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专题 7.4 二项分布与超几何分布【九大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 利用二项分布求分布列】 ........................................................................................................................1
【题型 2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 ............................................................................................3
【题型 3 二项分布的均值与方差】 ........................................................................................................................6
【题型 4 二项分布的实际应用】 ............................................................................................................................8
【题型 5 超几何分布的判断】 ..............................................................................................................................13
【题型 6 求超几何分布的概率】 ..........................................................................................................................15
【题型 7 超几何分布的均值】 ..............................................................................................................................16
【题型 8 超几何分布的方差】 ..............................................................................................................................18
【题型 9 二项分布与超几何分布的综合应用】 ..................................................................................................20
【知识点 1 二项分布】
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n 重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做 n 次；
②各次试验的结果相互独立.
2．二项分布
一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0次数，则 X 的分布列为 P(X=k)= ，k=0，1，2， ，n.如果随机变量 X 的分布列具有上式的
形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 (n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果 X B(n，p)，那么 E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
【题型 1 利用二项分布求分布列】
8
【例 1】（23-24 高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量 ~ (4, )，若 ( = 2) = 27，则 = （ ）
A 1．4 B
1 3 1 1 2
．4或4 C．3 D．3或3
【解题思路】根据题意结合二项分布的概率公式列式求解即可.
8
【解答过程】因为 ~ (4, )，则 ( = 2) = C2 2 24 (1 ) = 6 2(1 )2 = 27，
且0 < < 1，整理可得 2 1 2(1 ) = 9，解得 = 3或3.
故选：D.
【变式 1-1】（2024 15高三·全国·专题练习）已知随机变量 ～ (4, )，其中0 < < 1，若 ( ≤ 3) = 16，则
( = 3) = （ ）
A 1 B 3 1 1．2 ．16 C．16 D．4
15
【解题思路】由二项分布的概率公式可得 ( ≤ 3) = 1 ( = 4) = 1 4 = 16，可求 ，进而可求 ( = 3).
15
【解答过程】由二项分布的知识得 ( ≤ 3) = 1 ( = 4) = 1 4 = 16，
4 = 1得 16，又0 < < 1
1
，所以 = 2，
1 3 1 1
所以 ( = 3) = C34 × × =2 1 2 4．
故选：D．
【变式 1-2】（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 出发，每次向左移动
3 1
的概率为4，向右移动的概率为4.若该质点每次移动一个单位长度，设经过 5 次移动后，该质点位于 的位置，
则 ( > 0) = （ ）
A 50 17 53 17．243 B．512 C．512 D．81
3
【解题思路】根据题意，由条件可得 的可能取值为1,3,5，且 5, ，结合二项分布的概率计算公式代
4
入计算，即可求解.
3
【解答过程】由题意可知，当 > 0时， 的可能取值为1,3,5，且 5, ，
4
所以 ( > 0) = ( = 5) + ( = 3) + ( = 1)
1 5 1 4 3 2= + C15
3 + C2 15
3 = 53
4 4 4 4 4 512
.
故选：C.
【变式 1-3 1 3】（23-24 高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量 (3, ).若2 ≤ < 1，则 ≥ 的取值范围2
是（ ）
A 1 3 1 1． , B． ,1 C． , 1 D 1． ,1
4 4 2 8 2 8
( = ) ≥ 3【解题思路】利用二项分布的概率公式探讨 的取值，再将 等价为 ( = 2) + ( = 3)求解
2
即得.
【解答过程】由 ~ (3, )，则 ( = ) = C (1 )3 3 , = 0,1,2,3，
≥ 3 = ( = 2) + ( = 3) = C2 23 (1 )1 + C33 3 = 2 3 +3 2，2
1
且2 ≤ < 1，
构造函数 = 2 3 +3 2,1 ≤ < 1，其导函数为 ′2 = 6
2 +6 ，
1 1
由于2 ≤ < 1， ′ > 0，故函数 = 2
3 +3 2在区间[2,1)上单调递增；
当 = 1 12时，取最小值2；当 = 1时，函数值为1；
3 1
所以 ≥ ∈ ,1 ；
2 2
故选：B.
【题型 2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】
【例 2】（23-24 高二下·吉林白山·期末）已知随机变量 ( ,0.5)，当且仅当 = 4时， ( = )取得最大
值，则 = （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解.

【解答过程】由题得 ( = ) = C 1 , = 0,1, , 2 ，
1 1 1 1
由题知在C0 ,C1 , ,C 2 2 2 中，最大值只有C
4
2 ，
即在C0 1 ,C , ,C 中，最大值只有C4 ，由二项式系数的对称性可知 = 8.
故选：B.
【变式 2-1】（23-24 高二下·重庆·期末）某学校在假期组织 30 位学生前往北京 上海 广州 深圳 杭州 苏州
成都 重庆 8 个城市参加研学活动.每个学生可自由选择 8 个城市中的任意 1 个（不要求每个城市必须要有学
生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研
学的概率最大.
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题思路】设有 个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得 服从二项分布，再根据二项分布的概率
公式结合不等式组法求解即可.
【解答过程】设有 个学生选择前往北京或上海研学，
2 1
由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率 = 8 = 4，
则 30, 1 ，
4
设有 个学生选择前往北京或上海研学的概率最大，
( = ) ≥ ( = + 1)
则 ( = ) ≥ ( = 1) ，
30 +1 29
C 1 3 +1 1 330 ≥ C30
即 4 4 4 4
1 3 30 1 1 3 31
，
C 130 ≥ C 4 4 30 4 4
30! 3 ≥ 30! 1
(30 )! ! 4 (29 )! ( +1)! 4
即 30! 1
，
≥ 30! 3
(30 )! ! 4 (31 )! ( 1)! 4
27 ≤ ≤ 31解得 4 4 ，
又 ∈ N ，所以 = 7，
所以有7个学生选择前往北京或上海研学的概率最大.
故选：B.
【变式 2-2 1】（24-25 高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有4的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名
1
学生，那么其中数学成绩优秀的学生数 ~ (5,4)，则 ( = ) = C

5(
1
4) (
3
4)
5 取最大值时 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出 的值.
【解答过程】由已知 ( = ) = C (15 4)
(3)5 4 ， = 0，1，2，3，4，5，
( = ) ≥ ( = + 1)
所以由 ( = ) ≥ ( = 1)
C ( 1 ) ( 3 )5 ≥ C +1( 1 ) +1( 3 )4 5
得： 4 4
5 4 4
C 1 3 5 5( ) ( ) ≥ C 15 (
1 ) 1( 3 )6 ，
4 4 4 4
1 3
解得2 ≤ ≤ 2，又因为 ∈ N
，所以 = 1．
故选:B．
【变式 2-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平
行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端
放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格
子从左到右的编号分别为0,1,2, ,10，用 表示小球最后落入格子的号码，若 ( = ) ≤ ( = 0)，则 0 =
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
1
【解题思路】由题意， 服从二项分布， 10, ，代入公式可得结果．
2
1
【解答过程】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为2，
1
每一层均要乘以2，共做 10 次选择，
故 服从二项分布， 10, 1 ，
2
1
又 ( ) = 10 × 2 = 5，
令 ( = 0)最大，
( = ) ≥ ( = 1)
则 0 0 ( = 0) ≥ ( = 0 + 1) ，

