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专题 8.3 列联表与独立性检验【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 完善列联表】 ............................................................................................................................................2
【题型 2 列联表的分析及应用】 ............................................................................................................................3
【题型 3 等高条形图】 ............................................................................................................................................5
【题型 4 独立性检验的概念及辨析】 ....................................................................................................................7
【题型 5 卡方的计算】 ............................................................................................................................................8
【题型 6 独立性检验的基本思想】 ......................................................................................................................10
【题型 7 独立性检验解决实际问题】 ..................................................................................................................11
【题型 8 独立性检验与其他知识综合】 ..............................................................................................................13
【知识点 1 分类变量与列联表】
1．分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为
分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2．2×2 列联表
假设两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{ , }和{ , }，其 2×2 列联表为
Y
X 合计
y1 y2
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合计 a+c b+d a+b+c+d
2×2 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
3．等高堆积条形图
常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响.
(1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，
观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即 和 相差很大)，就判定两个分类
变量之间有关系.
(2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道
两个分类变量有关系的概率大小.
【题型 1 完善列联表】
【例 1】（2025 高三·全国·专题练习）下面是2 × 2列联表：
1 2 合计
1 21 73
2 22 25 47
合计 46 120
则表中 ， 的值分别为（ ）
A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52
【变式 1-1】（24-25 高三·上海·课堂例题）某村庄对该村内 50 名村民每年是否体检的情况进行了调查，统
计数据如下表所示：
每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人）
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的村民中老年人、年轻人各 25 名，则对列联表数据的分析错误的是（ ）
A． = 18 B． = 19 C． + = 50 D． = 2
【变式 1-2】（2025 高二·全国·专题练习）某村庄对该村内 50 名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行
了调查，统计数据如表所示：
每年体检 每年未体检 合计
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的老年人、年轻人各 25 名.则完成上面的列联表数据错误的是（ ）
A． = 18 B． = 19
C． + = 50 D． = 2
【变式 1-3】（23-24 高二上·全国·单元测试）2011 年 3 月，日本发生了 9.0 级地震，地震引发了海啸及核泄
漏．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了 110 只羊进行了检测，并将有关
数据整理为2 × 2列联表．
高度辐射 轻微辐射 合计
身体健康 30 A 50
身体不健康 B 10 60
合计 C D E
则 A，B，C，D 的值依次为（ ）
A．20，80，30，50 B．20，50，80，30
C．20，50，80，110 D．20，80，110，50
【题型 2 列联表的分析及应用】
【例 2】（2025·云南昆明·一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：
项目 种子处理 种子未处理 总计
得病 32 101 133
不得病 192 213 405
总计 224 314 538
根据以上数据，则（ ）
A．种子是否经过处理决定是否生病
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理跟是否生病有关
D．以上都是错误的
【变式 2-1】（23-24 高二下·广西河池·期末）假设有两个变量 x 与 y 的2 × 2列联表如下表：
1 2
1 a b
2 c d
对于以下数据，对同一样本能说明 x 与 y 有关系的可能性最大的一组为（ ）
A． = 20， = 30， = 40， = 50 B． = 50， = 30， = 30， = 40
C． = 30， = 60， = 20， = 50 D． = 50， = 30， = 40， = 30
【变式 2-2】（24-25 高二·全国·单元测试）假设有两个分类变量 与 的2 × 2列联表如下表：
1 2
1
2
对于以下数据，对同一样本能说明 与 有关系的可能性最大的一组为（ ）
A． = 5， = 4， = 3， = 2 B． = 5， = 3， = 4， = 2
C． = 2， = 3， = 4， = 5 D． = 2， = 3， = 5， = 4
【变式 2-3】（23-24 高二下·天津河北·期末）为比较甲 乙两所学校学生的数学学，经过抽样并测试
得到如下关于 和 的列联表：
数学成绩
学校 合计
不优秀 优秀( = 1)
甲校( = 0) 33 10 43
乙校( = 1) 38 7 45
合计 71 17 88
根据上表得到乙校数学成绩优秀的频数和样本容量数分别是（ ）
A．33和88 B．10和88 C．7和45 D．7和88
【题型 3 等高条形图】
【例 3】（2024 高三·北京·专题练习）2020年12月26日太原地铁2号线开通，在一定程度上缓解了市内交通
的拥堵状况，为了了解市民对地铁2号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地
铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁2号线开通
B．样本中多数女性是35岁及以上
C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D．样本中35岁及以上的人对地铁2号线的开通关注度更高
【变式 3-1】（24-25 高二下·河北张家口·阶段练习）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变
量 ， 之间没有关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 3-2】（2025·四川达州·一模）四川省将从 2022 年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，
高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高
一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【变式 3-3】（24-25 高二下·吉林·阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群
中随机抽取了容量为 100 的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 50 人，男性 40 人，女性 60 人，绘制不
同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生
育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（ ）
A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关
B．是否倾向选择生育二胎与性别有关
C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
【知识点 2 独立性检验】
1．独立性检验
(1)假定通过简单随机抽样得到了 X 和 Y 的抽样数据列联表，如下表所示.
Y
X 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d n=a+b+c+d
则 .
(2)利用 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为 独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简
称独立性检验.
(3) 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
2．独立性检验的应用问题的解题策略
解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成 2×2 列联表；
(2)根据公式 计算 ；
(3)通过比较 与临界值的大小关系来作统计推断.
【注】
1．独立性检验是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论可能犯错误.
