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专题 7.5 正态分布【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 正态密度函数】 ........................................................................................................................................2
【题型 2 正态曲线的特点】 ....................................................................................................................................3
【题型 3 利用正态曲线的对称性求概率】 ............................................................................................................4
【题型 4 根据正态曲线的对称性求参数】 ............................................................................................................4
【题型 5 利用 3σ 原则求概率】 ..............................................................................................................................5
【题型 6 标准正态分布的应用】 ............................................................................................................................6
【题型 7 正态分布的实际应用】 ............................................................................................................................6
【题型 8 正态分布与其他知识综合】 ....................................................................................................................7
【知识点 1 正态分布】
1．连续型随机变量
随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为 0，称这类随机变量为连续型随机变量.
2．正态分布
(1)正态曲线
函数 f(x)= ，x∈R.其中 μ∈R，σ>0 为参数.我们称 f(x)为正态密度函数，称它的图象为正
态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 .特别地，
当 μ=0，σ=1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布.
(3)正态分布的均值和方差
若 ，则 E(X)=μ，D(X)=σ2.
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x=μ 对称；
(3)曲线在 x=μ 处达到峰值 ；
(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴；
(5)对任意的 σ>0，曲线与 x 轴围成的面积总为 1；
(6)在参数 σ 取固定值时，正态曲线的位置由 μ 确定，且随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；
(7)当 μ 取定值时，正态曲线的形状由 σ 确定，当 σ 较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量 X 的
分
布比较集中；当 σ 较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量 X 的分布比较分散，如图乙所示.
4．3σ 原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827；
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
(2)3σ 原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X 只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学
中称为 3σ 原则.
5．正态分布问题的解题策略
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴 x=μ；
(2)标准差 σ；
(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由 μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转
化为 3σ 特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x=0.
【题型 1 正态密度函数】
1
【例 1】（23-24 高二上·全国·课后作业）设随机变量 X 服从正态分布，且相应的概率密度函数为 ( ) = 6π

2 4 +4
e 6 ，则（ ）
A． = 2, = 3 B． = 3, = 2
C． = 2, = 3 D． = 3, = 3
( + )21 1 ( )2
【变式 1-1】（2025 高二·全国·课后作业）给出下列函数：① ( ) = e 2 2 ；② ( ) = e 4 ；③ ( ) =2 2
1 2 1e 4 ；④ ( ) = e ( )2 ，其中 ∈ ( ∞, + ∞)2 2 ， > 0，则可以作为正态分布密度函数的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1 ( +3)
2
【变式 1-2】（24-25 高二·全国·课后作业）设随机变量 的正态分布密度函数为 ( ) = 2 π e 4 ， ∈
( ∞, + ∞)，则参数 ， 的值分别是（ ）
A． = 3， = 2 B． = 3， = 2
C． = 3， = 2 D． = 3， = 2
1 2
【变式 1-3】（24-25 高二·全国·课后作业）已知随机变量 的正态密度函数为 ( ) = e 88 ( ∈ )，则其均
值和标准差分别是（ ）
A．0 和 8 B．0 和 4 C．0 和 2 D．0 和 1
【题型 2 正态曲线的特点】
【例 2】（2025 高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数 ( )( ∈ , = 1,2,3)的图象如图所
示，则（ ）
A． 1 < 2 = 3, 1 = 2 > 3 B． 1 > 2 = 3, 1 = 2 < 3
C． 1 = 2 < 3, 1 < 2 = 3 D． 1 < 2 = 3, 1 = 2 < 3
【变式 2-1】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分
别服从正态分布 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)，其正态分布的密度曲线如图所示，则（ ）
A． 1 = 2 > 3 B． 1 = 2 < 3
C． 1 > 2 = 3 D． 1 < 2 = 3
【变式 2-2】（2024 高二下·全国·专题练习）已知正态分布 (1, 2)的正态密度曲线如图所示， ~ (1, 2)，
则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A 1．2
1
( ≤ 0) B．2 ( ≥ 2)
C 1．2
1 1
(1 ≤ ≤ 2) D．2 ( ≤ 2) 2 ( ≤ 0)
【变式 2-3】（23-24 高二下·山东聊城·期末）设随机变量 1， 21 ， 22， 2 ，这两个正态分布
密度曲线如图所示，则（ ）
A． 1 > 2 B． 1 < 2
C． ( ≤ 1) > ( ≥ 2) D． ( ≤ 2) > ( ≤ 1)
【题型 3 利用正态曲线的对称性求概率】
【例 3】（23-24 高二下·山东滨州·期末）若随机变量 ~ (60, 2)，且 ( ≤ 40) = 0.2，则 ( ≤ 80) =
（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【变式 3-1】（24-25 高二上·河南南阳·期末）已知随机变量 服从正态分布 (3, 2), ( ≤ 4) = 0.84，则
(2 < ≤ 4) = （ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
【变式 3-2】（24-25 高三·上海·课堂例题）若随机变量 (6,1)，且 (5 < ≤ 7) = ， (4 < ≤ 8) = ，
则 (4 < ≤ 7)等于（ ）
A + 1 ． 2 B． 2 C． 2 D
1
． 2
【变式 3-3】（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知随机变量 ( , 2)，若其对应的正态密度函数 ( )
满足 (2 ) = ( )，且 ( ≤ 0) = 0.1，则 (1 ≤ ≤ 2) = （ ）
A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1
【题型 4 根据正态曲线的对称性求参数】
【例 4】（2025·福建厦门·一模）已知随机变量 X 服从正态分布 (1, 2)，若 ( ≤ ) = 0.3，且 ( ≤ ≤ + 2)
= 0.4，则 = （ ）
A．-1 B 1 1． 2 C．0 D．2
【变式 4-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）设随机变量 ~ (1,52)，且 ( ≤ 0) = ( ≥ 2)，则实数
的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式 4-2】（24-25 高二下·河北张家口·阶段练习）已知随机变量 服从正态分布 (4, 2)，若 ( ≤ 1 + 2 )
+ ( ≤ 1 ) = 1，则 = （ ）
A． 1 B．0 C．2 D．6
4-3 23-24 · · 2 = 1 + 4【变式 】（ 高二下 广西玉林 期末）已知 (2,5 )，且 ( ≤ 1) ( ≥ + 1)，则 (0 < < )
的最小值为（ ）
A 5 9．3 B．2 C．2 D．6
【题型 5 利用 3σ 原则求概率】
【例 5】（24-25 高二上·江西南昌·期末）学校有 1000 名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩
服从正态分布 (75,100)，估计竞赛成绩在65分到85分之间的人数约为（ ）人.