C 0 ( 1 ) 0( 1 )10 ≥ C 0 1

( 1 ) 0
1 1
10 0
11
10 ( ) 0
即 2 2 2 2
C

0 ( 1 ) 0( 1 )10 0 ≥ C 0+1 1
0+1 1 ,9
10 2 2 10
( ) ( ) 0
2 2
9 ≤ ≤ 11解得2 0 2 ，又因为0 ≤ ≤ 10, ∈ Z，所以 0 = 5,
所以 ( = ) ≤ ( = 5), = 0,1,2,3,…,10，
( = ) ≤ ( = 0)，且 0 = 5．
故选：B．
【题型 3 二项分布的均值与方差】
1
【例 3】（2024 高三·全国·专题练习）已知随机变量 ~ 4, ，下列表达式正确的是（ ）
3
A 4． ( = 2) = 81 B． (3 + 1) = 4 C
4
． (3 + 1) = 8 D． ( ) = 9
【解题思路】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的性质进行逐一判断即可.
1 1 4 1
【解答过程】因为 ~ 4, ，所以 ( ) = 4 × 3 = 3， ( ) = 4 × 3 ×
1 = 81 9，3 3
4
因此 (3 + 1) = 3 ( ) + 1 = 3 × 3 +1 = 5，
(3 + 1) = 32 ( ) = 9 × 89 = 8，
因此选项 B、D 不正确，选项 C 正确；
1 2 1 2
又因为 ( = 2) = C2 84 1 =3 3 27，所以选项 A 不正确，
故选：C．
【变式 3-1】（23-24 高二上·江西·期末）设随机变量 ~ (12, )，若 ( ) ≤ 4，则 ( )的最大值为（ ）
A 8 2．4 B．3 C．3 D．9
【解题思路】根据二项分布的数学期望得 的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求
得 ( )的最大值.
【解答过程】随机变量 ~ (12, )，由 ( ) ≤ 4得0 < 12 ≤ 4
1
，解得0 < ≤ 3.
( ) = 12 (1 ) = 12 2 +12 ，
易知二次函数 = 12 2 +12 1 1的开口向下，对称轴为 = 2，所以在 0, 上单调递增，3
= 1 1 2于是 3时 ( )取得最大值，即最大值为12 (1 ) = 12 × 3 × 3 =
8
3.
故选：C.
【变式 3-2】（24-25 高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互
相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从
顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，
格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5用 表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ）
A． 1 1( = 0) = 32 B． ( = 5) = 64
C = 5． ( ) 2 D． ( ) =
5
4
【解题思路】分析可知 ~ 5, 1 ，利用独立重复试验的概率公式可判断 AB 选项；利用二项分布的期望和
2
方差的公式可判断 CD 选项．
1
【解答过程】设 = “向右下落”，则 = “向左下落”， ( ) = = 2，
因为小球最后落入格子的号码 等于事件 发生的次数，
1
而小球下落的过程中共碰撞小木钉 5 次，所以 5, ，
2
5
对于 A： = 1 1 = 1( = 0) 2 32，故 A 正确；
1 5 1
对于 B： ( = 5) = =2 32，故 B 错误；
对于 C： 1 5( ) = 5 × 2 = 2，故 C 正确；
D ( ) = 5 ×
1
1 1 =
5
对于 ： 2 2 4
，故 D 正确；
故选：B．
【变式 3-3】（23-24 高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概
率地向前或向后爬行 1 个单位，设爬行 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 ，则下列说法错误的是
（ ）
A． ( ) = 0 B． ( ) =
C． ( 100 = 0) < ( 100 = 2) D． ( 102 = 0) < ( 100 = 0)
1
【解题思路】由题意可知 ∈ [ , ]，且小虫向前或向后爬行 1 个单位的概率均为2，结合二项分布求概率，
然后逐个分析判断即可.
【解答过程】由题意可知，爬行 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 ∈ [ , ]，且小虫向前或向后爬
行 1 1个单位的概率均为2，
所以设爬行 后小虫一共向前爬行 次，则向后爬行 ，
所以 = [ ( )] = 2 ，

所以 ( = 2 ) = C
1
2 ，
对于 AB， 的分布列为
2 4 … 2 …
C0 C1 C2 C C … …
2 2 2 2 2

( ) = C

(2 )所以 = 0 ，所以 A 正确， =0 2
因为(2 )2C 2 = 4 C 4 C + 2C = 4 C 1 1 4 C + 2C
= 4 (C 1 1 C ) + 2C = 4 C 1 + 2C = 4 ( 1)C 1 2 2 + C ，
0 1
所以 ( ) = 2 C + (2 )2
C 2 C
2 2
+ + 2
4 ( 1)(C0 1 2 2 0 1
= 2
+ C 2 + + C 2) + (C + C + + C )
2
4 ( 1) 2 2 + 2 2
= 2
2
= ( 1) 2 + 2

