0.8 0.06 0.04 0.10
试想利用什么指标可以比较 , 两台机床的加工质量？
【解题思路】先利用随机变量的均值比较，因 ( 1) = ( 2)，无法区分两机床的加工质量，故考虑比较方
差，通过计算得出 ( 1) < ( 2)，即得 机床加工的质量更稳定.
【解答过程】由 ( 1) = 0 × 0.7 + 1 × 0.2 + 2 × 0.06 + 3 × 0.04 = 0.44，
( 2) = 0 × 0.8 + 1 × 0.06 + 2 × 0.04 + 3 × 0.10 = 0.44．
因 ( 1) = ( 2)，即根据数学期望无法区分这两台机床的加工质量，故考虑运用方差.
( 1) = (0 0.44)2 × 0.7 + (1 0.44)2 × 0.2 + (2 0.44)2 × 0.06 + (3 0.44)2 × 0.04 = 0.6074,
( 2) = (0 0.44)2 × 0.8 + (1 0.44)2 × 0.06 + (2 0.44)2 × 0.04 + (3 0.44)2 × 0.10 = 1.0536,
因 ( 1) < ( 2)，故 机床加工的质量更稳定.
由此可见，利用样本方差可以刻画样本数据的稳定性，从而可以较好地比较 , 两台机床的加工质量.
14．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的
重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生
课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随
机抽样，获得数据如表:
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取 1 人，设 为抽出两人中女生的个数，求 的分布列
与数学期望;
(2)在(1)中 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差 ( )与 ( )的大小.
【解题思路】（1）记从方案一中抽取到女生为事件 ，从方案二中抽取到女生为事件 ，根据已知条件求出
( ), ( )， 的可能取值为 0，1，2，求出相应的概率，从而可求得 的分布列与数学期望;
（2）根据方差的性质判断即可.
【解答过程】（1）记从方案一中抽取到女生为事件 ，从方案二中抽取到女生为事件 .
16 2 35 7
则 ( ) = 24+16 = 5, ( ) = 25+35 = 12 ，
则 的可能取值为 0、1、2 .
所以 ( = 0) = 1 2 × 1 7 =
1
5 12 4
，
( = 1) = 2 × 7 + 2 × 7 = 311
5 12 5
1 ，
12 60
( = 2) = 2 × 7 75 12 = 30，
所以 的分布列为:
0 1 2
1 31 7
4 60 30
所以 ( ) = 0 × 14 +1 ×
31 +2 × 7 5960 30 = 60.
（2）依题意可得 = 2 ，
所以 ( ) = (2 ) = ( 1)2 ( ) = ( ),
即 ( ) = ( ).
15．（2024 高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲 乙两名射手进行选拔测试.已知甲 乙两
名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 X，Y，甲 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大
于 6 环，且甲射中 10，9，8，7 环的概率分别为 0.5，3a，a，0.1，乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，
0.3，0.2.
(1)求 X，Y 的概率分布；
(2)求 X，Y 的数学期望与方差，以此比较甲 乙的射击技术并从中选拔一人.
【解题思路】（1）借助概率之和为 1 可计算出 的值及乙射中 7 环的概率，即可得其概率分布；
（2）借助期望及方差的公式计算即可得.
【解答过程】（1）依题意，0.5 + 3 + + 0.1 = 1，解得 = 0.1，
∵ 乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，
∴ 乙射中 7 环的概率为1 (0.3 + 0.3 + 0.2) = 0.2，
∴ 的概率分布为：
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
的概率分布为：
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）可得
( ) = 10 × 0.5 + 9 × 0.3 + 8 × 0.1 + 7 × 0.1 = 9.2（环），
( ) = 10 × 0.3 + 9 × 0.3 + 8 × 0.2 + 7 × 0.2 = 8.7（环），
( ) = (10 9.2)2 × 0.5 + (9 9.2)2 × 0.3 + (8 9.2)2 × 0.1 + (7 9.2)2 × 0.1 = 0.96，
( ) = (10 8.7)2 × 0.3 + (9 8.7)2 × 0.3 + (8 8.7)2 × 0.2 + (7 8.7)2 × 0.2 = 1.21，
由于 ( ) > ( )，说明甲平均射中的环数比乙高，
又因为 ( ) < ( )，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，
所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会.
题型四 二项分布的均值与方差
16．（24-25 高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便
的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，
私家车在此路口遇到红灯的概率为 (0 < < 1)．
(1) 2若遇到红灯的概率为5，求不同时刻的 5 辆私家车在该路口有 3 辆车遇到红灯的概率；
(2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求 5 辆私家车遇到红灯的车辆数 的分布列与期望．
【解题思路】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解；
2 1（ ）由题意确定私家车遇到红灯的概率是2，由二项分布即可求解.
2 2 3 3 2 144
【解答过程】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量 ~ (5,5)，则 ( = 3) = C
3
5 × =5 5 625．
（2）由题设，路口遇到红灯私家车数量 ~ (5, )，
5 (1 ) ≤ 5 +1
2
一辆私家车遇到红灯的方差为 = 52 4，
当且仅当 = 1 = 1 12时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是2．
由题可得， 的可能取值为 = 0,1,2,3,4,5，则
5 5
1( = 0) = 1 = , ( = 1) = C1 1
5
2 32 5
=
2 32，
5 5
( = 2) = C2 1 =
10, = C3 1 = 105 2 32 ( = 3) 5 2 32，
5
5
5 1
( = 4) = C4 1 15 = , = =2 32 ( = 5) 2 32．
所以其分布列为：
0 1 2 3 4 5
1 5 5 5 5 1
32 32 16 16 32 32
1( ) = 0 × 32 +1 ×
5 +2 × 5 +3 × 532 16 16 +4 ×
5
32 +5 ×
1 5
32 = 2．
17．（23-24 高三下·四川攀枝花·阶段练习）某学校食堂中午和晚上都会提供 A，B 两种套餐（每人每次只
2 1
能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择 A 类套餐的概率为3，选择 B 类套餐的概率为3：在
1 3
中午选择 A 类套餐的前提下，晚上还选择 A 类套餐的概率为4，选择 B 类套餐的概率为4；在中午选择 B 类
1 1
套餐的前提下，晚上选择 A 类套餐的概率为2，选择 B 类套餐的概率为2．
(1)求同学甲晚上选择 B 类套餐的概率；
(2)记某宿舍的 4 名同学在晚上选择 B 类套餐的人数为 X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求 X
的分布列及数学期望．
【解题思路】（1）应用互斥事件加法求同学甲晚上选择 B 类套餐的概率；
（2）根据题设易知 (4,23)，应用二项分布概率公式求对应概率写出分布列，进而求期望.