（参考数据 ( < < + ) = 0.6826， ( 2 < < + 2 ) = 0.9544，
( 3 < < + 3 ) = 0.9974）
A．683 B．342 C．954 D．477
【变式 5-1】（23-24 高二下·福建三明·期末）现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一
2
个物理量，其测量误差 通常被认为服从正态分布.若某物理量做 次测量，测量结果的误差 0, ，要

1
控制| | ≥ 2的概率不大于 0.0027，至少要测量的次数为（ ）
（参考数据： ( 3 ≤ ≤ + 3 ) = 0.9973)
A．288 B．188 C．72 D．12
【变式 5-2】（23-24 高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩 X 服从正态分
布 (95,82)，将考试成绩从高到低，按照 16%，34%，34%，16%的比例分为 A，B，C，D 四个等级．若小
明的数学成绩为 105 分，则属于等级（ ）
（附： ( < < + ) ≈ 0.68， ( 2 < < + 2 ) ≈ 0.95,， ( 3 < < + 3 ) ≈ 0.99）
A．A B．B C．C D．D
【变式 5-3】（23-24 高二下·重庆·期末）某次高二质量抽测中，学生的数学成绩 服从正态分布
(96,144)．已知参加本次考试的学生约有 10000 人，如果小明在这次考试中数学成绩为 120 分，则小明的数
学成绩在本次抽测的名次大约是（　　）
附：若 ( , 2)，则 ( < < + ) = 0.6827， ( 2 < < + 2 ) = 0.9545
A．第 228 名 B．第 455 名 C．第 1587 名 D．第 3173 名
【题型 6 标准正态分布的应用】
【例 6】（2024·江苏徐州·模拟预测）随机变量 服从正态分布 (1, 2)，随机变量 服从标准正态分布
(0,1)，若 ( < 1) = ( < 4) = ，则 (1 < < 1 + ) = ．（用字母 表示）
【变式 6-1】（2024·山东潍坊·二模）设随机变量 X 服从标准正态分布 ~ (0,1)，那么对于任意 a，记 ( )
= ( < )，已知 ( ) = 0.7，则 (| | < )= ．
【变式 6-2】（23-24 高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分
析得到：坐公交车平均用时 30min，样本方差为 36；骑自行车平均用时 34min，样本方差为 4，假设坐公交
车用时 ~ (30,62)，骑自行车用时 ~ (34,22)，则（ ）
A． ( ≤ 38) > ( ≤ 38) B． ( ≤ 34) > ( ≤ 34)
C．如果有 38 分钟可用，小明应选择坐公交车D．如果有 34 分钟可用，小明应选择自行车
【变式 6-3】（2024 高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023 年高考总成绩由语文、数学、
外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考
生原始成绩从高到低划分为 , + , , + , , + , , 共 8 个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占
比例分别为 3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等
级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],
[31,40],[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩
(50,256)，那么 + 等级的原始分最低大约为（　　）

（参考数据：① 若 ( , 2), = ，则 (0,1)；② 当 (0,1)时， ( ≤ 1.3) ≈ 0.9）
A．57 B．64 C．71 D．77
【题型 7 正态分布的实际应用】
【例 7】（24-25 高三上·湖南·阶段练习）某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为 150 分，90 分以上
（含 90 分）为及格．阅卷结果显示，全年级 1200 名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数
（难度系数 = 平均分/满分）为 0.49，标准差为 22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若
( , 2)，记 ( ) = ( ≤ ≤ + )，则 (0.75) ≈ 0.547, (1) ≈ 0.683．
A．136 人 B．272 人 C．328 人 D．820 人
【变式 7-1】（24-25 高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了 100 次坐公
交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时 30min，样本标准差为 6；骑自行车平均
用时34min，样本方差为 4.假设坐公交车用时 和骑自行车用时 都服从正态分布，则下列说法正确的是（参
考数值：随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( < < + ) = 0.6827，
( 2 < < + 2 ) = 0.9545， ( 3 < < + 3 ) = 0.9973）（ ）
A． (30,6)
B． (34,42)
C．若某天只有38 min可用，则李明上学应该选择坐公交车
D．若某天只有34 min可用，则李明上学应该选择坐公交车
【变式 7-2】（24-25 高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从正态分布
~ (95,225).
(1)试求考试成绩 X 位于区间[65,125]内的概率；
(2)若这次考试共有 3000 名考生，试估计考试成绩位于区间[80,110]内的考生人数.
（参考数据： ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545）
【变式 7-3】（24-25 高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市
从 2021 年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高
考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须
从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适
应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有 30000 人选考物理，考
后物理成绩 X（满分 100 分）服从正态分布 (55,102)．
(1)分别估计成绩在[45,65]和 75 分以上者的人数；（运算过程中精确到 0.0001，最后结果保留为整数）
附 1： ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973；
(2) 本次考试物理成绩 X 服从正态分布 ( , 2)．令 = ，则 η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前 25
％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
附 2：若 η～N（0，1），则 ( < 0.8) ≈ 0.75．
【题型 8 正态分布与其他知识综合】
【例 8】（24-25 高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺
应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关
部门对 1000 家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示．
(1)计算该市化工企业的平均得分 （同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）；
(2)已知化工企业的得分情况 近似服从正态分布 ( , 2)，其中 = , 2 = 162，则得分在[67,83]内的企业大
约有多少家；
(3)按照（2）中概率分布随机抽取 100 家化工企业，分数不低于 19 分的企业有多少家时概率最大．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( < < + ) = 0.6826，
( 2 < < + 2 ) = 0.9544， ( 3 < < + 3 ) = 0.9974．
【变式 8-1】（23-24 高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022 年
报考该试点高校的学生的笔试成绩 ′近似服从正态分布 ( , 2).其中， 近似为样本平均数， 2近似为样本
方差 2.已知 的近似值为 76.5，s 的近似值为 5.5，以样本估计总体.
