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2024-2025 学年高二下学期期中数学试卷（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章、第七章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）设随机变量 ~ (2, 2)， (0 < < 4) = 0.4，则 ( > 0) = （ ）
A．0.25 B．0.35 C．0.3 D．0.7
2．（5 分）已知(1 + 3 ) 的展开式共有9项，则该展开式中含 2的项的系数为（ ）
A．36 B．28 C．252 D．324
3．（5 分）已知函数 = ( )的图象如图所示， ′( )是 ( )的导函数，则下列式子正确的是（ ）
A． ′(3) > ′(2) B． ′(3) < (3) (2)
C． ′(2) < (3) (2) D． (3) (2) < 0
4．（5 分）某高校将 4 名学生分配到 3 所中学实习，每所中学至少分配1名学生，则不同的分配方案共有
（ ）
A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种
5．（5 分）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为 0.5 和 0.4，
且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（ ）
A 3．8 B
1 3 2
．4 C．7 D．7
6．（5 分）设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足 = 2 1，则下列结论错误的是（ ）
A． = 0.1 B． ( ) = 2， ( ) = 1.4
C． ( ) = 2， ( ) = 1.8 D． ( ) = 3， ( ) = 7.2
7 1．（5 分）高三某班有4的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生
1
数 ~ (5,4)，则 ( = ) = C

5(
1 3 5
4) (4) 取最大值时 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2
8 2 , ≤ ．（5 分）若 ( ) = ln( + 1) 1, > 为R上的减函数，则 的取值范围为（ ）
A．( 1,0] B．[0,1] C．( 1,1] D．[1,2]
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）若(1 2 )5 = 0 + 1 + 22 + 3 4 53 + 4 + 5 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 0 = 1
B． 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2
C． 1 + 3 + 5 = 122
1 D + 2
3 4 5
． 2 4 + 8 + 16 + 32 = 1
10．（6 分）甲口袋中有 3 个红球，2 个白球和 5 个黑球，乙口袋中有 3 个红球，3 个白球和 4 个黑球，先
从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 1, 2和 3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙口袋中随机取出一球，以 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A 3． ( ∣ 2) = 11 B．事件 1与事件 相互独立
C 5 3． ( 3∣ ) = 11 D． ( ) = 10
11．（6 分）已知函数 ( ) = 2 3 3 2，则（ ）
A． = 0是 ( )的极小值点
B ( ) 1 1． 的图象关于点 , 对称
2 2
C． ( )在(1, + ∞)上单调递减
D．当0 < < 1时， ( 2 1) < ( 1)
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜
色，则不同的涂色方法有 .
13．（5 3分）小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为5．若他下午去踢足球，
1
则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为6．已知小明在某个周末晚上去打
羽毛球，则下午踢足球的概率为 ．
14．（5 分）设函数 ( ) = 2 ( + 2) + ln ( ∈ R)，若 ( ) ≥ 1恒成立，则 a 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15 1．（13 分）已知 2 + 的展开式中的所有二项式系数之和为 64.
(1)求 的值；
(2)求展开式中 3的系数.
16．（15 分）现有编号为 1，2，3 的三个口袋，其中 1 号口袋内装有两个 1 号球，一个 2 号球和一个 3 号
球；2 号口袋内装有两个 1 号球，一个 3 号球；3 号口袋内装有三个 1 号球，两个 2 号球；第一次先从 1 号
口袋内随机抽取 1 个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，
(1)在第一次抽到 3 号球的条件下，求第二次抽到 1 号球的概率；
(2)求第二次取到 2 号球的概率；
17．（15 分）由 0，1，2，3，4 这五个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3)组成无重复数字的五位数中比 21034 大的数有多少个？
18．（17 分）已知函数 ( ) = ( 2 1)e 2在(2, (2))处的切线与直线 + 4 = 0垂直.
(1)求 a 的值；
(2)求 ( )的单调区间和极值.
19．（17 分）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、
合唱四个社团中随机选报两个社团.
(1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率.
(2)求同学甲选报足球社的概率.
(3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，
设报名足球社的同学人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．2024-2025 学年高二下学期期中数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）设随机变量 ~ (2, 2)， (0 < < 4) = 0.4，则 ( > 0) = （ ）
A．0.25 B．0.35 C．0.3 D．0.7
【解题思路】根据题意结合正态分布的对称性分析求解.
【解答过程】因为 ~ (2, 2)，则 = 2，且 (0 < < 4) = 0.4，
1
所以 ( > 0) = 0.5 + 2 (0 < < 4) = 0.7.
