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专题 7.9 随机变量中的必考六类问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 离散型随机变量的分布列问题】 ............................................................................................................2
【类型 2 求离散型随机变量的均值】 ....................................................................................................................6
【类型 3 求离散型随机变量的方差】 ..................................................................................................................10
【类型 4 二项分布的均值与方差】 ......................................................................................................................14
【类型 5 超几何分布的均值与方差】 ..................................................................................................................18
【类型 6 决策问题】 ..............................................................................................................................................22
【知识点 1 离散型随机变量】
1．离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；
第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
2．求离散型随机变量 ξ 的均值与方差的步骤
(1)理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能的全部值.
(2)求 ξ 取每个值的概率.
(3)写出 ξ 的分布列.
(4)由均值的定义求 E(ξ).
(5)由方差的定义求 D(ξ).
【知识点 2 二项分布与超几何分布】
1．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别
有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可
近似为二项分布来处理.
3．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考
察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
【知识点 3 决策问题及其解题策略】
1．决策问题
决策问题的核心是通过期望值评估平均结果，结合方差量化风险，最终根据决策者的风险偏好做出选
择.在离散型随机变量的决策问题中，通常需要通过计算期望值、方差等统计量来比较不同方案的风险与收
益，从而做出最优选择.
2．解决离散型随机变量的决策问题的通用步骤
(1)明确问题：①确定决策目标（如最大化收益、最小化损失）；②列出所有可行方案.
(2)定义随机变量：①对每个方案，定义其可能的结果（离散值）及其概率.
(3)计算统计量：①期望值：比较不同方案的平均收益/损失；②方差/标准差：衡量风险大小.
(4)结合风险偏好决策：若风险中性，选择期望收益最高的方案；若风险厌恶，可能选择期望收益稍低
但风险更小的方案.
【方法技巧与总结】
1．二项分布当 n=1 时就是两点分布.
2．超几何分布有时也记为 X~H(n,M,N)，其均值 E(X)= ，方差 .
【类型 1 离散型随机变量的分布列问题】
1．（23-24 高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为 ，则 的分
布列为（ ）
A．
X 1 2
P 1 1
2 2
B．
X 0 1
P 1 1
2 2
C．
X 0 1 2
P 1 1 1
4 2 4
D．
X 0 1 2
P 1 1 1
2 4 4
【解题思路】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案.
1
【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为2，且相互独立， 的取值可能为 0，1，2.
1 1 1( = 0) = 2 × 2 = 4， ( = 1) = 2 ×
1 1
2 × 2 =
1
2，
1 1 1
( = 2) = 2 × 2 = 4，
所以 的分布列为：
X 0 1 2
P 1 1 1
4 2 4
故选：C.
2．（23-24 高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量 X 的 分布列如下表：若离散型随机变量
= 2 + 1，则 ( ≥ 5) = （ ）
X 0 1 2 3
P a 1 5a 1
3 6
A 7．12 B
5 5 3
．12 C．6 D．4
【解题思路】由分布列中各概率之和为 1 求得参数 ，进一步将所求变形为 ( ≥ 5) = ( = 2) + ( = 3)
即可求解.
1 1 1
【解答过程】由题意 + 3 +5 + 6 = 1，解得 = 12，
而 ( ≥ 5) = 5 1 7(2 + 1 ≥ 5) = ( ≥ 2) = ( = 2) + ( = 3) = 12 + 6 = 12.
故选：A.

3．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知随机变量 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2)( = 0,1,2)，其中 是常
数，则（ ）
A． ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1 B 4． = 3
C． (0 ≤ < 2) = 8 29 D． ( = 1) = 3
4
【解题思路】根据分布列的性质，列出方程求得 = 3，结合选项，逐项判定，即可求解.

【解答过程】根据题意，随机变量 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2)( = 0,1,2)，

则有 ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 42 + 6 + 12 = 1，解得 = 3，
则 ( = 1) = 29，
(0 ≤ < 2) = ( = 0) + ( = 1) = 2 + 2 83 9 = 9．
故选：ABC.
4．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量 的分布列为
0 1 2
1

1 2
2 3
则 ( ∈ ) =
9
10 .
【解题思路】根据离散型随机变量的分布列的性质即可求解.

【解答过程】由分布列的性质得1 2 ≥ 0 1，3 ≥ 0，且2 +1 2 + 3 = 1
3
，解得 = 10，
∴ ( ∈ ) = ( = 0) + ( = 1) =
1
2 +1 2 ×
3
10 =
9
10.
9
故答案为：10.
5．（2025 高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识
的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题 10 道，规定每次测试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，
至少答对 2 道题者视为合格，若甲能答对其中的 5 道题，求：
(1)甲测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数 X 的分布列.
【解题思路】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果；
（2）由题意可得，X 可以为 0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列.
C2C1+C31 A = 5 5 5 = 50+10 1【解答过程】（ ）设甲测试合格为事件 ，则 ( ) C3 = .10 120 2
（2）甲答对的试题数 X 可以为 0，1，2，3，
C
3 1 C1 2
( = 0) = 5 = ， ( = 1) = 5
C5 = 5C3 12 C3 12，10 10
2 1 3
( = 2) =
C5C5 5 C 1
C3 = 12， ( = 3) =
5
C3 =10 10 12，
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1 5 5 1
12 12 12 12
6．（23-24 高二下·广东湛江·期中）A，B 两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、
打成平局和失败分别记 + 3分、m 分和 0 分．比赛两局，已知在每局比赛中 A 获胜、打成平局和战败的概
率分别为 0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立．
(1)若 = 2，求 A 两局得分之和为 5 的概率；
(2)若 = 3，用 X 表示 B 两局比赛的得分之和，求 X 的分布列．
【解题思路】（1）由 A 两局得分之和为 5 等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可；
（2）由题意可知 X 的可能取值为 0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得 X 的分布列．
【解答过程】（1）若 = 2，由已知条件得，A 两局得分之和为 5 等价于一胜一负，
所以 A 两局得分之和为 5 的概率为C12 × 0.2 × 0.5 = 0.2．
（2）因为在一局比赛中 A 获胜、打成平局和战败的概率分别为 0.5，0.3，0.2，
所以在一局比赛中 B 获胜、打成平局和失败的概率分别为 0.2，0.3．0.5，
若 = 3，则 X 的可能取值为 0，3，6，9，12，
( = 0) = 0.52 = 0.25，
( = 3) = C12 × 0.3 × 0.5 = 0.3，
( = 6) = 0.32 + C12 × 0.2 × 0.5 = 0.29，
( = 9) = C12 × 0.2 × 0.3 = 0.12，
( = 12) = 0.22 = 0.04，
所以 X 的分布列为
X 0 3 6 9 12
P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04
【类型 2 求离散型随机变量的均值】
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知 的分布列为：
1 0 1
P 1 1 1
2 3 6
设 = 3 2，则 ( )的值为（ ）
A． 3 B 4 2．3 C． 3 D．5
【解题思路】利用期望的公式及性质计算即可.
1 1 1 1
【解答过程】由题意可知 ( ) = 1 × 2 +0 × 3 +1 × 6 = 3，
∵ = 3 2，∴ ( ) = (3 2) = 3 ( ) 2 = 3 × 1 2 = 3.
3
故选：A.