(1)假设有 84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少
(2)若笔试成绩高于 76.5 进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取 10 人，设其中进入面试学生数为
，求随机变量 的期望.
(3) 1 1 1 1现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为3、3、2、2.设这 4 名学生中通
过面试的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
参考数据：若 ~ ( , 2)，则： ( < ≤ + ) ≈ 0.6827； ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545；
( 3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
【变式 8-2】（23-24 高二下·湖南邵阳·期中）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的
240 位居民的得分（满分 100 分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
(1)若此次知识问答的得分 X 服从 ( ,82)，其中 近似为参与本次活动的 240 位居民的平均得分（同一组中
的数据用该组区间的中点值代表），求 (66 < ≤ 90)的值；
(2)本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于 的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分
2 1
不低于 的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有3的机会抽中一张 10 元的话费充值卡，有3的机会抽中一
张 20 元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话
费充值卡的总金额 Y 的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额.
参考数据： ( < ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
【变式 8-3】（23-24 高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的
就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市
2024 年共有 10000 名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩 ~ (60,102)，只有笔试成绩高于
70 分的考生才能进入面试环节.
(1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的 10000 名笔试考生中，进入面试的人数（结果只
保留整数）；
(2)现有甲、乙、丙 3 3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为4,
2
3,
1
2，设这 3 名考生中通过面试的人
数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.
参考数据：若 ~ ， 2 ，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.专题 7.5 正态分布【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 正态密度函数】 ........................................................................................................................................2
【题型 2 正态曲线的特点】 ....................................................................................................................................3
【题型 3 利用正态曲线的对称性求概率】 ............................................................................................................6
【题型 4 根据正态曲线的对称性求参数】 ............................................................................................................7
【题型 5 利用 3σ 原则求概率】 ..............................................................................................................................8
【题型 6 标准正态分布的应用】 ..........................................................................................................................10
【题型 7 正态分布的实际应用】 ..........................................................................................................................12
【题型 8 正态分布与其他知识综合】 ..................................................................................................................15
【知识点 1 正态分布】
1．连续型随机变量
随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为 0，称这类随机变量为连续型随机变量.
2．正态分布
(1)正态曲线
函数 f(x)= ，x∈R.其中 μ∈R，σ>0 为参数.我们称 f(x)为正态密度函数，称它的图象为正
态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 .特别地，
当 μ=0，σ=1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布.
(3)正态分布的均值和方差
若 ，则 E(X)=μ，D(X)=σ2.
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x=μ 对称；
(3)曲线在 x=μ 处达到峰值 ；
(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴；
(5)对任意的 σ>0，曲线与 x 轴围成的面积总为 1；
(6)在参数 σ 取固定值时，正态曲线的位置由 μ 确定，且随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；
(7)当 μ 取定值时，正态曲线的形状由 σ 确定，当 σ 较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量 X 的
分
布比较集中；当 σ 较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量 X 的分布比较分散，如图乙所示.
4．3σ 原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827；
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
(2)3σ 原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X 只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学
中称为 3σ 原则.
5．正态分布问题的解题策略
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴 x=μ；
(2)标准差 σ；
(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由 μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转
化为 3σ 特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x=0.
【题型 1 正态密度函数】
1
【例 1】（23-24 高二上·全国·课后作业）设随机变量 X 服从正态分布，且相应的概率密度函数为 ( ) = 6π
2 4 +4
e 6 ，则（ ）
A． = 2, = 3 B． = 3, = 2
C． = 2, = 3 D． = 3, = 3
【解题思路】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解.
1 2
2
4 +4 1
( 2)
【解答过程】由正态分布密度函数 ( ) = e 6 = e 2×( 3)2 = 2, =6π 2π 3 ，可得 3.
故选：C.
1 ( + )
2
1 ( )2
【变式 1-1】（2025 高二· 全国·课后作业）给出下列函数：① ( ) = e 2 2 ( ) = e 4 ( ) =2 ；② 2 ；③
1 2 1e 4 ( ) = e ( )2
2 2 ；④ ，其中 ∈ ( ∞, + ∞)， > 0，则可以作为正态分布密度函数的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据正态分布密度函数的定义逐个分析判断.
2
1 ( + )
【解答过程】对于①， ( ) = e 2 2 ，由于 ∈ ( ∞, + ∞)2 ，所以 ∈ ( ∞, + ∞)，故它可以作为正态
分布密度函数；
1 ( )2 1 ( )2
对于② ，若 = 1，则应为 ( ) = e 2 ，若 = 2，则应为 ( ) = e 42 2 2 ，均与所给函数不相符，
故它不能作为正态分布密度函数；
对于③，它就是当 = 2， = 0时的正态分布密度函数；
对于④，它是当 = 2时的正态分布密度函数．
2
所以一共有 3 个函数可以作为正态分布密度函数．
故选：C.
1 ( +3)2
【变式 1-2】（24-25 高二·全国·课后作业）设随机变量 的正态分布密度函数为 ( ) = 2 π e

4 ， ∈
( ∞, + ∞)，则参数 ， 的值分别是（ ）
A． = 3， = 2 B． = 3， = 2
C． = 3， = 2 D． = 3， = 2
【解题思路】由正态分布密度函数的概念即得.
【解答过程】由正态分布密度函数表达式知 = 3， = 2.
故选：D.
1 2
【变式 1-3】（24-25 · 高二 全国·课后作业）已知随机变量 的正态密度函数为 ( ) = e 88 ( ∈ )，则其均
值和标准差分别是（ ）
A．0 和 8 B．0 和 4 C．0 和 2 D．0 和 1
【解题思路】根据正态总体的概率密度函数的意义直接求解即可.
【解答过程】由 ( )的形式，知 的均值和标准差分别为 0 和 2.
1 ( )
2
正态总体的概率密度函数为 ( ) = 2σ22 ,
1
2
根据 ( ) = e 88 ( ∈ )，可得其均值为 0，标准差为 2，
故选：C.
【题型 2 正态曲线的特点】
【例 2】（2025 高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数 ( )( ∈ , = 1,2,3)的图象如图所
示，则（ ）
A． 1 < 2 = 3, 1 = 2 > 3 B． 1 > 2 = 3, 1 = 2 < 3
C． 1 = 2 < 3, 1 < 2 = 3 D． 1 < 2 = 3, 1 = 2 < 3
【解题思路】根据正态密度函数的对称轴的位置可得 的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得 的
大小关系.