【解答过程】（1）设事件 为甲晚上选 套餐，事件 1为甲中午选 套餐，事件 2为甲中午选 套餐，
2 3 1 1 1 1 1 1 2
则 ( 1 ) = 3 × 4 = 2， ( 2 ) = 3 × 2 = 6，故 ( ) = ( 1 ) + ( 2 ) = 2 + 6 = 3.
2 2
（2）由（1）知： ( ) = 3，则宿舍的 4 名同学晚上选 B 套餐的人数为 (4,3)，
4
所以 ( = ) = C 24( ) (
1 ) , = 0,1,2,3,4
3 3 ，
0 4 1 3
则 ( = 0) = C0 24( ) (
1 ) = 181， ( = 1) = C
1 2 1 8
3 3 4
( ) ( ) =
3 3 81，
2 2 3
( = 2) = C2( 2 ) ( 1 ) = 24 ( = 3) = C3( 2 ) ( 1
1
) = 324 3 3 81， 4 3 3 81，
4 0
( = 4) = C44(
2 ) ( 1 ) = 16
3 3 81，
所以 X 的分布列如下，
0 1 2 3 4
1 8 24 32 16
81 81 81 81 81
则 ( ) = 0 × 1 8 24 32 16 881 +1 × 81 +2 × 81 +3 × 81 +4 × 81 = 3.
18．（23-24 高二下·江西景德镇·期中）2023 年 4 月 15 日是第八个全民国家安全教育日.某校为增强学生的
国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛.比赛规则如下：①比赛分为五轮，每轮比赛设有五道题；②每轮

答题前需要读一段安全知识；③如果答题时有 n 道题回答错误，那么需要被罚2分钟的时间；④最终用时为
答题时间、读安全知识的时间和被罚时间之和，最终用时最少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲每轮读
1 2
安全知识的时间比乙少 12 秒，甲、乙两人每道题答对的概率分别为2和3，假设甲、乙两人的答题用时相同，
且每道题是否答对互不影响.
(1)若在前四轮答题中，甲、乙两人被罚的时间相同，求乙胜甲的概率
(2)若仅从最终用时考虑，试问甲、乙两人哪位的水平更高？并说明理由.
【解题思路】（1）由题意，乙胜甲的基本事件有： {甲对 2 题，乙全对} 、 {甲对 1 题，乙最少对 4 题}、
{甲对 0 题，乙最少对 3 题}，利用二项分布的概率公式求出对应事件的概率，加总即可得结果；
（2）利用二项分布期望公式分别求出甲乙答错题数的期望值，进而比较甲乙最终用时的期望大小，即得结
论.
【解答过程】（1）前四轮答题中甲、乙两人被罚的时间相同，而第 5 轮结束，甲读安全知识的时间比乙少
1 分钟，
所以，要使乙胜甲，则第 5 轮过程中乙被罚时间小于甲被罚时间加 1 分钟，
则基本事件有： {甲对 2 题，乙全对} 、 {甲对 1 题，乙最少对 4 题}、 {甲对 0 题，乙最少对 3 题}，
2 3 5
所以， ( ) = C2( 15 ) (1
1 ) ( 2 ) = 10 10
2 2 3 35
= 243，
1 4 4
( ) = C1( 1 ) (1 1 ) [C4( 2 ) (1 2
1
) + ( 2
5
) ] = 355 2 2 5 3 3 3 486，
5 3
( ) = (1 1 ) [C3( 2 ) (1 2
2 4 2 4 1) + C ( ) (1 2 ) + ( 2
5
) ] = 6
2 5 3 3 5 3 3 3 243，
10 35 6 67
所以乙胜甲的概率为243 + 486 + 243 = 486.
（2）由题意，甲答错 题，则 (25,1) 12 ，乙答错 题，则 (25,3)，
所以 ( ) = 252 ， ( ) =
25 25 25
3 ，故甲、乙被罚期望时间分别为 4 分钟、 6 分钟，
25 25
显然 4 > 6 +1，故乙最终用时的期望值小于甲，则乙水平更高.
19．（2025·新疆·模拟预测）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取
了一个容量为 20 的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）
序号（i） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
长度（ ） 11.6 13.0 12.8 11.8 12.0 12.8 11.5 12.7 13.4 12.4
序号（i） 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
长度（ ） 12.9 12.8 13.2 13.5 11.2 12.6 11.8 12.8 13.2 12.0
(1)估计该种植大户收获的果实长度的平均数 和方差 2；
(2)若这种蔬菜果实的长度不小于 12cm，就可以标为“AAA”级.该种植大户随机从收获的果实中选取 4 个，其
中可以标为“AAA”级的果实数记为 X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计 X 的
数学期望与方差.
20
参考数据： 2 = 3133.6.
=1
【解题思路】（1）利用平均数，方差计算公式结合所给数据可得答案；
（2）因收获的果实数量巨大，则可认为 X 近似服从二项分布，后利用二项分布计算期望，方差公式可得答
案.
【解答过程】（1）由题意知，
11.6 + 13.0 + 12.8 + 11.8 + 12.0 + 12.8 + 11.5 + 12.7 + 13.4 + 12.4 + 12.9 + 12.8 + 13.2
+13.5 + 11.2 + 12.6 + 11.8 + 12.8 + 13.2 + 12.0 = 250.0，
= 250所以 20 = 12.5，
2
1 2 2 2
= 20 1 + 2 + + 20
20
= 1 2 2 2 120 1 + 2 + + 20 2 ( 1 + 2 + + 20) + 20
2 = 2 220 = 0.43. =1
所以估计该种植大户收获的果实长度的平均数和方差分别为 12.5，0.43.
