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2024-2025 学年高二下学期期中复习真题精选（常考 100 题 20 类题型
专练）
【人教 A 版（2019）】
题型归纳
题型 1 变化率问题（共 5 小题）
1．（23-24 高二下·福建龙岩·期中）若函数 ( ) = 2 ，则函数 ( )从 = 1到 = 3的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
2．（23-24 高二下·江西萍乡·期中）已知甲 乙两个小区在[0, ]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量 与时间
的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①在[ 1, 2]这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；
②在[ 2, 3]这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；
③在 2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；
④乙小区在 2时刻的分出量比 3时刻的分出量增长得快．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24 高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 （单位：m）与时间
（单位：s）之间的函数关系为 ( ) = 2 2 +2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．前3s内球滚下的垂直距离的增量Δ = 20m B．在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量Δ = 12m
C．前3s内球在垂直方向上的平均速度为8m/s D．第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为10m/s
4．（23-24 高二下·安徽亳州·期中）已知函数 ( ) = 2 2 + 1，则 ( )从 1 到1 + Δ 的平均变化率为 ．
5．（23-24 高二下·河南·期中）2024 年 2 月 23 日 19 时 30 分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载
火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到 100m/s，此
后其位移 H（单位：m）与时间 t（单位；s）近似满足函数关系 = 100 5 2
(1)分别求火箭在[0,2]、[2,4]这些时间段内的平均速度；
(2)求火箭在 = 2时的瞬时速度﹔
(3)熄火后多长时间火箭上升速度为 0．
题型 2 利用导数的定义解题（共 5 小题）
1 (3 Δ ) (3)．（23-24 高二下·江西萍乡·期中）设 ( )在 上的导函数为 ′( )，若 lim 3Δ = 2，则 ′(3) = （ ）Δ →0
A． 2 B．2 C． 6 D．6
2 (1 3Δ ) (1)．（23-24 高二下·黑龙江伊春·期中）若 ( )是可导函数，且 lim = 6，则 ′ Δ (1) = （ ）Δ →0
A．2 B 2．3 C． 1 D． 2
3 23-24 · (1) (1 Δ )．（ 高二下 安徽合肥·期中）若当Δ →0，满足 2Δ → 1，则下列结论正确的是（ ）
A (1+Δ ) (1 Δ )． Δ → 4
B (1+Δ ) (1 Δ )． Δ → 2
C．曲线 = ( )上点(1, (1))处的切线斜率为 1
D．曲线 = ( )上点(1, (1))处的切线斜率为 2
4．（23-24 高二下·上海·期中）已知函数 = ( )在 = 2处的切线斜率为 ，且lim
(2+ ) (2)
= 2，则 = →0
.
5．（23-24 高二下·上海·期中）已知 ( )在 0处的导数 ′( 0) = ，求下列各式的值：
(1) lim ( 0) ( 0 Δ )2Δ ；Δ →0
(2) lim ( 0+Δ ) ( 0 Δ )
Δ →0 Δ
．
题型 3 曲线的切线问题（共 5 小题）
1．（23-24 高二下·湖南益阳·期中）曲线 ( ) = ( + 1)e 在 = 0处的切线方程为（ ）
A． = + 1 B． = + 2 C． = 2 + 2 D． = 2 + 1
2．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数 ( )在 = 2处的切线方程为3 + 2 = 0，则 ′(2) =
（ ）
A．0 B． 3 C． 4 D． 8
3．（23-24 高二下·湖南·期中）过点 (2, 6)作曲线 ( ) = 3 3 的切线，则切线方程可能是（ ）
A．3 + = 0
B．24 54 = 0
C．9 24 = 0
D．12 24 = 0
4．（23-24 高二下·广东惠州·期中）已知函数 ( )=e +1，则函数 ( )=e +1的图像在(0,2)处的切线方
程为 ．
5．（23-24 高二下·陕西汉中·期中）已知函数 ( ) = 3 + + 1, ( ) = e 2 +1．
(1)求曲线 = ( )在 = 1处的切线方程；
(2)若曲线 = ( )在 = 1处的切线与曲线 = ( )在 = ( ∈ R)处的切线平行，求 的值．
题型 4 函数的单调性问题（共 5 小题）
1．（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数 ( ) = 2 4ln 的单调递减区间是（ ）
A．( ∞,2) B．(0,2) C．(2, + ∞) D．(e, + ∞)
2．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）已知函数 1( )的定义域为(0, + ∞)，且 (1) = e ， ′2 ( ) + > e
，则不
等式2e 2 ( ) > 2的解集为（ ）
A．(0,1) B．(0, + ∞) C．(1, + ∞) D．(0,1) ∪ (1, + ∞)
3．（23-24 高二下·福建福州·期中）下列函数在(0, + ∞)上单调递减的是（ ）
A． = e B． = e e
C = sin D = 1 ． ．
4．（23-24 1高二下·四川泸州·期中）若函数 ( ) = ln 2
2 2 在[1,4]上存在单调递增区间，则实数 a 的取
值范围是 .
2
5．（23-24 高二下·云南昭通·期中）已知函数 ( ) = e 3
3 2 2 + 1.
(1)当 = 0时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )在[0, + ∞)上单调递增，求 的取值范围.
题型 5 函数的极值、最值问题（共 5 小题）
1．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）若函数 ( ) = ( + )2在 = 1处有极大值，则 = （ ）
A．1 或 3 B．3 C 1 D 3． ．2
2．（23-24 高二下·宁夏吴忠·期中）函数 ( ) = 3 + 2 +3 ，已知 ( )在 = 3时取得极值，则 ∈ [ 4, 1]
上的最大值为（ ）
A． 9 B．1 C．9 D．4
3．（23-24 1高二下·新疆克孜勒苏·期中）对于函数 ( ) = 3
3 +2 2，下列说法正确的是（ ）
A． ( )是增函数，无极值
B． ( )是减函数，无极值
C． ( )的单调递增区间为( ∞, 4),(0 + ∞)，单调递减区间为( 4,0)
D 32． (0) = 0是极小值， ( 4) = 3 是极大值
4．（23-24 高二下· 2吉林·期中）若函数 ( ) = 3
3 + 2 +8 + 1在区间(1,3)上有极值，则 a 的取值范围为
.
5．（23-24 高二下·江苏常州·期中）已知函数 ( ) = 3 + 2 + 2，在 = 1时取得极小值 10.
(1)求函数 ( )的解析式;
(2)求函数 ( )在区间[ 1,3]上的最值.
题型 6 导数中的函数零点问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·四平面川向量凉线山性运·算期的坐中标）表示函数 = 3 + 14存在 3 个零点，则 的取值范围为（ ）
A ( ∞, 3． 4) B (
3 3
． 4,4)
C (3． 4, + ∞) D．[
3
4, + ∞)

2．（23-24 高二下· · = e , ≥ 1湖南益阳 期中）已知函数 （ ） ln , < 1 ， （ ） = （ ） + ，若 （ ） （
）存在 3 个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A 1． 1, + 1 B． 1, 1 + 1 C． 1 1, 1 D． 1 1, 1
e e e e
3．（23-24 高二下·山东临沂·期中）已知函数 ( ) = ln(1 + )，则（ ）
A． ( )在(0, + ∞)上单调递增 B． ( )有两个零点
C． ( )是奇函数 D．曲线 =
1
( )在点(1,ln2)处的切线斜率为2 + ln2
4．（23-24 高二下·四川雅安·期中）函数 ( ) = ln
1
3 的零点个数为 .
5．（23-24 高二下·河北邢台·期中）已知函数 ( ) = + ln 1.
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)已知函数 ( ) = 2
( )
有两个零点，求实数 的取值范围.
题型 7 导数中的恒（能）成立问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下· 平面 ln +2 河南向量安线阳性运·算期的坐中标）表示若对任意 ∈ (0,1), < e +2 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A [ 1,1． 2 2] B．[0, + ∞) C．[ 1, + ∞) D [
1
． 2, + ∞)
2．（23-24 高二下·新疆·期中）已知 > 1，存在唯一的整数 0，使得( 0 1)e2 0 + 0 2 < 0成立，则
的取值范围是（ ）
A 2．
2 ,1 B． 1,
2
3e 3e2
C 2． , 1 D 1 2．2 , 3e 2 2 3e2
3．（23-24 高二下·河南洛阳·期中）已知ln e = 0，则使2 2 > 0恒成立的 值可以是（ ）
A 1． 2 B．2 C．4 D．5
4．（23-24 高二下·四川南充·期中）已知函数 ( ) = 2 e ，若存在 0 ∈ [1,3]，使 ( 0) ≥ 0，则实数 的
取值范围是 .
5．（23-24 1高二下·山东临沂·期中）已知函数 ( ) = + 2 e ， ( ) = ln( + 1) +1 +1
(1)当 = 0时，讨论 ( )的单调性；
(2)若任意 1， 2 ∈ [0, + ∞)，都有 ( 1) +1 ≤ ( 2)恒成立，求实数 的取值范围.
题型 8 两个计数原理综合（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·河南洛阳·期中）用 0，1，2，3，4 这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共
有（ ）
A．48 个 B．24 个 C．18 个 D．12 个
2．（23-24 高二下·贵州·期中）高二某班级 4 名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中
甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（ ）
A．54 B．12 C．8 D．81
3．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）下列正确的是（ ）
A．由数字 1，2，3，4 能够组成 24 个没有重复数字的三位数
B．由数字 1，2，3，4，能够组成 16 个没有重复数字的三位偶数
C．由数字 1，2，3，4 能够组成 64 个三位密码
D．由数字 1，2，3，4 能够组成 28 个比 320 大的三位数
4．（23-24 高二下·天津红桥·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动
物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位
同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果
让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种．
5．（23-24 高二下·四川眉山·期中）已知 0， 1， 2， 3， 4， 5 这六个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
(3)可以组成多少个无重复数字的小于 1 000 的自然数？
(4)可以组成多少个无重复数字的大于 3 000 且小于 5 421 的四位数？
题型 9 排列数、组合数的计算（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）C3 + C3 3 3平面向量线性运算的坐标表示 4 5 + C6 + C7 = （ ）
A．84 B．83 C．70 D．69
2．（23-24 高二下·河南·期中）若C = C2 +1 13 13 ( ∈ N )，则A5 = （ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
3．（23-24 高二下·浙江·期中）下列等式正确的是（ ）
A +1．A = A 1 1 B．C = C +1 +1 +1
!
C ( +1)! ( +1) !．A +1 A = 2 +1 A 1 1 D． ! ( 1)! = ! ( ≤ )
4．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）已知C 1 = C2 +216 16 ，则 = ．
5．（23-24 高二下·四川雅安·期中）（1）解方程：A3 = 16C2 .
（2）计算：C4 + C4 44 5 + C6 + + C49.
（3）解不等式A 27 < 12A7 ( 3).
题型 10 涂色问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·江平面苏向量盐线城性运·算期的中坐标）表示用 4 种不同的颜色给如图所示的 4 块区域上色，要求相邻 2 块涂不同的
颜色，问有（ ）种不同的涂法？
A．24 B．48 C．96 D．120
2．（23-24 高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用 5 种颜色给这五个行政
区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．420 种 B．360 种 C．540 种 D．300 种
3．（23-24 高二上·甘肃白银·期末）用 种不同的颜色涂图中的矩形 , , , ，要求相邻的矩形涂色不同，不
同的涂色方法总种数记为 ( )，则（ ）
A． (3) = 12 B． (4) = 36
C． (5) = 120 D． (6) = 600
4．（23-24 高二下·内蒙古·期末）用 4 种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，
有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 种.
5．（23-24 高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 种颜色对某市的如图的四个
区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？
题型 11 相邻、不相邻排列问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·江平面苏向量南线通性运·算期的中坐标）表示某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，
则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（ ）种.
A．72 B．144 C．240 D．288
2．（23-24 高二下·福建南平·期中）某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段
“人物”更新了 2 篇文章，“视听学习”更新了 4 个视频．一位学习者准备从更新的这 6 项内容中随机选取 3 个
视频和 2 篇文章进行学习，则这 2 篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．192 种 B．168 种 C．72 种 D．144 种
3．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊 5 道不同的工序，现将 5 道
工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是（ ）
A．如果甲工序不能放在第一，共有 96 种加工顺序
B．如果甲、乙两道工序必须相邻，共有 12 种加工顺序
C．如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有 72 种加工顺序
D．如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有 40 种加工顺序
4．（23-24 高二下·贵州·期中）2024 年 3 月 5 日至 11 日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.
此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起
扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的 10 位党员开展“学习贯彻 2024 年
全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有
种（用数字作答）.
5．（23-24 高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过 6 道工序．
(1)若其中某 2 道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序
(2)若其中某 3 道工序必须相邻．问有多少种加工顺序
(3)若其中某 3 道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序
题型 12 分组分配问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·新平面疆向量乌线鲁性运木算的齐坐标·期表示中）将 5 名大学生分配到 3 个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同
分配方案有（ ）
A．240 种 B．150 种 C．60 种 D．180 种
2．（23-24 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 人值班，
每人只值班 1 天，每天至少有 1 人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ）
A．72 种 B．114 种 C．120 种 D．144 种
3．（23-24 高二下·吉林·期中）下列说法正确的为（ ）
A．6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有C2 2 26C4C2种不同的分法；
B．6 本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 540 种不同的分法；
C．6 本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有 10 种不同的分法；
D．6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有C16C2 35C3种不同的分法．
4．（23-24 高二下·安徽安庆·期中）某校的 4 名体育教师对足球、篮球、羽毛球 3 个运动兴趣小组进行指导，
要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 种．
5．（23-24 高二下·四川凉山·期中）现有 5 名实习生通过了实习考核，将他们分配到 4 个岗位，每个人只能
去一个岗位．
(1)不同的分配方案共有多少种
(2)若每个岗位至少分配一名实习生，则不同的分配方案有多少种
题型 13 求二项展开式的特定项（系数）（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
7
1．（23-24 2高二下·安平面徽向量阜线阳性运·算期的坐中标）表示 3 的展开式中的常数项为（ ）
A．14 B．12 C．7 D． 14
6
2．（23-24 高二下·浙江·期中）在 2 2 的展开式中，第四项为（ ）
A．240 B． 240 C．160 3 D． 160 3
2 73．（23-24 高二下·湖北武汉·期中） 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共 7 项 B．x 项系数为－280
C．所有项的系数之和为 1 D．所有项的二项式系数之和为 128
20
4．（23-24 高二下· 2河北石家庄·期中）在二项式 的展开式中，常数项是第 项．