【解答过程】因为正态密度函数 2( )和 3( )的图象关于同一条直线对称，所以 2 = 3.
又 2( )的图象的对称轴在 1( )的图象的对称轴的右边，所以 1 < 2 = 3.
因为 越大，曲线越“矮胖”. 越小，曲线越“瘦高”，
由图可知，正态密度函数 1( )和 2( )的图象一样“瘦高”， 3( )的图象明显“矮胖”，
所以 1 = 2 < 3.
故选：D.
【变式 2-1】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分
别服从正态分布 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)，其正态分布的密度曲线如图所示，则（ ）
A． 1 = 2 > 3 B． 1 = 2 < 3
C． 1 > 2 = 3 D． 1 < 2 = 3
【解题思路】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得.
【解答过程】观察曲线知， 1 < 2 = 3.
故选：D.
【变式 2-2】（2024 高二下·全国·专题练习）已知正态分布 (1, 2)的正态密度曲线如图所示， ~ (1, 2)，
则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）
A 1 1．2 ( ≤ 0) B．2 ( ≥ 2)
C 1 1 1．2 (1 ≤ ≤ 2) D．2 ( ≤ 2) 2 ( ≤ 0)
【解题思路】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得.
【解答过程】正态分布 (1, 2)的正态密度曲线关于直线 = 1对称，
1 1
可得图中阴影部分可表示为 (0 ≤ ≤ 1) = ( ≤ 1) ( ≤ 0) = 2 ( ≤ 0) = 2 ( ≥ 2)，故选项 A，B
正确；
对 C 1：由对称性可得2 (1 ≤ ≤ 2) = ( ≥ 2) = ( ≤ 0)，故选项 C 错误；
对 D：由对称性可得 (0 ≤ ≤ 1) = (1 ≤ ≤ 2)，
1
所以图中阴影部分面积可表示为 (0 ≤ ≤ 1) = 2[ ( ≤ 2) ( ≤ 0)]，故选项 D 正确．
故选：C．
【变式 2-3】（23-24 高二下·山东聊城·期末）设随机变量 ， 2 21 1 ， 2， 2 ，这两个正态分布
密度曲线如图所示，则（ ）
A． 1 > 2 B． 1 < 2
C． ( ≤ 1) > ( ≥ 2) D． ( ≤ 2) > ( ≤ 1)
【解题思路】由密度曲线结合正态分布性质求解即可.
【解答过程】 的密度曲线的对称轴在 的密度曲线的对称轴的左边，即 1 < 2.
的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即 1 > 2，故 AB 错误；
因为 ( ≤ 1) = 0.5, ( ≥ 2) = 0.5，所以 C 错误；
因为 ( ≤ 2) > 0.5, ( ≤ 1) < 0.5，所以 D 正确；
故选：D.
【题型 3 利用正态曲线的对称性求概率】
【例 3】（23-24 高二下·山东滨州·期末）若随机变量 ~ (60, 2)，且 ( ≤ 40) = 0.2，则 ( ≤ 80) =
（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【解题思路】由对称性先得出 ( ≥ 80) = 0.2，进而得出 ( ≤ 80).
【解答过程】因为 ( ≤ 40) = 0.2，所以 ( ≥ 80) = 0.2，所以 ( ≤ 80) = 1 0.2 = 0.8.
故选：D.
【变式 3-1】（24-25 高二上·河南南阳·期末）已知随机变量 服从正态分布 (3, 2), ( ≤ 4) = 0.84，则
(2 < ≤ 4) = （ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
【解题思路】根据正态曲线的对称性计算即可求解.
【解答过程】由题意得 (3 < ≤ 4) = 0.84 0.5 = 0.34，
由正态曲线的对称性知 (2 < ≤ 3) = (3 < ≤ 4) = 0.34，
所以 (2 < ≤ 4) = 0.34 × 2 = 0.68．
故选：C.
【变式 3-2】（24-25 高三·上海·课堂例题）若随机变量 (6,1)，且 (5 < ≤ 7) = ， (4 < ≤ 8) = ，
则 (4 < ≤ 7)等于（ ）
A + 1 1 ． 2 B． 2 C． 2 D． 2
【解题思路】利用正态密度曲线的对称性，即可求解.
【解答过程】随机变量 (6,1)，且 (5 < ≤ 7) = ， (4 < ≤ 8) = ，

由正态密度曲线的对称性可知， (4 < ≤ 5) = 2 ，
+
所以 (4 < ≤ 7) = 2 + = 2 ．
故选：B.
【变式 3-3】（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知随机变量 ( , 2)，若其对应的正态密度函数 ( )
满足 (2 ) = ( )，且 ( ≤ 0) = 0.1，则 (1 ≤ ≤ 2) = （ ）
A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1
【解题思路】由 (2 ) = ( )可得对应的正态曲线的对称轴为 = 1，根据正态曲线的对称性可得结果.
【解答过程】由 (2 ) = ( )，则正态密度函数 ( )关于 = 1对称，即 = 1，
则 (1 ≤ ≤ 2) = (0 ≤ ≤ 1) = 0.5 ( ≤ 0) = 0.5 0.1 = 0.4.
故选：C.
【题型 4 根据正态曲线的对称性求参数】
【例 4】（2025·福建厦门·一模）已知随机变量 X 服从正态分布 (1, 2)，若 ( ≤ ) = 0.3，且 ( ≤ ≤ + 2)
= 0.4，则 = （ ）
A．-1 B． 1 12 C．0 D．2
【解题思路】根据正态分布的对称性，即可求得答案.
【解答过程】由题意知随机变量 X 服从正态分布 (1, 2)， ( ≤ ) = 0.3，
如图所示，结合 ( ≤ ≤ + 2) = 0.4，得 ( ≥ + 2) = 0.3，
可知 , + 2关于 = 1对称，所以 + + 2 = 2 × 1，解得 = 0，
故选：C．
【变式 4-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）设随机变量 ~ (1,52)，且 ( ≤ 0) = ( ≥ 2)，则实数
的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】由已知结合正太分布密度曲线性质即可得解.
【解答过程】因为 ~ (1,52)，所以正态分布密度曲线的对称轴为 = 1，
因为 ( ≤ 0) = ( ≥ 2) 0+ 2，所以 2 = 1 = 4.