【题型 4 独立性检验的概念及辨析】
【例 4】（23-24 高二下·天津滨海新·阶段练习）在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列
说法正确的是（参考数据： ( 2 ≥ 6.635) = 0.01）（ ）
①若 2的观测值满足 2 ≥ 6.635，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；
②若 2的观测值满足 2 ≥ 6.635，那么在 100 个吸烟的人中约有 99 人患有肺病；
③从独立性检验可知，如果有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有
99%的可能性会患肺病；
④从统计量中得知有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有 1%的可能性使推断出现错误．
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
【变式 4-1】（23-24 高二下·河南信阳·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量 = 9965），利用2 × 2
列联表和 2统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得 2 = 56.632，经查对临界值表知 ( 2 ≥ 6.635)
≈ 0.01，现给出四个结论，其中正确的是（ ）
A．根据小概率值 = 0.01的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”
B．在 100 个吸烟的人中约有 99 个人患肺癌
C．若老张吸烟，那么他有 99%的可能性患肺癌
D．有 99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”
【变式 4-2】（23-24 高二下·福建宁德·期末）根据分类变量 X 和 Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于
95%的把握认为 X 和 Y 有关，则 2的值不可能为（ ）
0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
( 2
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
≥ 0)
A．2.819 B．5.512 C．6.635 D．8.243
【变式 4-3】（23-24 高二下·广东深圳·阶段练习）通过随机询问某中学 110 名中学生是否爱好跳绳，得到列
2 = ( )
2
联表，并由 ( + )( + )( + )( + )计算得：
2 ≈ 7.822，参照附表，则下列结论正确的是（ ）
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据小概率值 = 0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值 = 0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超
过 0.001
C．根据小概率值 = 0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
【题型 5 卡方的计算】
【例 5】（24-25 高二下·山东德州·阶段练习）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下
结论最准确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ )0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.789
A．有99．5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【变式 5-1】（24-25 高二上·辽宁·期末）针对 2025 年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪
运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占
5 2
男生人数的6，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的3，若有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性
别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ）
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + .
= ( 2 ≥ ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．54 B．48 C．42 D．36
【变式 5-2】（23-24 高二下·全国·课堂例题）假设有两个分类变量 和 的2 × 2列联表如下：注： 2的观测
= ( )
2
值 ( + )( + )( + )( + ) = ( + + )( + + ).对于同一样本，以下数据能说明 和 有关系的可能性最大
的一组是（ ）

1 2 总计

1 a 10 a+10

2 c 30
+ 30
总计 60 40 100
A． = 45, = 15 B． = 40, = 20
C． = 35, = 25 D． = 30, = 30
【变式 5-3】（24-25 高二下·江苏·课后作业）在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如表数据：
吃零食 不吃零食 合计
男学生 27 34 61
女学生 12 29 41
合计 39 63 102
根据上述数据分析，我们得出的 χ2约为（ ）
A．2.072 B．2.334
C．3.957 D．4.514
【题型 6 独立性检验的基本思想】
【例 6】（24-25 高三下·湖南永州·阶段练习）根据分类变量 x 与 y 的成对样本数据，计算得到 2
= 2.974．依据 = 0.05的独立性检验，则下列结论正确的是（ ）
A．变量 x 与 y 不独立 B．变量 x 与 y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.05
C．变量 x 与 y 独立 D．变量 x 与 y 独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.05
【变式 6-1】（24-25 高二下·全国·单元测试）想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验
（ ）
A．提出统计假设 0：男性喜欢参加体育活动
B．提出统计假设 0：女性不喜欢参加体育活动
C．提出统计假设 0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．提出统计假设 0：喜欢参加体育活动与性别无关
【变式 6-2】（24-25 高二下·全国·课后作业）根据分类变量 与 的观测数据，计算得到 2 = 2.974.依据 = 0.05
的独立性检验，结论为（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.897 10.828
A．变量 与 不独立
B．变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量 与 独立
D．变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【变式 6-3】（23-24 高二上·全国·课后作业）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据
得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（ ）
A．100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌
B．1 个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌
C．在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
【题型 7 独立性检验解决实际问题】
【例 7】（2024 高三·全国·专题练习）为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了 500
名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的 500 名运动员中任取 1 人，
1
抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为2；②在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“是否对
主办方表示满意与运动员的性别有关”；③在犯错误的概率不超过1%的前提下，不可以认为“是否对主办方
表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（ ）
男性运动员（人） 女性运动员（人）
对主办方表示满意 200 220
对主办方表示不满意 50 30
注：
( 2 ≥ )0.600 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式 7-1】（24-25 高二下·江苏扬州·阶段练习）为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关
2
做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的5，女生喜欢吃甜食的
4
人数占女生人数的5，若有99%的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是
（ ）
2
参考公式及数据： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + .
附：
( 2 ≥ 0) 0.05 0.010
0 3.841 6.635
A．7 B．11 C．15 D．20
【变式 7-2】（2025·陕西·模拟预测）某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查．现
从 , 机器内随机选取了 40 组（A,B各 20 组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表：
米数 0～ 21～ 51～ 81～
> 100
组别 20 50 80 100
A 1 2 3 8 6
B 0 3 7 8 2
米数超过80 cm被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”．
(1)利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过100 cm的概率；
(2)根据题意完成下面的2 × 2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“组别”有关？
优 备 总
质 选 计
A
B
总
计
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ )0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【变式 7-3】（24-25 高二下·河南驻马店·阶段练习）为了解学生性别与掌握消防安全知识情况的关系，某校
组织了消防安全知识测试，在高二年级中随机抽取 600 名学生统计其测试成绩，如下表（单位：人）：
测试 良好 不够良好 总计
成绩性别
男生 150 300
女生 100
总计 350 600
(1)将上表中数据补充完整；
(2)从该校高二年级的学生中有放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 名学生，以频率作为概率，估计这 2 次抽
取的学生的测试成绩全都良好的概率；
(3)试问是否有 99.9%的把握判断消防安全知识测试成绩与性别有关？
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.100 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
【题型 8 独立性检验与其他知识综合】
【例 8】（24-25 高二下·江西抚州·阶段练习）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，
某汽车公司通过问卷调查对 200 名消费者进行调查．数据显示 200 名消费者中，青年人共有 125 人，且中
老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的 2 倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃
油车的 4 倍．
(1)完善2 × 2列联表，请根据小概率值 = 0.05的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买
与年龄是否有关；
购车意向
年龄段 合计
愿意购买新能源车 愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
(2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中
青年人数 的分布列和期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【变式 8-1】（24-25 高二下·安徽亳州·阶段练习）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，
各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐
年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：
年份代号 1 2 3 4 5
广告费投入 4.8 5.6 6.2 7.6 8.8
并随机调查了 200 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：
认可 不认可
50 岁以下市民 70 30
50 岁以上市民 60 40
(1)求广告费投入 与年份代号 之间的线性回归方程；
(2)依据小概率值 = 0.10的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关？

( ) ( )
附：①回归直线中 = + , = =1 , = ;
( )2
=1
② 2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + .
( 2 ≥ 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.065 0.001
0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【变式 8-2】（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪
盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以 32 金 27 银 26 铜，总计 85 枚奖牌的傲人成绩，
强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪
录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现
有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队
的胜负情况如表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 38 45
未上场 3
合计 40
(1)完成2 × 2列联表，并判断根据小概率值 = 0.025的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场
有关联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，
后卫的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为 0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + ), = + + + ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728
【变式 8-3】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游
的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评
分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求 x 的值并估计该评分的上四分位数；
(2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在[70,80)，[80,90)的两组中共抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3
人进行单独交流，求选取的 3 人中评分等级为良好的人数 X 的分布列和数学期望；
(3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择 100 名中老年游客进
行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为 120 名.请根据小概率值 = 0.001的独立性检验，
分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )， = + + +
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828专题 8.3 列联表与独立性检验【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 完善列联表】 ............................................................................................................................................2
【题型 2 列联表的分析及应用】 ............................................................................................................................4
【题型 3 等高条形图】 ............................................................................................................................................6
【题型 4 独立性检验的概念及辨析】 ..................................................................................................................10
【题型 5 卡方的计算】 ..........................................................................................................................................12
【题型 6 独立性检验的基本思想】 ......................................................................................................................15
【题型 7 独立性检验解决实际问题】 ..................................................................................................................17
【题型 8 独立性检验与其他知识综合】 ..............................................................................................................21
【知识点 1 分类变量与列联表】
1．分类变量
为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为
分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2．2×2 列联表
假设两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{ , }和{ , }，其 2×2 列联表为
Y
X 合计
y1 y2
x1 a b a+b
x2 c d c+d
合计 a+c b+d a+b+c+d
2×2 列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
3．等高堆积条形图
常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响.
(1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，
观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即 和 相差很大)，就判定两个分类
变量之间有关系.
(2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道
两个分类变量有关系的概率大小.
【题型 1 完善列联表】
【例 1】（2025 高三·全国·专题练习）下面是2 × 2列联表：
1 2 合计
1 21 73
2 22 25 47
合计 46 120
则表中 ， 的值分别为（ ）
A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52
【解题思路】根据联表计算求参即可.
【解答过程】因为 + 21 = 73．所以 = 52．又 + 22 = ，所以 = 74．
故选：C.
【变式 1-1】（24-25 高三·上海·课堂例题）某村庄对该村内 50 名村民每年是否体检的情况进行了调查，统
计数据如下表所示：
每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人）
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的村民中老年人、年轻人各 25 名，则对列联表数据的分析错误的是（ ）
A． = 18 B． = 19 C． + = 50 D． = 2
【解题思路】根据题意先得出 , 的值，进而再得 , 的值，进而可知 , 的值.
【解答过程】因为抽取的村民中，老年人有 25 名，年轻人有 25 名，所以 = 25, = 25，
所以 = 25 7 = 18, = 25 6 = 19，A、B 对；
所以 = + 6 = 28 + 6 = 24, = 7 + = 7 + 19 = 26，则 + = 50,C对；
则 = 24 26 = 2,D错.
故选：D.
【变式 1-2】（2025 高二·全国·专题练习）某村庄对该村内 50 名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行
了调查，统计数据如表所示：
每年体检 每年未体检 合计
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的老年人、年轻人各 25 名.则完成上面的列联表数据错误的是（ ）
A． = 18 B． = 19
C． + = 50 D． = 2
【解题思路】已知抽取的老年人、年轻人各有 25 名，计算各个变量的值，进而得到答案.
【解答过程】因为 + 7 = = 25，6 + = = 25，
+ 6 = ，7 + = ， + = 50， + = 50，
所以 = 18， = 19， = 24， = 26， = 2．
故选：D．
【变式 1-3】（23-24 高二上·全国·单元测试）2011 年 3 月，日本发生了 9.0 级地震，地震引发了海啸及核泄
漏．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了 110 只羊进行了检测，并将有关
数据整理为2 × 2列联表．
高度辐射 轻微辐射 合计
身体健康 30 A 50
身体不健康 B 10 60
合计 C D E
则 A，B，C，D 的值依次为（ ）
A．20，80，30，50 B．20，50，80，30
C．20，50，80，110 D．20，80，110，50
【解题思路】根据 2×2 列联表分别计算 A,B,C,D 即可.
【解答过程】 ∵ 30 + = 50, ∴ = 20，
∵ + 10 = 60, ∴ = 50，
∴ = 30 + = 30 + 50 = 80, = + 10 = 20 + 10 = 30，
故选：B.