故选：D.
2．（5 分）已知(1 + 3 ) 的展开式共有9项，则该展开式中含 2的项的系数为（ ）
A．36 B．28 C．252 D．324
【解题思路】根据二项式定理的展开式的性质求 ，再利用通项公式求结论.
【解答过程】因为(1 + 3 ) 的展开式共有9项，
所以 = 8，
二项式(1 + 3 )8的展开式的通项公式为 8 +1 = C81 (3 ) ， = 0,1,2,···,8，
所以展开式中含 2的项为C2 168 (3 )2 = 252 2，
故这个展开式中含 2的项的系数为252．
故选：C.
3．（5 分）已知函数 = ( )的图象如图所示， ′( )是 ( )的导函数，则下列式子正确的是（ ）
A． ′(3) > ′(2) B． ′(3) < (3) (2)
C． ′(2) < (3) (2) D． (3) (2) < 0
【解题思路】利用导数的几何意义，切线的斜率，判断求解即可．
【解答过程】由题图知函数 = ( )是单调递增的，
则函数 ( )的图象上任意一点处的导函数值都大于零．
又函数 ( )的图象在 = 2处的切线斜率 1大于在 = 3处的切线斜率 2，
所以 ′(2) > ′(3)．
如图，记 (2, (2)), (3, (3))，连接 ．
= (3) (2)直线 的斜率 3 2 = (3) (2)．
由函数图象知： 1 > > 2 > 0，
即 ′(2) > (3) (2) > ′(3) > 0，
故选：B．
4．（5 分）某高校将 4 名学生分配到 3 所中学实习，每所中学至少分配1名学生，则不同的分配方案共有
（ ）
A．24 种 B．36 种 C．48 种 D．72 种
【解题思路】将分配操作分步求出事件数，再利用分步乘法计数原理求解即可.
【解答过程】若某高校将 4 名学生分配到 3 所中学实习，
每所中学至少分配1名学生，则一定有1所中学分配的学生有2名，
首先把2名学生安排在同一所中学实习，分配方案有C24C13 = 6 × 3 = 18种，
再把剩下的学生分配到对应的中学，分配方案有A22 = 2种，
由分步乘法计数原理得分配方案有18 × 2 = 36种，故 B 正确.
故选：B.
5．（5 分）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为 0.5 和 0.4，
且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（ ）
A 3 B 1 3．8 ．4 C．7 D
2
．7
【解题思路】利用条件概率公式进行求解即可.
【解答过程】设事件 :甲中靶，事件 :乙中靶，事件 :弓箭靶被射中，
则 ( ) = 0.5, ( ) = 0.4,
所以 ( ) = 1 = 1 (1 0.5)(1 0.4) = 0.7，
= ( ) = (1 0.5) × 0.4 = 0.2，
0.2 2即 | = 0.7 = 7，
故选：D.
6．（5 分）设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量 满足 = 2 1，则下列结论错误的是（ ）
A． = 0.1 B． ( ) = 2， ( ) = 1.4
C． ( ) = 2， ( ) = 1.8 D． ( ) = 3， ( ) = 7.2
【解题思路】选项 A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项 B 和 C
的正误；选项 D，利用期望和方差的性质，即可求解.
【解答过程】对于选项 A，因为0.1 + 0.4 + + 0.2 + 0.2 = 1，解得 = 0.1，所以选项 A 正确，
又 ( ) = 0 × 0.1 + 1 × 0.4 + 2 × 0.1 + 3 × 0.2 + 4 × 0.2 = 2， ( ) = (0 2)2 × 0.1 + (1 2)2 × 0.4 + (2 2)2
× 0.1 + (3 2)2 × 0.2 + (4 2)2 × 0.2 = 1.8，
所以选项 B 错误，选项 C 正确，
对于选项 D，因为 = 2 1，所以 ( ) = (2 1) = 2 ( ) 1 = 2 × 2 1 = 3， ( )
= (2 1) = 4 ( ) = 4 × 1.8 = 7.2，所以选项 D 正确，
故选：B.
7 5 1．（ 分）高三某班有4的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生
1 1 3
数 ~ (5,4)，则 ( = ) = C

5(4)
(4)
5 取最大值时 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出 的值.