故选：B.
【变式 4-2】（24-25 高二下·河北张家口·阶段练习）已知随机变量 服从正态分布 (4, 2)，若 ( ≤ 1 + 2 )
+ ( ≤ 1 ) = 1，则 = （ ）
A． 1 B．0 C．2 D．6
【解题思路】由正态分布性质可得答案.
【解答过程】因为 ( ≤ 1 + 2 ) + ( ≤ 1 ) = 1，所以
( ≤ 1 + 2 ) = 1 ( ≤ 1 ) = ( > 1 )，因为随机变量服从正态分布 (4, 2)，所以
1 + 2 + 1 = 2 × 4，解得： = 6.
故选：D.
【变式 4-3】（23-24 高二下·广西玉林·期末）已知 1 4(2,52)，且 ( ≤ 1) = ( ≥ + 1)，则 + (0 < < )
的最小值为（ ）
A 5．3 B．2 C
9
．2 D．6
1 1 4 1 4
【解题思路】由正态密度曲线的对称性求出 的值，然后将 [ + ( )]与 + 相乘，展开后可求得 +
(0 < < )的最小值.
1+ +1
【解答过程】因为 (2,52)，且 ( ≤ 1) = ( ≥ + 1)，则 2 = 2，解得 = 2，
因为0 < < 2，则0 < 2 < 2，
1 + 4 1 1 1所以， 2 = 2[ + (2 )] +
4 = 2 4
2 2
5 + +
2
≥ 1 92 5 + 2
2 4 = ，
2 2
2 = 4
当且仅当 2 时，即当 = 23时，等号成立，0 < < 2
1 4 9
故 + 2 (0 < < 2)的最小值为2.
故选：C.
【题型 5 利用 3σ 原则求概率】
【例 5】（24-25 高二上·江西南昌·期末）学校有 1000 名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩
服从正态分布 (75,100)，估计竞赛成绩在65分到85分之间的人数约为（ ）人.
（参考数据 ( < < + ) = 0.6826， ( 2 < < + 2 ) = 0.9544，
( 3 < < + 3 ) = 0.9974）
A．683 B．342 C．954 D．477
【解题思路】由正态分布概率模型求出竞赛成绩在65分到85分的概率，然后估计人数即可.
【解答过程】由于竞赛成绩 服从正态分布 (75,100)，
所以 = 75， = 10，
所以 (65 < < 85) = (75 10 < < 75 + 10) = 0.6826，
故该校 1000 名学生竞赛成绩在65分到85分之间的人数约为：1000 × 0.6826 = 682.6 ≈ 683，
故选：A.
【变式 5-1】（23-24 高二下·福建三明·期末）现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一
2
个物理量，其测量误差 通常被认为服从正态分布.若某物理量做 次测量，测量结果的误差 0, ，要

1
控制| | ≥ 2的概率不大于 0.0027，至少要测量的次数为（ ）
（参考数据： ( 3 ≤ ≤ + 3 ) = 0.9973)
A．288 B．188 C．72 D．12
【解题思路】根据题意得 | | ≥ 1 ≤ 0.0027，可得 | | < 1 ≥ 1 0.0027 = 0.9973，然后根据正态分布的
2 2
概率求法可求得结果.
【解答过程】因为 0, 2 2，所以 = 0， = ，

1
根据题意得 | | ≥ ≤ 0.0027 1，则 | | < ≥ 1 0.0027 = 0.9973，
2 2
即 1 < < 1 ≥ 0.9973，
2 2
因为 = 0，所以 ( 3 ≤ ≤ 3 ) = 0.9973，
3 ≤ 1 2所以 2，所以 ≤
1
6，解得 ≥ 72，
所以至少要测量的次数为 72 次，
故选：C.
【变式 5-2】（23-24 高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩 X 服从正态分
布 (95,82)，将考试成绩从高到低，按照 16%，34%，34%，16%的比例分为 A，B，C，D 四个等级．若小
明的数学成绩为 105 分，则属于等级（ ）
（附： ( < < + ) ≈ 0.68， ( 2 < < + 2 ) ≈ 0.95,， ( 3 < < + 3 ) ≈ 0.99）
A．A B．B C．C D．D
【解题思路】根据正态分布的性质即可求解.
【解答过程】数学测试成绩服从正态分布 (95,82)，则 = 95， = 8，
由于 , 等级的概率之和为16% +16% = 32% = 1 ( < < + )，
所以 ( < ) = ( > + ) = 1 (| |≤ )2 = 0.16
1 (| | ≤ )
( < 87) = ( > 103) = 2 = 0.16
，而 ( < < ) = ( < < + ) = 0.34,即 (87 < < 95) = (95 < < 103) = 0.34,
故 > 103为 A 等级，95 < < 103为 B 等级，87 < < 95为 C 等级， < 87为 D 等级，
故 105 分为 A 等级．
故选：A.
【变式 5-3】（23-24 高二下·重庆·期末）某次高二质量抽测中，学生的数学成绩 服从正态分布
(96,144)．已知参加本次考试的学生约有 10000 人，如果小明在这次考试中数学成绩为 120 分，则小明的数
学成绩在本次抽测的名次大约是（　　）
附：若 ( , 2)，则 ( < < + ) = 0.6827， ( 2 < < + 2 ) = 0.9545
A．第 228 名 B．第 455 名 C．第 1587 名 D．第 3173 名
【解题思路】借助正态分布定义及正态曲线的性质计算可得 ( ≥ 120)，即可得解.
【解答过程】由 (96,144)， + 2 = 96 + 24 = 120， 2 = 96 24 = 72，
= 0.9545 = 1 0.9545则 (72 < < 120) ，故 ( ≥ 120) 2 = 0.02275，
10000 × 0.02275 = 227.5 ≈ 228，
故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第 228 名.
故选：A.
【题型 6 标准正态分布的应用】
【例 6】（2024·江苏徐州·模拟预测）随机变量 服从正态分布 (1, 2)，随机变量 服从标准正态分布
(0,1)，若 ( < 1) = ( < 4) = ，则 (1 < < 1 + ) =
1
2 ．（用字母 表示）
1
【解题思路】根据随机变量 服从标准正态分布 (0,1)，得到 ( < < + ) = 2，再结合随机变量 服
从正态分布 (1, 2)可得答案.