8．（23-24 高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且
有 4 个形状、大小均相同的入口 1，2，3，4，其中只有 1 个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机
器狗从点 出发探路，从 4 条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路
返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于 1 次，
且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（ ）
A 4 B 2 C 7 5．3 ． ．3 D．2
【解题思路】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为 ，则 的所有可能取值为 1，2，3，4，利用古典概型
的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可．
【解答过程】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为 ，则 的所有可能取值为 1，2，3，4，
1
( = 1) = 1 ( = 2) = C3C
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ， 1 = ， ( = 3) = C3C2C1 = 1 ( = 4) = C3C C， 2 1C14 A2 4 A3 4 A4 =
1
，
4 4 4 4
所以 ( ) = 1 × 1 1 14 +2 × 4 +3 × 4 +4 ×
1 5
4 = 2．
故选：D.
9．（24-25 高二下·全国·课后作业）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该
轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售
出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如表：
品牌 甲 乙
首次出现故障的时间 （年） 0 < ≤ 1 1 < ≤ 2 > 2 0 < ≤ 2 > 2
轿车数量（辆） 2 3 45 5 45
每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，则（ ）
A 1．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为5
B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 1，则 ( 1) = 2.86
C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为 2，则 ( 2) = 2.99
D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经
济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车
【解题思路】由条件概率判断 A，写出 1, 2的分布列，求出它们的期望可判断 BCD.
【解答过程】设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 ，则 ( ) = 2+3 150 = 10，
依题意得， 1的分布列为
1 1 2 3
1 3 9
25 50 10
1 3 9 143( 1) = 1 × 25 +2 × 50 +3 × 10 = 50 = 2.86，
2的分布列为
2 1.8 2.9
1 9
10 10
1 9( 2) = 1.8 × 10 +2.9 × 10 = 2.79．
因为 ( 1) > ( 2)，所以应生产甲品牌轿车．
故选：BD.
10．（24-25 高二下·全国·课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多
彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共
有10张质地均匀的卡片，其中5张卡片图案是粽子，另外5张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随
机抽取5张卡片，如果5张卡片图案相同，则获得100元的购物卡；如果5张卡片中有4张图案相同，则获得50
1
元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设 是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 + 2 =
3
39
7 ．
【解题思路】由条件确定 的可能取值，再求其取各值的概率，由期望公式求 ( )，再根据期望性质求结论.
【解答过程】依题意， 的可能取值是0,50,100，
2C
3C2 4 1 5 0
则 ( = 0) = 5 5 =
50 2C C 25 2C C 1C5 ， ( = 50) =
5 5 = 5 55
10 63 C10 126
， ( = 100) = C5 = ，10 126
= 0 × 50 +50 × 25 +100 × 1 = 75故 ( ) 63 126 126 7 ，
1 1
故 + 2 = 3
39
( ) +2 = ．
3 7
39
故答案为： 7 .
11．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，
当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方
2
参加比赛，已知甲每局获胜的概率为3，假设每场比赛的结果相互独立．
(1)求甲以3:1获胜的概率；
(2)设比赛场数为 ．试求 的分布列及数学期望 ( )；
(3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？
【解题思路】（1）根据乘法公式计算即可求解；
（2）根据独立事件的乘法公式计算出 ( = 3), ( = 4), ( = 5)，列出分布列，即可求出 ( )；
（3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论.
【解答过程】（1）若甲以3:1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2:1，
2
所以 = C2 2 13
2 = 24
3 ．3 3 81
（2）易知 取值为 3，4，5．
3
( = 3) = 1 + 2
3
= 9 = 1
3 3 27 3，
2 2
( = 4) = C2 2 × 1 × 2 + C2 1 × 2 × 1 =
10
3 3 3 3 3 3 3 3 27
，
2 2
( = 5) = C2 24 ×
1 = 8
3 3 27，
故 的概率分布列为：
3 4 5
1 10 8
3 27 27
1 10 8 107
所以 的数学期望为： ( ) = 3 × 3 +4 × 27 +5 × 27 = 27 ．
（3）采用“五局三胜制”甲会以3:0、3:1、3:2获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率：
2 3 2 2 2 = + C2 2 13
2 + C2 2 1 2 = 64
3 3 ；3 3 4 3 3 3 81
采用“三局两胜制”甲会以2:0、2:1获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率：
2 2
= + C1
2 1 2 20 60
3 2 3 3 3 = 27 = 81
64 60
因为81 > 81，所以甲应该采用“五局三胜制”．
12．（24-25 高三上·上海·开学考试）某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三
2 1
年级的率为5，高一年级胜高三年级的概率为3，且每轮对抗赛的成绩互不影响.
(1)若高二年级与高三年级进行 4 轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有 3 轮胜出的概率；
(2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜 2 轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过 5 轮，
求对抗赛轮数 X 的分布列与数学期望.
【解题思路】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；
（2）先确定出 X 的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望.
3
【解答过程】（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为5.
设高三年级在 4 轮对抗赛中有 x 轮胜出，“至少有 3 轮胜出”的概率为 P，
3 4
则 = ( = 3) + ( = 4) = C3 3 ×
2 3 297
4 5 5
+ =
5 625.
（2）由题意可知 = 2，3，4，5，
2
1 1 1 4则 ( = 2) = 1 = 9， ( = 3) = C
1
2 × 3 ×3 1
1 × 3 = 27，3
= C1 × 1
2
× 1 1 × 1 4( = 4) 3 3 3 =3 27，
1 3 4 ( = 5) = C1 14 × 3 × 1 × 1 + 1
1 = 16
3 3 27，
故 X 的分布列为
X 2 3 4 5
P 1 4 4 16
9 27 27 27
1 4 4 16 38( ) = 2 × 9 +3 × 27 +4 × 27 +5 × 27 = 9 .
【类型 3 求离散型随机变量的方差】
13．（23-24 高二下·福建泉州·期末）随机变量 的分布列如下:
2 1 2
a 1 b
3
若 ( ) = 1，则 ( ) = （ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据分布列的性质和离散型随机变量的数学期望公式，列出方程求出 , 的值，最后利用方差
公式求出方差即可.
1
【解答过程】根据各离散型随机变量对应的概率和为 1，可得 + 3 + = 1，
又因为 ( ) = 2 + 13 +2 = 1
1 1
，解得 = 6, = 2，
1 1 1所以 ( ) = 6 × ( 2 1)
2 + 3 × (1 1)
2 + 2 × (2 1)
2 = 2.
故选：B.
14．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知 , 两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，
盒中有 3 个红球，1 个白球； 盒中有 1 个红球，3 个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三
次，此时记 盒中的红球个数为 , 盒中的红球个数为 ，则（ ）
A． ( ) > ( ), ( ) = ( ) B． ( ) < ( ), ( ) > ( )
C． ( ) > ( ), ( ) < ( ) D． ( ) < ( ), ( ) = ( )
【解题思路】得到 与 的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差.
【解答过程】由已知 = 0,1，
3 2 1 1( = 0) = 4 × 3 × 2 = 4，
= 3 2 1 3 1 2 1 3 2 3( = 1) 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 = 4，
则 的分布列为：
0 1
1 3
4 4
2
( ) = 0 ×
1 +1 × 3 = 3 1( ) = 0 3 × + 1 3
2
× 3 = 3可得 4 4 4， 4 4 4 4 16；
由已知 = 0,1，
3 2 1 3 1 2 1 3 2 3( = 0) = 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 = 4，
= 3 × 2 1 1( = 1) 4 3 × 2 = 4，
则 的分布列为：
0 1
3 1
4 4
3 1 1 1 2 3 2
可得 ( ) = 0 × 4 +1 × 4 = 4， ( ) = 0 × 4 + 1
1 × 1 3
4 4 4
= 16；
所以 ( ) > ( ), ( ) = ( ).
故选：A.