【题型 2 列联表的分析及应用】
【例 2】（2025·云南昆明·一模）考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：
项目 种子处理 种子未处理 总计
得病 32 101 133
不得病 192 213 405
总计 224 314 538
根据以上数据，则（ ）
A．种子是否经过处理决定是否生病
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理跟是否生病有关
D．以上都是错误的
【解题思路】根据表格提供的数据作出判断.
【解答过程】由列联表中的数据可知，
种子经过处理，得病的比例明显降低，
种子未经过处理，得病的比例要高些，
所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关.
故选：C.
【变式 2-1】（23-24 高二下·广西河池·期末）假设有两个变量 x 与 y 的2 × 2列联表如下表：
1 2
1 a b
2 c d
对于以下数据，对同一样本能说明 x 与 y 有关系的可能性最大的一组为（ ）
A． = 20， = 30， = 40， = 50 B． = 50， = 30， = 30， = 40
C． = 30， = 60， = 20， = 50 D． = 50， = 30， = 40， = 30
【解题思路】计算每个选项中| |的值，最大的即对同一样本能说明 x 与 y 有关系的可能性最大.
【解答过程】对于 A，| | = 200 ，
对于 B，| | = 1100，
对于 C，| | = 300，
对于 D，| | = 300
显然 B 中| |最大，该组数据能说明 x 与 y 有关系的可能性最大,
故选:B.
【变式 2-2】（24-25 高二·全国·单元测试）假设有两个分类变量 与 的2 × 2列联表如下表：
1 2
1
2
对于以下数据，对同一样本能说明 与 有关系的可能性最大的一组为（ ）
A． = 5， = 4， = 3， = 2 B． = 5， = 3， = 4， = 2
C． = 2， = 3， = 4， = 5 D． = 2， = 3， = 5， = 4
【解题思路】计算每个选项中的| |，比较大小后可得出结论.
【解答过程】对于两个分类变量 与 而言，| |的值越大，说明 与 有关系的可能性最大，
对于 A 选项，| | = |5 × 2 4 × 3| = 2，
对于 B 选项，| | = |5 × 2 3 × 4| = 2，
对于 C 选项，| | = |2 × 5 3 × 4| = 2，
对于 D 选项，| | = |2 × 4 3 × 5| = 7，
显然 D 中| |最大，
故选：D.
【变式 2-3】（23-24 高二下·天津河北·期末）为比较甲 乙两所学校学生的数学学，经过抽样并测试
得到如下关于 和 的列联表：
数学成绩
学校 合计
不优秀 优秀( = 1)
甲校( = 0) 33 10 43
乙校( = 1) 38 7 45
合计 71 17 88
根据上表得到乙校数学成绩优秀的频数和样本容量数分别是（ ）
A．33和88 B．10和88 C．7和45 D．7和88
【解题思路】根据列联表中的数据分析即可得答案.
【解答过程】解：由列联表中的数据可知，乙校共抽的样本45人，其中优秀的有7人.
故选：C.
【题型 3 等高条形图】
【例 3】（2024 高三·北京·专题练习）2020年12月26日太原地铁2号线开通，在一定程度上缓解了市内交通
的拥堵状况，为了了解市民对地铁2号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地
铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁2号线开通
B．样本中多数女性是35岁及以上
C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D．样本中35岁及以上的人对地铁2号线的开通关注度更高
【解题思路】通过对等高堆积条形图的分析，结合所列列联表及不等式性质，逐一对每个选项进行推理判
断即可.
【解答过程】设等高条形图对应2 × 2列联表如下：
35岁及以上 35岁以下 总计
男性 +
女性 +
+ +
总计 + +
+
根据第1个等高条形图可知，35岁及以上男性比35岁及以上女性多，即 > ；
35岁以下男性比35岁以下女性多，即 > ．
根据第2个等高条形图可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即 > ；
女性中35岁及以上的比35岁以下的多，即 > ，
对于 A，男性人数为 + ，女性人数为 + ，
因为 > , > ，所以 + > + ，所以 A 正确；
对于 B，35岁及以上女性人数为 ，35岁以下女性人数为 ，
因为 > ，所以 B 正确；
对于 C，35岁以下男性人数为 ，35岁及以上女性人数为 ，
无法从图中直接判断 与 的大小关系，所以 C 不一定正确；
对于 D，35岁及以上的人数为 + ，35岁以下的人数为 + ，
因为 > , > ，所以 + > + ，所以 D 正确．
故选：C.
【变式 3-1】（24-25 高二下·河北张家口·阶段练习）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变
量 ， 之间没有关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案．
【解答过程】根据题意，在等高的条形图中，当 1， 2所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量
， 之间有关系，
由选项可得：B 选项中， 1， 2所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量 ， 之间没有关系，
故选：B.
【变式 3-2】（2025·四川达州·一模）四川省将从 2022 年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，
高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高
一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【解题思路】根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.
【解答过程】根据等高条形图图 1 可知样本中选择物理学科的人数较多，故 C 正确；
根据等高条形图图 2 可知样本中男生人数多于女生人数，故 D 错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女
生比例低，
所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故 A 错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故 B 错误.
故选：C.
【变式 3-3】（24-25 高二下·吉林·阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群
中随机抽取了容量为 100 的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 50 人，男性 40 人，女性 60 人，绘制不
同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生
育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（ ）
A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关
B．是否倾向选择生育二胎与性别有关
C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
【解题思路】结合所给比例图，依次分析判断 4 个选项即可.
【解答过程】对于 A，城镇户籍中40%选择生育二胎，农村户籍中80%选择生育二胎，相差较大，则是否
倾向选择生育二胎与户籍有关，A 错误；
对于 B，男性和女性中均有60%选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B 错误；
对于 C，由于男性和女性中均有60%选择生育二胎，但样本中男性 40 人，女性 60 人，则倾向选择生育二胎
的人员中，男性人数与女性人数不同，C 错误；
对于 D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有50 × 20% = 10人，城镇户籍有50 × 60% = 30人，农
村户籍人数少于城镇户籍人数，D 正确.