【解答过程】随机变量 服从标准正态分布 (0,1)，根据对称性可知
1
( < 0) = 2，
1 1
因为 ( < 1) = ，所以 (0 < < 1) = 2，即 ( < < + ) = 2，
1
随机变量 服从正态分布 (1, 2)，根据对称性可知 ( < 1) = 2，
1( < 4) = ，则 (1 < < 4) = 2，即
1
(1 < < 1 + ) = 2.
1故答案为： 2.
【变式 6-1】（2024·山东潍坊·二模）设随机变量 X 服从标准正态分布 ~ (0,1)，那么对于任意 a，记 ( )
= ( < )，已知 ( ) = 0.7，则 (| | < )= 0.4 ．
【解题思路】根据正太分布密度曲线的对称性即可求解.
【解答过程】由题可知，
(| | < ) = ( < < ) = 1 2 ( > ) = 1 2[1 ( )]
= 1 2 × (1 0.7) = 0.4.
故答案为：0.4.
【变式 6-2】（23-24 高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分
析得到：坐公交车平均用时 30min，样本方差为 36；骑自行车平均用时 34min，样本方差为 4，假设坐公交
车用时 ~ (30,62)，骑自行车用时 ~ (34,22)，则（ ）
A． ( ≤ 38) > ( ≤ 38) B． ( ≤ 34) > ( ≤ 34)
C．如果有 38 分钟可用，小明应选择坐公交车D．如果有 34 分钟可用，小明应选择自行车
【解题思路】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答过程】因为 ~ (30,62)， ~ (34,22)，
, 30 34将 化为标准正态分布，则 6 (0,1), 2 (0,1)，
38 30 38 34
因为 6 < 2 ，所以 ( ≤ 38) < ( ≤ 38)，故 A 错误；
又 ( ≤ 34) > 1 12, ( ≤ 34) = 2， ( ≤ 34) > ( ≤ 34)，故 B 正确；
因为 ( ≤ 38) < ( ≤ 38)，所以如果有 38 分钟可用，小明应选择自行车，故 C 错误；
因为 ( ≤ 34) > ( ≤ 34)，所以如果有 34 分钟可用，小明应选择坐公交车，故 D 错误.
故选：B．
【变式 6-3】（2024 高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023 年高考总成绩由语文、数学、
外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考
生原始成绩从高到低划分为 , + , , + , , + , , 共 8 个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占
比例分别为 3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E 等
级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],
[31,40],[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩
(50,256)，那么 + 等级的原始分最低大约为（　　）
（参考数据：① 若 ( , 2), =

，则 (0,1)；② 当 (0,1)时， ( ≤ 1.3) ≈ 0.9）
A．57 B．64 C．71 D．77
【解题思路】首先计算排在 + 等级最低分后面的学生约为学生总数的 90%，结合 = ，以及当 (0,1)
50时， ( ≤ 1.3) ≈ 0.9，可得到 16 ≤ 1.3，计算即可得到答案．
【解答过程】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在 + 等级最低分后面的学生约为学生总数的 90%.
因为原始成绩 (50,256)，所以 = 50, = 16.
= 令 ，则 (0,1)；又当 (0,1)时， ( ≤ 1.3) ≈ 0.9，
50
所以 16 ≤ 1.3，解得 ≤ 70.8，所以 B＋等级的原始分最低大约为 71.
故选：C.
【题型 7 正态分布的实际应用】
【例 7】（24-25 高三上·湖南·阶段练习）某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为 150 分，90 分以上
（含 90 分）为及格．阅卷结果显示，全年级 1200 名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数
（难度系数 = 平均分/满分）为 0.49，标准差为 22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若
( , 2)，记 ( ) = ( ≤ ≤ + )，则 (0.75) ≈ 0.547, (1) ≈ 0.683．
A．136 人 B．272 人 C．328 人 D．820 人
【解题思路】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩 ~ (73.5,222)，再根据所给条件求出
(57 ≤ ≤ 90)，即可求出 ( ≥ 90)，即可估计人数．
【解答过程】由题得 = 0.49 × 150 = 73.5, = 22，
∵ ( ) = ( ≤ ≤ + ), (0.75) ≈ 0.547，
∴ (57 ≤ ≤ 90)
= (0.75) ≈ 0.547，
( ≥ 90) = 0.5 × (1 0.547) = 0.2265，
∴ 该校及格人数为0.2265 × 1200 ≈ 272（人），
故选：B．
【变式 7-1】（24-25 高三下·广东·开学考试）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了 100 次坐公
交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时 30min，样本标准差为 6；骑自行车平均
用时34min，样本方差为 4.假设坐公交车用时 和骑自行车用时 都服从正态分布，则下列说法正确的是（参
考数值：随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( < < + ) = 0.6827，
( 2 < < + 2 ) = 0.9545， ( 3 < < + 3 ) = 0.9973）（ ）
A． (30,6)
B． (34,42)
C．若某天只有38 min可用，则李明上学应该选择坐公交车
D．若某天只有34 min可用，则李明上学应该选择坐公交车
【解题思路】根据正态分布的定义及性质判断 A，B，结合正态分布的对称性及概率计算判断 C，D.
【解答过程】由题意可设 2 21, 1 ， 2, 2 ，
由题意可得 1 = 30， 1 = 6， 2 = 34， 2 = 2，所以 A，B 错误；
因为 ( ≤ 38) = ( ≤ 30) + (30 < ≤ 38) < ( ≤ 30) + (30 < ≤ 42)
= ( ≤ 1) + ( 1 < ≤ 1 + 2 1)
= 0.5 + 12 ( 1 2 1 < ≤ 1 + 2 1) = 0.5 + 0.47725 = 0.97725，
( ≤ 38) = ( ≤ 34) + (34 < ≤ 38) = ( ≤ 2) + ( 2 < ≤ 2 + 2 2)
= 0.5 + 12 ( 2 2 2 < ≤ 2 + 2 2) = 0.5 + 0.47725 = 0.97725，
所以 ( ≤ 38) < ( ≤ 38)，故 C 错误；
因为 ( ≤ 34) = ( ≤ 30) + (30 < ≤ 34) = 0.5 + (30 < ≤ 34) > 0.5，
( ≤ 34) = 0.5，所以 ( ≤ 34) > ( ≤ 34)，故 D 正确.