15．（23-24 高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量 的分布列如表所示，若离散型随机变量 满足
= 3 2，则（ ）
1 2 3 4
0.5 0.3 0.1
A． ( ) = 1.5 B． ( ) = 4
C． ( ) = 0.2 D． ( ) = 10.8
【解题思路】运用分布列性质求 ，再用均值和方差公式及其性质计算即可.
【解答过程】由分布列的性质知0.5 + + 0.3 + 0.1 = 1，则 = 0.1.
对 A， ( ) = 1 × 0.5 + 2 × 0.1 + 3 × 0.3 + 4 × 0.1 = 2，故 A 错误；
对 C， ( ) = 0.5 × ( 1)2 +0.1 × 02 +0.3 × 12 +0.1 × 22 = 1.2，故 C 错误；
对 B， ( ) = (3 2) = 3 ( ) 2 = 3 × 2 2 = 4，故 B 正确；
对 D， ( ) = (3 2) = 9 ( ) = 9 × 1.2 = 10.8，故 D 正确.
故选：BD.
16．（24-25 高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这
是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款 级 3 段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为
一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得 2 千元奖金，若获胜两次，则可以获得 5 千元奖金，若
1
获胜三次，则可以获得 1 万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为2，
535
记此人可获得的奖金为 千元，则 ( ) = 64 ．
31
【解题思路】根据条件，可知 的可能取值为0,2,5,10，进而求出相应的概率，从而得到 ( ) = 28 ， ( ) =
187
8 ，即可求出结果.
【解答过程】依题意可知， 的可能取值为0,2,5,10，
3 3 3 3
则 ( = 0) = C0 13 =
1 3 3 1
2 8，
( = 2) = C1 13 = 2 8， ( = 5) = C
2 1
3 = 2 8， ( = 10) = C
3 1
3 =2 8，
所以 ( ) = 0 ×
1
8 +2 ×
3
8 +5 ×
3
8 +10 ×
1 = 318 8 ，
1
又 ( 2) = 02 × + 228 ×
3 + 52 × 3 2 1 1878 8 + 10 × 8 = 8 ，
535所以 ( ) = ( 2) ( ( ))2 = 64 ，
535
故答案为： 64 .
17．（23-24 高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的
收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费 2 元（不足 1 小时的部
分按 1 小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还
1 1 1 1
车的概率分别为4，2；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为4，4；两人租车时间都不会超过四小
时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多 2 元的概率；
(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 X，求 X 的分布列、均值 ( )、方差 ( )
【解题思路】（1）首先求出两个人租车时间在三小时以上且不超过四小时的概率，则甲、乙两人所付的租
车费用相同：都不超过两小时，都在两小时以上且不超过三小时和都在三小时以上且不超过四小时三类求
解即可；
（2）根据题意分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，或者甲三小时以上且不超
过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，求解即可；
（3）列出随机变量 X 的分布列，再利用期望、方差公式求值.
1 1
【解答过程】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为2，4，
1 1 1 1 1 1 5
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则 ( ) = 4 × 2 + 4 × 4 + 2 × 4=16，
5
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为16；
（2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多 2 元，
则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，
或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，
1 1 1 1 1
甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多 2 元的概率为4 × 2 + 2 × 4 = 4；
（3）X 的可能取值为 0，2，4，6，8，
1 1 1 1 1 3
( = 0) = 8 , ( = 2) = 4 × 4 + 2 × 4 = 16 ,
= 1 × 1 + 1 × 1( = 4) 4 4 4 4 +
1
2 ×
1 3
2 = 8，
1 1 1 1 3 1 1 1( = 6) = 4 × 4 + 2 × 4 = 16， ( = 8) = 2 × 4 = 8，
分布列如下表：
X 0 2 4 6 8
P 1 3 3 3 1
8 16 8 16 8
= 0 × 1 +2 × 3 +4 × 3 +6 × 3 1数学期望 ( ) 8 16 8 16 +8 × 8 = 4，
( ) = (0 4)2 ×
1
8 + (2 4)
2 × 3 2 3 2 3 2 1 1116 + (4 4) × 8 + (6 4) × 16 + (8 4) × 8 = 2 .
18．（23-24 高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局
比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量 的分布列和期望 ( )；
(2)若0 < < 1 203，设随机变量 的方差为 ( )，求证： ( ) < 81．
【解题思路】（1）依题意 可能的取值为2，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；

（2）根据 ( ) = 2 [ ( )]2，表示出 ( )，再换元，利用二次函数的性质计算可得.
=1
【解答过程】（1）由题随机变量 可能的取值为2，3，
则 ( = 2) = 2 + (1 )2 = 2 2 2 + 1，
( = 3) = 2 2(1 ) + 2 (1 )2 = 2 2 2，
故 的分布列为：
2 3
2 2 2 + 1 2 2 2
故 ( ) = 2 × (2 2 2 + 1) + 3 × (2 2 2) = 2 2 +2 + 2；

（2）由（1）知， ( ) = 2 [ ( )]2
=1
2
= 4 × (2 2 2 + 1) + 9 × (2 2 2) 2 2 + 2 + 2 ，
2
令 = 2 2 2 = 2 1 + 12，因为0 < <
1
3 <
1
2，故0 < <
4
2 9，
此时4 × (2 2 2 + 1) + 9 × (2 2 2) ( 2 2 + 2 + 2)2
= 4(1 ) + 9 ( + 2)2
= 2 + ，
1
因为二次函数 = 2 + 关于 = 2对称，又0 < <
4
9，当 =
4
9时 =
20
81，
20
所以 2 + < 81，
( ) < 20即 81．
【类型 4 二项分布的均值与方差】
19．（24-25 高二下·辽宁·开学考试）已知 ~ (3, )(0 < < 1)，4 ( = 3) + ( = 2) = 78，且 = 2 + 1，
则下列选项中不正确的是（ ）
A． = 12 B． ( ) =
3
2
C ( ) = 3． 4 D． ( ) 1 = 2 ( )
7 1
【解题思路】根据 ~ (3, )(0 < < 1)，且4 ( = 3) + ( = 2) = 8求得 = 2，再逐项判断.
【解答过程】因为 ~ (3, )(0 < < 1)，且4 ( = 3) + ( = 2) = 78，
所以4C3 33 + C2 2
7 3 2 7
3 (1 ) = 8，即 +3 = 8，
因为 ( ) = 3 +3 2在(0,1) 1 7上递增，且 (2) = 8，
1
所以 = 2，故 A 正确；
( ) = = 32，故 B 正确；
( ) = (1 ) = 34，故 C 正确；
( ) 1 = 2 ( ) + 1 1 = 3， ( ) = 4 ( ) = 3，故 D 错误；
故选：D.
20．（24-25 高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行
但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放
入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从
左到右分别编号为0,1,2,3,4,5用 表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ）
A = 1 1． ( = 0) 32 B． ( = 5) = 64
C 5 5． ( ) = 2 D． ( ) = 4
1
【解题思路】分析可知 ~ 5, ，利用独立重复试验的概率公式可判断 AB 选项；利用二项分布的期望和
2
方差的公式可判断 CD 选项．
1
【解答过程】设 = “向右下落”，则 = “向左下落”， ( ) = = 2，
因为小球最后落入格子的号码 等于事件 发生的次数，
1
而小球下落的过程中共碰撞小木钉 5 次，所以 5, ，
2
5
对于 A： 1( = 0) = 1 1 =2 32，故 A 正确；
B ( = 5) = 1
5
= 1对于 ： 2 32，故 B 错误；
C 1 5对于 ： ( ) = 5 × 2 = 2，故 C 正确；
对于 D 1 1 5： ( ) = 5 × 2 1 = 4，故 D 正确；2
故选：B．
21．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知随机变量 ~ ( , )，若 ( ) = 4， = 2 + 3， ( ) = 3.2，则下
列结论正确的是（ ）
A． = 4 B． = 5
C 32． = 0.8 D． ( = 2) = 625
【解题思路】利用二项分布的概率公式即可得到答案.