故选：D.
【知识点 2 独立性检验】
1．独立性检验
(1)假定通过简单随机抽样得到了 X 和 Y 的抽样数据列联表，如下表所示.
Y
X 合计
Y=0 Y=1
X=0 a b a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d n=a+b+c+d
则 .
(2)利用 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为 独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简
称独立性检验.
(3) 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
2．独立性检验的应用问题的解题策略
解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成 2×2 列联表；
(2)根据公式 计算 ；
(3)通过比较 与临界值的大小关系来作统计推断.
【注】
1．独立性检验是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论可能犯错误.
【题型 4 独立性检验的概念及辨析】
【例 4】（23-24 高二下·天津滨海新·阶段练习）在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列
说法正确的是（参考数据： ( 2 ≥ 6.635) = 0.01）（ ）
①若 2的观测值满足 2 ≥ 6.635，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系；
②若 2的观测值满足 2 ≥ 6.635，那么在 100 个吸烟的人中约有 99 人患有肺病；
③从独立性检验可知，如果有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有
99%的可能性会患肺病；
④从统计量中得知有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有 1%的可能性使推断出现错误．
A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①④
【解题思路】由给出的数据，结合 2观测值的意义判定即可.
【解答过程】若 2的观测值满足 2 ≥ 6.635，则我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，
而得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有1%的可能性使推断出现错误，
但不能说明100个吸烟的人中约有99人患有肺病，
也不能说明每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病.
故①④正确、②③错误.
故选：D.
【变式 4-1】（23-24 高二下·河南信阳·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量 = 9965），利用2 × 2
列联表和 2统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得 2 = 56.632，经查对临界值表知 ( 2 ≥ 6.635)
≈ 0.01，现给出四个结论，其中正确的是（ ）
A．根据小概率值 = 0.01的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”
B．在 100 个吸烟的人中约有 99 个人患肺癌
C．若老张吸烟，那么他有 99%的可能性患肺癌
D．有 99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”
【解题思路】根据独立性检验可得正确选项.
【解答过程】依已知数据 2 = 56.632 > 6.635，得有1 0.01 = 99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，
则选项 D 正确，其余都是错误的.
故选：D.
【变式 4-2】（23-24 高二下·福建宁德·期末）根据分类变量 X 和 Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于
95%的把握认为 X 和 Y 有关，则 2的值不可能为（ ）
0 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
( 2
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
≥ 0)
A．2.819 B．5.512 C．6.635 D．8.243
【解题思路】利用独立性检验的观测值对应临界表可得答案．
【解答过程】因为有不少于 95%的把握认为 X 和 Y 有关，
所以 2 > 3.841，只有 A 不满足要求.
故选：A.
【变式 4-3】（23-24 高二下·广东深圳·阶段练习）通过随机询问某中学 110 名中学生是否爱好跳绳，得到列
2 = ( )
2
联表，并由 ( + )( + )( + )( + )计算得：
2 ≈ 7.822，参照附表，则下列结论正确的是（ ）
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．根据小概率值 = 0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值 = 0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超
过 0.001
C．根据小概率值 = 0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
【解题思路】根据独立性检验的原理判断即可得答案.
【解答过程】因为7.822 < 10.828，所以根据小概率值 = 0.001的独立性检验，
我们认为爱好跳绳与性别无关，且这个结论犯错误的概率超过 0.001，故 A 正确，B 错误；
又因为7.822 > 6.635，所以根据小概率值 = 0.01的独立性检验，
我们认为爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，
故 CD 错误.
故选：A.
【题型 5 卡方的计算】
【例 5】（24-25 高二下·山东德州·阶段练习）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下
结论最准确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )
( 2 ≥ )0.10 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.789
A．有99．5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【解题思路】列出2 × 2列联表，计算 2即可得解.
【解答过程】列出2 × 2列联表：
男生 女生
篮球迷 90 20 110
非篮球迷 60 30 90
150 50 200
2 = ( )
2 200×(90×30 20×60)2
( + )( + )( + )( + ) = 150×50×110×90 ≈ 6.061 > 3.841，
故在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关.
故选：D.
【变式 5-1】（24-25 高二上·辽宁·期末）针对 2025 年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪
运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占
5 2
男生人数的6，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的3，若有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性
别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ）
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )， = + + + .
= ( 2 ≥ ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．54 B．48 C．42 D．36
4
【解题思路】设男生人数为6 ( ∈ )，结合卡方计算可得 2 ≥ 2.706，即 9 ≥ 2.706，进而可判断.
【解答过程】设男生人数为6 ( ∈ )，因为被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为6 ( ∈ )，
根据题意列出列联表：
男生 女生 合计
喜欢冰雪运动 5 4 9
不喜欢冰雪运动 2 3
合计 6 6 12
2 = 12 (5 2 4 )
2 432 5 4
则 26 6 9 3 = 972 4 = 9 ，因为有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，所以
≥ 2.706 4 ，即 9 ≥ 2.706，解得6 ≥ 36.531，又 ∈
，所以 A，B，C 项正确，D 项错误.
故选：D.
【变式 5-2】（23-24 高二下·全国·课堂例题）假设有两个分类变量 和 的2 × 2列联表如下：注： 2的观测
2
值 = ( ) ( + )( + )( + )( + ) = ( + + )( + + ).对于同一样本，以下数据能说明 和 有关系的可能性最大
的一组是（ ）

1 2 总计

1 a 10 a+10

2 c 30
+ 30
总计 60 40 100
A． = 45, = 15 B． = 40, = 20
C． = 35, = 25 D． = 30, = 30

【解题思路】当 , 一定时， , 相差越大， 2 +10与 +30相差越大， 的观测值 就越大，得出分类变量 和
有关系的可能性越大.