5．（23-24 1 1高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知 ( ∈ *3 )的展开式中所有项的系数之和为2 256.
(1)求展开式中 1的系数；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
题型 14 用赋值法求系数和问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示

1．（23-24 高二下·湖平面南向量 1 2 3 2021常线德性运·算期的中坐标）表示已知(4 3)2021 = 0 + 1 + + 2021 2021，则 4 + 42 + 43 + + 42021
= （ ）
A．32021 22021 B． 1 C．22021 32021 D．1
2．（23-24 高二下·河北石家庄·期中）已知(1 2 )7 = + + 2 + + 70 1 2 7 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． 0 = 1 B． 3 = 280
C． 1 + 2 +… + 7 = 2 D． 1 +2 2 +… + 7 7 = 7
3．（23-24 高二下·江苏南京·期中）若(1 2 )5 = 0 + 1 + 2 + 3 + 42 3 4 + 5 5，则下列结论中正
确的是（ ）
A． 0 = 1
B． 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2
C． 1 + 3 + 5 = 122

D 1． 2 +
2 + 3 + 4 + 54 8 16 32 = 1
4．（23-24 高二下·广东清远·期中）已知(1 + 2 )5 = 0 + 1 + 2 + + 52 5 ，则 1 2 2 +3 3 4 4 +5
5 = ．
5．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）已知(1 3 )5 = 0 + 1 + 2 2 + 33 + 44 + 55 .
(1)求 0；
(2)求| 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5|.
题型 15 二项式乘积、三项展开式系数问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·安平面徽向量·期线性中运算）的坐二标项表示式(1 )(1 + 2 )5的展开式中 3的系数为（ ）
A． 40 B．40 C． 60 D．60
6
2．（23-24 高二下·重庆巴南·期中） 2 1 + 2 的展开式中常数项为（ ）
A．544 B．559 C．495 D．79
3．（23-24 高二下·山西长治·期中）已知(1 + 2)(1 )4的展开式中 3的系数为 8，则（ ）
A． = 2 B．展开式中 4的系数为 17
C．展开式中所有项的系数和为 0 D．展开式中 的奇数次幂项的系数和为 32
4．（23-24 高二下·山东淄博·期中）(1 + 2 2)5展开式中含 4的项的系数是 ．

5．（23-24 高二下·重庆· 2期中）已知在二项式 2 + 的展开式中，第5项为常数项.
(1)求 ；

(2)求 2 + 2 的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；

(3) ( 3 1) 2 + 2在 的展开式中，求含
6的项.
题型 16 条件概率（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·河平面南向量商线丘性运·算期的中坐标）表示已知事件 ， ，若 ，且 ( ) = 0.4， ( ) = 0.7，则下列结论正确
的是（ ）
A． ( ) = 0.28 B． ( | ) = 0.4
C． | = 0.5 D．
4
( | ) = 7
2．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4 × 100接力比赛．记事件 A 为“甲同
学不跑第一棒”，事件为 B“乙同学跑第二棒”，则 ( | )的值为（ ）
A 1．9 B
4 1 2
．9 C．3 D．9
3．（23-24 高二下·安徽·期中）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲
袋中装有 5 个红球和 5 个绿球；乙袋中装有 4 个红球和 6 个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，
再从乙袋中随机摸出一个小球，记 1表示事件“从甲袋摸出的是红球”， 2表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，
记 1表示事件“从乙袋摸出的是红球”， 2表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ）
A． 1， 2是互斥事件 B． 1， 2是独立事件
C 7 10． ( 2| 2 ) = 22 D． ( 2| 1 ) + ( 1| 2 ) = 11
4．（23-24 高二下·浙江嘉兴·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 = {两次的点数均为奇数}， = {两
次的点数之和为 8}，则 ( | ) = .
5．（23-24 高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回
答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有 2 人“通关”就可获得“团体奖”．根据平
时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
甲 乙 丙
2 1 1
第一轮回答正确的概率
3 2 2
1 1 1
第二轮回答正确的概率
2 2 3
若三人各自比赛时互不影响．
(1)求甲、乙两人至少有 1 人“通关”的概率；
(2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率．
题型 17 随机变量及其分布（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·北平面京向量顺线义性运·算期的坐中标）表示已知随机变量 的分布列如表：（其中 为常数）
0 1 2 3 4 5
0.2 0.1 0.3 0.2 0.1
则 (1 ≤ ≤ 3)等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7

2．（23-24 高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2),( = 0,1,2)，其中 a
是常数，则下列说法不正确的是（ ）
A． ( = 0) +
4
( = 1) + ( = 2) = 1 B． = 3
C 8． (0 ≤ < 2) = 9 D．
4
( ≥ 1) = 9
3．（23-24 高二下·河南周口·期中）已知离散型随机变量 的分布列为
1 2 4 6
0.2 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A． + = 0.7 B．若 = 0.3，则 ( > 3) = 0.5
C．若 = 0.9，则 = 0.2 D． ( = 1) = 2 ( = 6)