2 = ，所以 B 正确，
100 100
对于 C，因为 ( 100 = 0) = C50
1
100 , ( 100 = 2) = C51
1
2 100 2 ，
( 50100=0) C 51
所以 100 ( =2) = C51 = 50 > 1，所以 ( 100 = 0) > ( 100 = 2)，所以 C 错误，100 100
100 102
对于 D，因为 ( 100 = 0) = C50
1
100 , 2 ( 102 = 0) = C
51 1
102 2 ，
( 50100=0)
所以 ( =0) =
4C100 4×51×51 102
102 C51
=
102 102×101
= 101 > 1，
所以 ( 102 = 0) < ( 100 = 0)，所以 D 正确，
故选：C.
【题型 4 二项分布的实际应用】
【例 4】（23-24 高二下·北京延庆·期中）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，
计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为 0.8，它们之间互相不影响．设能正常工
作的设备数为 ．
(1)求 的分布列；
(2)求 ( )和 ( )；
(3)求计算机网络不会断掉的概率．
【解题思路】（1） 的可能取值为 0，1，2，3，结合二项分布的概率即可求解；
（2）根据二项分布的期望和方差公式计算即可；
（3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，结合（1）及对立事件求解
即可．
【解答过程】（1）由题意得 的可能取值为 0，1，2，3，且 (3,0,8)，
( = 0) = C03 × 0.80 × (1 0.8)3 = 0.008，
( = 1) = C13 × 0.81 × (1 0.8)2 = 0.096，
( = 2) = C2 23 × 0.8 × (1 0.8)1 = 0.384，
( = 3) = C3 × 0.83 × (1 0.8)03 = 0.512，
所以 的分布列如下．
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
（2）因为 (3,0,8)，所以 ( ) = 3 × 0.8 = 2.4， ( ) = 3 × 0.8 × (1 0.8) = 0.48．
（3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即 ≥ 1，
因此所求概率为 ( ≥ 1) = 1 ( < 1) = 1 ( = 0) = 1 0.008 = 0.992．
【变式 4-1】（24-25 高三上·福建·开学考试）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一
件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为 1, 2, 3，且 1 + 2 + 3 = 1.从该工厂生产的产品中随机
抽取 n 件，设其中一等品的数量为 X，二等品的数量为 Y.
(1)已知 X 的数学期望 ( ) = 4，X 的方差 ( ) = 2.4，求 1的值.
(2)若 = 20，且 ( = 6) = ( = 8)，求 2的值.
(3)已知 1 = 0.4， 2 = 0.3，在抽取的 n 件商品中，一等品和二等品的数量之和为 M. M 的数学期望是否有最
大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由.
【解题思路】（1）由 ( , 1)，利用二项分布的期望方差公式解方程组可得；
（2）由 ( , 2)，利用公式 ( = ) = C 20 20 2(1 2) 代入解方程可得；
（3）由 ( , 1 + 2)，利用期望公式可得，结合函数单调性可知最值情况.
( ) = = 4
【解答过程】（1）由题意知 ( , 11)，则 ( ) = 1(1 1) = 2.4 ，
解得 = 10, 1 = 0.4；
（2）由 (20, )，则 ( = ) = C (1 )20 2 20 2 2 ( = 0,1,2, ,20)，
由 ( = 6) = ( = 8)得，C6 6 14 8 8 1220 2 (1 2) = C20 2 (1 2) ，
C6 220 2 4 22 2 13 4化简可得C8 = 2，即 =20 (1 2) 13 (1 2)2，解得 2 = ；9
（3）由题意知， ( , 1 + 2)，又 1 = 0.4， 2 = 0.3，
所以 ( ,0.7)，则 ( ) = 0.7 ，当 增大时， ( )也增大.
所以，当 → + ∞， ( )→ + ∞，故 的数学期望没有最大值.
但在实际情境中， 的取值是有限的，比如取工厂的总产量时， ( )取最大值.
【变式 4-2】（24-25 高三上·北京·阶段练习）某批产品由一等品 二等品 三等品及次品构成.随机抽取 20 件，
统计情况如下表：
等级 一等品 二等品 三等品 次品
件数 10 6 3 1
以频率估计概率.
(1)若从这批产品中任取一件，试估计“其为一等品或二等品”的概率；
(2)在抽取的 20 件产品中，随机抽取 3 件，求其中“既有一等品又有二等品”的概率；
(3) 3若改进技术后，产品为一等品的概率提升为5.从这批产品中随机抽取 10 件产品，其中恰好有 5 件一等品
的概率记为 1，恰好有 7 件一等品的概率记为 2，请直接写出 1与 2的大小关系.
【解题思路】（1）利用频率来估计概率可得答案；
（2）利用组合数公式计算所有可能的抽取情况数以及满足既有一等品又有二等品的情况数，再根据概率公
式求解；
（3）根据二项分布概率公式分别计算改进技术前后的概率，再比较大小.
【解答过程】（1）设 = “若从这批产品中任取一件，其为一等品或二等品”，
= 10+6 16 4( ) 20 = 20 = 5；
（2）设 = “在抽取的 20 件产品中，随机抽取 3 件，既有一等品又有二等品”，
= 10×6×4+C
2 2
( ) 10
×6+10×C6 = 11C3 ；20 19
（3） 1 < 2，
3 5 2 5 3 7 2 3
因为 5 71 = C10 , 2 = C5 5 10 5 5 ，
1 = 42所以 2 45 < 1.
【变式 4-3】（2024·全国·模拟预测）一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投
进得 1 分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得 0 分，
1
且下一次投进得 1 分．已知某同学连续投篮 n 次，总得分为 X，每次投进的概率为3，且每次投篮相互独立．
(1)当 = 30时，判断 ( )与 10 的大小，并说明理由；
(2)当 = 3时，求 X 的概率分布列和数学期望；
(3)记 = 3的概率为 ( ≥ 2, ∈ *)，求 的表达式．
【解题思路】（1）依题意可知，若每次投进都得 1 分，利用二项分布可知 ( ) = 10，再结合比赛规则可得
( ) > 10；
（2）易知 X 的可能取值为 0，1，2，3，7，求出对应概率可得分布列和期望；
（3）将 = 3的所有可能情况进行分类讨论，再由比赛规则和积分方式，利用类二项分布与插空法即可求得
的表达式．
【解答过程】（1） ( ) > 10．理由如下：
1
记该同学投篮 30 次投进次数为 ，则 30, ．
3
1 = 30 × 1若每次投进都得 分，则得分的期望为 ( ) 3 = 10．
由题中比赛规则可知连续投进时，得分翻倍，
故实际总得分的期望 ( )必大于每次都得 1 分的数学期望．
所以 ( ) > 10．
（2）X 的可能取值为 0，1，2，3，7，其中
3 2
8 1 12( = 0) = 2 = 1 23 27， ( = 1) = C3 × 3 × =3 27，
1 2 2 2 2 2 4( = 2) = × 1 13 3 = 27， ( = 3) = C2 × × =3 3 27，
( = 7) = 1
3
= 1
3 27，
所以 X 的概率分布列为
X 0 1 2 3 7
P 8 12 2 4 1
27 27 27 27 27
8
所以 ( ) = 0 × 27 +1 ×
12 +2 × 2 +3 × 4 +7 × 1 3527 27 27 27 = 27．
（3）投篮 n 次得分为 3 分，有如下两种情形：
情形一，恰好两次投进，且两次相邻；
情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻．
2 2
当2 ≤ ≤ 4 1 2 1 2时，情形二不可能发生，所以 1 = C 1 × =3 3 4 × 3 ；
2
≥ 5 C1 1 × 2
2
当 时，情形一发生的概率为 1 =
1 × 2
3 3 4 3 ，
情形二发生是指，将( 3)次未投进的投篮排成一列，共有( 2)个空位，选择其中 3 个空位作为投进的投
篮，
1 3 2 3 3 9 2