1 3
【解答过程】由已知 ( = ) = C ( 5 5 4) (4) ， = 0，1，2，3，4，5，
( = ) ≥ ( = + 1)
所以由 ( = ) ≥ ( = 1)
C 5(
1 ) ( 3 )5 ≥ C +1 1 +1 35 ( ) ( )4
得： 4 4 4 4
C ( 1 ) ( 3 )5 ≥ C 1 1 1 3 6 ，5 4 4 5 ( ) ( )4 4
1
解得2 ≤ ≤
3
2，又因为 ∈ N
，所以 = 1．
故选:B．
2
8．（5 分）若 ( ) = 2 , ≤ ln( + 1) 1, > 为R上的减函数，则 的取值范围为（ ）
A．( 1,0] B．[0,1] C．( 1,1] D．[1,2]
【解题思路】令 ( ) = ln( + 1) 1，利用导数与函数单调性间的关系，求得 ( ) = ln( + 1) 1的单
调区间，在同一直角坐标系中作出 = 2 2 与 ( ) = ln( + 1) 1，根据题设，数形结合，即可求解.
【解答过程】因为二次函数 = 2 2 = ( 1)2 1的图象为拋物线，开口向上，顶点为(1, 1)，且最小值
为 1，

记 ( ) = ln( + 1) 1，则 ′( ) = +1，所以当 1 < < 0时， ′( ) > 0，
当 > 0时， ′( ) < 0，所以 ( )在( 1,0)上单调递增，在(0, + ∞)上单调递减，
所以 = 0是 ( )的极大值点，也是最大值点，且 ( )max = (0) = 1，
则 > 1时总有 ( ) < 2 2 ， = 2 2 与 ( ) = ln( + 1) 1在同一直角坐标系下的图象如图所示，
2
因为 ( ) = 2 , ≤ ln( + 1) 1, > 为R上的减函数，由图知0 ≤ ≤ 1，
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）若(1 2 )5 = 0 + 1 + 22 + 3 4 53 + 4 + 5 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 0 = 1
B． 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2
C． 1 + 3 + 5 = 122
1 2 D 3
4 5
． 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 1
【解题思路】利用赋值法即可逐一求解.
【解答过程】令 = 0，则 0 = 1，故 A 正确，
令 = 1可得(1 2)5 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5，故 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2，故 B 错误，
令 = 1可得(1 + 2)5 = 0 1 + 2 3 + 4 5 = 243，故 1 + 3 + 5 = 122，故 C 正确，
1 5
令 = 2可得 1 2 ×
1 = + 1 + 1 + 10 12 24 38 +
1 1 1 2 3 4 5
2 416
+ 532 = 0， 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 1，故 D 错误，
故选：AC.
10．（6 分）甲口袋中有 3 个红球，2 个白球和 5 个黑球，乙口袋中有 3 个红球，3 个白球和 4 个黑球，先
从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 1, 2和 3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙口袋中随机取出一球，以 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A 3． ( ∣ 2) = 11 B．事件 1与事件 相互独立
C 5 3． ( 3∣ ) = 11 D． ( ) = 10
【解题思路】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.
【解答过程】由题意得可知 1， 2， 3是两两互斥的事件，
∵ ( ) = 3 ( ) = 2 = 1 ( ) = 11 10， 2 10 5， 3 2，
( ) 1 × 3
∴ 3( | 2 5 112 ) = ( ) = 1 = 11，故 A 正确；2 5
( ) = ( ) + ( ) + ( ) = 4 × 3 + 1 3 1 3 31 2 3 11 10 5 × 11 + 2 × 11 = 10，
( ) = 3 41 10 × 11 ≠ ( ) ( 1)，故事件 1与事件 B 不独立，故 B 错误，D 正确；
( ) 1 × 3
( ∣ ) = 3 2 11
5
3 ( ) = 3 = 11，故 C 正确；
10
故选：ACD.
11．（6 分）已知函数 ( ) = 2 3 3 2，则（ ）
A． = 0是 ( )的极小值点
B 1 1． ( )的图象关于点 , 对称
2 2
C． ( )在(1, + ∞)上单调递减
D．当0 < < 1时， ( 2 1) < ( 1)
【解题思路】利用导数求函数极值点判断选项 A；通过证明 ( ) + (1 ) = 1得函数图象的对称点判断选
项 B；利用函数单调性判断选项 C；利用单调性比较函数值的大小判断选项 D．
【解答过程】函数 ( ) = 2 3 3 2， ′( ) = 6 2 6 = 6 ( 1)，令 ′( ) = 0，解得 = 0或 = 1，
故当 ∈ ( ∞,0)时 ′( ) > 0，当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，当 ∈ (1, + ∞)时 ′( ) > 0，
则 ( )在( ∞,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
故0是 ( )的极大值点，1是 ( )的极小值点，故 A 错误，C 错误；
对 B． ( ) + (1 ) = 2 3 3 2 +2(1 )3 3(1 )2 = 2 3 3 2 +2 6 + 6 2 2 3 3 + 6 3 2 = 1，
1 1
则 ( )的图象关于点 , 对称，故 B 正确；
2 2
对 D．当0 < < 1时， 1 < 2 1 < 1 < 0，而 ( )在( 1,0)上单调递增，
故 ( 2 1) < ( 1)，故 D 正确．
故选：BD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）如图，用 4 种不同的颜色对 A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜
色，则不同的涂色方法有 48 .