4．（23-24 高二下·广东东莞·期中）已知随机变量 的概率分布为 ( = ) = 2+ ( ∈ , = 1,2,3)，则 =
.
5．（23-24 高二下·广东湛江·期中）A，B 两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、
打成平局和失败分别记 + 3分、m 分和 0 分．比赛两局，已知在每局比赛中 A 获胜、打成平局和战败的概
率分别为 0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立．
(1)若 = 2，求 A 两局得分之和为 5 的概率；
(2)若 = 3，用 X 表示 B 两局比赛的得分之和，求 X 的分布列．
题型 18 期望、方差的性质及计算（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·福平面建向量福线州性运·算期的坐中标）表示已知随机变量 的概率分布如下表
x 1 2 4
P 0.4 0.3
则 (5 + 4) = （ ）
A．1 B．2.2 C．11 D．15
2 1．（23-24 高二下·江苏连云港·期中）随机变量 X 的分布列如表所示，若 ( ) = 3，则 (3 2) = （ ）
X 1 0 1
P 1 a b
6
A．3 B 5．3 C．5 D．9
3．（23-24 高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量 的分布列如表所示，若离散型随机变量 满足
= 3 2，则（ ）
1 2 3 4
0.5 0.3 0.1
A． ( ) = 1.5 B． ( ) = 4
C． ( ) = 0.2 D． ( ) = 10.8
4．（23-24 高二下·内蒙古赤峰·期中）已知 ( ) = 3, (2 1) = 8,则 (2 1) + ( ) = .
5．（23-24 高二下·河南郑州·期中）随机变量 的分布列如下表，随机变量 = 2 + 1．
0 1
0.4 0.6
(1)求 ( )；
(2)求 ( )．
题型 19 二项分布与超几何分布（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·辽宁沈阳·期中）设随机变量 (6, )，若 ( ) ≤ 2，则 ( )的最大值为（ ）
A．4 B．3 C 4 8．3 D．3
2．（23-24 高二下·福建龙岩·期中）一箱零件中共有 12 个零件，其中有 3 个是尺寸不达标的，从这箱零件
中任意选取 4 个，则恰有 2 个的尺寸不达标的概率为（ ）
A 12 1．55 B．5 C
14 3
．55 D．11
3．（23-24 高二下·安徽马鞍山·期中）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相
互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，
小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到
右分别编号为 1，2，3，…，6，用 表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． ( = 1) = ( = 6) = 132 B． ( ) =
5
2
C 3． ( ) = 2 D． ( ) =
5
4
4 23-24 1．（ 高二下·陕西安康·期中）已知随机变量 ~ 5, ，则 ( ) = .
4
5．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就
‘ 3趣’FUN 肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是4，
1
进入达人秀决赛的概率均是3，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响．
(1)求甲两个比赛都进入决赛的概率；
(2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为 ．求随机变量 的概率分布和数学期望 ( )
题型 20 正态分布（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·福平面建向量南线平性运·算期的坐中标）表示已知随机变量 (5, 2)，且 ( ≤ 2) = 0.4，则 ( < 8) = （ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
2．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量 ～ (1000,2500)
（单位：个），估计 300 天内小笼包的销售量约在 950 到 1050 个的天数大约是 （ ）（若随机变量 ～
( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 )
≈ 0.9973）
A．205 B．246 C．270 D．275
3．（23-24 高二下·辽宁朝阳·期中）已知某校有 1200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩 近似服
从正态分布 (100,225)，则下列说法不正确的有（ ）
（参考数据：① ( < ≤ + ) = 0.6827；② ( 2 < ≤ + 2 ) = 0.9545；
③ ( 3 < ≤ + 3 ) = 0.9973）
A．这次考试成绩超过 100 分的约有 500 人
B．这次考试分数低于 70 分的约有 27 人
C． (115 < ≤ 130) = 0.0514
D 2．从中任取 3 名同学，至少有 2 人的分数超过 100 分的概率为3
4．（23-24 高二下·江苏南通·期中）已知随机变量 (2, 2)，且 ( > 1) = 0.7，则 (2 < < 3) = .
5．（23-24 高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一
次环保知识竞赛，满分 100 分.随机抽取的 8 人的得分为 84，78，81，84，85，84，85，91.
(1)计算样本平均数 和样本方差 2；
(2)若这次环保知识竞赛的得分 X 服从正态分布 ( , 2)，其中 和 2的估计值分别为样本平均数 和样本方差
2，若按照 15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、
二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据2 3 ≈ 3.46）
附：若随机变量 X 服从正态分布 ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6826，
( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9544， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9974.2024-2025 学年高二下学期期中复习真题精选（常考 100 题 20 类题型
专练）
【人教 A 版（2019）】
题型归纳
题型 1 变化率问题（共 5 小题）
1．（23-24 高二下·福建龙岩·期中）若函数 ( ) = 2 ，则函数 ( )从 = 1到 = 3的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【解题思路】利用平均变化率的定义可得答案.
【解答过程】因为 ( ) = 2 ，所以 (1) = 12 1 = 0， (3) = 32 3 = 6，
Δ (3) (1)
故函数 ( )从 = 1到 = 3的平均变化率为Δ = 3 1 =
6 0
2 = 3.
故选：B.
2．（23-24 高二下·江西萍乡·期中）已知甲 乙两个小区在[0, ]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量 与时间
的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①在[ 1, 2]这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；
②在[ 2, 3]这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；
③在 2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；
④乙小区在 2时刻的分出量比 3时刻的分出量增长得快．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项.
【解答过程】①在[ 1, 2]这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确；
②在[ 2, 3]这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快,故②正确；
③在 2时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确；
④乙小区在 2时刻比在 3时刻陡，所以在 2时刻的分出量比 3时刻的分出量增长得快，故④正确.
故选：D.
3．（23-24 高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离 （单位：m）与时间
（单位：s）之间的函数关系为 ( ) = 2 2 +2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．前3s内球滚下的垂直距离的增量Δ = 20m B．在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量Δ = 12m
C．前3s内球在垂直方向上的平均速度为8m/s D．第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为10m/s
【解题思路】利用函数关系式计算可判定 A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定 C、D 选项.
【解答过程】前3 内，Δ = 3s，Δ = (3) (0) = 24m，
△ 24
此时球在垂直方向上的平均速度为△ = 3 = 8m/s，A 错误；C 正确；
在时间[2,3]内，Δ = 1s， △ = (3) (2) = 12m，B 正确；
′( ) = 4 + 2， ′(2) = 4 × 2 + 2 = 10，则第 2s 时刻在垂直方向上的瞬时速度为10m/s，
D 正确．
故选：BCD．
4．（23-24 高二下·安徽亳州·期中）已知函数 ( ) = 2 2 + 1，则 ( )从 1 到1 + Δ 的平均变化率为 2Δ
+ 3 ．
【解题思路】借助平均变化率定义计算即可得.
(1+Δ ) (1) = 2(1+Δ )
2 (1+Δ )+1 (2 1+1)
【解答过程】 Δ Δ
= 2(Δ )
2+3Δ
Δ = 2Δ + 3.
故答案为：2Δ + 3.
5．（23-24 高二下·河南·期中）2024 年 2 月 23 日 19 时 30 分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载
火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到 100m/s，此
后其位移 H（单位：m）与时间 t（单位；s）近似满足函数关系 = 100 5 2
(1)分别求火箭在[0,2]、[2,4]这些时间段内的平均速度；
(2)求火箭在 = 2时的瞬时速度﹔
(3)熄火后多长时间火箭上升速度为 0．

【解题思路】（1）根据平均速度 = 代入表达式计算；
（2）由函数 ( ) = 100 5 2，可得 ′( ) = 100 10 ，根据导函数几何意义可求解；
（3）根据题意即求瞬时速度为 0 时的 t 的值.
【解答过程】（1）由位移 H 与时间 t 近似满足函数关系 = 100 5 2，
(2) (0)
[0,2] 100×2 5×2
2
则火箭在 这些时间段内的平均速度为 2 0 = 2 = 90 m/s；
(4) (2) 2 2
火箭在[2,4] = 100×4 5×4 (100×2 5×2 )这些时间段内的平均速度为： 2 0 2 = 70 m/s．
（2）由函数 ( ) = 100 5 2，可得 ′( ) = 100 10 ，可得 ′(2) = 100 10 × 2 = 80 m/s，
所以火箭在 = 2时的瞬时速度为 80m/s．
（3）由 ′( ) = 100 10 ，令 ′( ) = 0，即100 10 = 0，解得 = 10 s，
熄火后 10s 火箭上升速度为 0．
题型 2 利用导数的定义解题（共 5 小题）
1．（23-24 高二下·江西萍乡·期中）设 ( )在 上的导函数为 ′( )，若 lim
(3 Δ ) (3)
3Δ = 2，则 ′(3) = （ ）Δ →0
A． 2 B．2 C． 6 D．6
【解题思路】由已知结合导数定义即可求解.
lim (3 Δ ) (3) = 1 lim (3 Δ ) (3) = 1【解答过程】由于 ′3Δ 3 Δ 3 (3) = 2，则 ′(3) = 6.Δ →0 Δ →0
故选：C.
2 23-24 (1 3Δ ) (1)．（ 高二下·黑龙江伊春·期中）若 ( )是可导函数，且 lim = 6，则 ′ Δ (1) = （ ）Δ →0
A．2 B 2．3 C． 1 D． 2
【解题思路】根据导数的定义即可求解.
= lim (1 3Δ ) (1) = 1 lim (1 3Δ ) (1) 1【解答过程】 ′(1)
Δ →0 3Δ 3Δ →0 Δ
= 3 × 6 = 2.
故选:A．
3．（23-24 高二下· (1) (1 Δ )安徽合肥·期中）若当Δ →0，满足 2Δ → 1，则下列结论正确的是（ ）
A (1+Δ ) (1 Δ )． Δ → 4
B (1+Δ ) (1 Δ )． Δ → 2
C．曲线 = ( )上点(1, (1))处的切线斜率为 1
D．曲线 = ( )上点(1, (1))处的切线斜率为 2
【解题思路】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.
(1) (1 Δ ) (1) (1 Δ )
【解答过程】由 ′2Δ → 1得： Δ → 2，即 (1) = 2，
∴ 曲线 = ( )上点(1, (1))处的切线斜率为 2，C 错误；D 正确；
(1+Δ ) (1 Δ ) = 2 × (1+Δ ) (1 Δ ) = 2 × (1) (1 Δ )Δ 2Δ Δ → 4，A 正确；B 错误.
故选：AD.
4．（23-24 高二下·上海·期中）已知函数 = ( )在 = 2
(2+ ) (2)
处的切线斜率为 ，且lim = 2，则 =
→0
2 .
【解题思路】根据导数的定义可得答案.
【解答过程】因为函数 = ( )在 = 2处的切线斜率为 = ′(2)，
lim ( +2) (2)且 ′ = (2) = 2，则 = 2. →0
故答案为： 2.
5．（23-24 高二下·上海·期中）已知 ( )在 0处的导数 ′( 0) = ，求下列各式的值：
(1) lim ( 0) ( 0 Δ )
Δ →0 2Δ
；
(2) lim ( 0+Δ ) ( 0 Δ )
Δ →0 Δ
．
【解题思路】（1）（2）根据导数的定义即可求解.
( 0) ( 0 Δ )
【解答过程】（1） ∵ lim = ′( 0)，
Δ →0 0 ( 0 Δ )
即 lim ( 0) ( 0 Δ )Δ = ′( 0) = ．Δ →0
∴ lim ( 0) ( 0 Δ ) = 1 lim ( 0) ( 0 Δ ) 12Δ 2 Δ = 2 ′( 0) =