（2 3）由表中数据得，样本中果实长度不小于 12cm 的频率为4.
3
由于收获的果实数量巨大，所以 X 近似服从二项分布，即 ~ 4, ，
4
3
所以 ( ) = 4 × 4 = 3， ( ) = 4 ×
3 3 3
4 × 1 =4 4.
3
所以据此可以估计，X 的数学期望与方差分别为 3，4.
20．（23-24 高二下·陕西宝鸡·期中）2021 年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修
等）的满意度，从 2021 年下半年的会员中随机调查了 25 个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下：
95 88 75 82 90 94 98 65 92 100 85 90 95 77 87 70 89 93 90 84 82 83 97 73 91
根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于 75 分 75 分到 94 分 不低于 95 分
满意度等级 不满意 比较满意 非常满意
(1)根据这 25 个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；
(2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立.
（i）若从下半年的所有会员中随机选取 2 个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率；
（ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取 3 个会员，记评分非常满意的会员的个数为 X，求 X 的分布列，数
学期望 ( )及方差 ( ).
【解题思路】（1）由题目所给数据估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率即可；
（2）以（1）中的频率作为概率，由独立事件的概率公式计算即可，分析 X 的可能取值，由二项分布的概
率公式计算求出分布列，并计算数学期望和方差即可.
【解答过程】（1）由给出的 25 个数据可得，非常满意的个数为 5，
不满意的个数为 3，比较满意的个数为 17，
∵1725 = 0.68,
5
25 = 0.2
∴可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为 0.68 和 0.2.
（2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件 A，
则 ( ) = 0.68 × 0.2 × 2 = 0.272.
（ⅱ）X 的可能取值为 0，1，2，3，
( = 0) = (1 0.2)3 = 0.512， ( = 1) = C13(1 0.2)2 × 0.2 = 0.384，
( = 2) = C23(1 0.2) × 0.22 = 0.096， ( = 3) = 0.23 = 0.008，
则 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
由题可知 ~ (3,0.2)，
∴ ( ) = 0.2 × 3 = 0.6, ( ) = 3 × 0.2 × (1 0.2) = 0.48.
题型五 超几何分布的均值与方差
21．（23-24 高二下·广东东莞·期中）学校要从 5 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人参加社区志愿者服务，
若用 X 表示抽取的志愿者中女生的人数，
(1)求抽取的 2 人恰有 1 个女生的概率；
(2)请写出随机变量 的分布列、数学期望 ( )与方差 ( ).
【解题思路】（1）由古典概型的概率公式计算可得；
（2）由题意可知 的取值为0，1，2，然后由超几何分布求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望
与方差．
1 1
【解答过程】（1）依题意，抽取的2人恰有1个女生的概率 = C5 C2 = 10C27 21；
（2）由题意可知 的可能取值为0，1，2，
2 0 1 1 0 2
则 ( = 0) = C5C2 = 10 ( = 1) = C5C2 = 10 ( = 2) = C5C2 1C2 21， C2 21， C2 =7 7 7 21，
所以 的分布列为：
0 1 2
10 10 1
21 21 21
10
故 ( ) = 0 × 21 +1 ×
10
21 +2 ×
1 4
21 = 7，
2 2 2
( ) = (0 4 ) × 1021 + (1
4 ) × 10 + (2 4 ) × 1 = 50
7 7 21 7 21 147．
22．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔 6 支装一盒，每盒中最多有一支次
1
品，每盒电子笔有次品的概率为10．
(1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测．
①求抽出的两支均是正品的概率；
②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率；
(2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选 3 支电
子笔进行检测，记 为选出的 3 支电子笔中的次品数，求 的期望和方差．
【解题思路】（1）根据全概率公式和条件概率公式求事件的概率.
（2）根据超几何分布概率的计算方法求 对应值的概率，进而求 的期望与方差.
【解答过程】（1）①记事件 ：该盒有次品，事件 ：抽出的两支均是正品，
2
则 ( ) =
1 C 10 2
10， ( | ) =
5
C2 = 15 = 3， | = 1，6
∴ 1 2 9 29( ) = ( ) ( | ) + | = 10 × 3 + 10 × 1 = 30．
( ) ( | ) 1 × 2
② ( | ) = 10 3
2
( ) = 29 = 29．
30
（2）由题意知，两盒电子笔中共有 10 支正品，2 支次品，
∴ 的可能取值为 0，1，2，
C
3
( = 0) = 10C3 =
120 6
12 220
= 11，
1 2
( = 1) =
C2C10 = 90 = 9C3 ，12 220 22
C2 1 ( = 2) = 2
C10 = 10 1C312 220 = 22，
2 2 2
∴ 6( ) = 0 × 11 +1 ×
9
22 +2 ×
1 11 1 1 6 1 9 1 1 15
22 = 22 = 2， ∴ ( ) = 0 × 11 + 1 × 22 + 2 × 22 =2 2 2 44．
23．（24-25 高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于 2023 年 3 月 5 日上午召
开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了 60 名社区居民进行调查，并将结果绘制成如
图所示的频率分布直方图．
(1)以频率估计概率，若社区计划从 60 名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在
区间[30,35)内的概率；
(2)若[20,25)和[40,45]年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取 3 人谈谈对该会议的
感受，设 表示年龄段在[20,25)的人数，求 (7 + 3)．
【解题思路】（1）根据频率分布直方图应用面积和得出概率即可；
（2）应用超几何分布先写出概率，再列出分布列，最后求出数学期望结合性质求出方差即可.