【解答过程】根据独立性检验的方法和2 × 2列联表可得，当 +10与 +30相差越大，则分类变量 和 有关系
的可能性越大，

即 , 相差越大， +10与 +30相差越大．
由各选项可得 A 满足条件，
故选：A．
【变式 5-3】（24-25 高二下·江苏·课后作业）在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如表数据：
吃零食 不吃零食 合计
男学生 27 34 61
女学生 12 29 41
合计 39 63 102
根据上述数据分析，我们得出的 χ2约为（ ）
A．2.072 B．2.334
C．3.957 D．4.514
【解题思路】根据独立性检验中的卡方公式计算即可.
102×(27×29 34×12)2
【解答过程】由公式得 2 = 39×63×61×41 ≈ 2.334.
故选：B.
【题型 6 独立性检验的基本思想】
【例 6】（24-25 高三下·湖南永州·阶段练习）根据分类变量 x 与 y 的成对样本数据，计算得到 2
= 2.974．依据 = 0.05的独立性检验，则下列结论正确的是（ ）
A．变量 x 与 y 不独立 B．变量 x 与 y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.05
C．变量 x 与 y 独立 D．变量 x 与 y 独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.05
【解题思路】直接利用独立性检验的知识求解.
【解答过程】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当 2 = 2.974，我们可以下结论变量 与 独立.故排
除选项 A,B；
依据 = 0.05的独立性检验( 20.05 = 3.841)， = 2.974 < 3.841，
所以不能得到：变量 x 与 y 独立，这个结论犯错误的概率不超过 0.05；
故 C 正确，D 错误.
故选：C.
【变式 6-1】（24-25 高二下·全国·单元测试）想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验
（ ）
A．提出统计假设 0：男性喜欢参加体育活动
B．提出统计假设 0：女性不喜欢参加体育活动
C．提出统计假设 0：喜欢参加体育活动与性别有关
D．提出统计假设 0：喜欢参加体育活动与性别无关
【解题思路】根据独立性检验的思想分析判断.
【解答过程】独立性检验是一种假设性检验，假设有反证法的意味，应假设两类变量无关，在该假设下构
造的随机变量 2应该很小，如果 2很小，则不能肯定或否定假设，反之，则在一定程度上说明假设不合理，
即认为两个变量在一定程度上有关，
所以想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验
提出统计假设 0：喜欢参加体育活动与性别无关，
故选：D.
【变式 6-2】（24-25 高二下·全国·课后作业）根据分类变量 与 的观测数据，计算得到 2 = 2.974.依据 = 0.05
的独立性检验，结论为（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.897 10.828
A．变量 与 不独立
B．变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．变量 与 独立
D．变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【解题思路】根据卡方独立性检验可得
【解答过程】由表可知当 = 0.05时， = 3.841，
因为 2 = 2.974 < = 3.841，所以分类变量 与 相互独立，
因为2.706 < 2 = 2.974 < 3.841，
所以分类变量 与 相互独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1，
故选：C.
【变式 6-3】（23-24 高二上·全国·课后作业）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据
得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（ ）
A．100 个吸烟者中至少有 99 人患有肺癌
B．1 个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌
C．在 100 个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在 100 个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
【解题思路】根据独立性检验的检验规则的概念，即可得出答案.
【解答过程】根据独立检验的基本思想，说明吸烟与患肺癌有关，
但不能说吸烟者一定患肺癌，只能说患肺癌的概率较高（而概率值不确定），
所以 D 项正确.
故选：D.
【题型 7 独立性检验解决实际问题】
【例 7】（2024 高三·全国·专题练习）为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了 500
名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的 500 名运动员中任取 1 人，
1
抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为2；②在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为“是否对
主办方表示满意与运动员的性别有关”；③在犯错误的概率不超过1%的前提下，不可以认为“是否对主办方
表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（ ）
男性运动员（人） 女性运动员（人）
对主办方表示满意 200 220
对主办方表示不满意 50 30
注：
( 2 ≥ )0.600 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
A．0 B．1 C．2 D．3
200 2 125
【解题思路】先根据表格计算满意的男性运动员的概率为 = 500 =
2
5判断①，再根据 = 21
≈ 5.952 < 6.635判断②③即可.
【解答过程】因为对主办方表示满意的男性运动员的人数为200，
200 2
所以在参与调查的 500 名运动员中任取 1 人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为 = 500 = 5，所
以命题①错误，
2 = 500×(200×30 50×220)
2 125
又因为 420×80×250×250 = 21 ≈ 5.952 < 6.635，
所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；所以
命题②错误，命题③正确.
故选：B.
【变式 7-1】（24-25 高二下·江苏扬州·阶段练习）为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关
2
做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的5，女生喜欢吃甜食的
4
人数占女生人数的5，若有99%的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是
（ ）
2 = ( )
2
参考公式及数据： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + .
附：
( 2 ≥ 0) 0.05 0.010
0 3.841 6.635
A．7 B．11 C．15 D．20
【解题思路】假设男生的人数为5 ( ∈ N*)，利用独立性检验得到关于 的不等式，从而得解.
【解答过程】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5 ( ∈ N*)，可列出2 × 2列联表：
男生 女生 合计
喜欢吃甜食 2 4 6
不喜欢吃甜食 3 4
合计 5 5 10
2 = ( )
2 10 (2 4 3 )2 5
( + )( + )( + )( + ) = 6 4 5 5 = 3 .
由于有99%的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，
5
所以 3 > 6.635；解得：5 > 19.905，因为 ∈
*，
所以选项 ABC 错误，选项 D 正确.