2．Δ →0 Δ →0
( 0+Δ ) ( 0 Δ )
（2） ∵ ( 0+Δ ) ( 0 Δ ) ，
( 0+Δ ) ( 0 Δ )
即 2Δ 为函数 ( )在区间[ 0 Δ , 0 + Δ ]上平均变化率．
∴ Δ →0 ( 0+Δ ) ( 0 Δ )当 时， ′2Δ 必趋于 ( 0) = ，
∴ lim ( 0+Δ ) ( 0 Δ )
Δ →0 2Δ
= ，
∴ lim ( 0+Δ ) ( 0 Δ )Δ = 2 ．Δ →0
题型 3 曲线的切线问题（共 5 小题）
1．（23-24 高二下·湖南益阳·期中）曲线 ( ) = ( + 1)e 在 = 0处的切线方程为（ ）
A． = + 1 B． = + 2 C． = 2 + 2 D． = 2 + 1
【解题思路】根据导数的几何意义，即可求解.
【解答过程】由函数 ( ) = ( + 1)e ，得 ′( ) = ( + 2)e ，
则 (0) = 1， ′(0) = 2，
所以曲线在 = 0处的切线方程为 1 = 2 ，即 = 2 + 1.
故选：D.
2．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）已知函数 ( )在 = 2处的切线方程为3 + 2 = 0，则 ′(2) =
（ ）
A．0 B． 3 C． 4 D． 8
【解题思路】由导数的几何意义求解即可.
【解答过程】因为函数 ( )在 = 2处的切线方程为3 + 2 = 0，
此时直线方程3 + 2 = 0的斜率为 3，
所以 ′(2) = 3.
故选：B.
3．（23-24 高二下·湖南·期中）过点 (2, 6)作曲线 ( ) = 3 3 的切线，则切线方程可能是（ ）
A．3 + = 0
B．24 54 = 0
C．9 24 = 0
D．12 24 = 0
【解题思路】先设出切点的坐标，求出导函数，再将切点横坐标代入导函数求出切线的斜率，结合切点坐
标写出切线方程，再将点 P 的坐标代入切线方程，进而解出切点横坐标，最后得到答案.
【解答过程】
∵ ′ = 3 2 3.设曲线的切点为( 0, 0)，则 = 3 20 3， 30 = 0 3 0.
∴切线方程为 ( 3 20 3 0) = (3 0 3)( 0).
又切线经过点 (2, 6)，则 6 ( 30 3 20) = (3 0 3)(2 0)，解得 0 = 0或 0 = 3，
∴切点为(0,0)时，切线方程为3 + = 0；切点为(3,18)时，切线方程为24 54 = 0.
故选：AB.
4．（23-24 高二下·广东惠州·期中）已知函数 ( )=e +1，则函数 ( )=e +1的图像在(0,2)处的切线方
程为 + 2 = 0 ．
【解题思路】利用导数的几何意义，在该点的导数等于该点切线的斜率即可求解.
【解答过程】由 ( )=e +1，得 ′( ) = e ，则 ′(0) = 1，
所以函数 ( )=e +1的图象在(0,2)处的切线方程为 = + 2，即 + 2 = 0．
故答案为： + 2 = 0．
5．（23-24 高二下·陕西汉中·期中）已知函数 ( ) = 3 + + 1, ( ) = e 2 +1．
(1)求曲线 = ( )在 = 1处的切线方程；
(2)若曲线 = ( )在 = 1处的切线与曲线 = ( )在 = ( ∈ R)处的切线平行，求 的值．
【解题思路】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程；
（2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解.
【解答过程】（1） ′( ) = 3 2 +1， (1) = 1， ′(1) = 2，
所以曲线 = ( )在 = 1处的切线方程为 1 = 2( 1)，即2 + 3 = 0；
（2）由(1)可得：曲线 = ( )在点(1,1)处的切线方程为 = 2 + 3，
由 ′( ) = 2e 2 +1，可得曲线 = ( )在 = ( ∈ R)处的切线斜率为 ′( ) = 2e 2 +1，
由题意可得 2e 2 +1 = 2 1，从而 = 2.
题型 4 函数的单调性问题（共 5 小题）
1．（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数 ( ) = 2 4ln 的单调递减区间是（ ）
A．( ∞,2) B．(0,2) C．(2, + ∞) D．(e, + ∞)
【解题思路】求出函数 ( )的导数，再解不等式 ′( ) < 0即可得解.
4
【解答过程】函数 ( ) = 2 4ln 的定义域为(0, + ∞)，求导得 ′( ) = 2 ，
由 ′( ) < 0，得0 < < 2，
所以函数 ( ) = 2 4ln 的单调递减区间是(0,2).
故选：B.
2．（23-24 1高二下·江苏扬州·期中）已知函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，且 (1) = e 2， ′( ) + > e
，则不
等式2e 2 ( ) > 2的解集为（ ）
A．(0,1) B．(0, + ∞) C．(1, + ∞) D．(0,1) ∪ (1, + ∞)
1
【解题思路】由题设不等式整理后构造函数 ( ) = ( ) e + 22 满足 ′( ) > 0，得出 = ( )在(0, + ∞)上
单调递增，整理待求不等式，利用函数 = ( )的单调性即可求得.
【解答过程】由 ′( ) + > e 可得 ′( ) e + > 0 ( e +
1
，即 ( ) 2 ′2 ) > 0，
设 ( ) = 1( ) e + 22 ， ∈ (0, + ∞)，则由 ′( ) > 0可得， = ( )在(0, + ∞)上单调递增.
又 (1) = (1) e + 1 1 12 = e 2 e + 2 = 0，
由2e 2 ( ) > 2
1
可得， ( ) e + 2
2 < 0，即 ( ) < (1)，解得0 < < 1.
故选：A.
3．（23-24 高二下·福建福州·期中）下列函数在(0, + ∞)上单调递减的是（ ）
A． = e B． = e e
C． = sin D 1 ． =
【解题思路】根据导数判断 AC 的单调性，根据基本初等函数单调性判断 BD.
【解答过程】对 A， ′ = 1 e ，当 > 0时， ′ < 0，故函数在(0, + ∞)上单调递减，故 A 正确；
1
对 B， = e e 为R上的减函数，故 B 正确；
对 C， ′ = 1 cos ≥ 0，故函数在R上单调递增，故 C 错误；
对 D， = 1 1在(0, + ∞)上单调递减，故 D 正确.
故选：ABD.
4．（23-24 1高二下·四川泸州·期中）若函数 ( ) = ln 2
2 2 在[1,4]上存在单调递增区间，则实数 a 的取
7
值范围是 < 16 .
【解题思路】求导得 ′( ) = 1 ′ 2，转化为 ( ) > 0在[1,4]上有解，最后分离参数即可.
1 1
【解答过程】函数 ( ) = ln 2 2 ，则 ′2 ( ) = 2 ，
因为 ( )在[1,4]上存在单调递增区间，所以 ′( ) > 0在[1,4]上有解，
1 2
所以当 ∈ [1,4]时， < 2 有解，
1 2 1 1
令 ( ) = 2 ，而当 ∈ [1,4]时，令 = ∈ [4,1] ，
( ) = 1 2
2
即为 ( ) =
2 2 = ( 1)2 1，
( ) = (1) = 7 ( = 4) < 7此时 max 4 16 此时 ，所以 16，
< 7故答案为： 16.
2
5 ．（23-24 高二下·云南昭通·期中）已知函数 ( ) = e 33 2 2 + 1.
(1)当 = 0时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )在[0, + ∞)上单调递增，求 的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，求导得 ′( )，再由导数的几何意义代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得 ′( ) ≥ 0在区间[0, + ∞)上恒成立，然后分离参数，转化为函数最值问题，即可
求解.
2 1
【解答过程】（1）当 = 0时， ( ) = e 2 +1，则 (1) = e + 2，
又 ′( ) = e ，所以 ′(1) = e 1，
1
所以 = ( )在(1, (1))处的切线方程为 e + = (e 1)( 1)，
2
即2(e 1) 2 + 3 = 0.
（2）因为 ( )在[0, + ∞)上单调递增，
所以 ′( ) = e 2 2 ≥ 0在区间[0, + ∞)上恒成立，
e
所以 ≤ 2+2 ，min

= e = (e
1)( 2+2) (e ) 2
令 ( ) ′ 2+2，则 ( ) ( 2+2)2 ，
令 ( ) = (e 1)( 2 + 2) (e ) 2 ，则 ′( ) = 2e +2 ，
当 ≥ 0时， ′( ) ≥ 0, ( )单调递增， ( ) ≥ (0) = 0，
1 1所以 ′( ) ≥ 0，所以 ( )单调递增，所以 ( )min = (0) = 2，所以 ≤ 2，
所以 1的取值范围为 ∞, .
2
题型 5 函数的极值、最值问题（共 5 小题）
1．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）若函数 ( ) = ( + )2在 = 1处有极大值，则 = （ ）
A．1 或 3 B．3 C．1 D 3．2
【解题思路】根据在 = 1处的导数为 0 求得 c，然后验证函数 ( )是否在 = 1处取得极大值即可.
【解答过程】因为 ′( ) = ( + )2 +2 ( + ) = 3 2 +4 + 2 = (3 + )( + )
若函数 ( ) = ( + )2在 = 1处有极大值，
所以 ′( 1) = ( 3 + )( 1 + ) = 0，解得 = 3或 = 1，
当 = 3时， ′( ) = (3 + 3)( + 3)，
当 > 1或 < 3时， ′( ) > 0，当 3 < < 1时， ′( ) < 0，
则函数 ( )在 = 1处取得极小值（舍去）；
当 = 1时， ′( ) = (3 + 1)( + 1)，
当 > 13或 < 1时， ′( ) > 0，当 1 < <
1
3时， ′( ) < 0，
则函数 ( )在 = 1处取得极大值，综上， = 1.
故选：C.
2．（23-24 高二下·宁夏吴忠·期中）函数 ( ) = 3 + 2 +3 ，已知 ( )在 = 3时取得极值，则 ∈ [ 4, 1]
上的最大值为（ ）
A． 9 B．1 C．9 D．4
【解题思路】利用 ′( 3) = 0，求得 ，代入利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解函
数的最值.
【解答过程】因为函数 ( ) = 3 + 2 +3 ，
所以 ′( ) = 3 2 +2 + 3，
因为 ( )在 = 3时取得极值，
所以 ′( 3) = 3 × ( 3)2 +2 ( 3) +3 = 0，解得 = 5，
所以 ( ) = 3 +5 2 +3 ， ∈ [ 4, 1]，
′( ) = 3 2 +10 + 3 = (3 + 1)( + 3)，
令 ′( ) = 0
1
，则(3 + 1)( + 3) = 0，解得 = 3或 = 3（舍），
当 4 ≤ < 3时， ′( ) > 0，
当 3 ≤ ≤ 1时， ′( ) < 0，
所以 ( )在[ 4, 3)上单调递增，在[ 3, 1]上单调递减，
所以当 = 3时取得最大值为 ( 3) = ( 3)3 +5 × ( 3)2 +3 × ( 3) = 9.
故选：C.
3 1．（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期中）对于函数 ( ) = 3 +2 23 ，下列说法正确的是（ ）
A． ( )是增函数，无极值
B． ( )是减函数，无极值
C． ( )的单调递增区间为( ∞, 4),(0 + ∞)，单调递减区间为( 4,0)
D 32． (0) = 0是极小值， ( 4) = 3 是极大值
【解题思路】求出 ′( )，求出 ′( ) > 0的区间， ′( ) < 0的区间，求出 ( )的单调递增区间和单调递减区间，
判断 A、B 和 C 选项，求出 ( )的极小值和极大值，判断 D 选项.
【解答过程】 ∵ ( )定义域为 ， ′( ) = 2 +4 = ( + 4)，
∴ 当 ∈ ( ∞, 4) ∪ (0, + ∞)时， ′( ) > 0，当 ∈ ( 4,0)时， ′( ) < 0，
∴ ( )的单调递增区间为( ∞, 4),(0, + ∞)，单调递减区间为( 4,0)，AB 错误，C 正确；
∴ 32( )的极小值为 (0) = 0，极大值为 ( 4) = 3 ，D 正确.
故选：CD.
4．（23-24 2高二下·吉林·期中）若函数 ( ) = 33 +
2 +8 + 1在区间(1,3)上有极值，则 a 的取值范围为
( 5, 4) .
【解题思路】由函数有极值通过求导，得出导函数方程 ′( ) = 2 2 +2 + 8 = 0在区间(1,3)上有实根，继
续转化为函数 = 与 ( ) = + 4 在区间(1,3)上有交点，结合双勾函数的图象单调性即可求得
2
【解答过程】由 ( ) = 3 + 23 +8 + 1求导可得， ′( ) = 2
2 +2 + 8，
2
因函数 ( ) = 3 + 23 +8 + 1在区间(1,3)上有极值，
则方程 ′( ) = 2 2 +2 + 8 = 0在区间(1,3)上有实根，
故须使Δ = 4 2 64 > 0，（若Δ = 0，得 =± 4，此时 ′( ) ≥ 0，函数在(1,3)上无极值）
解得 < 4或 > 4
且方程 = + 4 在区间(1,3)上有实根，
也即函数 = 与 ( ) = + 4 在区间(1,3)上有交点.
4 13
因 ( ) = + 在(1,2)上递减，在(2,3)上递增，且 (1) = 5 > (3) = 3 ， (2) = 4，
故4 ≤ ( ) < 5，即4 ≤ < 5，解得 5 < ≤ 4，又 < 4或 > 4，
故 a 的取值范围为( 5, 4).
故答案为：( 5, 4).
5．（23-24 高二下·江苏常州·期中）已知函数 ( ) = 3 + 2 + 2，在 = 1时取得极小值 10.
(1)求函数 ( )的解析式;
(2)求函数 ( )在区间[ 1,3]上的最值.
【解题思路】（1）根据函数 ( )在 = 1处有极小值 10，列出方程组求解即可，注意需要验证；
（2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值.
【解答过程】（1）由 ( ) = 3 + 2 + 2，得 ′( ) = 3 2 +2 ，
因为函数 ( ) = 3 + 2 + 2 在 = 1 时取得极小值 10，
′(1) = 3 + 2 = 0 = 3 = 4
所以 (1) = 1 + + 2 = 10 ，解得 = 3 或 = 11 ，
= 3
当 2 2 = 3 时， ′( ) = 3 6 + 3 = 3( 1) ≥ 0，不符合题意；
= 4
当 时， ′( ) = 3 2 = 11 +8 11 = (3 + 11)( 1)，
< 11 > 1 ( ) > 0 11当 或 时， ′3 ，当 3 < < 1时， ′( ) < 0，
所以 = 1为函数的极小值点，所以符合题意，
所以 ( ) = 3 +4 2 11 + 16；
2 11 11（ ）由（1）可得当 < ′ ′3 或 > 1时， ( ) > 0，当 3 < < 1时， ( ) < 0，
所以 ( ) ∞, 11 11在 上单调递增，在 ,1 上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
3 3
又因为 ( 1) = 1 + 4 + 11 + 16 = 30， (1) = 10， (3) = 27 + 36 33 + 16 = 46，
所以 ( )max = (3) = 46， ( )min = (1) = 10.
题型 6 导数中的函数零点问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·四平面川向量凉线山性运·算期的坐中标）表示函数 = 3 + 14存在 3 个零点，则 的取值范围为（ ）
A．( ∞, 3 3 34) B．( 4,4)
C 3．(4, + ∞) D [
3
． 4, + ∞)
【解题思路】利用导数求出函数的极值，再借助三次函数的性质列出不等式组求解即得.
1
【解答过程】函数 = 3 + 4，求导得 ′ = 3
2 ，
当 ≤ 0时， ′ ≥ 0，函数 = 3 + 14在 R 上单调递增，该函数最多一个零点；
> 0 当 时，由3 2 > 0，得 < 或 > ，由3 2 < 0，得 < < ，
3 3 3 3
= 3 + 1 ( ∞, ),( , + ∞) ( , 则函数 4在 上单调递增，在 )上单调递减，3 3 3 3
1 2 1
当 = 时，函数 = 3 + 4取得极大值 3 + 4 > 0，3 3
= 当 时，函数 = 3 + 1取得极小值 2 + 1，
3 4 3 3 4
函数 = 3 + 1 3 2 14存在 个零点，当且仅当 3 + 4 < 0，解得 >
3
4，3
3
所以 的取值范围为(4, + ∞).
故选：C.