【解答过程】（1）根据频率分布直方图可知，在区间[30,35)的频率为1 5 × (0.01 + 0.06 + 0.04 + 0.02)
= 0.35，
所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间[30,35)内的概率为C2 × 0.352 × 0.65 + C3 × 0.353 =
1127
3 3 4000．
（2）因为社区居民年龄在[20,25)内的人数为60 × 5 × 0.01 = 3，在[40,45]内的人数为 6．
所以 的可能取值为0,1,2,3．
= C
3 5 C1C2 15
则 ( = 0) 6 3 6C3 = , ( = 1) = 3 = ，9 21 C9 28
2 1 3
C( = 2) = 3
C6 3 C 1
C3 = 14, ( = 3) =
3
3 =
9 C9 84
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
5 15 3 1
21 28 14 84
所以 ( ) = 0 ×
5 +1 × 15 +2 × 3 +3 × 1 = 1, 2 = 02 ×
5 + 12 × 15 + 22 × 3 + 3221 28 14 84 21 28 14 ×
1
84 =
126 3
84 = 2，
= 2 [ ( )]2 = 1 = 72 = 49所以 ( ) 2，所以 (7 + 3) ( ) 2 ．
24．（23-24 高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有 10 名同学，成员构成如下表所示.表中部分
数据不清楚，只知道从这 10 名同学中随机抽取 1 2名同学，该名同学的专业为数学的概率为5.
性别 中文 数学 英语 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）.
(1)求 、 的值；
(2)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设 为选出的 3 名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量 的分布列、均值及方差.
【解题思路】（1）先根据已知列方程算出 ，进一步可得 ；
（2）根据古典概型概率计算公式即可求解；
（3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式.
+1 2
【解答过程】（1）由题意得 10 = 5 解得 = 3.
由 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10，得解得 = 1.
1 2 3
2 = C3C3+C3 = 9+1 1（ ）所求的概率为 C3 = .10 120 12
（3）由已知，这 10 名同学中是女生或者专业为数学的人数为 7，Y 的可能取值为 0，1，2，3.
C3 1 C1 2 ( = 0) = 3C3 =
7C3 21 7
10 120
， ( = 1) = C3 =10 120 = 40，
C2C1 ( = 2) = 7 3 63 21 C
3
7 35 7
C3 = = ， ( = 3) = 3 = = ，10 120 40 C10 120 24
所以 Y 的分布列为
Y 0 1 2 3
P 1 7 21 7
120 40 40 24
1 7 21 7 21
均值为 ( ) = 0 × 120 +1 × 40 +2 × 40 +3 × 24 = 10，
2 1 2 7 2 21 2 7 49
方差为 ( ) = 0 21 × + 1 21 × + 2 21 2110 120 ×10 40 10 40 + 3 × =10 24 100.
25．（2025 高三·全国·专题练习）北京时间 2022 年 7 月 25 日 3 时 13 分，问天实验舱成功对接于天和核心
舱前向端口，2022 年 7 月 25 日 10 时 03 分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问
天实验舱．8 月，中国空间站第 2 个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划 10 月发射．中
国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多
学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空
发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等 10 个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常
运行即为程序正确．每位参赛者从 10 个不同的题目中随机选择 3 个进行编程，全部结束后提交评委测试，
若其中 2 个及以上程序正确即为闯关成功．现已知 10 个程序中，甲只能正确完成其中 6 个，乙正确完成每
个程序的概率为 0.6，每位选手每次编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数 X 的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
【解题思路】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可
判断谁的成功的可能性更大.
【解答过程】（1）乙正确完成 2 个程序或者 3 个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件 A，
2 3
则 ( ) = C2 3
2 3 81
3 × + =5 5 5 125．
（2）由题意知随机变量 X 所有可能取值为 0，1，2，3，
C3 1 1 2 2 1 3
则 ( = 0) = 4C3 = 30， ( = 1) =
C6C4 3 C6C4 1 C6 1
C3 =10 10 10， ( = 2) = C3 = 2， ( = 3) =10 C3 = ，10 6
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1 3 1 1
30 10 2 6
1 1 2 81 2
所以甲闯关成功的概率为2 + 6 = 3．因为125 < 3，所以甲比乙闯关成功的可能性大．
题型六 离散型随机变量与其他知识综合
26．（24-25 高二下·全国·课后作业）某外卖公司为提高外卖骑手的服务意识和服务水平，对骑手的服务水
平进行了考核，并从中随机抽取了 100 名骑手，根据这 100 名骑手的服务水平评分制成如下的频率分布直
方图，已知所有骑手的服务水平评分均在区间[76,100]内．
(1)求 及服务水平评分的平均数和中位数（同一组中的数据用该组数据的中间值为代表，结果保留 1 位小
数）；
(2)从服务水平评分在区间[88,92),[92,96),[96,100]内的骑手中用分层抽样的方法抽取 12 人，再从这 12 人中
随机抽取 4 人，记 为 4 人中评分落在[92,96)内的人数，求 的分布列和期望．
【解题思路】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为 1 可求出 ，再利用平均数和中位数的
定义求解；
（2）由题意可知， 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得
到 的分布列，再结合期望公式求解．
【解答过程】（1）由频率分布直方图得(0.010 + 0.055 + 0.065 + 0.070 + + 0.010) × 4 = 1，解得
= 0.040，
服务水平评分的平均数为
(78 × 0.010 + 82 × 0.055 + 86 × 0.065 + 90 × 0.070 + 94 × 0.040 + 98 × 0.010) × 4 = 87.680 ≈ 87.7，
由频率分布直方图，前三组的频率和为0.040 + 0.220 + 0.260 = 0.520 > 0.500，
前两组的频率和为0.040 + 0.220 = 0.260 < 0.500，
所以设中位数为 , ∈ [84,88)，则( 84) × 0.065 = 0.500 0.260，解得 ≈ 87.7．
（2）因为[88,92),[92,96),[96,100]三组频率之比为7:4:1，
所以从[88,92),[92,96),[96,100]三组中分别抽取 7 人，4 人，1 人，
的所有可能取值为 0，1，2，3，4，
= C
4
8 = 14 C
3 1
8C4 224( = 0) C412 99, ( = 1) = C4 = ，12 495
C2 2 = 8C4 = 56 C
1C3 32
( = 2) C4 165, ( = 3) =
8 4
C4 = ，12 12 495
4
( = 4) =
C4 1
C4 = ，12 495
的分布列为：
0 1 2 3 4
14 224 56 32 1
99 495 165 495 495
14 224( ) = 0 × 99 +1 × 495 +2 ×
56 32
165 +3 × 495 +4 ×
1 = 660 4495 495 = 3．
27．（23-24 高二上·安徽宿州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建
筑公司，经过层层筛选，甲 乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方
案：两家公司从 6 个招标问题中随机抽取 3 个问题，已知这 6 个招标问题中，甲公司能正确回答其中 4 道
2
题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为3，甲 乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对 2 道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲 乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【解题思路】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对 2 道题和回答对 3 道题的概率，即可求出结果.