【解题思路】根据分步乘法计数原理求解即可.
【解答过程】根据题意，对于区域 A，有 4 种涂色方法，对于区域 B，有 3 种涂色方法，
对于区域 C，有 2 种涂色方法，对于区域 D，有 2 种涂色方法，
则由分步乘法计数原理可得4 × 3 × 2 × 2 = 48种涂色方法.
故答案为：48.
13 3．（5 分）小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为5．若他下午去踢足球，
1
则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为6．已知小明在某个周末晚上去打
9
羽毛球，则下午踢足球的概率为 10 ．
【解题思路】设出事件 , ,分别求出 ( )和 ( )，依题需求 ( | )，利用条件概率公式计算即得.
【解答过程】设小明周末晚间去打羽毛球为事件 ，下午去踢足球为事件 ，
3 2
则 ( ) = 5 × 1 + 5 ×
1 = 26 3， ( ) =
3 3
5 × 1 = 5，
( ) 3 9
依题意， ( | ) = 5 ( ) = 2 = 10.
3
: 9故答案为 10．
14．（5 分）设函数 ( ) = 2 ( + 2) + ln ( ∈ R)，若 ( ) ≥ 1恒成立，则 a 的取值范围为 ( ∞, 2] .
【解题思路】由题意得 ( )min ≥ 1，对 ( )求导，对 分 ≤ 0和 > 0讨论，利用导数分析单调性，求出函
数的最值即可求解.
【解答过程】 ( ) = (2 )( 1)′ , > 0，
由题意 ( ) ≥ 1恒成立，则 ( )min ≥ 1，
①当 ≤ 0时，令 ′( ) > 0，得 > 1；
令 ′( ) < 0，得0 < < 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )min = (1) = 1 ≥ 1，解得 ≤ 2
②当 > 0时，存在 (1) = 1 < 0，不满足题意，
综上，实数 a 的取值范围是( ∞, 2].
故答案为：( ∞, 2].
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15．（13 1分）已知 2 + 的展开式中的所有二项式系数之和为 64.
(1)求 的值；
(2)求展开式中 3的系数.
【解题思路】（1）根据二项式系数和公式即可求解，
（2）根据二项式展开式的通项特征即可求解
【解答过程】（1）由题意可得，2 = 64.
解得 = 6；
6
（2） 2 + 1 = 2 + 1 ，
1
二项展开式的通项为 = C ( 2 +1 6 )6 = C 12 3 6 .
由12 3 = 3，得 = 3.
∴ 展开式中 3的系数为C36 = 20.
16．（15 分）现有编号为 1，2，3 的三个口袋，其中 1 号口袋内装有两个 1 号球，一个 2 号球和一个 3 号
球；2 号口袋内装有两个 1 号球，一个 3 号球；3 号口袋内装有三个 1 号球，两个 2 号球；第一次先从 1 号
口袋内随机抽取 1 个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，
(1)在第一次抽到 3 号球的条件下，求第二次抽到 1 号球的概率；
(2)求第二次取到 2 号球的概率；
【解题思路】（1）由条件概率公式即可得解.
（2）由全概率公式、条件概率公式即可得解.
【解答过程】（1）记事件 , 分别表示第一次、第二次取到 号球， = 1,2,3，
3 1
则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率 ( 1| 3) = 6 = 2；
（2）依题意 1, 2,
2 1
3两两互斥， 其和为Ω， 并且 ( 1) = 4, ( 2) = ( 3) = 4，
( 1| 1) =
2
4,
2 3 1 1 2
( 1| 2) = 4, ( 1| 3) = 6， ( 2| 1) = 4, ( 2| 2) = 4, ( 2| 3) = 6，
1 1 1( 3| 1) = 4, ( 3| 2) = 4, ( 3| 3) = 6，
3 2 1 1 1 1 2 13
应用全概率公式， 有 ( 2) = ( ) ( 2| ) = 4 × 4 + 4 × 4 + 4 × = =1 6 48
.