2 e , ≥ 1．（23-24 高二下·湖南益阳·期中）已知函数 （ ） = ln（ ）, < 1 ， （ ） = （ ） + ，若 （
）存在 3 个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A． 1, 1 + 1 B． 1, 1 + 1 C 1． 1, 1 D 1． 1, 1
e e e e
【解题思路】根据题意，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，然后结合函数图像，代入计算，即可
求解.
【解答过程】
令 （ ） = （ ） + = 0，即 （ ） = ，
则函数 （ ）的零点个数即为函数 （ ）与函数 = 交点的个数，
做出函数 （ ）与函数 = 的图像，如图所示，
当直线 = 与曲线 = e 相切时，
又当 ≥ 1时， = e ，则 ′ = e ，则e = 1，则 = 0，即且点为（0,1），此时 = 1，
因为 （ ）存在 3 个零点，即函数 （ ）与函数 = 的图像有 3 个交点，
< 1
所以 1 > 0 1，解得 1
1 ≤ 1 e
≤ < 1，
e
1
所以 a 的取值范围是 1, 1 .
e
故选：D.
3．（23-24 高二下·山东临沂·期中）已知函数 ( ) = ln(1 + )，则（ ）
A． ( )在(0, + ∞)上单调递增 B． ( )有两个零点
C． 1( )是奇函数 D．曲线 = ( )在点(1,ln2)处的切线斜率为2 + ln2
【解题思路】首先求函数的导数，并判断函数的单调性，极值，即可判断 AB，根据函数的定义域，结合奇
函数的性质，即可判断 C，利用导数的几何意义，即可判断 D.

【解答过程】A. ′( ) = ln( + 1) + 1+ > 0在区间(0, + ∞)恒成立，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，故 A 正
确；

B. ′( ) = ln( + 1) + 1+ = 0，得 = 0，当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 1 < < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减，所以当 = 0时， ( )取得最小值0，
所以 ( )有 1 个零点，故 B 错误；
C.函数 ( )的定义域是( 1, + ∞)，所以不是奇函数，故 C 错误；
D. 1 1′(1) = 2 + ln2，所以曲线 = ( )在点(1,ln2)处的切线斜率为2 + ln2，故 D 正确.
故选：AD.
4．（23-24 1高二下·四川雅安·期中）函数 ( ) = ln 3 的零点个数为 2 .
【解题思路】利用导数判断函数的单调性，再结合函数零点存在性定理，即可求解.
1 1 3
【解答过程】 ′( ) = 3 = 3 ， > 0，
当 ∈ (0,3)， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ (3, + ∞)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以当 = 3时，函数 ( )取得最大值 (3) = ln3 1 > 0，
∵ 1(1) = 3 < 0，所以 ( )在(1,3)上有 1 个零点，
2
又 (e2) = 2 e3 < 0，所以 ( )在(3,e
2)上有 1 个零点，
所以函数 ( )的零点个数为 2.
故答案为：2.
5．（23-24 高二下·河北邢台·期中）已知函数 ( ) = + ln 1.
(1)讨论 ( )的单调性；
(2) = 2 ( )已知函数 ( ) 有两个零点，求实数 的取值范围.
【解题思路】（1）对 ( )求导，再对 分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解单调性；
（2）对 ( )求导，利用导数判断函数 ( )的单调性，求出 ( )的最小值，结合零点个数即可求解 的取值
范围.
【解答过程】（1） ( )的定义域为(0, + ∞)，
= + 1 = +1′( ) .
若 ≥ 0，则 = +1′( ) > 0恒成立， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
< 0 0 < < 1若 ，则当 时， ′( ) > 0，即 ( )
1
在 0, 上单调递增；

当 > 1 ′ 时， ( ) < 0，即 ( )在
1 , + ∞ 上单调递减；

综上所述，当 ≥ 0时， ( )在 0， + ∞ 上单调递增，
1 1
当 < 0时， ( )在 0, 上单调递增，在 , + ∞ 上单调递减；

（2） ( ) = 2
( ) = 2 + 1 ln ，
2+ln 2( 3
则 ′( ) = 2 + 1)+ln 2 = 2 ，
又因为函数 ( ) = 2( 3 1) + ln 单调递增，且 (1) = 0，
所以当 > 1时， ′( ) > 0，当0 < < 1时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在[1, + ∞)上单调递增.
当 (1) = 2 < 0，即 > 2时， 1 =
1
2 +
1
(1 + ln ) =
2
+ ln > 0，
1 ln
2
( ) = 2 + >
2 + 1 ( 1) > 2
1 = ( 1) ( +1) > 0，
( ) 1所以 在 ,1 和(1, )上各有一个零点.