【解答过程】因为随机变量 ~ ( , )， ( ) = 4，所以 = 4①， ( ) = (1 )，
又 = 2 + 3， ( ) = 3.2，所以 ( ) = 4 ( ) = 4 (1 ) = 3.2②，
由①②联立可得 = 5， = 0.8，BC 正确，A 错误；
32所以 ( = 2) = C2 25 (1 )3 = 625，D 正确；
故选：BCD.
22．（24-25 高二上·河南南阳·期末）某人在 次射击中击中目标的次数为 ，且 ( , )，已知 ( ) = 6.4,
( ) = 1.28，则当 ( = )取最大值时， = 7 ．
【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式求出 , ，再利用不等式法求概率的最大值.
( ) = = 6.4,
【解答过程】依题意，得 ( ) = (1 ) = 1.28, 解得 = 8, = 0.8，
故 (8,0.8)，所以 ( = ) = C 8 × 0.8 × 0.28 ．
( = ) ( = ) ≥ ( = 1),当 最大时， ( = ) ≥ ( = + 1),
C × 0.8 × 0.28 8 ≥ C 18 × 0.8 1 × 0.29 ,即 C 8 +18 × 0.8 × 0.2 ≥ C8 × 0.8 +1 × 0.27 ,
8! × 0.8 ≥ 8! × 0.2,
!(8 )! ( 1)!(9 )! 4(9 ) ≥ ,
即 8! 8! 整理得× 0.2 ≥ × 0.8, 4(8 ) ≤ + 1,
!(8 )! ( +1)!(7 )!
31
解得 5 ≤ ≤
36
5 ，而 ∈
*，因此 = 7．
故答案为：7．
23．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）已知 4 个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状
2
态，某种险情发生时每个报警器都有3的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为 .
(1)求 的分布列与数学期望；
(2)求 ( ∈ N )的值使某次险情发生时有最大的概率有 个报警器发出警报.
【解题思路】（1）运用二项分布的概率公式和方差公式计算即可；
（2）运用二项分布概率公式，结合组合数公式，构造不等式组计算即可.
【解答过程】（1）根据题意， (4,23), 可以取 0、1、2、3、4，
4
= 1 = 1( = 0) 3 81，
1 3
8( = 1) = C1 2 14 =3 3 81，
2 2
= C2 2 1 = 8( = 2) 4 3 3 27，
3 1
32( = 3) = C3 2 14 =3 3 81，
4
16( = 4) = 2 =3 81
所以， 的分布列：
X 0 1 2 3 4
P 1 8 8 32 16
81 81 27 81 81
故 ( ) = 4 × 2 83 = 3
4
（2） ( = ) = C 2 14 3 3
2 1 4 1 5
C 4 ≥ C 1
2 1 C 24 4 ≥ C 14
1
则： 3 3 3 3 4 +1 3 ，化简得
3 3
C 2 1 ≥ C +1 2 1 C
,
4 4 4
1 ≥ C +1 24
3 3 3 3 3 3
2 × 4!
≥ 4! 1 1
!(4 )! ( 1)!(5 )! 2 × ≥
继续化简得到 ， 5
7 10
4! 4! 1 1 解得：3 ≤ ≤ 3 ，又由于 ∈
*，故 = 3.
≥ 2 × ≥ 2 ×
!(4 )! ( +1)!(3 )! 4 +1
24．（24-25 高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便
的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，
私家车在此路口遇到红灯的概率为 (0 < < 1)．
(1) 2若遇到红灯的概率为5，求不同时刻的 5 辆私家车在该路口有 3 辆车遇到红灯的概率；
(2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求 5 辆私家车遇到红灯的车辆数 的分布列与期望．
【解题思路】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解；
（2 1）由题意确定私家车遇到红灯的概率是2，由二项分布即可求解.
3 2
【解答过程】（1 2 2 3 144）由题设，路口遇到红灯私家车数量 ~ (5,5)，则 ( = 3) = C
3
5 × =5 5 625．
（2）由题设，路口遇到红灯私家车数量 ~ (5, )，
+1 2 5
一辆私家车遇到红灯的方差为5 (1 ) ≤ 5 =2 4，
当且仅当 = 1 = 1 12时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是2．
由题可得， 的可能取值为 = 0,1,2,3,4,5，则
1 5 1
5 5
( = 0) = = , 2 32 ( = 1) = C
1 1
5 =2 32，
5
10
5 10
( = 2) = C2 15 = , 2 32 ( = 3) = C
3 1
5 =2 32，
5 5
( = 4) = C4 1
5
5 = 32, ( = 5) =
1 = 1
2 2 32．
所以其分布列为：
0 1 2 3 4 5
1 5 5 5 5 1
32 32 16 16 32 32
= 0 × 1 +1 × 5 +2 × 5 +3 × 5 +4 × 5 1 5( ) 32 32 16 16 32 +5 × 32 = 2．
【类型 5 超几何分布的均值与方差】
25．（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）已知 6 件产品中有 2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽取 3
件进行检测，记取到的正品数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A 4 1． (2 1) = 3 B． ( ) = 5
C． 8( ) = 1 D． (2 1) = 5
【解题思路】根据题意可知，X 可能取 1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方
差的公式及性质计算即可．
【解答过程】根据题意可知，X 可能取 1，2，3，且服从超几何分布，
( = 1) = C
2
2C14 = 1, ( = 2) = C
1C2 3
故 2 4 = 3, ( = 3) = C4 1C36 5 C3 3 = ,6 5 C6 5
所以 ( ) = 1 × 15 +2 ×
3
5 +3 ×
1
5 = 2,
( ) = (1 2)2 × 1 2 35 + (2 2) × 5 + (3 2)
2 × 15 =
2
5，
(2 1) = 2 ( ) 1 = 2 × 2 1 = 3，
8
(2 1) = 4 ( ) = 5 ,
故选：D．
26．（23-24 高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有 10 个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中
有 6 个黑球，4 个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出 3 个球，记取到白球的个数
为 1，期望方差分别为 ( 1), ( 1)；试验二：逐个有放回地随机摸出 3 个球，记取到白球的个数为 2，期
望和方差分别为 ( 2), ( 2)，则下列判断正确的是（ ）
A． ( 1) = ( 2), ( 1) < ( 2) B． ( 1) = ( 2), ( 1) > ( 2)
C． ( 1) > ( 2), ( 1) > ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2)
【解题思路】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出 3 个球、从中随机地有放回
摸出 3 个球的期望、方差，再做比较可得答案．
【解答过程】试验一：从中随机地无放回摸出 3 个球，记白球的个数为 1，
则 1的可能取值是 0，1，2，3，
C0 3 1 2
则 ( = 0) = 4C6 = 11 C3 6， ( 1 = 1) =
C4C6 1
C3 = 2,10 10
C2 1 3 0 ( = 2) = 4C6 = 3 C4C6 11 C310 10， ( 1 = 3) = C3 = 30，10
故随机变量 1的概率分布列为：
1 0 1 2 3
1 1 3 1
6 2 10 30
则数学期望为： ( 1) = 0 ×
1
6 +1 ×
1 3 1 6
2 +2 × 10 +3 × 30 = 5，
6 2 2 2 2
方差为： ( 1) = (0 ) ×
1
6 + (1
6 ) × 12 + (2
6 ) × 310 + (3
6 ) × 130 =
14
5 5 5 5 25；
试验二：从中随机地有放回摸出 3 4 2个球，则每次摸到白球的概率为10 = 5，
2
则 2~ (3,5)，
故 ( 2) = 3 ×
2 6 2 2
5 = 5， ( 2) = 3 × 5 × (1 5) =
18
25，
故 ( 1) = ( 2)， ( 1) < ( 2)．
故选：A．
27．（23-24 高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用
梁隔开，梁上面 2 颗叫上珠，下面 5 颗叫下珠，若从某一档的 7 颗算珠中任选 3 颗，记上珠的个数为 ，下
珠的个数比上珠的个数多 ，则（ ）
A． ( ≠ 1) =
2
7 B
6
． ( ) = 7
C． 9( ) = 7 D． ( ) =
80
49
【解题思路】由超几何分布的概率以及期望、方差即可.