17．（15 分）由 0，1，2，3，4 这五个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3)组成无重复数字的五位数中比 21034 大的数有多少个？
【解题思路】（1）先排数字 0，再排其它 4 个数字即可计算得解；
（2）选偶数先排个位数，分个位数字为 0 和个位数字为 2 或 4 两种情况，再排其它数位；
（3）按最高位上的数字比 2 大和 2 两类分类计算作答.
【解答过程】（1）先排数字 0，0 只能占除最高位外的其余四个数位，有A14种排法，
再排四个非 0 数字有A4 1 44种，由分步乘法计数原理得A4A4 = 4 × 24 = 96，
所以能组成 96 个无重复数字的五位数；
（2）当个位数字为 0 时，则可以组成A44 = 24个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为 2 或 4 时，则可以组成C1 1 32C3A3 = 36个无重复数字的五位偶数，
即可以组成24 + 36 = 60个无重复数字的五位偶数；
（3）计算比 21034 大的五位数的个数分两类：
万位比 2 大的五位数个数是A1A42 4，
万位是 2 的五位数中，千位比 1 大的有A2A32 3个，千位是 1，百位比 0 大的有A2A22 2个，千位是 1，百位是 0，
十位比 3 大的有 1 个，
由分类加法计数原理得A1A4 + A2A32 4 2 3 + A2A22 2 +1 = 65，
所以组成无重复数字的五位数中比 21034 大的数有 65 个.
18．（17 分）已知函数 ( ) = ( 2 1)e 2在(2, (2))处的切线与直线 + 4 = 0垂直.
(1)求 a 的值；
(2)求 ( )的单调区间和极值.
【解题思路】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后结合垂直斜率关系计算求参；
（2）应用导函数的正负得出函数的单调性进而得出函数的极值即可.
【解答过程】（1）由题意知 ′( ) = ( 2 1)e 2 + (2 )e 2 = ( 2 + 2 1)e 2，
所以 ′(2) = 7 3 ，又函数 ( ) = ( 2 1)e 2在点(2, (2))处的切线与直线 + 4 = 0垂直，
(7 3 ) × 1所以 = 1，解得 = 1，即 a 的值为 1.
4
（2）由（1）知 ( ) = ( 2 1)e 2， ′( ) = ( 2 + 2)e 2 = ( + 2)( 1)e 2，令 ′( ) = 0，解得 = 2
或 = 1，
所以当 < 2或 > 1时， ′( ) > 0，当 2 < < 1时， ′( ) < 0，
所以 ( )的单调递增区间为( ∞, 2)、(1, + ∞)，单调递减区间为( 2,1)，
又 ( 2) = 5e 4， (1) = e 1，所以 ( )的极大值为5e 4，极小值为 e 1.
19．（17 分）甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、
合唱四个社团中随机选报两个社团.
(1)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率.
(2)求同学甲选报足球社的概率.
(3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，
设报名足球社的同学人数为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．
【解题思路】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解，
（2）由古典概型的概率公式求解即可，
（3）根据相互独立事件概率乘法公式求解概率，即可得到分布列，由期望公式求解期望.
【解答过程】（1）先从 3 个同学中选出 2 个同学，有C23 = 3,
从 4 个社团中选 2 个，有C24 = 6种方法，因此每位同学选报社团都有 6 种方法，
1 5 5
因此恰好两个同学选报的社团一样的概率为 = 3 × 6 × 6 = 12
C12 1（ ）同学甲选报足球社的概率为 3C2 = ，4 2
1 2
（3）甲报足球的概率为3，不报的概率为3，
1 1
乙丙报足球的概率均为2，不报的概率为2，
故 可取0,1,2,3，
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1( = 3) = 3 × 2 × 2 = 12, ( = 2) = 3 × 2 × 1
1 × 2 + 3 × 2 × 2 = 3,2
1 1 1 2 1 1 5 2 1 1 1
( = 1) = 3 × 1 2 × 1 2 + 3 × 2 × 1 2 × 2 = 12 , ( = 0) = 3 × 1 2 × 1 2 = 6 ,
故 的分布列为：
0 1 2 3
2 5 4 1
12 12 12 12
故 ( ) = 0 +
5
12 +
8 3 16 4
12 + 12 = 12 = 3.

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