+26 24 2
所以概率为C3 2 × =3 3 48 × 3 ，
1 2 3 9 2+26 24 2 3 9 2+38 36 2
所以 = 4 × +3 48 × =3 48 × 3 ．
1 × 2 , = 2,3,4
综上所述， = 4 3 3 9 2+38 36 × 2
.
, ≥ 5, ∈ N
48 3
【知识点 2 超几何分布】
1．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品.从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽
取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(X=k)= ，k=m，m+1，m+2， ，r.其中 n,N,M∈N*，
M≤N，n≤N，m= {0，n-N+M}，r= .如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机
变量 X 服从超几何分布.
若随机变量 X 服从超几何分布，则其均值 E(X)= =np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义.
2．超几何分布与二项分布的关系
(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有
截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概
率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至
关重要的.
(2)事实上，在次品件数为确定数 M 的足够多的产品中，任意抽取 n 件(由于产品件数 N 无限多，无放
回与有放回无区别，故可看作 n 重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.
3．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考
察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
【题型 5 超几何分布的判断】
【例 5】（2025 高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量 X 服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛 3 次，正面向上的次数 X
B．从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中，不放回地任取 3 件，取得的次品数为 X
C．某射手的命中率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中目标的次数为 X
D．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数
【解题思路】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可．
【解答过程】对于 A:将一枚硬币连抛 3 次，正面向上的次数 X,是二项分布，A 选项错误；
对于 B:从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中，不放回地任取 3 件，取得的次品数为 X,是超几何分布，B
选项正确；
对于 C:某射手的命中率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中目标的次数为 X,是两点分布，C 选项错误；
对于 D:盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数,不是超几
何分布，D 选项错误.
故选：B.
【变式 5-1】（24-25 高二上·全国·课后作业）一个袋中有 6 个同样大小的黑球，编号为 1，2，3，4，5，6，
还有 4 个同样大小的白球，编号为 7，8，9，10.现从中任取 4 个球，有如下几种变量：
①X 表示取出的最大号码；
②X 表示取出的最小号码；
③X 表示取出的白球个数；
④取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分，X 表示取出的 4 个球的总得分减去 4 的差.
这四种变量中服从超几何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【解题思路】根据超几何分布的定义，判断四个选项，即可得到答案．
【解答过程】超几何分布定义：设有总数为 N 件的甲乙两类物品，其中甲类有 M 件，从所有物品中任取 n
C
( ≤ ) X m ( = ) =
C
件，则 中所含甲类物品件数 是一个离散型随机变量，它取值 时的概率为 C ，
我们称离散型随机变量 X 的这种形式的概率分布为超几何分布.
①②中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①②错误；
③中的变量符合超几何分布的定义选项，将白球视作甲类物品，黑球视作乙类物品，则可以用超几何分布
的数学模型计算概率，故③正确；
④中的变量可以对应取出的白球个数，符合超几何分布的定义选项，可以用超几何分布的数学模型计算概
率，故④正确.
故选：B．
【变式 5-2】（24-25 高二下·全国·课后作业）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个白球，这
些球除颜色外完全相同，若用随机变量 表示任选 4 个球中红球的个数，则 服从超几何分布，其参数为
（ ）
A． = 9， = 4， = 4 B． = 9， = 5， = 5
C． = 13， = 4， = 4 D． = 14， = 5， = 5
【解题思路】根据超几何分布的定义求解即可.
【解答过程】在产品质量的不放回抽检中，若 件产品中有 件次品，
C C
抽检 件时所得次品数 = ，则 ( = ) = C , = 1,2, , ，
= min{ , }, ≤ , ≤ , , , ∈ ，
此时称随机变量 服从超几何分布.
根据超几何分布的定义可知， = 9， = 4， = 4.
故选：A.
【变式 5-3】（24-25 高二下·江西抚州·阶段练习）下列随机事件中的随机变量 X 服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
C．从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【解题思路】根据超几何分布的定义逐项判断可得出合适的选项.
【解答过程】对于 A 选项，将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为 ，
则 服从二项分布，A 不满足；
对于 B 选项，某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为 ，则 服从两点分布，B 不
满足；
对于 C 选项，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为 ，
则 服从超几何分布，C 满足；
对于 D 选项，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，
记第一次摸出黑球时摸取的次数为 ，则 不服从超几何分布，D 不满足.
故选：C.
【题型 6 求超几何分布的概率】
【例 6】（23-24 高二下·山东青岛·期中）数学老师从 6 道题中随机抽 3 道让同学检测，规定至少要解答正
确 2 道题才能及格．某同学只能正确求解其中的 4 道题，则该同学能及格的概率为（ ）
A 4 2 3 1．5 B．3 C．5 D．2
【解题思路】利用超几何分布的概率公式计算即可.
【解答过程】由题意知抽取 3 道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况，
C1 C2 1 4
则只答对一道题的概率为 = 4 2C3 = 5，所以该同学及格的概率为6 5.
故选：A.
【变式 6-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）设袋中有 8 个红球，4 个白球，若从袋中任取 4 个球，则其中
至多 3 个红球的概率为（ ）
3 1 1 3 2 2 4 4
A C8C． 4 B C C． 8 4+C8C4C4 C4 C．1
C4
C4 D 1
C
． 8C412 12 12 12
【解题思路】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可.
【解答过程】从袋中任取 4 个球，其中红球的个数 服从参数为 = 12, = 8, = 4的超几何分布，
4
故至多有 3 个红球的概率为 ( ≤ 3) = 1 ( = 4) = 1 C8C4 .12
故选：D.
【变式 6-2】（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）某学习小组共 12 人，其中有 5 名是“三好学生”，现从该
C5C0+C1C4
小组中任选 5 人参加竞赛，用 ξ 表示这 5 人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于 7 5 5 7C5 的是（ ）12
A． ( = 1) B． ( ≤ 1) C． ( ≥ 1) D． ( ≤ 2)
C5C0+C1C4
【解题思路】分别求出 ( = 0)， ( = 1)， ( = 2)即可得到等于 7 5 5 7C5 的概率12
【解答过程】解：由题意可得
C5C0 C4 1 3 2∵ ( = 0) = 7 5 7
C5 C C
C5 ， ( = 1) = C5 ， ( = 2) =
7 5
5 ，
12 12 C12
5 0 1 4
∴ C C( ≤ 1) = ( = 0) + ( = 1) = 7 5
+C5C7
C5 ，12
3 2 1 4
C C +C C( ≥ 1) = ( = 2) + ( = 1) = 7 5 5 7C5 ， ( ≤ 2) = 112
故选：B.
【变式 6-3】（23-24 高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有 30 名学生，其中有 10 名女生，
现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的 3 名代表中的女生人数为变量 ，男生的人
数为变量 ，则 ( = 2) + ( = 2)等于（ ）
C2A 10C
3 2 2
． 20 B C +C． 10 20C3 310 C30
C2 C1 1 2 2 1 1 2C． 10 20+C10C20C3 D
C10+C20 C10+C． 20C330 30
【解题思路】根据题意结合超几何分布运算求解即可.
C2 C1 C1 C2
【解答过程】因为 ( = 2) = 10 20C3 , ( = 2) =
10 20
3 ，
30 C30
+ = C
2
10C120+C1 2所以 ( = 2) ( = 2) 10
C20
C3 .30
故选：C.
【题型 7 超几何分布的均值】
【例 7】（23-24 高二下·河南信阳·期末）2024 年 5 月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票 3 枚，巢湖是继《太
湖》（5 枚）、《鄱阳湖》（3 枚）、《洞庭湖》（4 枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从 15
枚邮票中随机抽取 2 枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为 ，则 ( ) = （ ）
A 2．5 B
2 3
．3 C．1 D．2
【解题思路】利用超几何分布概率公式，分别求出 ( = ), = 0,1,2，再求 ( ).
【解答过程】依题意， 的可能取值有 0，1，2.
2
( = 0) = C12 = 22
1 1 2
则 C2 35， ( = 1) =
C12C3 = 12 C3 1C215 15 35， ( = 2) = C2 =15 35，
则 ( ) = 0 × 22 +1 × 12 1 235 35 +2 × 35 = 5.
故选:A.
【变式 7-1】（23-24 高二下·吉林长春·阶段练习）2024 年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔 7 位主播从“心”
出发，其中男性 5 人，女性 3 人，现需排班晚 8：00 黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A 3 B 3．5 ．4 C
5
．4 D
4
．3
【解题思路】首先将男生人数设为随机变量 = 0,1,2，再求得概率，代入期望公式，即可求解.
【解答过程】设男生人数为 ，且 = 0,1,2，
2 1 1 2
= C3 = 3 = C3C5 = 15 = C 5( = 0) 5C2 28， ( = 1) C2 ， ( = 2) 2 =8 8 28 C8 14,
= 0 × 3 +1 × 15 +2 × 5 5则 ( ) 28 28 14 = 4.
故选：C.
【变式 7-2】（2024 高三·全国·专题练习）一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球，假设每个球被摸到的可能
性是相等的．从袋子中摸出 2 个球，其中白球的个数为 X，则 X 的数学期望是（ ）．
A 4 3 2 1．5 B．5 C．5 D．5
【解题思路】由题意可知 可取0,1,2，然后利用超几何分布公式求出相应的概率，从而求解出期望.
【解答过程】由题意知 = 0,1,2，
= C
2 1 C1 1 2
则 ( = 0) 6 = 6
C4 8
C2 3， ( = 1) = C2 = 15， ( = 2) =
C4 2
C2 = 15．10 10 10
1 8 2 4所以 ( ) = 0 × 3 +1 × 15 +2 × 15 = 5．故 A 正确.
故选：A.
【变式 7-3】（23-24 高三上·四川成都·开学考试）某地盛行糕点有 n 种，该地的糕点店从中准备了 m
（ < ）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有 k（ < ）种，则当其随机进入一家糕点店时，会
发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量 X 为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则 ( ) =
（ ）
A + ． B． 2 C． D