故选：D.
【变式 7-2】（24-25 高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩 X 服从正态分布
~ (95,225).
(1)试求考试成绩 X 位于区间[65,125]内的概率；
(2)若这次考试共有 3000 名考生，试估计考试成绩位于区间[80,110]内的考生人数.
（参考数据： ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545）
【解题思路】（1）由题意可知 = 95, = 15，进而根据参考数据求事件65 ≤ ≤ 125的概率；
（2）根据正态分布性质求事件80 ≤ ≤ 110的概率，结合频数频率关系求结论.
【解答过程】（1）∵ (95,225)，
∴ = 95, = 15.
∵ 2 = 95 2 × 15 = 65，
+ 2 = 95 + 2 × 15 = 125.
且 ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
∴ (65 ≤ ≤ 125) ≈ 0.9545.
（2）∵ = 95 15 = 80，
+ = 95 + 15 = 110，
且 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，
∴ (80 ≤ ≤ 110) ≈ 0.6827，
∴考试成绩位于区间[80,110]内的考生人数为3000 × 0.6827 ≈ 2048（人）.
【变式 7-3】（24-25 高三上·上海·单元测试）辽宁、广东、河北、湖北、湖南、江苏、福建、重庆等八省市
从 2021 年起全部采用“3＋1＋2”的新高考模式．“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目考试参加统一高
考，由教育部考试中心统一命题，以原始成绩计入考生总成绩；“1”指的是物理和历史中的一科，考生必须
从物理和历史两个科目中选择一科，由各省自主命题，以原始成绩计入考生总成绩．为了让考生更好的适
应新高考模式，某省几个地市进行了统一的高考适应性考试．在所有入考考生中有 30000 人选考物理，考
后物理成绩 X（满分 100 分）服从正态分布 (55,102)．
(1)分别估计成绩在[45,65]和 75 分以上者的人数；（运算过程中精确到 0.0001，最后结果保留为整数）
附 1： ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973；
(2) 本次考试物理成绩 X 服从正态分布 ( , 2)．令 = ，则 η～N（0，1），若本次考试物理成绩的前 25
％划定为优秀等级，试估计物理优秀等级划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
附 2：若 η～N（0，1），则 ( < 0.8) ≈ 0.75．
【解题思路】（1）由题意可得 = 55, = 10，则可得 (45 ≤ ≤ 65) ≈ 0.6827，从而可估算出成绩在[45,65]
的人数，根据正态分布曲线的对称性求出 ( > 75)，从而可估算出成绩在 75 分以上的人数；
55 55
（2）设该划线分为 m，由题意可得 ≥ 10 ， ( ≥ 0.8) ≈ 0.25，则 10 ≈ 0.8，从而可求出 .
【解答过程】（1）因为 (55,102)，所以 = 55, = 10，
又 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，所以 (45 ≤ ≤ 65) ≈ 0.6827，
所以成绩在[45,65]的人数约为30000 × 0.6827 = 20481人，
由正态分布曲线的对称性可得： (35 ≤ ≤ 75) = ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
则 ( > 75) = 1 (35≤ ≤75)2 ≈ 0.0228，
所以估计 75 分以上的人数约为30000 × 0.0228 = 684人；
（2）设该划线分为 m，由 (55,102)，得 = 55， = 10，
= = 55 55令 10 ≥ 10 ，
由题意因为 η～N（0，1）， ( < 0.8) ≈ 0.75，
55
所以 ( ≥ 0.8) ≈ 0.25，所以 10 ≈ 0.8，
所以 ≈ 63．
【题型 8 正态分布与其他知识综合】
【例 8】（24-25 高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺
应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关
部门对 1000 家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示．
(1)计算该市化工企业的平均得分 （同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）；
(2)已知化工企业的得分情况 近似服从正态分布 ( , 2)，其中 = , 2 = 162，则得分在[67,83]内的企业大
约有多少家；
(3)按照（2）中概率分布随机抽取 100 家化工企业，分数不低于 19 分的企业有多少家时概率最大．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ( , 2)，则 ( < < + ) = 0.6826，
( 2 < < + 2 ) = 0.9544， ( 3 < < + 3 ) = 0.9974．
【解题思路】（1）利用平均数的定义求解；
（2）由（1）知化工企业的得分情况 ~ (51，162)，再利用正态分布曲线的对称性求解；
（3）由（2）可知得分不低于 19 分的企业数 ~ (100,0.9772)，再利用二项分布的概率公式求解．
【解答过程】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为 =
(10 × 0.0050 + 30 × 0.0125 + 50 × 0.0150 + 70 × 0.0100 + 90 × 0.0075) × 20 = 51．
（2）由（1）知化工企业的得分情况 (51,162)．因为67 = 51 + 16,83 = 51 + 16 × 2，
所以 (67 ≤ ≤ 83) = (0 ≤ ≤ 83) (0 ≤ < 67)
= (0 ≤ ≤ 51 + 16 × 2) (0 ≤ < 51 + 16)
= 1 0.9544 0.68262[ ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ( ≤ ≤ + )] ≈ 2 = 0.1359．
可得所求企业大约有0.1359 × 1000 ≈ 136家．
0.9544
（3）由（2）得 ( ≥ 19) = ( ≥ 2 ) ≈ 0.5 + 2 = 0.9772，
所以每家企业得分不低于 19 分的概率为 0.9772，
则得分不低于 19 分的企业数 (100,0.9772)．
其中恰有 家企业得分不低于 19 分的概率为 ( = ) = C 100 (1 )100 ，
( = ) (101 ) ( = ) ( +1)(1 )
令 ( = 1) = (1 ) > 1， ( = +1) = (100 ) > 1，
可得101 1 < < 101 ,101 = 98.6972，解得 = 98，
故在走访的 100 家化工企业中，分数不低于 19 分的企业有 98 家时概率最大．
【变式 8-1】（23-24 高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022 年
报考该试点高校的学生的笔试成绩 ′近似服从正态分布 ( , 2).其中， 近似为样本平均数， 2近似为样本
方差 2.已知 的近似值为 76.5，s 的近似值为 5.5，以样本估计总体.