故选：D.
【变式 7-2】（2025·陕西·模拟预测）某生产工厂生产优质钢索，现需要通过不同场次进行钢索检索抽查．现
从 , 机器内随机选取了 40 组（A,B各 20 组），记录了他们不同米数，并将数据整理如下表：
米数 0～ 21～ 51～ 81～
> 100
组别 20 50 80 100
A 1 2 3 8 6
B 0 3 7 8 2
米数超过80 cm被系统评定为“优质”，否则被系统评定为“备选”．
(1)利用样本估计总体的思想，试估计工厂中米数超过100 cm的概率；
(2)根据题意完成下面的2 × 2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“组别”有关？
优 备 总
质 选 计
A
B
总
计
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
( 2 ≥ )0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解题思路】（1）根据样本估计总体即可；
（2）利用独立性检验思想求解.
6+2 1
【解答过程】（1）由题可得，样本米数超过100 cm的频率为 40 = 5，
1
根据样本估计总体的思想，估计工厂中米数超过100 cm的概率为5.
（2）根据题意，列联表完成如下，
优 备 总
质 选 计
A 14 6 20
B 10 10 20
总
24 16 40
计
零假设 0：“评定类型”与“组别”无关，
2
则 2
2
= ( ) 40(140 60) 5( + )( + )( + )( + ) = 20×20×24×16 = 3 ≈ 1.667 < 2.706，
所以零假设成立，即“评定类型”与“组别”无关，
所以没有90%的把握认为“评定类型”与“组别”有关.
【变式 7-3】（24-25 高二下·河南驻马店·阶段练习）为了解学生性别与掌握消防安全知识情况的关系，某校
组织了消防安全知识测试，在高二年级中随机抽取 600 名学生统计其测试成绩，如下表（单位：人）：
测试
良好 不够良好 总计
成绩性别
男生 150 300
女生 100
总计 350 600
(1)将上表中数据补充完整；
(2)从该校高二年级的学生中有放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 名学生，以频率作为概率，估计这 2 次抽
取的学生的测试成绩全都良好的概率；
(3)试问是否有 99.9%的把握判断消防安全知识测试成绩与性别有关？
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.100 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
【解题思路】（1）根据已知填写表格即可；
（2）应用独立事件概率乘积公式计算即可；
120
（3）先计算 2 = 7 ≈ 17.143，再与临界值比较即可判断相关性即可.
【解答过程】（1）
测试成绩
良好 不够良好 总计
性别
男生 150 150 300
女生 200 100 300
总计 350 250 600
2 350 7 7（ ）该校高二年级 600 名学生中测试成绩良好的频率为600 = 12，12 ×
7 = 4912 144，
故估计这 2 49次抽取的学生的测试成绩全都良好的概率为144．
3 2 = 600×(150×100 150×200)
2
= 120（ ）根据表中数据，计算 300×300×350×250 7 ≈ 17.143．
因为17.143 > 10.828，所以有 99.9%的把握判断消防安全知识测试成绩与性别有关．
【题型 8 独立性检验与其他知识综合】
【例 8】（24-25 高二下·江西抚州·阶段练习）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，
某汽车公司通过问卷调查对 200 名消费者进行调查．数据显示 200 名消费者中，青年人共有 125 人，且中
老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的 2 倍：青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃
油车的 4 倍．
(1)完善2 × 2列联表，请根据小概率值 = 0.05的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买
与年龄是否有关；
购车意向
年龄段 合计
愿意购买新能源车 愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
(2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中
青年人数 的分布列和期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【解题思路】（1）填写2 × 2列联表，求出卡方值，比较临界值即可判断；
（2）由超几何分布求出分布列及其期望.
【解答过程】（1）
购车意向
年龄 合
愿意购买新能源 愿意购买燃油
段 计
车 车
青年 100 25 125
中老
50 25 75
年
合计 150 50 200
零假设 0：费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄无关，
2 = 200×(100×25 50×25)
2 40
因 150×50×75×125 = 9 ≈ 4.444 > 3.841，
则根据小概率值 = 0.05的独立性检验，消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄有关.
（2）愿意购买新能源车的消费者中，青年与中老年的人数之比为2:1，
所以采用分层随机抽样抽取的 6 人中，4 人是青年，2 人是中老年，
记抽取的 2 人中，青年的人数为 ，则 的可能取值为 0，1，2，
2 1 1 2
C 1 C C 8 C 6 2( = 0) = 2C2 = 15， ( = 1) =
4 2
C2 = 15， ( = 2) =
4
6 6 C2
=
6 15
= 5，
所以 的分布列如下：
0 1 2
1 8 2
15 15 5
8 2 4( ) = 1 × 15 +2 × 5 = 3.
【变式 8-1】（24-25 高二下·安徽亳州·阶段练习）随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，
各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐
年攀升.小赵同学对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位：亿元）进行了统计，具体数据见下表：
年份代号 1 2 3 4 5
广告费投入 4.8 5.6 6.2 7.6 8.8
并随机调查了 200 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况，得到的部分数据见下表：
认可 不认可
50 岁以下市民 70 30
50 岁以上市民 60 40
(1)求广告费投入 与年份代号 之间的线性回归方程；
(2)依据小概率值 = 0.10的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关？

( ) ( )
附：①回归直线中 = + , = =1 , = ;
( )2
=1
2
② 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + .
( 2 ≥ 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.065 0.001
0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解题思路】（1）计算出平均数后，结合所给公式计算即可得回归直线方程；
（2）结算出卡方结合临界值比较即可得解.