当 ≤ 2时， ( )的最小值为 (1)，且 (1) = 2 ≥ 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上至多只有一个零点.
综上，实数 的取值范围是(2, + ∞).
题型 7 导数中的恒（能）成立问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1 23-24 · 平面向量线性运·算的坐标表示 ∈ (0,1),ln +2 ．（ 高二下 河南安阳 期中）若对任意 < e +2 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A．[ 12,
1
2] B．[0, + ∞) C．[ 1, + ∞) D
1
．[ 2, + ∞)
【解题思路】根据给定的不等式，利用同构的思想，并按 ≥ 0, < 0分类讨论，构造函数，利用导数探讨单
调性转化为恒成立的不等式求解.
ln < +2 ln < +2 ∈ (0,1) ln +2 【解答过程】由 e +2 ，得eln e +2 ，当 时，eln < 0，当 ≥ 0时，e +2 > 0，
ln < +2
1
不等式 恒成立，当 < 0时，令函数 ( ) = e ，求导得 ′eln e +2 ( ) = e ，
当 < 1时， ′( ) > 0，函数 ( )在( ∞,1)上单调递增，而当 ∈ (0,1)时，ln < 0, + 2 < 1，
ln < +2 不等式eln e +2 ，即 (ln ) < ( + 2 )，于是ln < + 2 2 > ln ，
因此 ∈ (0,1)，2 > ln 恒成立，令 ( ) = ln ,0 < < 1，求导得 ′( ) = 1 1 > 0，
则函数 ( )在(0,1)上单调递增， ( ) < (1) = 1，于是2 ≥ 1 1，则 2 ≤ < 0，
所以实数 1的取值范围是 ≥ 2.
故选：D.
2．（23-24 高二下·新疆·期中）已知 > 1，存在唯一的整数 0，使得( 1)e2 0 0 + 0 2 < 0成立，则
的取值范围是（ ）
A 2． B．
2 ,1 1,
2
3e 3e2
C 2 1 D 1． ．
2 , ,
2
3e 2 2 3e2
【解题思路】设 ( ) = ( 1)e2 ， = ( 2)，依题意函数 ( )在直线 = ( 2)下方的图象有且只有
一个点的横坐标为整数，利用导数说明函数的单调性，画出 ( )的图象，由 = ( 2)过定点 (2,0)，再
数形结合即可求出参数 的取值范围.
【解答过程】设 ( ) = ( 1)e2 ， = ( 2)，
由题意可知函数 ( )在直线 = ( 2)下方的图象有且只有一个点的横坐标为整数，
因为 ( ) = ( 1)e2 ，所以 ′( ) = (2 1)e2 ，
由 1 1′( ) > 0，解得 > ′2，由 ( ) < 0，解得 < 2，
则 ( ) 1在 , + ∞ 1上单调递增，在 ∞, 上单调递减；
2 2
又 (0) = 1， ( 1) = 2e 2， (1) = 0，即 ( )过点 (0, 1)， ( 1, 2e 2)，
且当 < 1时 ( ) < 0，当 > 1时 ( ) > 0；
如图，作出 ( )的大致图象如下所示：
因为直线 = ( 2)过定点 (2,0)，且当 = 1时 = ，
2 1 1 2
所以 ≤ < ，即3e2 ≤ < 2，故 2 < ≤ 3e2，
即 1的取值范围是 , 2 ．
2 3e2
故选：D.
3．（23-24 高二下·河南洛阳·期中）已知ln e = 0，则使2 2 > 0恒成立的 值可以是（ ）
A 1． 2 B．2 C．4 D．5
【解题思路】由已知结合常见不等式e ≥ + 1，ln ≤ 1,，对ln e = 0进行不等式放缩，求解出 的范
围即可求解．
【解答过程】设 ( ) = e 1，则 ′( ) = e 1，
当 > 0时， ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 < 0时， ′( ) < 0， ( )在( ∞,0)上单调递减，
故 ( ) ≥ (0) = 0，即e ≥ + 1，
设 ( ) = ln + 1,，
1
则当 > 1时 ′( ) = 1 < 0, ( )在(1, + ∞)上单调递减，
当0 < < 1时， ′( ) > 0, ( )在(0,1)上单调递增，
故当 ( ) ≤ (1) = 0，故ln ≤ 1,
因为ln e = 0，
所以0 = ln e ≤ 1 ( + 1) = 2，但显然等号无法同时取得，
所以 > 2，即2 2 > 4，
又 < 2 2 恒成立，
所以 ≤ 4．
故选：ABC．
4．（23-24 高二下·四川南充·期中）已知函数 ( ) = 2 e ，若存在 0 ∈ [1,3]，使 ( 0) ≥ 0，则实数 的
2
取值范围是 e , + ∞ .
4
e 0 e
【解题思路】问题等价于存在 0 ∈ [1,3]，使 ≥ 2 ，令 ( ) = 2，求出 ( )在[1,3]上的最小值即可.0
【解答过程】函数 ( ) = 2 e ，若存在 0 ∈ [1,3]，使 ( 0) = 20 e 0 ≥ 0，
e 0
即存在 0 ∈ [1,3]，使 ≥ 2 ，0