【解答过程】由题意知， = 0,1,2.
0 3 1 2 2 1
( = 0) = C2C5 = 10 = 2C3 35 7, ( = 1) =
C2C5 20 4
C3 = 35 = 7, ( = 2) =
C2C5 = 5 = 13 ，
7 7 C7 35 7
则 ( ) = 20+10 6 10+535 = 7, ( ≠ 1) = 35 =
3
7，故 A 错误，B 正确；
由题意知， = 1,1,3.
( = 1) = ( = 2) = 17, ( = 1) = ( = 1) =
4
7, ( = 3) = ( = 0) =
2
7，
2 2 2
( ) = 1+4+6 9 1 9 4 9 2 9 807 = 7, ( ) = 7 1 + 7 1 + 7 3 =7 7 7 49，
故 CD 正确；
故选：BCD.
28．（23-24 高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学
习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有 10 道题目，随机抽取 3 道让参赛者回答，规
定参赛者至少要答对其中 2 道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的 6 道，那么党员甲抽到能答
9对题目数 的数学期望为 5 .
【解题思路】分析题意，确定 的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列
表，计算其均值即得.
【解答过程】由题意可得 = 0,1,2,3.
C3 1 C1C2 3
则 ( = 0) = 4C3 = 30, ( = 1) =
6 4
C3 = 10，10 10
C
2C1 1 C3 1
( = 2) = 6 4C3 = 2, ( = 3) =
6
C3 = 6，10 10
可得 的分布列为：
0 1 2 3
1 3 1 1
30 10 2 6
∴ = 0 × 1 +1 × 3期望 ( ) 30 10 +2 ×
1 +3 × 1 = 92 6 5.
9
故答案为：5.
29．（23-24 高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有 10 名同学，成员构成如下表所示.表中部分
2
数据不清楚，只知道从这 10 名同学中随机抽取 1 名同学，该名同学的专业为数学的概率为5.
性别 中文 数学 英语 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）.
(1)求 、 的值；
(2)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设 为选出的 3 名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量 的分布列、均值及方差.
【解题思路】（1）先根据已知列方程算出 ，进一步可得 ；
（2）根据古典概型概率计算公式即可求解；
（3）由超几何分步的概率公式，可得分布列，进一步得均值、方差公式.
+1
【解答过程】（1）由题意得 10 =
2
5 解得 = 3.
由 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10，得解得 = 1.
1
2 = C3C
2+C3 9+1 1
（ ）所求的概率为 3 3C3 = 120 =10 12.
（3）由已知，这 10 名同学中是女生或者专业为数学的人数为 7，Y 的可能取值为 0，1，2，3.
3 1 2
( = 0) = C3C3 =
1
120， ( = 1) =
C7C3 21 7
10 C3
= 120 =10 40，
( = 2) = C
2
7C1 33 63 21 C7 35 7
C3 = 120 =10 40， ( = 3) = C3 =10 120 = 24，
所以 Y 的分布列为
Y 0 1 2 3
P 1 7 21 7
120 40 40 24
均值为 ( ) = 0 × 1 7 21120 +1 × 40 +2 × 40 +3 ×
7
24 =
21
10，
2 1 2 7 2 2
方差为 ( ) = 0 21 × 21 21120 + 1 × 40 + 2 ×
21 + 3 21 7 49
10 10 10 40
× =
10 24 100.
30．（23-24 高二下·广东东莞·期中）学校要从 5 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人参加社区志愿者服务，
若用 X 表示抽取的志愿者中女生的人数，
(1)求抽取的 2 人恰有 1 个女生的概率；
(2)请写出随机变量 的分布列、数学期望 ( )与方差 ( ).
【解题思路】（1）由古典概型的概率公式计算可得；
（2）由题意可知 的取值为0，1，2，然后由超几何分布求出对应的概率，即可得到分布列，从而求出期望
与方差．
C1 C1
【解答过程】（1）依题意，抽取的2人恰有1个女生的概率 = 5 2C2 =
10
7 21
；
（2）由题意可知 的可能取值为0，1，2，
2 0 1 1 0 2
则 ( = 0) = C5C2C2 =
10
21， ( = 1) =
C5C2 10 C5C2 1
7 C2
= 21， ( = 2) = C2 = ，7 7 21
所以 的分布列为：
0 1 2
10 10 1
21 21 21
10
故 ( ) = 0 × 21 +1 ×
10 1 4
21 +2 × 21 = 7，
2 2 2
( ) = (0 4 ) × 1021 + (1
4 ) × 1021 + (2
4 ) × 1 = 50
7 7 7 21 147．
【类型 6 决策问题】
31．（23-24 高二下·山东烟台·阶段练习）根据期望最大原则，利用下列盈利表中的数据进行决策，不应该
选择的方案编号是（ ）
　　　 盈利方案
① ② ③ ④
自然状况概率
0.25 50 70 20 98
0.30 65 26 52 82
0.45 26 16 78 10
A．① B．② C．③ D．④
【解题思路】利用表格数据，计算期望，比较期望大小，即可得出结论.
【解答过程】利用方案①，期望为50 × 0.25 + 65 × 0.30 + 26 × 0.45 = 43.7，
利用方案②，期望为70 × 0.25 + 26 × 0.30 + 16 × 0.45 = 32.5，
利用方案③，期望为 20 × 0.25 + 52 × 0.30 + 78 × 0.45 = 45.7
利用方案④，期望为98 × 0.25 + 82 × 0.30 10 × 0.45 = 44.6，所以方案②的期望最小，不应该选择的方案
编号是②，
故选：B.
32．（23-24 高二下·江苏盐城·期中）已知 8 只小白鼠中有 1 只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患
这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将 8 只小白鼠的
血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取 4 只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对
这 4 只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的 4 只小白鼠再逐个化验，
直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（ ）
A 1．若用方案甲，化验次数为 2 次的概率为8
B 1．若用方案乙，化验次数为 3 次的概率为8
C．若用方案甲，平均化验次数为 4
D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好
【解题思路】求出两种方案的化验次数的分布列即可判断.