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断.
【解答过程】（1）由题意可知，甲公司至少答对 2 道题目可分为答对两题或者答对三题；
= C
2C14 2 + C
3 4
所求概率 4C3 C3 = 5.6 6
（2）设甲公司正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为1,2,3．
C1 2 2 1 3 0 ( = 1) = 4
C2
C3 =
1 C4C2 3 C C 1
5, ( = 2) = C3 = 5, ( = 3) =
4 2
C3 =6 6 6 5．
则 的分布列为：
1 2 3
1 3 1
5 5 5
∴ 1 3 1( ) = 1 × 5 +2 × 5 +3 × 5 = 2，
1( ) = (1 2)2 × 5 + (2 2)
2 × 35 + (3 2)
2 × 1 25 = 5；
设乙公司正确完成面试的题为 ，则 取值分别为0,1,2,3．
1 2
2 2
( = 0) = 27， ( = 1) = C
1
3 ×
1
3 × =3 9，
2 3
( = 2) = C23 ×
2 × 1 = 4 2 8
3 3 9，
( = 3) = =3 27
则 的分布列为：
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
∴ 1 2 4 8( ) = 0 × 27 +1 × 9 +2 × 9 +3 × 27 = 2．
1 2 4 8 2( ) = (0 2)2 × + (1 2)2 × 2 227 9 + (2 2) × 9 + (3 2) × 27 = 3．
由 ( ) = ( ), ( ) < ( )可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
28．（24-25 高三上·河北邯郸·期末）2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡
塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.11 月 22 日，卡塔尔世界杯小组赛 C 组
第 1 轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队1:2不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场
开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某
足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢 3 次，每次射门的结果相互独立.在 A 处射进一球得 3
分，在 B 处射进一球得 2 分，否则得 0 分.将队员得分逐次累加并用 X 表示，如果 X 的值不低于 3 分就判定
为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案 1：先在 A 处
1
踢一球，以后都在 B 处踢；方案 2：都在 B 处踢球.已知甲队员在 A 处射门的命中率为3，在 B 处射门的命中
4
率为5.
(1)若甲队员选择方案 1，求他测试结束后所得总分 X 的分布列和数学期望 ( )；
(2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
【解题思路】（1）求出 X 的所有可能值，再利用独立事件、互斥事件的概率求出各个取值的概率，列出分
布列求出期望作答.
（2）求出甲分别选方案 1 和方案 2 通过测试的概率，再比较大小作答.
1
【解答过程】（1）设甲队员在 A 处命中的事件为 A，在 B 处命中的事件为 ( = 1,2,3)，有 ( ) = 3, ( ) =
4
5，
X 的所有可能值为 0，2，3，4，
2
( = 0) = ( 1 2) = ( ) ( 1) ( 2) =
2
3 × (
1 ) = 2
5 75，
( = 2) = ( 1 2) + ( 1 2) =
2 4 1 2 1 4 16
3 × 5 × 5 + 3 × 5 × 5 = 75，
2
( = 3) = ( ) = 13， ( = 4) = ( 1
2 4 32
2) = 3 × ( ) =5 75，
所以 X 的分布列为：
X 0 2 3 4
P 2 16 1 32
75 75 3 75
( ) = 0 × 2 +2 × 16 +3 × 1 +4 × 32数学期望 75 75 3 75 =
47
15.
（2）设甲队员选择方案 1 通过测试的概率为 1，选择方案 2 通过测试的概率为 2，
1 32
由（1）知， 1 = ( = 3) + ( = 4) = 3 + 75 =
57
75，
2 = ( 1 2) + ( 1
4 4 1 4 4 4
2 3) + ( 1 2 3) = 5 × 5 + 5 × 5 × 5 + 5 ×
1
5 ×
4 112
5 = 125，显然 2 > 1，
所以甲队员选择方案 2 通过测试的可能性更大.
29．（23-24 高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工
智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性
质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲 乙两口袋中各装
有 1 个黑球和 2 个白球，现从甲 乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行 ( ∈ )次这样的操
作，记口袋甲中黑球的个数为 恰有 1 个黑球的概率为 .
(1)求 1, 2的值；
(2)求 的值（用 表示）；
(3)求 的数学期望 ( ).
【解题思路】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得 1, 1，再结合全概率公式可得
2.
（2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解.
（3）由题意得2 + 1 =
1 1
3(2 1 +

1 1)，结合2 1 + 1 1 = 0，由此可得 = 2 、分布列以及数
学期望.
【解答过程】（1）根据题意可设恰有 2 个黑球的概率为 ，
所以可得恰有 0 个黑球的概率为1 ，
C1C1 = 2 2+C
1C1 11 1 = 5, = C2C
1 2
根据古典概型可得 11 C1C1 9 1 C1C1 =3 3 3 3 9
所以
C12C12 + C1 1 1 1 1 1 1
C1 C2C3 C3C2 49
2 = 1 + + (1 ) =C3C1
1 1 1 1 1 1 1 1
3 C3C3 C3C3 81
（2）由题意得，
C1C12 2 + C1 1 1 1 1 1 = 1
C1 C2C3 C3C2 1 2
C1

C1 1
+ 1 1 1 + 1 1 (1 1 1) = +
3 3 C3C3 C
1
3C3 9 3
进一步整理可以得到下式：
3 1 3
5 = 9 1 5
3 2又 1 5 = 45 ≠ 0
3 2 1
故可以确定 是以首项为 45，公比为 9的等比数列，5
3 2 1
所以 5 = 45 ×
1
9
2 1 1 3
= 45 × 9 + 5
（3）由题意可得
1 1 1 1
=
C2C1 C1C3 2 1
C1C1 1 + C1C1 1 = 9 1 + 3 1①，3 3 3 3
C1C2 C1C1 2
1 = 1 2 3 1 C1C1
1 + 1 1 (1 1 C C 1
) =
3 3 3 3 9
1
1 + 3 (1 1 1)
②，
①-② 2 1，得 + 1 = 3(2 1 + 1 1)，
因为2 1 + 1 1 = 0，所以2 + 1 = 0.