．
【解题思路】由题意可知 服从超几何分布，然后利用超几何分布的期望公式求解即可.
【解答过程】由题意可知从含有顾客喜好的 k（ < ）种糕点的 n 种糕点中，任取 m（ < ）种糕点，其
中恰有 种顾客喜好的糕点，则 服从超几何分布，

所以 ( = ) = C C C ( = 0,1,2, , )，其中 = min{ , }, < , < ，

所以 ( ) = ，
故选：A.
【题型 8 超几何分布的方差】
【例 8】（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）已知 6 件产品中有 2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽
取 3 件进行检测，记取到的正品数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A 4 1． (2 1) = 3 B． ( ) = 5
C 8． ( ) = 1 D． (2 1) = 5
【解题思路】根据题意可知，X 可能取 1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方
差的公式及性质计算即可．
【解答过程】根据题意可知，X 可能取 1，2，3，且服从超几何分布，
2 1 1 2 3
故 ( = 1) = C2C4 1C3 = 5, ( = 2) =
C2C4 = 3, ( = 3) = C4 13
6 C6 5 C3
=
6 5
,
1 3 1
所以 ( ) = 1 × 5 +2 × 5 +3 × 5 = 2,
( ) = (1 2)2 × 1 + (2 2)2 × 3 + (3 2)2 × 15 5 5 =
2
5，
(2 1) = 2 ( ) 1 = 2 × 2 1 = 3，
8
(2 1) = 4 ( ) = 5 ,
故选：D．
【变式 8-1】（2024·浙江金华·二模）口袋中有相同的黑色小球 n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任
取 4 个小球．ξ 表示当 n＝3 时取出黑球的数目，η 表示当 n＝4 时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【解题思路】当 = 3 2时， 的可能取值为 1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 ( ) = 2， ( ) = 5；
当 = 4时，η 可取 1，2，3，4 16 24，分别求出相应的概率，由此能求出 ( ) = 7 ， ( ) = 49，即可得解．
【解答过程】当 = 3时，ξ 的可能取值为 1，2，3，
1 = 3
3 2 2 3 1
( = 1) 3 4 =
1
5，

( = 2) = 3
3 3 1
4 = 5， ( = 3) =
3 3
4 =6 6 6 5，
∴ = 1 3( ) 5 +2 × 5 +3 ×
1
5 = 2，
1 1 2
( ) = 5 + 5 = 5；
当 = 4时，η 可取 1，2，3，4，
1
3 2 2
( = 1) = 4 3 =
4 18
4 35， ( = 2) =
4 3
7 4
=
7 35
，
3 = 4
1 4
3 12 4 03 1( = 3) 4 = ， ( = 4) =7 35 4 = ，7 35
∴ 4 18 12 1 16( ) = 35 +2 × 35 +3 × 35 +4 × 35 = 7 ，
2 2 2 2
4( ) = 35 1
16 + 18 16 1235 2 + 35 3
16 + 1 16 24
7 7 7 35
4 =
7 49；
∴ ( ) < ( )， ( ) < ( )．
故选：A．
【变式 8-2】（24-25 高二下·山东枣庄·阶段练习）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国
文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班
某小组有男生 4 人，女生 2 人，现从中随机选取 2 人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为 X，求 X 的分布列及期望 ( )、方差 ( ).
【解题思路】（1）根据条件概率公式即可求解.
（2）根据超几何分布，即可求出分布列，利用公式求解期望与方差.
【解答过程】（1）设“有女生参加活动”为事件 ，“恰有一名女生参加活动”为事件 ．
C1C1 8 C1C1+C2 3 ( )
8
则 ( ) = 4 2C2 = , ( ) =
4 2 2
15 C2 = 5，所以 ( | ) = ( ) =
15 8
3 = 9；6 6 5
C 2
（2 C）依题意知 服从超几何分布，且 ( = ) = 2 4C2 ( = 0,1,2)，6
C2 1 1 2
( = 0) = 4
2 C C 8 C 1
2 = 5 , ( = 1) =
4 2
2 = 15 , ( = 2) =
2
2 = 15 ,C6 C6 C6
所以 的分布列为：
0 1 2
2 8 1
5 15 15
2 2 2 2 ( ) = 0 × 5 +1 ×
8
15 +2 ×
1 2 2 8 1 16
15 = 3, ( ) = × 0
2 + × 1 25 + × 2
2 =
3 15 3 15 3 45.
【变式 8-3】（23-24 高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有 10 名同学，成员构成如下表所示.表
2
中部分数据不清楚，只知道从这 10 名同学中随机抽取 1 名同学，该名同学的专业为数学的概率为5.
性别 中文 数学 英语 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）.
(1)求 、 的值；
(2)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设 为选出的 3 名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量 的分布列、均值及方差.
【解题思路】（1）先根据已知列方程算出 ，进一步可得 ；
（2）根据古典概型概率计算公式即可求解；
（3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式.
+1 2
【解答过程】（1）由题意得 10 = 5 解得 = 3.
由 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10，得解得 = 1.
1 2 3
（2 C C +C 9+1 1）所求的概率为 = 3 3 3C3 = 120 = 12.10
（3）由已知，这 10 名同学中是女生或者专业为数学的人数为 7，Y 的可能取值为 0，1，2，3.
C3 1 C1 ( = 0) = 3 = 7C
2
3 21
C3 120， ( = 1) = C3 = 120 =
7
10 10 40
，
2 1 3
( = 2) = C7C3 = 63C3 120 =
21 C 35
40， ( = 3) =
7
C3 = 120 =
7
10 10 24
，
所以 Y 的分布列为
Y 0 1 2 3
P 1 7 21 7
120 40 40 24
( ) = 0 × 1均值为 120 +1 ×
7 21 7 21
40 +2 × 40 +3 × 24 = 10，
2 2 2 2
方差为 ( ) = 0 21 ×
1 21 7
120 + 1 × 40 + 2
21 × 21 + 3 21 7 49
10 10 10 40
×
10 24
= 100.
【题型 9 二项分布与超几何分布的综合应用】
【例 9】（23-24 高二下·江苏泰州·期末）已知 20 条试题中有 8 条选择题，甲无放回地依次从中抽取 5 条题，
乙有放回地依次从中抽取 5 条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的 5 条题中选择题的条数分别为 1, 2，
1, 2的期望分别为 ( 1), ( 2)，方差分别为 ( 1), ( 2)，则（ ）
A． ( 1) = ( 2), ( 1) < ( 2) B． ( 1) = ( 2), ( 1) > ( 2)
C． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) > ( 2)
【解题思路】随机变量 1服从超几何分布, 随机变量 2服从二项分布，根据超几何分布和二项分布的均值、
方差公式计算即可.
【解答过程】由题意可知， 1的可能取值为0,1,2,3,4,5， 2的可能取值为0,1,2,3,4,5，
随机变量 1服从超几何分布，随机变量 2服从二项分布，
根据超几何分布的均值方差公式得：
= 5, = 20, = 8，即 ( 1) =