【解答过程】若用方案甲，设化验次数为 ，则 的可能取值为1,2,3,4,5,6,7，
1 7 1 1所以 ( = 1) = 8, ( = 2) = 8 × 7 = 8,A正确；
若用方案乙，设化验次数为 ，若 = 3，有两种情况：
① 4 = C
4 3 1 1
头 只均为阴性，则 71 C4 × × = ；8 4 3 8
3 1
② 4 C C 3 1 1头 只有阳性，则 = 7 12 C4 × × = ，8 4 3 8
1 1 1
所以化验次数为 3 次的概率为 ( = 3) = 8 + 8 = 4，B 错误；
若用方案甲，
则 1 6 1( = 3) = ( = 4) = ( = 5) = ( = 6) = 8, ( = 7) = 1 8 = 4，
所以 ( ) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ×
1 +7 × 1 = 358 4 8 ，C 错误；
若用方案乙， 可取 2，3，4.
C4 1 C3C1 = 7 7 1 1 1 1 1 1( = 2) C4 × +8 4 C4 × = , ( = 3) = , ( = 4) = 1 × 2 =8 4 4 4 4 2，
所以 ( ) = 2 ×
1 1 1 13
4 +3 × 4 +4 × 2 = 4 ，因为 ( ) > ( )，
所以方案乙比方案甲好，D 正确.
故选：AD.
33．（24-25 高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛
活动，规则如下：①单选题答对得 20 分，答错得 0 分；②多选题答对得 30 分，选对但不全得 10 分，有错
选得 0 分；③每名竞赛参与者答题 3 道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：
先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为 0.8；多选题全对的概率为 0.4，选
对但不全的概率为 0.3．
(1)若该学生选择方案一，求该学生得分 X 的分布列及数学期望；
(2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？
【解题思路】（1）根据题意，得到随机变量 的取值可能是 0，20，40，60，求得相应的概率，列出分布列，
结合期望的公式，即可求解；
（2）选择方案二，记得分为变量 ，可能取值为0,10,20,30,40,50,70，求得相应的概率，列出分布列，求得
( )，结合 ( ) > ( )，即可得到结论.
【解答过程】（1）解：由题意知，随机变量 的取值可能是 0，20，40，60，
可得 ( = 0) = 0.2 × 0.2 × 0.2 = 0.008，
( = 20) = 0.8 × 0.2 × 0.2 + 0.2 × 0.8 × 0.2 + 0.2 × 0.2 × 0.8 = 0.096，
( = 40) = 0.8 × 0.8 × 0.2 + 0.8 × 0.2 × 0.8 + 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.384，
( = 60) = 0.8 × 0.8 × 0.8 = 0.512，
则变量 的分布列如下表所示：
0 20 40 60
0.008 0.096 0.384 0.512
所以期望为 ( ) = 0 + 20 × 0.096 + 40 × 0.384 + 60 × 0.512 = 48．
（2）解：若该学生选择方案二，记得分为变量 ，则 的取值可能为0,10,20,30,40,50,70，
可得 ( = 0) = 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.012， ( = 10) = 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.012，
( = 20) = 0.3 × 0.8 × 0.2 × 2 = 0.096，
( = 30) = 0.3 × 0.8 × 0.2 × 2 + 0.4 × 0.2 × 0.2 = 0.112，
( = 40) = 0.3 × 0.8 × 0.8 = 0.192，
( = 50) = 0.3 × 0.8 × 0.8 + 0.4 × 0.8 × 0.2 × 2 = 0.32，
( = 70) = 0.4 × 0.8 × 0.8 = 0.256，
则变量 的分布列为：
0 10 20 30 40 50 70
0.11
0.012 0.012 0.096 0.192 0.32 0.256
2
所以期望为 ( ) = 0 × 0.012 + 10 × 0.012 + 20 × 0.096 + 30 × 0.112 + 40 × 0.192
+50 × 0.32 + 70 × 0.256 = 47．
结合（1）知 ( ) > ( )，
所以选择方案一，能使得该生的得分更高．
34．（23-24 高二上·安徽宿州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建
筑公司，经过层层筛选，甲 乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方
案：两家公司从 6 个招标问题中随机抽取 3 个问题，已知这 6 个招标问题中，甲公司能正确回答其中 4 道
2
题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为3，甲 乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对 2 道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲 乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【解题思路】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对 2 道题和回答对 3 道题的概率，即可求出结果.
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断.
【解答过程】（1）由题意可知，甲公司至少答对 2 道题目可分为答对两题或者答对三题；
= C
2C14 2 C3 4所求概率 4C3 + C3 = .6 6 5
（2）设甲公司正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为1,2,3．
1
= C4C
2
2 = 1
2 1 3 0
( = 1) C3 5, ( = 2) =
C4C2 3 C4C2 1
C3 = , ( = 3) = 3 = ．6 6 5 C6 5
则 的分布列为：
1 2 3
1 3 1
5 5 5
∴ 1 3 1( ) = 1 × 5 +2 × 5 +3 × 5 = 2，
( ) = (1 2)2 ×
1 2 3
5 + (2 2) × 5 + (3 2)
2 × 1 = 25 5；
设乙公司正确完成面试的题为 ，则 取值分别为0,1,2,3．
1 2 2 2( = 0) = 27， ( = 1) = C
1
3 ×
1
3 × =3 9，
2 3
( = 2) = C2 2
1 4 8
3 × × = 3 3 9， ( = 3) =
2 =
3 27
则 的分布列为：
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
∴ 1( ) = 0 × 27 +1 ×
2
9 +2 ×
4
9 +3 ×
8
27 = 2．
1 2 4 8 2( ) = (0 2)2 × 27 + (1 2)
2 × + (2 2)29 × 9 + (3 2)
2 × 27 = 3．
由 ( ) = ( ), ( ) < ( )可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
35．（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）从 2021 年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给
出的四个选择中有多项是正确的，其中回答错误得 0 分，部分正确得 2 分，完全正确得 5 分，小明根据以
前做过的多项选择题统计得到，多选题有两个选项的概率为 p，有三个选项的概率为1 （其中
0 < < 1）.
(1) 1若 = 2，小明对某个多项选择题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明得 2 分的概率；
(2)在某个多项选择题中，小明发现选项 A 正确，选项 B 错误，下面小明有三种不同策略：Ⅰ：选择 A，再从
剩下的 C，D 选项中随机选择一个，小明该题的得分为 X；Ⅱ：选择 ACD，小明该题的得分为 Y；Ⅲ：只选
择 A、小明该题的得分为 Z；在 p 变化时、根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略.
【解题思路】（1）根据分类加法求概率.
（2）分别求出三种策略下的得分均值，通过比较均值的大小来确定选择哪个策略.
【解答过程】（1）若答案是两个选项，所有的可能有： , , , , , 共 6 种，
1 3 1
则小明只选一个得 2 分的概率为：2 × 6 = 4；
答案是三个选项，所有的可能有：有 , , , ,共 4 种，
2 1 3 3则小明只选一个得 分的概率为：2 × 4 = 8；
1 3 5
故小明得 2 分的概率为4 + 8 = 8
（2）选策略Ⅰ，则小明得分为 的分布为：
0 2 5
12 1
1
2
得分的期望为 ( ) = 2
1 1
(1 ) +5 × 2 = 2 + 2 > 2
选策略Ⅱ，则小明得分为 的分布为：
0 5
1
得分的期望为 ( ) = 5(1 ) = 5 5
策略Ⅲ，得分为 ,则 ( ) = 2
当2 + 12
11
(5 5 ) = 2 3 > 0 1 > >
6
11，
此时 ( ) > ( ), ( ) > ( )，故此时选择策略Ⅰ，
当0 < < 611时， ( ) < ( ), ( )最大，此时选择策略Ⅱ，
当 = 611 时，策略Ⅰ, Ⅱ概率一样，都可以.