1
所以 = 2 ， 的概率分布列为：
0 1 2
1 1
1
2 2
1 1
( ) = 0 × 1 2 + 1 ×

+ 2 × 2 = 1,
所以 的数学期望 ( )为定值 1.
30．（23-24 高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、
丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他
1 2
们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为2，乙每天选择“共享单车”的概率为3，丙在
3
每月第一天选择“共享单车”的概率为4，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”
1 1
的概率为4，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为3，如此往复.
(1)求 3 月 1 日至少有一人选择“共享单车”出行的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中 3 月 1 日选择“共享单车”出行的人数为 ，求 的分布、期望与方差；
(3)求丙在 3 月份第 ( = 1,2, ,31)天选择“共享单车”的概率 ，并帮丙确定在 3 月份中选择“共享单车”的概
率大于“地铁”的概率的天数.
【解题思路】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案；
（2）确定 X 的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差；
（3 8 5 8）确定 与 1的关系式 17 = 12 1 ，从而构造数列求出 的表达式，结合题意可得需满17
足 >
1
2，讨论 n 的奇偶性，即可求得答案.
1 2 3
【解答过程】（1）由题意可得 3 月 1 日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为1 1 1 1 =
2 3 4
23
24；
（2）由题意知 X 的可能取值为0,1,2,3，
则 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1( = 0) = 2 × 3 × 4 = 24， ( = 1) = 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 4 = 4，
1 2 1 1 1 3 1 2 3 11( = 2) = 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 4 + 2 × 3 × 4 = 24，
( = 3) = 1 × 2 × 3 12 3 4 = 4，
则 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1 1 11 1
24 4 24 4
故 = 0 × 1 +1 × 1 +2 × 11 1 23( ) 24 4 24 +3 × 4 = 12；
2 2 2 2
( ) = 0 23 ×
1
24 + 1
23 × 14 + 2
23 × 1124 + 3
23 × 14 =
95
12 12 12 12 144.
3 3（ ）由题意得 1 = 4，
1 2 5 2
则 = 4 1 + 3(1 1) = 12 1 + 3( = 2,3, ,31)，
8
8 5 8 5
则 17 = 12 1 ，即得
17
8 = 12,( = 2,3, ,31)，17 1 17
又 1
8 = 19 ≠ 0 8 19 517 68 ，故数列 是以68为首项，以 12为公比的等比数列，17
8 19 5 1
故 = 17 + 68 ,12 ( = 1,2, ,31)，
在 3 月份中选择“ 1共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足 > 1 ，即 > 2，
8 + 19 5
1
> 1 5
1
> 2即17 68 12 2，即 12 19，
当 n 为偶数时，上式显然不成立，
1
n 5 > 2故当 为奇数时，有 12 19，
当 = 1 2时，1 > 19成立；
2
当 = 3 5 = 25 > 24时， = 2 > 212 144 144 12 19成立；
4 4 1
当 = 5 5 6 1 2 2 5 2时， < = = < >12 12 16 32 19，即 12 19不成立；
5 1 5 1 2
又 = 12 随 n 的增大而减小，故 ≥ 5时， >12 19均不成立；
1
则只有在第 1 天和第 3 天时有 > 2，
故在 3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数为 2.专题 7.6 离散型随机变量大题专项训练【六大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 求离散型随机变量的分布列
1．（24-25 高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获
价值 50 元的奖品；有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖.某顾客从此 10 张奖券
中任抽 2 张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值 的分布列，并求出 (5 ≤ ≤ 25)的值.
2．（23-24 高二下·北京顺义·期中）从一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌4台， 品牌6台．如果从中随
机挑选2台，
(1)求2台电脑中恰好有一台A品牌的概率；
(2)求这2台电脑中 品牌台数的分布列．
3．（24-25 高二下·全国·课后作业）北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、
迎迎、妮妮.现有 8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮
数量/只 1 2 3 1 1
从中随机地选取 5 只.
(1)求选取的 5 只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率；
(2)若选取完整的奥运会吉祥物记 100 分；若选出的 5 只中仅差一种记 80 分；差两种记 60 分；以此类推，
设 表示所得的分数，求 的分布列.
4．（23-24 高二下·广东湛江·期中）A，B 两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、
打成平局和失败分别记 + 3分、m 分和 0 分．比赛两局，已知在每局比赛中 A 获胜、打成平局和战败的概
率分别为 0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立．
(1)若 = 2，求 A 两局得分之和为 5 的概率；
(2)若 = 3，用 X 表示 B 两局比赛的得分之和，求 X 的分布列．
5．（2025 高三·全国·专题练习）第 24 届冬季奥林匹克运动会于 2022 年 2 月 4 日至 20 日在北京和张家口举
行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，
特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取 2 题，冬奥知识题中抽取 1 题回答，已知学生（含甲）
3 2
答对每道夏奥知识题的概率为4，答对每道冬奥知识题的概率为3，每题答对与否不影响后续答题.
(1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？
(2)求学生甲答对的题数 X 的分布列.