令 ( ) = e e ( 2)′ 2， ∈ [1,3]，则 ( ) = 3 ，
当1 ≤ < 2， ′( ) < 0；当2 < ≤ 3， ′( ) > 0，
2
则有 ( )在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， ( )min = (2) =
e
4，
e 0 2
存在 0 ∈ [1,3]，使 ≥
e
2 ，则 ≥ ，0 4
e2所以实数 的取值范围为 , + ∞ .
4
2
故答案为： e , + ∞ .
4
5 1．（23-24 高二下·山东临沂·期中）已知函数 ( ) = + 2 e ， ( ) = ln( + 1) +1 +1
(1)当 = 0时，讨论 ( )的单调性；
(2)若任意 1， 2 ∈ [0, + ∞)，都有 ( 1) +1 ≤ ( 2)恒成立，求实数 的取值范围.
【解题思路】（1）利用二次导数判断函数的单调性；
（2）首先由单调性判断函数 ( )的最小值，转化为 ( 1) +1 ≤ 0，再利用参变分离，转化为求函数的最值，
即可求解.
【解答过程】（1）当 = 0时， ( ) = 2 e ，定义域为R，
则 ′( ) = 2 e ，
令 ( ) = 2 e ，则 ′( ) = 2 e ，
令 ′( ) > 0，解得 < ln2，
′( ) < 0，解得 > ln2.
∴函数 ( )在( ∞,ln2)上单调递增，在(ln2, + ∞)上单调递减，
∴当 = ln2时，函数 ( )取得最大值，
∴ ( ) ≤ (ln2) = 2ln2 2 = 2(ln2 1) < 0，
∴ ′( ) < 0，
∴函数 ( )在R上单调递减.
1
（2）易知 ( ) = ln( + 1) +1 +1在[0, + ∞)上单调递增
∴任意 2 ∈ [0, + ∞)，都有 ( 2) ≥ (0) = 0，
∵任意 1， 2 ∈ [0, + ∞)，都有 ( 1) +1 ≤ ( 2)恒成立
∴ + 2 e +1 ≤ 0在[0, + ∞)上恒成立，
当 = 0时，不等式可化为0 ≤ 0，恒成立，
2
当 > 0 ≤ e 1时， ， ∈ (0, + ∞)
2
令 ( ) = e 1 ， ∈ (0, + ∞)，
2
则 ′( ) = (e 2 ) (e 1) ( 1)(e 1) 2 = 2 ，
∵当 > 0时，e > + 1，即e 1 > 0，
∴当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
∴当 = 1时，函数 ( )取得最小值 (1) = e 2，∴ ≤ e 2，
综上，实数 的取值范围是( ∞,e 2].
题型 8 两个计数原理综合（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·河平面南向量洛线阳性运·算期的中坐标）表示用 0，1，2，3，4 这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共
有（ ）
A．48 个 B．24 个 C．18 个 D．12 个
【解题思路】根据题意，依次分析三位数的个位、百位、十位数字的情况，由分步计数原理计算可得答案．
【解答过程】根据题意，三位数的个位数字必须为 1 或 3，有 2 种情况，
百位数字不能为 0，有 3 种情况，
十位数字在剩下的 3 个数字任选 1 个，有 3 种情况，
则共有2 × 3 × 3 = 18种情况，即有 18 个符合题意的三位奇数．
故选：C．
2．（23-24 高二下·贵州·期中）高二某班级 4 名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中
甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（ ）
A．54 B．12 C．8 D．81
【解题思路】直接由分步计数原理求解即可．
【解答过程】由甲同学不能报名足球，可得甲有 2 种报名方式，
乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，
可得乙有 3 种报名方式，丙有 2 种报名方式，丁只有 1 种报名方式，
共分步计数原理可得共有2 × 3 × 2 × 1 = 12种．
故选：B．
3．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）下列正确的是（ ）
A．由数字 1，2，3，4 能够组成 24 个没有重复数字的三位数
B．由数字 1，2，3，4，能够组成 16 个没有重复数字的三位偶数
C．由数字 1，2，3，4 能够组成 64 个三位密码
D．由数字 1，2，3，4 能够组成 28 个比 320 大的三位数
【解题思路】利用分步计数原理结合排列组合数进行计算即可．
【解答过程】由数字 1，2，3，4 能够组成没有重复数字的三位数有A34 = 24个，故 A 正确；
若三个数是偶数，则个位可以是 2，4，则共有没有重复数字有C12A23 = 12个，故 B 错误；
数字 1，2，3，4 能够组成三位密码有4 × 4 × 4 = 64个，故 C 正确；
若三位数比 320 大，则百位是 4 时，有4 × 4 = 16个，
若百位是 3，则十位可以是 2，3，4 时，个位可以是 1，2，3，4，共有3 × 4 = 12个，则比 320 大的三位数
有12 + 16 = 28个，故 D 正确．
故选：ACD．
4．（23-24 高二下·天津红桥·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动
物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位
同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果
让三位同学选取礼物都满意，则选法有 50 种．
【解题思路】分甲选龙和甲不选龙两种情况，结合分步计数原理，即可求解.
【解答过程】第一种情况是甲选龙，乙只能选马，丙有 10 种方法，
第二种情况是甲选牛或马，甲有 2 种方法，乙也有 2 种方法，那么丙有 10 种方法，则共有2 × 2 × 10 = 40
种方法，
所以共有10 + 40 = 50种方法.
故答案为：50.
5．（23-24 高二下·四川眉山·期中）已知 0， 1， 2， 3， 4， 5 这六个数字．
(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？
(3)可以组成多少个无重复数字的小于 1 000 的自然数？
(4)可以组成多少个无重复数字的大于 3 000 且小于 5 421 的四位数？
【解题思路】（1）（2）根据分步乘法计数原理，即可分别求解百位，十位以及个数的选择相乘求解，
（3）（4）根据分类加法计数原理，结合分步乘法即可求解.
【解答过程】（1）分 3 步: ①先选百位数字有 5 种选法；②十位数字有 5 种选法；
③个位数字有 4 种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有5 × 5 × 4 = 100个
（2）分 3 步：
①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有 3 种选法；
②再选百位数字有 4 种选法；
③十位数字也有 4 种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有3 × 4 × 4 = 48个.
（3）分 3 类：
①一位数，共有 6 个；
②两位数，先选十位数字，有5种选法；再选个位数字也有5种选法，共有5 × 5 = 25个；
③三位数，先选百位数字，有5种选法；再选十位数字也有5种选法；再选个位数字，有4种选法，共有
5 × 5 × 4 = 100个；
因此，比 1 000 小的自然数共有6 + 25 + 100 = 131个．
（4）分 4 类：
①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2 × 5 × 4 × 3 = 120个；
②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4 × 4 × 3 = 48个；
③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2 × 3 = 6个；
④5420也满足条件；
故所求四位数共有120 + 48 + 6 + 1 = 175个.
题型 9 排列数、组合数的计算（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·黑平面龙向量江线哈性运尔算的滨坐标·期表示中）C34 + C35 + C3 + C36 7 = （ ）
A．84 B．83 C．70 D．69
【解题思路】根据组合数的性质来求得正确答案.
【解答过程】C3 + C3 + C3 + C3 = C4 + C3 + C34 5 6 7 4 4 5 + C36 + C37 1
= C45 + C3 35 + C6 + C37 1 = C46 + C3 36 + C7 1
= C4 + C3 1 = C4 1 = 8×7×6×57 7 8 4×3×2×1 1 = 69.
故选：D.
2．（23-24 高二下·河南·期中）若C = C2 +1( ∈ N )，则A 13 13 5 = （ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
【解题思路】根据组合数的性质求出 ，再根据排列数公式计算可得.
【解答过程】因为C = C2 +1 13 13 ( ∈ N )，所以 = 2 + 1或 + 2 + 1 = 13，
解得 = 1（舍去）或 = 4，
所以A 5 = A45 = 5 × 4 × 3 × 2 = 120.
故选：D.
3．（23-24 高二下·浙江·期中）下列等式正确的是（ ）
A．A = A 1 B．C = +1 C +1 1 +1 +1
C A +1 A = 2A 1 D ( +1)!
!
= ( +1) !． +1 1 ． ! ( 1)! ! ( ≤ )
【解题思路】根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合可得答案.
【解答过程】根据题意，依次分析选项:
! ( 1)!对于 A，A = ( )! = ×
1
[( 1) ( 1)]! = A 1 ，故 A 正确；
! +1 ( +1)!对于 B，C = = × = +1 +1 !×( )! +1 ( +1)!×( )! +1 C +1 ，故 B 错误；
对于 C，A +1 +1 A = ( + 1) × A 1 × A 1 2 1 1 1 = A 1，故 C 正确；
D ( +1)!
!
= ( +1)× ! × ! = ( +1) !对于 ， ! ( 1)! ! ! ( ≤ )，故 D 正确；
故选：ACD.
4．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）已知C 1 = C2 +216 16 ，则 = 5 ．
【解题思路】根据组合性质即可求解.
【解答过程】根据题意C 116 = C2 +216 ，
0 ≤ 1 ≤ 16
则 0 ≤ 2 + 2 ≤ 16 ( ∈ Z)解之得1 ≤ ≤ 7，
又 1 = 2 + 2或者 1 + 2 + 2 = 16，
解之 = 3（舍）或 = 5.
故答案为：5.
5．（23-24 高二下·四川雅安·期中）（1）解方程：A3 2 = 16C .
（2）计算：C44 + C4 4 45 + C6 + + C9.
（3）解不等式A 27 < 12A7 ( 3).
【解题思路】（1）根据排列数公式计算可得答案；
（2）根据组合数公式计算可得答案；
（3）根据排列数公式计算可得答案；.
( 1)
【解答过程】（1）因为A3 = 16C2 ，所以 ( 1)( 2) = 16 × 2 .
又因为 ≥ 3，所以 2 = 8，解得 = 10；
（2）因为C 1 1 + C 1 = C ，
所以C44 + C45 + C46 + + C49
= C55 + C45 + C46 + + C4 59 = C6 + C46 + + C49 = = C510 = 252；
（3）因为A
7! 7!
7 < 12A 27 ( ≥ 3)，所以(7 )! < 12 × (9 )(8 )(7 )!.
因为3 ≤ ≤ 7，所以(9 )(8 ) < 12，
即 2 17 + 60 < 0，解得5 < < 12，
所以5 < ≤ 7，又 ∈ *，所以 = 6或 = 7.
题型 10 涂色问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·江平面苏向量盐线城性运·算期的中坐标）表示用 4 种不同的颜色给如图所示的 4 块区域上色，要求相邻 2 块涂不同的
颜色，问有（ ）种不同的涂法？
A．24 B．48 C．96 D．120
【解题思路】首先涂 ，再涂 ，第三步涂 ，最后涂 ，按照 分步乘法计数原理计算可得.
【解答过程】首先给 涂色有4种涂法，再涂 有3种涂法，第三步涂 有2种涂法，
最后涂 有2种涂法，
按照分步乘法计数原理可知一共有4 × 3 × 2 × 2 = 48种涂法.
故选：B.
2．（23-24 高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用 5 种颜色给这五个行政
区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．420 种 B．360 种 C．540 种 D．300 种
【解题思路】先分类，再分步进行.先分颜色种类为 3,4,5，再分步计算.
【解答过程】选用三种颜色时，必须 1,5 同色，2，4 同色，此时有C35A33 = 60种；
选用四种颜色时，必须 1,5 同色或 2，4 同色，此时有C45C12A44 = 240种；
选用五种颜色时，有A55 = 120种，
所以一共有60 + 240 + 120 = 420种，
故选：A.
3．（23-24 高二上·甘肃白银·期末）用 种不同的颜色涂图中的矩形 , , , ，要求相邻的矩形涂色不同，不
同的涂色方法总种数记为 ( )，则（ ）
A． (3) = 12 B． (4) = 36
C． (5) = 120 D． (6) = 600
【解题思路】利用分类计数原理即可得解.
【解答过程】当 = 3时，分四步：
第一步，涂 处，有 3 种涂色方案；第二步，涂 处，有 2 种涂色方案；
第三步，涂 处，有 2 种涂色方案；第四步，涂 处，有 1 种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为3 × 2 × 2 × 1 = 12，所以 (3) = 12，故 A 正确；
当 = 4时，分四步：
第一步，涂 处，有 4 种涂色方案；第二步，涂 处，有 3 种涂色方案；
第三步，涂 处，有 3 种涂色方案；第四步，涂 处，有 2 种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为4 × 3 × 3 × 2 = 72，所以 (4) = 72，故 B 错误；
当 = 5时，分四步：
第一步，涂 处，有 5 种涂色方案；第二步，涂 处，有 4 种涂色方案；
第三步，涂 处，有 4 种涂色方案；第四步，涂 处，有 3 种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为5 × 4 × 4 × 3 = 240，所以 (5) = 240，故 C 错误；
当 = 6时，分四步：
第一步，涂 处，有 6 种涂色方案；第二步，涂 处，有 5 种涂色方案；
第三步，涂 处，有 5 种涂色方案；第四步，涂 处，有 4 种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为6 × 5 × 5 × 4 = 600，所以 (6) = 600，故 D 正确.
故选：AD.
4．（23-24 高二下·内蒙古·期末）用 4 种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，
有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有 72 种.
【解题思路】先对 1，2，3 三个区域涂色，再讨论 1 和 5 区域是否同色，结合排列数分析求解.
【解答过程】先对 1，2，3 三个区域涂色，有A34种涂法，
当 1 和 5 区域同色时，有A34 × 2 = 48种涂法；
当 1 和 5 区域不同色时，有A34 × 1 × 1 = 24种涂法；
综上所述：共有48 + 24 = 72种涂法.
故答案为：72.
5．（23-24 高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 种颜色对某市的如图的四个
区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？
【解题思路】依题意可得Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用 3 种颜色，也可用 4 种颜色，利用分类加法
计数原理计算可得.
【解答过程】由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用 3 种颜色，也可用 4 种颜色，
用 3 种颜色涂色，即Ⅰ与Ⅳ同色，有A37种方法，
用 4 种颜色涂有A47种方法，
所以不同的涂色方法种数是A37 + A47 = 210 + 840 = 1050.
题型 11 相邻、不相邻排列问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·江平面苏向量南线通性运·算期的中坐标）表示某校表彰大会，共表彰 6 人，每个年级两人，6 人排成一排拍照留念，
则高一两名学生相邻，高二两名学生不相邻的排法有（ ）种.
A．72 B．144 C．240 D．288
【解题思路】由捆绑法、插空法以及分步乘法计数原理即可求解.
【解答过程】由题意先将高一两名学生捆绑起来作为一个整体，再和高三的两名学生进行全排列共有A2 32A3
= 12，
此时已经形成了四个空，再将高二的两名学生插进去有A24 = 12，
所以满足题意的排法有12 × 12 = 144种.
故选：B.
2．（23-24 高二下·福建南平·期中）某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段
“人物”更新了 2 篇文章，“视听学习”更新了 4 个视频．一位学习者准备从更新的这 6 项内容中随机选取 3 个
视频和 2 篇文章进行学习，则这 2 篇文章学习顺序相邻的学法有（ ）
A．192 种 B．168 种 C．72 种 D．144 种
【解题思路】相邻问题用“捆绑法”，结合排列组合的知识求解即可.
【解答过程】根据题意，分两步进行分析：
第一步，先从 4 个视频中选 3 个，有C34种方法；2 篇文章全选，有C22种方法；
第二步，2 篇文章要相邻，则可以先“捆绑”看成一个元素，内部排列，有A22种方法；
第三步，将“捆绑”元素与 3 个视频进行全排列，有A44种方法.
故满足题意的学法有C34C22A2 42A4 = 192种.
故选：A.
3．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊 5 道不同的工序，现将 5 道
工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是（ ）
A．如果甲工序不能放在第一，共有 96 种加工顺序
B．如果甲、乙两道工序必须相邻，共有 12 种加工顺序
C．如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有 72 种加工顺序
D．如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有 40 种加工顺序
【解题思路】对 A：根据分步计数原理，先安排特殊的工序，再安排其它工序即可；对 B：采用捆绑法，再
根据分步计数原理即可求得结果；对 C：采用插空法，再根据分步计数原理即可求得结果.对 D，采用倍缩
法.
【解答过程】对于 A，假设甲工序不能放在第一，，则甲有 4 种安排方式，根据分步计数原理，
所有的安排顺序有：C1 A44 4 = 4 × 4 × 3 × 2 × 1 = 96种，故 A 正确；
对于 B，甲乙工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余 3 道工序放在一起排序，
则共有A22 A44 = 2 × 4 × 3 × 2 × 1 = 48种加工顺序，故 B 错误；
对于 C，假设甲丙工序不能相邻，则先安排剩余 3 道工序，在形成的 4 个空中，
安排甲丙，故共有：A3 A23 4 = 3 × 2 × 1 × 4 × 3 = 72种加工顺序，故 C 正确；
对于 D，现将 5 道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的顺序，
A5
故共有 5
5×4×3×2×1
A2= 2×1 =60，故 D 错误.2
故选：AC.
4．（23-24 高二下·贵州·期中）2024 年 3 月 5 日至 11 日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.
此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起
扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的 10 位党员开展“学习贯彻 2024 年
全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有
43200 种（用数字作答）.
【解题思路】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，甲和丙不能相邻，采用插空法，结合圆排列，再根据分步乘
法原理计算即可.
【解答过程】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他 6 人排成一圈，共有
2 A7A2 7 = 14407 种排列.
甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他 6 人排成一圈后形成 7 个空，但甲与丙丁
不能相邻，故丙丁只有 6 个空位可选，有A26 = 30种选择，
根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为30 × 1440 = 43200.
故答案为：43200.
5．（23-24 高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过 6 道工序．
(1)若其中某 2 道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序
(2)若其中某 3 道工序必须相邻．问有多少种加工顺序
(3)若其中某 3 道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序
【解题思路】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得.
（2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得.
（3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得.
【解答过程】（1）先从另外 4 道工序中任选 2 道工序放在最前面与最后面，有A24 = 12种不同的排法，
再将其余的 4 道工序全排列，有A44 = 24种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有12 × 24 = 288种加工顺序．
（2）先排这 3 道工序，有A33 = 6种不同的排法，
再将它们看作一个整体，与其余的 3 道工序全排列，有A44 = 24种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有6 × 24 = 144种加工顺序.
（3）先排其余的 3 道工序，有A33 = 6种不同的排法，有 4 个空档，
再将这 3 道工序插入空档，有A34 = 24种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有6 × 24 = 144种加工顺序.
题型 12 分组分配问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·新平面疆向量乌线鲁性运木算的齐坐标·期表示中）将 5 名大学生分配到 3 个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同
分配方案有（ ）
A．240 种 B．150 种 C．60 种 D．180 种
【解题思路】根据题意要求，有“2:2:1”或“3:1:1”两种分配方案，因分配时出现部分平均分组，应在方法数
上除以相同数目组数的阶乘.
【解答过程】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“2:2:1”或“3:1:1”两种分配方案.
C2C2 1
按照“2:2:1” C分配时，有 5 3 1 A3A2 3 = 90种方法；2
C3C1C1
按照“3:1:1”分配时，有 5 2 1 A3A2 3 = 60种方法.2
由分类加法计数原理，可得不同分配方案有90 + 60 = 150种.
故选：B.
2．（23-24 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某公司清明有三天假期，现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 人值班，
每人只值班 1 天，每天至少有 1 人值班，且甲、乙不在同一天值班，则不同的值班安排共有（ ）
A．72 种 B．114 种 C．120 种 D．144 种
【解题思路】由题意问题可分为不考虑甲、乙是否在同一天值班和甲、乙在同一天值班两种情况，，两种
情况分别用分组分配方法求解即可.
【解答过程】不考虑甲乙是否同一天加班的特殊情况，5 位员工安排在 3 天加班，
可分为2 + 2 + 1与3 + 1 + 1两种情况，
2 2 3 1
①2 + 2 + 1 C5C： 3A3 = 90；②3 + 1 + 1 C： 5C2A3A2 3 2 3 = 60，共有 150 种情况．2 A2
若甲、乙在同一天加班，分他们都在 2 人组和都在 3 人组两种情况，
1 1
①都在 2 人组：C23 × A33 = 18；②都在 3
C
人组： 3
C2
A2 A
3
3 = 18，
2
考虑两人的特殊要求之后，共有150 18 18 = 114（种）不同的值班安排方法．
故选：B.
3．（23-24 高二下·吉林·期中）下列说法正确的为（ ）
A．6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有C26C24C22种不同的分法；
B．6 本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 540 种不同的分法；
C．6 本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有 10 种不同的分法；
D．6 本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有C16C2 35C3种不同的分法．
【解题思路】用分步乘法原理判断 AB，用隔板法判断 C，先组合再排列判断 D.
【解答过程】对于 A，6 本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给乙，
最后2本给丙，共有C2C26 4C22种不同的分法，故 A 正确；
对于 B，6 本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 1 种不同的分法，故 B 错误；
对于 C，6 本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法C25 = 10种，故 C 正确；
对于 D，6 本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2作为一组，
最后3本2作为一组，共有C16C25C33 = 60种，再将3分给甲、乙、丙三人，
共有C1 2 3 36C5C3A3 = 360种，故 D 错误；
故选：AC.
4．（23-24 高二下·安徽安庆·期中）某校的 4 名体育教师对足球、篮球、羽毛球 3 个运动兴趣小组进行指导，
要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有 36 种．
【解题思路】先将教师分成 3 组，再进行全排列即可得解.
【解答过程】先将 4 名教师分成 3 组的方法有C24 = 6种，
将 3 组教师分配指导 3 个运动兴趣小组的方法有A33 = 6种，
所以总的分派方法共有6 × 6 = 36种.
故答案为：36.
5．（23-24 高二下·四川凉山·期中）现有 5 名实习生通过了实习考核，将他们分配到 4 个岗位，每个人只能
去一个岗位．
(1)不同的分配方案共有多少种
(2)若每个岗位至少分配一名实习生，则不同的分配方案有多少种
【解题思路】（1）借助分步乘法计数原理计算即可得；
（2）先分组后分配即可得.
【解答过程】（1）5 名实习生都有 4 种选择，4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024，故不同的分配方案共有1024种；
（2）先将 5 名实习生分成 4 组，共有C25种分法，
再将 4 组实习生分配到 4 个岗位，共有A44种分法，
故共有C2 45A4 = 240种不同的分配方案.
题型 13 求二项展开式的特定项（系数）（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
7
1．（23-24 2高二下·安徽阜阳·期中） 3 的展开式中的常数项为（ ）
A．14 B．12 C．7 D． 14
【解题思路】根据二项式写出通项，然后令 的次数等于零得到 ，即可得到常数项.
2 7 2 7 7
【解答过程】 3 的展开式中的通项