36．（2024 高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐
属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 X 分别为 0 元，20 万元，40 万元，且 ( = 20) = 0.3，期
望 ( ) = 30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 Y 分别为 10 万元，20 万元，30 万元，其概率依次为
0.3,0.4,0.3．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差 ( )；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
【解题思路】（1）设出 = 0, = 40的概率，依题列出方程组求解即得 的分布列，算出方差；
（2）依题列出 Y 的分布列，算出期望与方差，再与 的期望与方差比较即得.
【解答过程】（1）设 ( = 0) = ， ( = 40) = ，
依题意得 + + 0.3 = 1①，又 ( ) = 0 × + 20 × 0.3 + 40 = 30②，
由①②解得： = 0.1， = 0.6．
∴X 的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则 ( ) = (0 30)2 × 0.1 + (20 30)2 × 0.3 + (40 30)2 × 0.6 = 180．
（2）由题得 Y 的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则 ( ) = 10 × 0.3 + 20 × 0.4 + 30 × 0.3 = 20，
( ) = (10 20)2 × 0.3 + (20 20)2 × 0.4 + (30 20)2 × 0.3 = 60．
由 ( ) > ( )可知采用平台广告投放期望收益较大，又 ( ) > ( )，说明平台广告投放的风险较高．
综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告．专题 7.9 随机变量中的必考六类问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 离散型随机变量的分布列问题】 ............................................................................................................2
【类型 2 求离散型随机变量的均值】 ....................................................................................................................4
【类型 3 求离散型随机变量的方差】 ....................................................................................................................6
【类型 4 二项分布的均值与方差】 ........................................................................................................................8
【类型 5 超几何分布的均值与方差】 ....................................................................................................................9
【类型 6 决策问题】 ..............................................................................................................................................11
【知识点 1 离散型随机变量】
1．离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；
第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
2．求离散型随机变量 ξ 的均值与方差的步骤
(1)理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能的全部值.
(2)求 ξ 取每个值的概率.
(3)写出 ξ 的分布列.
(4)由均值的定义求 E(ξ).
(5)由方差的定义求 D(ξ).
【知识点 2 二项分布与超几何分布】
1．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别
有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可
近似为二项分布来处理.
3．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考
察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
【知识点 3 决策问题及其解题策略】
1．决策问题
决策问题的核心是通过期望值评估平均结果，结合方差量化风险，最终根据决策者的风险偏好做出选
择.在离散型随机变量的决策问题中，通常需要通过计算期望值、方差等统计量来比较不同方案的风险与收
益，从而做出最优选择.
2．解决离散型随机变量的决策问题的通用步骤
(1)明确问题：①确定决策目标（如最大化收益、最小化损失）；②列出所有可行方案.
(2)定义随机变量：①对每个方案，定义其可能的结果（离散值）及其概率.
(3)计算统计量：①期望值：比较不同方案的平均收益/损失；②方差/标准差：衡量风险大小.
(4)结合风险偏好决策：若风险中性，选择期望收益最高的方案；若风险厌恶，可能选择期望收益稍低
但风险更小的方案.
【方法技巧与总结】
1．二项分布当 n=1 时就是两点分布.
2．超几何分布有时也记为 X~H(n,M,N)，其均值 E(X)= ，方差 .
【类型 1 离散型随机变量的分布列问题】
1．（23-24 高二下·河南新乡·期中）投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为 ，则 的分
布列为（ ）
A．
X 1 2
P 1 1
2 2
B．
X 0 1
P 1 1
2 2
C．
X 0 1 2
P 1 1 1
4 2 4
D．
X 0 1 2
P 1 1 1
2 4 4
2．（23-24 高二下·江西宜春·阶段练习）已知离散型随机变量 X 的 分布列如下表：若离散型随机变量
= 2 + 1，则 ( ≥ 5) = （ ）
X 0 1 2 3
P a 1 5a 1
3 6
A 7 B 5 5 3．12 ．12 C．6 D．4

3．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知随机变量 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2)( = 0,1,2)，其中 是常
数，则（ ）
A． ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1 B 4． = 3
C． (0 ≤ < 2) = 89 D． ( = 1) =
2
3
4．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量 的分布列为
0 1 2
1

1 2
2 3
则 ( ∈ ) = .
5．（2025 高三·全国·专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识
的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题 10 道，规定每次测试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，
至少答对 2 道题者视为合格，若甲能答对其中的 5 道题，求：
(1)甲测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数 X 的分布列.
6．（23-24 高二下·广东湛江·期中）A，B 两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、
打成平局和失败分别记 + 3分、m 分和 0 分．比赛两局，已知在每局比赛中 A 获胜、打成平局和战败的概
率分别为 0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立．
(1)若 = 2，求 A 两局得分之和为 5 的概率；
(2)若 = 3，用 X 表示 B 两局比赛的得分之和，求 X 的分布列．
【类型 2 求离散型随机变量的均值】
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知 的分布列为：
1 0 1
P 1 1 12 3 6
设 = 3 2，则 ( )的值为（ ）
A 4． 3 B．3 C．
2
3 D．5
8．（23-24 高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且
有 4 个形状、大小均相同的入口 1，2，3，4，其中只有 1 个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机
器狗从点 出发探路，从 4 条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路
返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于 1 次，
且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（ ）
A 4．3 B．2 C
7
．3 D
5
．2
9．（24-25 高二下·全国·课后作业）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该
轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售
出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如表：
品牌 甲 乙
首次出现故障的时间 （年） 0 < ≤ 1 1 < ≤ 2 > 2 0 < ≤ 2 > 2
轿车数量（辆） 2 3 45 5 45
每辆利润（万元） 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，则（ ）
A 1．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为5
B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 1，则 ( 1) = 2.86
C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为 2，则 ( 2) = 2.99
D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经
济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车
10．（24-25 高二下·全国·课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多
彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共
有10张质地均匀的卡片，其中5张卡片图案是粽子，另外5张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随
机抽取5张卡片，如果5张卡片图案相同，则获得100元的购物卡；如果5张卡片中有4张图案相同，则获得50
1
元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设 是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 + 2
3
= ．
11．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，
当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方
2
参加比赛，已知甲每局获胜的概率为3，假设每场比赛的结果相互独立．
(1)求甲以3:1获胜的概率；
(2)设比赛场数为 ．试求 的分布列及数学期望 ( )；
(3)如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？
12．（24-25 高三上·上海·开学考试）某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三
2 1
年级的率为5，高一年级胜高三年级的概率为3，且每轮对抗赛的成绩互不影响.
(1)若高二年级与高三年级进行 4 轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有 3 轮胜出的概率；
(2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜 2 轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过 5 轮，
求对抗赛轮数 X 的分布列与数学期望.