=
5×8
20 = 2，
( ) = (1 ) = 5×8 × (1 8 20 5 3 15 181 1 20 20) × 20 1 = 2 × 5 × 19 = 19.
根据超二项分布的均值方差公式得：
= 5, = 8 2 220 = 5，即 ( 2) = = 5 × 5 = 2
( 2) = (1 ) = 5 ×
2 × 35 5 =
6
5，
所以 ( 1) = ( 2)， ( 1) < ( 2).
故选：A.
【变式 9-1】（23-24 高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有 10 个除颜色不同外，大小、质地完全相同的
球，其中有 6 个黑球，4 个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出 3 个球，记取到白
球的个数为 1，期望方差分别为 ( 1), ( 1)；试验二：逐个有放回地随机摸出 3 个球，记取到白球的个数
为 2，期望和方差分别为 ( 2), ( 2)，则下列判断正确的是（ ）
A． ( 1) = ( 2), ( 1) < ( 2) B． ( 1) = ( 2), ( 1) > ( 2)
C． ( 1) > ( 2), ( 1) > ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2)
【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出 3 个球、从中随机地有放回
摸出 3 个球的期望、方差，再做比较可得答案．
【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出 3 个球，记白球的个数为 1，
则 1的可能取值是 0，1，2，3，
0 3 1 2
则 ( = 0) = C4C6 = 1 C4C6 11 C3 6， ( 1 = 1) = C3 = ,10 10 2
2 1 3 0
( 1 = 2) =
C4C6 = 3 C4C6 1C310 10， ( 1 = 3) = C3 =10 30，
故随机变量 1的概率分布列为：
1 0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30
1 1 3
则数学期望为： ( 1) = 0 × 6 +1 × 2 +2 × 10 +3 ×
1 6
30 = 5，
2 2 2 2
方差为： ( 1) = (0
6 ) × 1 6 1 66 + (1 ) × 2 + (2 ) ×
3 6 1 14
5 5 5 10
+ (3 ) ×
5 30
= 25；
4 2
试验二：从中随机地有放回摸出 3 个球，则每次摸到白球的概率为10 = 5，
则 2~ (3,
2
5)，
( ) = 3 × 2 = 6 ( ) = 3 × 2 × (1 2) = 18故 2 5 5， 2 5 5 25，
故 ( 1) = ( 2)， ( 1) < ( 2)．
故选：A．
【变式 9-2】（23-24 高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从 6 道备选题
中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知 6
2
道备选题中甲生有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是3，求：
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
【解题思路】(1)由题意知，甲乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二次项分布，分别列
出分布列，计算均值即可；
(2)结合分布列中数据，分别计算对应的均值，方差以及至少正确两题的概率比较大小即可.
【解答过程】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为 ξ，则 ξ 的可能取值是 1，2，3，
1 2 2 1 3 0
( = 1) = C4C2C3 =
1
5, ( = 2) =
C4C2 3 C4C2 1
C3 = 5, ( = 3) = 3 = ，6 6 C6 5
所以 ξ 的分布列为：
ξ 1 2 2
P 1 3 1
5 5 5
则 ( ) = 1 × 1 +2 × 3 +3 × 15 5 5 = 2；
2
设考生乙正确完成实验操作的题数为 η，易知 3, ，
3
3 1 2
所以 ( = 0) = C0 1 2 = 1 , ( = 1) = C1 2 2 23 3 27 3 1 =3 3 9，
2 1 3
( = 2) = C2 23 1
2 = 49, ( = 3) = C
3 2 8
3 3 3
=
3 27，
所以 η 的分布列为：
η 0 1 2 3
P 1 2 4 8
27 9 9 27
所以 ( ) = 3 × 23 = 2．
（2）由(1)知 ( ) = ( ) = 2，
( ) = (1 2)2 × 15 + (2 2)
2 × 35 + (3 2)
2 × 1 = 25 5，
( ) = 3 × 2 × 23 1
2 =
3 3
，
( ≥ 2) = 3 + 1 = 45 5 5, ( ≥ 2) =
4 + 8 = 209 27 27，
所以 ( ) < ( )， ( ≥ 2)＞ ( ≥ 2)，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；
从至少正确完成 2 题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．
【变式 9-3】（23-24 高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取 100
名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表：
年龄 小于 30 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 大于等于 70
人数 5 10 25 35 15 10
(1)已知年龄在[30,40)的女性党员有 3 人，现从该年龄段这 10 人中随机选择 3 人进行座谈，用 表示这 3 人
中女性党员的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取 20 名党员进行调查，用 表示其中年龄在[30,50)
内的人数，求当 ( = )( = 0,1, ,20)取最大值时 的值.
【解题思路】（1）由题意可得 服从超几何分布，其中 = 3, = 10, = 3，然后根据超几何分布的概率公
式求出相应的概率，从而可求出 的分布列和数学期望；
（2）由题意求出从该市党员中随机抽取 1 名党员，其年龄在[30,50)的概率为0.35，则 (20,0.35)，然
后利用二项分布的概率公式列不等式求解即可.
【解答过程】（1）由题意得 服从超几何分布，其中 = 3, = 10, = 3，
3 2 1
所以 ( = 0) = C7C3 =
7 C C 21
， ( = 1) = 7 33 = ，
10 24 C10 40
C1C2 ( = 2) = 7 3 7
C3
C3 = ， ( = 1) = 3 =
1
，
10 40 C10 120
所以 的分布列为
0 1 2 3
7 21 7 1
24 40 40 120
所以 ( ) = 0 × 724 +1 ×
21 7 1
40 +2 × 40 +3 × 120 = 0.9；
（2 10+25）由题意可得从该市党员中随机抽取 1 名党员，其年龄在[30,50)的概率为 100 = 0.35，
则 (20,0.35)，即 ( = ) = C 20 20 × 0.35 × 0.65 ( = 0,1,2, ,20)，
所以 ( = + 1) = C +120 × 0.35 +1 × 0.6519 ，
( = 1) C 1= 20 ×0.35
1×0.6521 13 147
令 ( = ) C ×0.35 ×0.6520 = 21 × ≤ 1，得 ≤20 7 20 ，
( = +1) +1
= C20 ×0.35
+1×0.6519
令 ( = ) C ×0.35 ×0.6520 =
20 7 127
20 +1
× 13 ≤ 1，得 ≥ 20 ，
127 ≤ ≤ 147所以 20 20 ，
因为 ∈ Z，所以当 = 7时， ( = )最大.专题 7.4 二项分布与超几何分布【九大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 利用二项分布求分布列】 ........................................................................................................................1
【题型 2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】 ............................................................................................2
【题型 3 二项分布的均值与方差】 ........................................................................................................................3
【题型 4 二项分布的实际应用】 ............................................................................................................................4
【题型 5 超几何分布的判断】 ................................................................................................................................6
【题型 6 求超几何分布的概率】 ............................................................................................................................7
【题型 7 超几何分布的均值】 ................................................................................................................................7
【题型 8 超几何分布的方差】 ................................................................................................................................8
【题型 9 二项分布与超几何分布的综合应用】 ....................................................................................................9