题型二 求离散型随机变量的均值
6．（2024 高三·全国·专题练习）甲、乙、丙三位同学参加一项知识竞赛活动，每人需回答一个问题，已知
2 3 1
甲、乙、丙三位同学答对题目的概率分别为3，4，2，且他们答对与否互不影响．
(1)已知三人中恰有两人答对题目，求甲答对题目的概率；
(2)若答对题目得 2 分，答错题目扣 1 分，用 表示甲、乙、丙三位同学的得分之和，求 的分布列与数学期
望．
7．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，
当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方
2
参加比赛，已知甲每局获胜的概率为3，假设每场比赛的结果相互独立．
(1)求甲以3:1获胜的概率；
(2)设比赛场数为 ．试求 的分布列及数学期望 ( )；
(3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？
8．（24-25 高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活
动，规则如下：①单选题答对得 20 分，答错得 0 分；②多选题答对得 30 分，选对但不全得 10 分，有错选
得 0 分；③每名竞赛参与者答题 3 道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先
回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为 0.8；多选题全对的概率为 0.4，选对
但不全的概率为 0.3．
(1)若该学生选择方案一，求该学生得分 X 的分布列及数学期望；
(2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？
9．（24-25 高二下·全国·课前预习）在某项目的选拔比赛中， ， 两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，
队队员是 1, 2, 3， 队队员是 1, 2, 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表
中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得 1 分，负队得 0 分（不存在平局），设 队， 队最后所得总分
分别为 ， ，且 + = 3．
对阵队员 队队员胜 队队员负
1
2 1
1 3 3
2
2 3
2 5 5
3 43 3 7 7
(1)求 队得分为 1 分的概率；
(2)求 的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．
10．（23-24 高二下·内蒙古赤峰·期中）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛.比赛分为“无
人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第
一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得 4
分，否则得 0 分；“机器人操作”比赛合格得 6 分，否则得 0 分.
已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7.
(1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记 为博文同学的累计得分，求 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由.
题型三 求离散型随机变量的方差、标准差
11．（24-25 高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育
老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出 4 人进行定点投篮，4 人都投篮一次为一轮活动，已知选出
4 4 1的 位同学中有两位同学进球的概率为5，另外两位同学进球的概率为5．
(1)记一轮活动结束后，进球个数为 ，求 的分布列与方差；
(2)若随机变量 = + ( > 0)，其中 ( ) = 11, ( ) = 16，求 , ．
12．（24-25 高二下·全国·课前预习）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由
1 3
对方投篮，第一次由甲投篮．已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为3，4，在前 3 次投篮中，乙投篮的次数
为 ，求 的分布列、方差及标准差．
13．（24-25 高二下·全国·课前预习） , 两台机床同时加工口罩，每生产一批数量较大的产品时，出次品的
概率如下表：
机床
次品数 1 0 1 2 3
0.7 0.2 0.06 0.04
机床
次品数 2 0 1 2 3
0.8 0.06 0.04 0.10
试想利用什么指标可以比较 , 两台机床的加工质量？
14．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的
重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保学生
课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行简单随
机抽样，获得数据如表:
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取 1 人，设 为抽出两人中女生的个数，求 的分布列
与数学期望;
(2)在(1)中 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差 ( )与 ( )的大小.
15．（2024 高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲 乙两名射手进行选拔测试.已知甲 乙两
名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 X，Y，甲 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大
于 6 环，且甲射中 10，9，8，7 环的概率分别为 0.5，3a，a，0.1，乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，
0.3，0.2.
(1)求 X，Y 的概率分布；
(2)求 X，Y 的数学期望与方差，以此比较甲 乙的射击技术并从中选拔一人.
题型四 二项分布的均值与方差
16．（24-25 高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便
的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，
私家车在此路口遇到红灯的概率为 (0 < < 1)．
(1) 2若遇到红灯的概率为5，求不同时刻的 5 辆私家车在该路口有 3 辆车遇到红灯的概率；
(2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求 5 辆私家车遇到红灯的车辆数 的分布列与期望．
17．（23-24 高三下·四川攀枝花·阶段练习）某学校食堂中午和晚上都会提供 A，B 两种套餐（每人每次只
2 1
能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择 A 类套餐的概率为3，选择 B 类套餐的概率为3：在
1 3
中午选择 A 类套餐的前提下，晚上还选择 A 类套餐的概率为4，选择 B 类套餐的概率为4；在中午选择 B 类
1 1
套餐的前提下，晚上选择 A 类套餐的概率为2，选择 B 类套餐的概率为2．
(1)求同学甲晚上选择 B 类套餐的概率；
(2)记某宿舍的 4 名同学在晚上选择 B 类套餐的人数为 X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求 X
的分布列及数学期望．
18．（23-24 高二下·江西景德镇·期中）2023 年 4 月 15 日是第八个全民国家安全教育日.某校为增强学生的
国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛.比赛规则如下：①比赛分为五轮，每轮比赛设有五道题；②每轮

答题前需要读一段安全知识；③如果答题时有 n 道题回答错误，那么需要被罚2分钟的时间；④最终用时为
答题时间、读安全知识的时间和被罚时间之和，最终用时最少者获胜.已知甲、乙两人参加比赛，甲每轮读
1 2
安全知识的时间比乙少 12 秒，甲、乙两人每道题答对的概率分别为2和3，假设甲、乙两人的答题用时相同，
且每道题是否答对互不影响.
(1)若在前四轮答题中，甲、乙两人被罚的时间相同，求乙胜甲的概率
(2)若仅从最终用时考虑，试问甲、乙两人哪位的水平更高？并说明理由.
19．（2025·新疆·模拟预测）某种植大户购买了一种新品种蔬菜种子，种植后从收获的蔬菜果实中随机选取
了一个容量为 20 的样本，得到果实长度数据如下表：（单位：cm）
序号（i） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
长度（ ） 11.6 13.0 12.8 11.8 12.0 12.8 11.5 12.7 13.4 12.4
序号（i） 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
长度（ ） 12.9 12.8 13.2 13.5 11.2 12.6 11.8 12.8 13.2 12.0
(1)估计该种植大户收获的果实长度的平均数 和方差 2；
(2)若这种蔬菜果实的长度不小于 12cm，就可以标为“AAA”级.该种植大户随机从收获的果实中选取 4 个，其
中可以标为“AAA”级的果实数记为 X.若收获的果实数量巨大，并以样本的频率估计总体的概率，估计 X 的
数学期望与方差.
20
参考数据： 2 = 3133.6.
=1
20．（23-24 高二下·陕西宝鸡·期中）2021 年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修
等）的满意度，从 2021 年下半年的会员中随机调查了 25 个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下：
95 88 75 82 90 94 98 65 92 100 85 90 95 77 87 70 89 93 90 84 82 83 97 73 91
根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于 75 分 75 分到 94 分 不低于 95 分
满意度等级 不满意 比较满意 非常满意
(1)根据这 25 个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；
(2)以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立.