(1)假设有 84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少
(2)若笔试成绩高于 76.5 进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取 10 人，设其中进入面试学生数为
，求随机变量 的期望.
(3) 1 1 1 1现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为3、3、2、2.设这 4 名学生中通
过面试的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
参考数据：若 ~ ( , 2)，则： ( < ≤ + ) ≈ 0.6827； ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545；
( 3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
【解题思路】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的3 原则，即可求得该校预期的平均成绩；
（2）利用二项分布即可求得随机变量 的期望；
（3）先求得随机变量 X 的各个可能取值对应的概率，进而得到随机变量 X 的分布列，再利用数学期望的定
义即可求得随机变量 X 的数学期望.
1 1( > ) = + ( < ≤ + )【解答过程】（ ）由 2 2 ≈ 0.84135，
又 的近似值为 76.5， = 的近似值为 5.5，
所以该校预期的平均成绩大约是76.5 5.5 = 71（分）
（2）由 ≈ 76.5 1，可得 ( > 76.5) = 2，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取 1 人，
1
该学生笔试成绩高于 76.5 的概率为2
所以随机变量 服从二项分布 110, 1 ，故 ( ) = 10 × 2 = 52
（3）X 的可能取值为0,1,2,3,4，
2 2
( = 0) = C0 × 1 12 × C0 × 1
1 = 1
3 2 2 9，
1
2 2 1 1
( = 1) = C12 × 3 × 1
1 × C0 × 1 1 + C0 × 1 1 × C1 × 1
3 2 2 2 3 2 2
× 1 =
2 3
，
2 2 2 2
( = 2) = C2 12 × × C0 × 1
1 +C1 × 1 1 1 1 13
3 2 2 2 3
× 1 × C2 × 2 × 1
1 + C02 × 1
1 × C2 1
3 2 3 2
× =
2 36，
2 2
( = 3) = C2 × 1 × C1
1
2 2 × 2 ×
1 1
3 1
1 +C1 × × 1 1 × C2 × 1 = ，
2 2 3 3 2 2 6
2 2
1( = 4) = C2 1 2 12 × × C3 2 × =2 36，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 1 1 13 1 1
9 3 36 6 36
1 1 13 1 1 5
所以 ( ) = 0 × 9 +1 × 3 +2 × 36 +3 × 6 +4 × 36 = 3.
【变式 8-2】（23-24 高二下·湖南邵阳·期中）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的
240 位居民的得分（满分 100 分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.
(1)若此次知识问答的得分 X 服从 ( ,82)，其中 近似为参与本次活动的 240 位居民的平均得分（同一组中
的数据用该组区间的中点值代表），求 (66 < ≤ 90)的值；
(2)本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于 的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分
2 1不低于 的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有3的机会抽中一张 10 元的话费充值卡，有3的机会抽中一
张 20 元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话
费充值卡的总金额 Y 的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额.
参考数据： ( < ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
【解题思路】（1）由频率分布直方图中平均数的计算公式求出 ，再由正态分布对称性即可求得
(66 < ≤ 90)的值；
（2）求出 Y 的所有可能取值及其对应概率，即可得出分布列，求得 ( )，即可求出本次活动中需要准备的
话费充值卡的总金额.
【解答过程】（1）依题意， = 55 × 0.1 + 65 × 0.3 + 75 × 0.3 + 85 × 0.2 + 95 × 0.1 = 74，
所以 ~ (74,82)，
故 (66 < ≤ 90) = ( < ≤ + 2 )
( < ≤ + ) + ( 2 < ≤ + 2 ) 0.6827 + 0.9545 1.6372
= 2 = 2 = 2
= 0.8186．
（2）参与活动的每位居民得分低于 74 分的概率为0.1 + 0.3 + 410 × 0.3 =
13
25，
12
得分不低于 74 分的概率为25．
Y 的所有可能取值分别为 10，20，30，40．
13 2 26 13 1 12
2 87 29
( = 10) = 25 ×
2
3 = 75， ( = 20) = 25 × 3 + 25 × =3 225 = 75，
12 2 1 48 16 12
2 12 4
( = 30) = 25 × 2 × 3 × 3 = 225 = 75， ( = 40) = 25 ×
1 = 225 =3 75，
所以 Y 的概率分布为
Y 10 20 30 40
P 26 29 16 4
75 75 75 75
26
所以 ( ) = 10 × 75 +20 ×
29
75 +30 ×
16 4 296
75 +40 × 75 = 15 ，
所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为240 × 29615 = 4736元．
【变式 8-3】（23-24 高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的
就业规划之一. 当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节. 已知某市
2024 年共有 10000 名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩 ~ (60,102)，只有笔试成绩高于
70 分的考生才能进入面试环节.
(1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的 10000 名笔试考生中，进入面试的人数（结果只
保留整数）；
(2) 3 2 1现有甲、乙、丙 3 名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为4,3,2，设这 3 名考生中通过面试的人
数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.
参考数据：若 ~ ， 2 ，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545，
( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973.
【解题思路】（1）由题意可知 = 60, = 10，根据正态分布的性质即可求出概率；
（2）分析可知随机变量 的可能取值有0,1,2,3，计算出随机变量 在不同取值下的概率，可得出随机变量
的分布列，进一步可求得 ( )的值.
【解答过程】（1）由题意可知 = 60, = 10，
( > 70) = ( > + ) = 1 ( ≤ ≤ + )则 2
≈ 1 0.68272 = 0.15865，
则共10000 × 0.15865 = 1586.5，即1586人进入面试.
（2）由题意可知，随机变量 的可能取值有0,1,2,3，
3 1 2 1 1 1
甲、乙、丙 3 名考生没通过面试的概率分别为1 4 = 4,1 3 = 3,1 2 = 2，
1 1
则 ( = 0) = 4 × 3 ×
1
2 =
1
24，
= 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1( = 1) 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 = 4，
= 3 × 2 1( = 2) 4 3 × 2 +
3 × 1 1 1 2 1 114 3 × 2 + 4 × 3 × 2 = 24，
= 3 × 2( = 3) 4 3 ×
1
2 =
1
4，
故随机变量 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 1 1 11 1
24 4 24 4
1 1 11 1 23
故 ( ) = 0 × 24 +1 × 4 +2 × 24 +3 × 4 = 12.

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