【知识点 1 二项分布】
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n 重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做 n 次；
②各次试验的结果相互独立.
2．二项分布
一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0次数，则 X 的分布列为 P(X=k)= ，k=0，1，2， ，n.如果随机变量 X 的分布列具有上式的
形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 (n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果 X B(n，p)，那么 E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
【题型 1 利用二项分布求分布列】
【例 1】（23-24 8高二下·江苏淮安·期末）已知随机变量 ~ (4, )，若 ( = 2) = 27，则 = （ ）
A 1 B 1 3 1 1 2．4 ．4或4 C．3 D．3或3
【变式 1-1】（2024 15高三·全国·专题练习）已知随机变量 ～ (4, )，其中0 < < 1，若 ( ≤ 3) = 16，则
( = 3) = （ ）
A 1．2 B
3 1 1
．16 C．16 D．4
【变式 1-2】（2024·山西吕梁·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 出发，每次向左移动
3 1
的概率为4，向右移动的概率为4.若该质点每次移动一个单位长度，设经过 5 次移动后，该质点位于 的位置，
则 ( > 0) = （ ）
A 50 B 17 C 53 D 17．243 ．512 ．512 ．81
【变式 1-3】（23-24 高二下·河南濮阳·期末）已知随机变量 1(3, ).若2 ≤ < 1，则 ≥
3
的取值范围
2
是（ ）
A 1 3 1 1 1 1． , B． ,1 C． , D． ,1
4 4 2 8 2 8
【题型 2 服从二项分布的随机变量概率最大问题】
【例 2】（23-24 高二下·吉林白山·期末）已知随机变量 ( ,0.5)，当且仅当 = 4时， ( = )取得最大
值，则 = （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式 2-1】（23-24 高二下·重庆·期末）某学校在假期组织 30 位学生前往北京 上海 广州 深圳 杭州 苏州
成都 重庆 8 个城市参加研学活动.每个学生可自由选择 8 个城市中的任意 1 个（不要求每个城市必须要有学
生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研
学的概率最大.
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式 2-2 1】（24-25 高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有4的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名
学生，那么其中数学成绩优秀的学生数 ~ (5,14)
1
，则 ( = ) = C 5(4)
(34)
5 取最大值时 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式 2-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平
行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端
放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格
子从左到右的编号分别为0,1,2, ,10，用 表示小球最后落入格子的号码，若 ( = ) ≤ ( = 0)，则 0 =
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【题型 3 二项分布的均值与方差】
3 1【例 】（2024 高三·全国·专题练习）已知随机变量 ~ 4, ，下列表达式正确的是（ ）
3
A ( = 2) = 4． 81 B． (3 + 1) = 4 C． (3 + 1) = 8 D
4
． ( ) = 9
【变式 3-1】（23-24 高二上·江西·期末）设随机变量 ~ (12, )，若 ( ) ≤ 4，则 ( )的最大值为（ ）
A．4 B 8 2．3 C．3 D．9
【变式 3-2】（24-25 高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互
相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从
顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，
格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5用 表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ）
A 1 1． ( = 0) = 32 B． ( = 5) = 64
C． 5 5( ) = 2 D． ( ) = 4
【变式 3-3】（23-24 高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概
率地向前或向后爬行 1 个单位，设爬行 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 ，则下列说法错误的是
（ ）
A． ( ) = 0 B． ( ) =
C． ( 100 = 0) < ( 100 = 2) D． ( 102 = 0) < ( 100 = 0)
【题型 4 二项分布的实际应用】
【例 4】（23-24 高二下·北京延庆·期中）已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，
计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为 0.8，它们之间互相不影响．设能正常工
作的设备数为 ．
(1)求 的分布列；
(2)求 ( )和 ( )；
(3)求计算机网络不会断掉的概率．
【变式 4-1】（24-25 高三上·福建·开学考试）某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一
件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为 1, 2, 3，且 1 + 2 + 3 = 1.从该工厂生产的产品中随机
抽取 n 件，设其中一等品的数量为 X，二等品的数量为 Y.
(1)已知 X 的数学期望 ( ) = 4，X 的方差 ( ) = 2.4，求 1的值.
(2)若 = 20，且 ( = 6) = ( = 8)，求 2的值.
(3)已知 1 = 0.4， 2 = 0.3，在抽取的 n 件商品中，一等品和二等品的数量之和为 M. M 的数学期望是否有最
大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由.
【变式 4-2】（24-25 高三上·北京·阶段练习）某批产品由一等品 二等品 三等品及次品构成.随机抽取 20 件，
统计情况如下表：
等级 一等品 二等品 三等品 次品
件数 10 6 3 1
以频率估计概率.
(1)若从这批产品中任取一件，试估计“其为一等品或二等品”的概率；
(2)在抽取的 20 件产品中，随机抽取 3 件，求其中“既有一等品又有二等品”的概率；
(3) 3若改进技术后，产品为一等品的概率提升为5.从这批产品中随机抽取 10 件产品，其中恰好有 5 件一等品
的概率记为 1，恰好有 7 件一等品的概率记为 2，请直接写出 1与 2的大小关系.
【变式 4-3】（2024·全国·模拟预测）一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投
进得 1 分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得 0 分，
1
且下一次投进得 1 分．已知某同学连续投篮 n 次，总得分为 X，每次投进的概率为3，且每次投篮相互独立．
(1)当 = 30时，判断 ( )与 10 的大小，并说明理由；
(2)当 = 3时，求 X 的概率分布列和数学期望；
(3)记 = 3的概率为 ( ≥ 2, ∈ *)，求 的表达式．
【知识点 2 超几何分布】
1．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品.从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽
取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(X=k)= ，k=m，m+1，m+2， ，r.其中 n,N,M∈N*，
M≤N，n≤N，m= {0，n-N+M}，r= .如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机
变量 X 服从超几何分布.
若随机变量 X 服从超几何分布，则其均值 E(X)= =np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义.
2．超几何分布与二项分布的关系
(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有
截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概
率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至
关重要的.
(2)事实上，在次品件数为确定数 M 的足够多的产品中，任意抽取 n 件(由于产品件数 N 无限多，无放
回与有放回无区别，故可看作 n 重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.
3．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考
察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
【题型 5 超几何分布的判断】
【例 5】（2025 高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量 X 服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛 3 次，正面向上的次数 X
B．从一批含有 13 件正品、2 件次品的产品中，不放回地任取 3 件，取得的次品数为 X
C．某射手的命中率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中目标的次数为 X
D．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数