【类型 3 求离散型随机变量的方差】
13．（23-24 高二下·福建泉州·期末）随机变量 的分布列如下:
2 1 2
a 1 b
3
若 ( ) = 1，则 ( ) = （ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
14．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知 , 两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，
盒中有 3 个红球，1 个白球； 盒中有 1 个红球，3 个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三
次，此时记 盒中的红球个数为 , 盒中的红球个数为 ，则（ ）
A． ( ) > ( ), ( ) = ( ) B． ( ) < ( ), ( ) > ( )
C． ( ) > ( ), ( ) < ( ) D． ( ) < ( ), ( ) = ( )
15．（23-24 高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量 的分布列如表所示，若离散型随机变量 满足
= 3 2，则（ ）
1 2 3 4
0.5 0.3 0.1
A． ( ) = 1.5 B． ( ) = 4
C． ( ) = 0.2 D． ( ) = 10.8
16．（24-25 高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这
是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款 级 3 段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为
一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得 2 千元奖金，若获胜两次，则可以获得 5 千元奖金，若
1
获胜三次，则可以获得 1 万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为2，
记此人可获得的奖金为 千元，则 ( ) = ．
17．（23-24 高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的
收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费 2 元（不足 1 小时的部
分按 1 小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还
1 1 1 1
车的概率分别为4，2；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为4，4；两人租车时间都不会超过四小
时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多 2 元的概率；
(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 X，求 X 的分布列、均值 ( )、方差 ( )
18．（23-24 高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局
比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是 ，随机变量 表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量 的分布列和期望 ( )；
(2)若0 < < 1 203，设随机变量 的方差为 ( )，求证： ( ) < 81．
【类型 4 二项分布的均值与方差】
19．（24-25 高二下·辽宁·开学考试）已知 ~ (3, )(0 < < 1)，4 ( = 3) + ( = 2) = 78，且 = 2 + 1，
则下列选项中不正确的是（ ）
A = 1． 2 B． ( ) =
3
2
C． ( ) = 34 D． ( ) 1 = 2 ( )
20．（24-25 高三上·福建莆田·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行
但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放
入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从
左到右分别编号为0,1,2,3,4,5用 表示小球落入格子的号码，则下面计算错误的是（ ）
A 1． ( = 0) = 32 B．
1
( = 5) = 64
C = 5 5． ( ) 2 D． ( ) = 4
21．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知随机变量 ~ ( , )，若 ( ) = 4， = 2 + 3， ( ) = 3.2，则下
列结论正确的是（ ）
A． = 4 B． = 5
C． = 0.8 D = 32． ( = 2) 625
22．（24-25 高二上·河南南阳·期末）某人在 次射击中击中目标的次数为 ，且 ( , )，已知 ( ) = 6.4,
( ) = 1.28，则当 ( = )取最大值时， = ．
23．（24-25 高三上·江西新余·阶段练习）已知 4 个独立的报警器都只有“发出警报”和“不发出警报”两种状
2
态，某种险情发生时每个报警器都有3的概率发出警报，设某次险情发生时发出警报的警报器数量为 .
(1)求 的分布列与数学期望；
(2)求 ( ∈ N )的值使某次险情发生时有最大的概率有 个报警器发出警报.
24．（24-25 高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便
的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，
私家车在此路口遇到红灯的概率为 (0 < < 1)．
(1) 2若遇到红灯的概率为5，求不同时刻的 5 辆私家车在该路口有 3 辆车遇到红灯的概率；
(2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求 5 辆私家车遇到红灯的车辆数 的分布列与期望．
【类型 5 超几何分布的均值与方差】
25．（24-25 高二下·江苏连云港·阶段练习）已知 6 件产品中有 2 件次品，4 件正品，检验员从中随机抽取 3
件进行检测，记取到的正品数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A 4 1． (2 1) = 3 B． ( ) = 5
C． ( ) = 1 D
8
． (2 1) = 5
26．（23-24 高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有 10 个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中
有 6 个黑球，4 个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出 3 个球，记取到白球的个数
为 1，期望方差分别为 ( 1), ( 1)；试验二：逐个有放回地随机摸出 3 个球，记取到白球的个数为 2，期
望和方差分别为 ( 2), ( 2)，则下列判断正确的是（ ）
A． ( 1) = ( 2), ( 1) < ( 2) B． ( 1) = ( 2), ( 1) > ( 2)
C． ( 1) > ( 2), ( 1) > ( 2) D． ( 1) < ( 2), ( 1) < ( 2)
27．（23-24 高二下·山东聊城·期末）如图，我国传统珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用
梁隔开，梁上面 2 颗叫上珠，下面 5 颗叫下珠，若从某一档的 7 颗算珠中任选 3 颗，记上珠的个数为 ，下
珠的个数比上珠的个数多 ，则（ ）
A． 2 6( ≠ 1) = 7 B． ( ) = 7
C = 9 D = 80． ( ) 7 ． ( ) 49
28．（23-24 高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学
习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有 10 道题目，随机抽取 3 道让参赛者回答，规
定参赛者至少要答对其中 2 道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的 6 道，那么党员甲抽到能答
对题目数 的数学期望为 .
29．（23-24 高二下·广东湛江·阶段练习）某大学的武术协会有 10 名同学，成员构成如下表所示.表中部分
2
数据不清楚，只知道从这 10 名同学中随机抽取 1 名同学，该名同学的专业为数学的概率为5.
性别 中文 数学 英语 体育
男 1 1
女 1 1 1 1
现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加该市的武术比赛（每名同学被选到的可能性相等）.
(1)求 、 的值；
(2)求选出的 3 名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设 为选出的 3 名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量 的分布列、均值及方差.
30．（23-24 高二下·广东东莞·期中）学校要从 5 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人参加社区志愿者服务，
若用 X 表示抽取的志愿者中女生的人数，
(1)求抽取的 2 人恰有 1 个女生的概率；
(2)请写出随机变量 的分布列、数学期望 ( )与方差 ( ).
【类型 6 决策问题】
31．（23-24 高二下·山东烟台·阶段练习）根据期望最大原则，利用下列盈利表中的数据进行决策，不应该
选择的方案编号是（ ）
　　　 盈利方案
① ② ③ ④
自然状况概率
0.25 50 70 20 98
0.30 65 26 52 82
0.45 26 16 78 10
A．① B．② C．③ D．④
32．（23-24 高二下·江苏盐城·期中）已知 8 只小白鼠中有 1 只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患
这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将 8 只小白鼠的
血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取 4 只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对
这 4 只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的 4 只小白鼠再逐个化验，
直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（ ）
A 1．若用方案甲，化验次数为 2 次的概率为8
B 1．若用方案乙，化验次数为 3 次的概率为8
C．若用方案甲，平均化验次数为 4
D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好
33．（24-25 高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛
活动，规则如下：①单选题答对得 20 分，答错得 0 分；②多选题答对得 30 分，选对但不全得 10 分，有错
选得 0 分；③每名竞赛参与者答题 3 道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：
先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为 0.8；多选题全对的概率为 0.4，选
对但不全的概率为 0.3．
(1)若该学生选择方案一，求该学生得分 X 的分布列及数学期望；
(2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？
34．（23-24 高二上·安徽宿州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建
筑公司，经过层层筛选，甲 乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方
案：两家公司从 6 个招标问题中随机抽取 3 个问题，已知这 6 个招标问题中，甲公司能正确回答其中 4 道
2
题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为3，甲 乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对 2 道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲 乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
35．（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）从 2021 年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给
出的四个选择中有多项是正确的，其中回答错误得 0 分，部分正确得 2 分，完全正确得 5 分，小明根据以
前做过的多项选择题统计得到，多选题有两个选项的概率为 p，有三个选项的概率为1 （其中
0 < < 1）.
(1)若 = 12，小明对某个多项选择题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明得 2 分的概率；
(2)在某个多项选择题中，小明发现选项 A 正确，选项 B 错误，下面小明有三种不同策略：Ⅰ：选择 A，再从
剩下的 C，D 选项中随机选择一个，小明该题的得分为 X；Ⅱ：选择 ACD，小明该题的得分为 Y；Ⅲ：只选
择 A、小明该题的得分为 Z；在 p 变化时、根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略.
36．（2024 高三·全国·专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐
属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益 X 分别为 0 元，20 万元，40 万元，且 ( = 20) = 0.3，期
望 ( ) = 30．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益 Y 分别为 10 万元，20 万元，30 万元，其概率依次为
0.3,0.4,0.3．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差 ( )；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．

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