（i）若从下半年的所有会员中随机选取 2 个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率；
（ⅱ）若从下半年的所有会员中随机选取 3 个会员，记评分非常满意的会员的个数为 X，求 X 的分布列，数
学期望 ( )及方差 ( ).
题型五 超几何分布的均值与方差
21．（23-24 高二下·广东东莞·期中）学校要从 5 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人参加社区志愿者服务，
若用 X 表示抽取的志愿者中女生的人数，
(1)求抽取的 2 人恰有 1 个女生的概率；
(2)请写出随机变量 的分布列、数学期望 ( )与方差 ( ).
22．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知外形完全一样的某品牌电子笔 6 支装一盒，每盒中最多有一支次
1
品，每盒电子笔有次品的概率为10．
(1)现有一盒电子笔，抽出两支进行检测．
①求抽出的两支均是正品的概率；
②已知抽出的两支是正品，求剩余产品有次品的概率；
(2)已知甲、乙两盒电子笔中均有次品，由于某种原因将两盒电子笔完全随机地混在一起，现随机选 3 支电
子笔进行检测，记 为选出的 3 支电子笔中的次品数，求 的期望和方差．
23．（24-25 高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于 2023 年 3 月 5 日上午召
开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了 60 名社区居民进行调查，并将结果绘制成如
图所示的频率分布直方图．
(1)以频率估计概率，若社区计划从 60 名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在
区间[30,35)内的概率；
(2)若[20,25)和[40,45]年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取 3 人谈谈对该会议的
感受，设 表示年龄段在[20,25)的人数，求 (7 + 3)．
24．（23-24 高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有 10 名同学，成员构成如下表所示.表中部分
2
数据不清楚，只知道从这 10 名同学中随机抽取 1 名同学，该名同学的专业为数学的概率为5.
性别 中文 数学 英语 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）.
(1)求 、 的值；
(2)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设 为选出的 3 名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量 的分布列、均值及方差.
25．（2025 高三·全国·专题练习）北京时间 2022 年 7 月 25 日 3 时 13 分，问天实验舱成功对接于天和核心
舱前向端口，2022 年 7 月 25 日 10 时 03 分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问
天实验舱．8 月，中国空间站第 2 个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划 10 月发射．中
国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多
学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空
发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等 10 个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常
运行即为程序正确．每位参赛者从 10 个不同的题目中随机选择 3 个进行编程，全部结束后提交评委测试，
若其中 2 个及以上程序正确即为闯关成功．现已知 10 个程序中，甲只能正确完成其中 6 个，乙正确完成每
个程序的概率为 0.6，每位选手每次编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数 X 的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
题型六 离散型随机变量与其他知识综合
26．（24-25 高二下·全国·课后作业）某外卖公司为提高外卖骑手的服务意识和服务水平，对骑手的服务水
平进行了考核，并从中随机抽取了 100 名骑手，根据这 100 名骑手的服务水平评分制成如下的频率分布直
方图，已知所有骑手的服务水平评分均在区间[76,100]内．
(1)求 及服务水平评分的平均数和中位数（同一组中的数据用该组数据的中间值为代表，结果保留 1 位小
数）；
(2)从服务水平评分在区间[88,92),[92,96),[96,100]内的骑手中用分层抽样的方法抽取 12 人，再从这 12 人中
随机抽取 4 人，记 为 4 人中评分落在[92,96)内的人数，求 的分布列和期望．
27．（23-24 高二上·安徽宿州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建
筑公司，经过层层筛选，甲 乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方
案：两家公司从 6 个招标问题中随机抽取 3 个问题，已知这 6 个招标问题中，甲公司能正确回答其中 4 道
2
题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为3，甲 乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对 2 道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲 乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
28．（24-25 高三上·河北邯郸·期末）2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡
塔尔和中东国家境内举行，也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.11 月 22 日，卡塔尔世界杯小组赛 C 组
第 1 轮比赛中，梅西领衔的阿根廷队1:2不敌沙特阿拉伯队.梅西在开场阶段打入一粒点球，但沙特在下半场
开局后连入两球反超比分，这也是亚洲球队在本届世界杯上获得的首场胜利！为提升球队的射门技术，某
足球队进行一次足球定点射门测试，规定每人最多踢 3 次，每次射门的结果相互独立.在 A 处射进一球得 3
分，在 B 处射进一球得 2 分，否则得 0 分.将队员得分逐次累加并用 X 表示，如果 X 的值不低于 3 分就判定
为通过测试，立即停止射门，否则应继续射门，直到踢完三次为止.现有两种射门方案，方案 1：先在 A 处
B 2 B . A 1踢一球，以后都在 处踢；方案 ：都在 处踢球已知甲队员在 处射门的命中率为3，在 B 处射门的命中
4
率为5.
(1)若甲队员选择方案 1，求他测试结束后所得总分 X 的分布列和数学期望 ( )；
(2)你认为甲队员选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
29．（23-24 高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工
智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性
质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲 乙两口袋中各装
有 1 个黑球和 2 个白球，现从甲 乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行 ( ∈ )次这样的操
作，记口袋甲中黑球的个数为 恰有 1 个黑球的概率为 .
(1)求 1, 2的值；
(2)求 的值（用 表示）；
(3)求 的数学期望 ( ).
30．（23-24 高二下·上海·期末）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、
丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他
1 2
们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为2，乙每天选择“共享单车”的概率为3，丙在
每月第一天选择“ 3共享单车”的概率为4，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”
1 1
的概率为4，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为3，如此往复.
(1)求 3 月 1 日至少有一人选择“共享单车”出行的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中 3 月 1 日选择“共享单车”出行的人数为 ，求 的分布、期望与方差；
(3)求丙在 3 月份第 ( = 1,2, ,31)天选择“共享单车”的概率 ，并帮丙确定在 3 月份中选择“共享单车”的概
率大于“地铁”的概率的天数.

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