【变式 5-1】（24-25 高二上·全国·课后作业）一个袋中有 6 个同样大小的黑球，编号为 1，2，3，4，5，6，
还有 4 个同样大小的白球，编号为 7，8，9，10.现从中任取 4 个球，有如下几种变量：
①X 表示取出的最大号码；
②X 表示取出的最小号码；
③X 表示取出的白球个数；
④取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分，X 表示取出的 4 个球的总得分减去 4 的差.
这四种变量中服从超几何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【变式 5-2】（24-25 高二下·全国·课后作业）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个白球，这
些球除颜色外完全相同，若用随机变量 表示任选 4 个球中红球的个数，则 服从超几何分布，其参数为
（ ）
A． = 9， = 4， = 4 B． = 9， = 5， = 5
C． = 13， = 4， = 4 D． = 14， = 5， = 5
【变式 5-3】（24-25 高二下·江西抚州·阶段练习）下列随机事件中的随机变量 X 服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
C．从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【题型 6 求超几何分布的概率】
【例 6】（23-24 高二下·山东青岛·期中）数学老师从 6 道题中随机抽 3 道让同学检测，规定至少要解答正
确 2 道题才能及格．某同学只能正确求解其中的 4 道题，则该同学能及格的概率为（ ）
A 4 2 3 1．5 B．3 C．5 D．2
【变式 6-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）设袋中有 8 个红球，4 个白球，若从袋中任取 4 个球，则其中
至多 3 个红球的概率为（ ）
A C
3C1 1 3 2 2 4 4
． 8 4C4 B
C C
． 8 4
+C8C4 C4 C8
C4 C．1 4 D．1 412 12 C12 C12
【变式 6-2】（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）某学习小组共 12 人，其中有 5 名是“三好学生”，现从该
C5C0+C1C4
小组中任选 5 人参加竞赛，用 ξ 表示这 5 人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于 7 5 5 7C5 的是（ ）12
A． ( = 1) B． ( ≤ 1) C． ( ≥ 1) D． ( ≤ 2)
【变式 6-3】（23-24 高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有 30 名学生，其中有 10 名女生，
现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的 3 名代表中的女生人数为变量 ，男生的人
数为变量 ，则 ( = 2) + ( = 2)等于（ ）
C2 3 2 2A． 10C20C3 B
C10+C． 20C310 30
C2 C1 1 2 2C 10 20+C10C20 D C10+C
1 C1 +C2
． ． 20 10 20C3 330 C30
【题型 7 超几何分布的均值】
【例 7】（23-24 高二下·河南信阳·期末）2024 年 5 月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票 3 枚，巢湖是继《太
湖》（5 枚）、《鄱阳湖》（3 枚）、《洞庭湖》（4 枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从 15
枚邮票中随机抽取 2 枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为 ，则 ( ) = （ ）
A 2 2 3．5 B．3 C．1 D．2
【变式 7-1】（23-24 高二下·吉林长春·阶段练习）2024 年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔 7 位主播从“心”
出发，其中男性 5 人，女性 3 人，现需排班晚 8：00 黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A 3 3 5 4．5 B．4 C．4 D．3
【变式 7-2】（2024 高三·全国·专题练习）一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球，假设每个球被摸到的可能
性是相等的．从袋子中摸出 2 个球，其中白球的个数为 X，则 X 的数学期望是（ ）．
A 4 B 3 C 2 D 1．5 ．5 ．5 ．5
【变式 7-3】（23-24 高三上·四川成都·开学考试）某地盛行糕点有 n 种，该地的糕点店从中准备了 m
（ < ）种糕点供顾客选购．已知某顾客喜好的糕点有 k（ < ）种，则当其随机进入一家糕点店时，会
发现该店中有若干种糕点符合其喜好．记随机变量 X 为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则 ( ) =
（ ）
A B + ． ． 2 C． D．
【题型 8 超几何分布的方差】
【例 8】（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）已知 6 件产品中有 2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽
取 3 件进行检测，记取到的正品数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A 4 1． (2 1) = 3 B． ( ) = 5
C 8． ( ) = 1 D． (2 1) = 5
【变式 8-1】（2024·浙江金华·二模）口袋中有相同的黑色小球 n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任
取 4 个小球．ξ 表示当 n＝3 时取出黑球的数目，η 表示当 n＝4 时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　）
A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）
C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）
【变式 8-2】（24-25 高二下·山东枣庄·阶段练习）为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国
文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班
某小组有男生 4 人，女生 2 人，现从中随机选取 2 人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为 X，求 X 的分布列及期望 ( )、方差 ( ).
【变式 8-3】（23-24 高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有 10 名同学，成员构成如下表所示.表
2
中部分数据不清楚，只知道从这 10 名同学中随机抽取 1 名同学，该名同学的专业为数学的概率为5.
性别 中文 数学 英语 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）.
(1)求 、 的值；
(2)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设 为选出的 3 名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量 的分布列、均值及方差.
【题型 9 二项分布与超几何分布的综合应用】
【例 9】（23-24 高二下·江苏泰州·期末）已知 20 条试题中有 8 条选择题，甲无放回地依次从中抽取 5 条题，
乙有放回地依次从中抽取 5 条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的 5 条题中选择题的条数分别为 1, 2，
1, 2的期望分别为 ( 1), ( 2)，方差分别为 ( 1), ( 2)，则（ ）
A． ( 1) = ( 2), ( 1) < ( 2) B． ( 1) = ( 2), ( 1) > ( 2)
C． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) > ( 2)
【变式 9-1】（23-24 高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有 10 个除颜色不同外，大小、质地完全相同的
球，其中有 6 个黑球，4 个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出 3 个球，记取到白
球的个数为 1，期望方差分别为 ( 1), ( 1)；试验二：逐个有放回地随机摸出 3 个球，记取到白球的个数
为 2，期望和方差分别为 ( 2), ( 2)，则下列判断正确的是（ ）
A． ( 1) = ( 2), ( 1) < ( 2) B． ( 1) = ( 2), ( 1) > ( 2)
C． ( 1) > ( 2), ( 1) > ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2)
【变式 9-2】（23-24 高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从 6 道备选题
中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知 6
2
道备选题中甲生有 4 题能正确完成，2 题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是3，求：
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
【变式 9-3】（23-24 高二下·山西太原·期末）某市为了解党员对党史知识的掌握情况，在该市随机选取 100
名党员进行调查，其中不同年龄段的人数分布如下表：
年龄 小于 30 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 大于等于 70
人数 5 10 25 35 15 10
(1)已知年龄在[30,40)的女性党员有 3 人，现从该年龄段这 10 人中随机选择 3 人进行座谈，用 表示这 3 人
中女性党员的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)若用样本的频率近似代替概率，现从该市党员中随机抽取 20 名党员进行调查，用 表示其中年龄在[30,50)
内的人数，求当 ( = )( = 0,1, ,20)取最大值时 的值.

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