1 = 1+2+3+4+5 = 3 = 4.8+5.6+6.2+7.6+8.8【解答过程】（ ） 5 ， 5 = 6.6，
(1 3)×(4.8 6.6)+(2 3)×(5.6 6.6)+0+(4 3)×(7.6 6.6)+(5 3)×(8.8 6.6) 10
则 = (1 3)2+(2 3)2+0+(4 3)2+(5 3)2 = 10 = 1，
则 = 6.6 1 × 3 = 3.6，故 = + 3.6；
2 2 = ( )
2
= (70+30+60+40)×(70×40 30×60)
2
（ ）由题以可得 ( + )( + )( + )( + ) (70+30)×(70+60)×(60+40)×(30+40)
= 200×1000
2
= 200100×130×100×70 91 ≈ 2.198 < 2.706，
依据小概率值 = 0.10的独立性检验，没有90%的把握认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度具有
相关性.
【变式 8-2】（2025·黑龙江·一模）第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落下帷幕．在这场盛大的亚洲冰雪
盛会中，奖牌榜见证了各国运动员的荣耀与拼搏．中国队以 32 金 27 银 26 铜，总计 85 枚奖牌的傲人成绩，
强势登顶奖牌榜，成为最大赢家．这一成绩不仅创造了中国队亚冬会历史最佳，更是追平了单届金牌数纪
录，书写了中国冰雪运动的崭新篇章．冰球深受广大球迷的喜爱，每支球队都有一个或几个主力队员，现
有一支冰球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某阶段所有比赛中，甲球员是否上场时该球队
的胜负情况如表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 38 45
未上场 3
合计 40
(1)完成2 × 2列联表，并判断根据小概率值 = 0.025的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场
有关联？
(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打边锋，中锋，
后卫的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应球队赢球的概率分别为 0.7，0.9，0.5．
（ⅰ）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + ), = + + + ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.741 5.024 6.635 10.728
【解题思路】（1）先补全表格再计算卡方，最后根据临界值判断即可；
（2）（ⅰ）先应用条件概率及全概率公式计算；（ⅱ）再应用贝叶斯公式计算求解.
【解答过程】（1）根据题意，可得2 × 2的列联表：
甲球员是否上 球队的胜负情 合
场 况 计
胜 负
上场 38 7 45
未上场 2 3 5
合计 40 10 50
零假设 0：球队胜负与甲球员是否上场无关
50×(38×3 2×7)2
根据列联表中的数据，经计算得到 2 = 40×10×5×45 =
50
9 ≈ 5.556 > 0.025
根据小概率值 = 0.025的独立性检验，我们推断 0不成立，即认为球队胜负与甲球员是否上场有关，此推
断犯错误的概率不大于 0.025．
（2）甲球员上场时，打边锋，中锋，后卫的概率分别为 0.4，0.5，0.1，相应球队赢的概率分别为 0.7，0.9，
0.5
（ⅰ）设事件 ：“甲球员上场打边锋”，事件 ：“甲球员上场打中锋”
事件 ：“甲球员上场打后卫”，事件 ：“球队赢球”
则 ( ) = 0.4, ( ) = 0.5, ( ) = 0.1
( | ) = 0.7, ( | ) = 0.9, ( | ) = 0.5
所以当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率
( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 0.4 × 0.7 + 0.5 × 0.9 + 0.1 × 0.5 = 0.78
当甲球员上场参加比赛时，求球队胜的概率 0.78
（ⅱ）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率
( ) ( | )
( | ) = = 0.45 ( ) 0.78 =
15
26．
15
当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，甲球员打中锋的概率26.
【变式 8-3】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游
的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评
分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求 x 的值并估计该评分的上四分位数；
(2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在[70,80)，[80,90)的两组中共抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3
人进行单独交流，求选取的 3 人中评分等级为良好的人数 X 的分布列和数学期望；
(3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择 100 名中老年游客进
行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为 120 名.请根据小概率值 = 0.001的独立性检验，
分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + +
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【解题思路】（1）根据频率和为1计算出 的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及
该组的频率完成计算；
（2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出 的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和
数学期望；
（3）根据已知条件得到对应2 × 2列联表，然后计算出 2的值并与对应 比较大小，由此得到结论.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，0.005 × 10 + 0.010 × 10 + 0.015 × 10 + 10 + 0.040 × 10 = 1，
解得 = 0.03；
因为[90,100]的频率为10 × 0.040 = 0.4 > 0.25，且[90,100]为最后一组，
所以评分的上四分位数位于区间[90,100]中，
0.4 0.25
所以上四分位数为：90 + 0.4 × 10 = 93.75；
（2）评分在[70,80)与[80,90)两组的频率分别为0.15,0.3，
6 × 0.15 0.3所以[70,80)内抽取人数为 0.15+0.3 = 2，[80,90)内抽取人数为6 × 0.15+0.3 = 4，
故6人中评分等级为良好的有4人，
由题意可知， 的可取值为1,2,3，
C2C1 1 2 3 ( = 1) = 2 4
1
C3 = 5，
C C 3
( = 2) = 2 4C3 = 5，
C 1
( = 3) = 4C3 = ，6 6 6 5
所以 的分布列为：
1 2 3
1 3 1
5 5 5
1
数学期望 ( ) = 1 × 5 +2 ×
3 +3 × 15 5 = 2；
（3）青年游客评分等级良好的有(0.3 + 0.4) × 100 = 70人，所以老年游客评分等级良好的有120 70 = 50
人，
由上可得如下2 × 2列联表，
青年游客 老年游客 总计
评分等级良好 70 50 120
评分等级非良好 30 50 80
总计 100 100 200
零假设 0：游客的评分等级是否良好与年龄段无关，
由表中数据可得 2 = 200(3500 1500)
2
100×100×80×120 ≈ 8.333 < 10.828 = 0.001，
根据小概率值 = 0.001的独立性检验，可知零假设 0成立，
即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.

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