+1 = C7 3 ( ) = C727 ( 1)
21
2
，
7 7
令2 21 = 0
2
，得 = 6，所以 3 的展开式中的常数项为C
6
7 × 2 × ( 1)6 = 14 .
故选：A.
6
2．（23-24 2高二下·浙江·期中）在 2 的展开式中，第四项为（ ）
A．240 B． 240 C．160 3 D． 160 3
【解题思路】根据二项展开式的通项公式可得 +1 = ( 2) C 6 12 3 ，令 = 3计算即可求解.
2 6 2
【解答过程】由题意知，( 2 ) 展开式的通项公式为 = C
( 2)6 ( ) = ( 2) C 12 3 +1 6 6 ，
令 = 3，得 3+1 = ( 2)3C3 12 3×3 36 = 160 ，
即第四项为 160 3.
故选：D.
7
3．（23-24 2高二下·湖北武汉·期中） 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共 7 项 B．x 项系数为－280
C．所有项的系数之和为 1 D．所有项的二项式系数之和为 128
【解题思路】A 选项，根据二项式展开式的特点判断；B 选项，写出通项，然后利用通项求 项系数；C 选
项，利用赋值法求所有项的系数和；D 选项，根据所有项的二项式系数之和的公式计算.
【解答过程】由题意得展开式共 8 项，故 A 错；
2
通项为 7 +1 = C7 = C7( 2) 7 2 ，令7 2 = 1，解得 = 3，
所以 项系数为C37( 2)3 = 280，故 B 正确；
2 7 7
令 中 = 1 1 2 = 1 得 1 ，
所以所有项的系数之和为 1，故 C 错；
所有项的二项式系数和为27 = 128，故 D 正确.
故选：BD.
2 204．（23-24 高二下·河北石家庄·期中）在二项式 的展开式中，常数项是第 11 项．
【解题思路】求出通项，找到常数项，然后确定第几项即可.
2 20 2
【解答过程】 的通项公式为 +1 = C 20 20 = ( 2) C 20 2 20 ，
常数项时20 2 = 0，则 = 10，
所以常数项是第 11 项，
故答案为：11.

5．（23-24 高二下· 1 1黑龙江齐齐哈尔·期中）已知 3 ( ∈ *)的展开式中所有项的系数之和为2 256.
(1)求展开式中 1的系数；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【解题思路】（1）令 = 1，解得 = 8，再由通项公式求解；
（2）展开式中二项式系数最大的项是第 5 项，即可求解．
1 = 1 1 1
1
【解答过程】（ ）解：令 ，得 =
2×3 1 256
，解得 = 8.
5
8 1 +1 = C8( ) = ( 1) C
1
8
4
6
23 2
，
令4 56 = 1，解得 = 6，
1 6 1 7
所以展开式中 1的系数为( 1)6C68 = 28 × =2 64 16；
（2）展开式中二项式系数最大的项是第 5 项，
4 5 2 2
所以 4+1 = ( 1)4C4
1
8
4 ×4 = 35 356 3 3
2 8
，即展开式中二项式系数最大的项是 8 .
题型 14 用赋值法求系数和问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示

1．（23-24 高二下·湖平面南向量常线德性运·算期的中坐标）表示已知(4 3)2021 = 0 + 1 + + 2021
1 2 3 2021
2021 ，则 4 + 42 + 43 + + 42021
= （ ）
A．32021 22021 B． 1 C．22021 32021 D．1
【解题思路】由赋值法求解即可.
【解答过程】令 = 0，则 32021 = 0①，
令 = 1，则 22021

= + 1

+ 2

4 0 4 42 +
3
43 +…… +
2021
42021②，

② ① 1 2 3 2021减 可得： 4 + 42 + 43 +…… + 42021= 2
2021 ( 32021) = 22021 + 32021.
故选：A.
2．（23-24 高二下·河北石家庄·期中）已知(1 2 )7 = 0 + 1 + 22 + + 77 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． 0 = 1 B． 3 = 280
C． 1 + 2 +… + 7 = 2 D． 1 +2 2 +… + 7 7 = 7
【解题思路】A、C选项代入特殊值 = 0、 = 1即可，B选项求展开式中 3项的系数，D选项先求导，再代
入特殊值 = 1即可.
【解答过程】令 = 0，有 0 = 1，故A正确；
是 3项的系数， 33 = C3 4 37 × 1 × ( 2) = 280，故B正确；
令 = 1，有 0 + 1 + 2 +… + 7 = 1，所以 1 + 2 +… + 7 = 2，故C正确；
对原等式两边同时求导，有 14(1 2 )6 = 21 +2 2 + 3 3 + + 7 7 6，
令 = 1，有 1 +2 2 +… + 7 7 = 14，故D错误.
故选：D.
3．（23-24 高二下·江苏南京·期中）若(1 2 )5 = + + 20 1 2 + 33 + 44 + 55 ，则下列结论中正
确的是（ ）
A． 0 = 1
B． 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2
C． 1 + 3 + 5 = 122
1 2 3 D． 2 + 4 + 8 +
4 5
16 + 32 = 1
【解题思路】利用赋值法即可逐一求解.
【解答过程】令 = 0，则 0 = 1，故 A 正确，
令 = 1可得(1 2)5 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5，故 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2，故 B 错误，
令 = 1可得(1 + 2)5 = 0 1 + 2 3 + 4 5 = 243，故 1 + 3 + 5 = 122，故 C 正确，
5
令 = 12可得 1 2 ×
1 = + 1 + 1 10 12 24 + 38 +
1 1
416 + 532 = 0
1
， 2 +
2 3 4 5
2 4
+ 8 + 16 + 32 = 1，故 D 错误，
故选：AC.
4．（23-24 高二下·广东清远·期中）已知(1 + 2 )5 = 0 + 1 + 2 2 + + 55 ，则 1 2 2 +3 3 4 4 +5
5 = 10 ．
【解题思路】将二项展开式两边求导，再代入 = 1，计算即得.
【解答过程】由(1 + 2 )5 = 0 + 1 + 22 + + 55 两边求导得，
10(1 + 2 )4 = 1 +2 2 + 3 23 +4 4 3 +5 5 4，
取 = 1，可得： 1 2 2 +3 3 4 4 +5 5 = 10.
故答案为：10.
5．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）已知(1 3 )5 = 0 + 1 + 2 + 3 4 52 3 + 4 + 5 .
(1)求 0；
(2)求| 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5|.
【解题思路】（1）利用赋值法，令 = 0即可求解，
（2）根据题意进行转化，然后在(1 + 3 )5中令 = 1即可求解.
【解答过程】（1）令 = 0得15 = 0，即 0 = 1；
（2）| 0| + | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5|等于(1 + 3 )5的展开式的各个项系数的和，
令 = 1代入(1 + 3 )5，则| 0| + | 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| = (1 + 3 × 1)5 = 45 = 1024，
又| 0| = 1，所以| 1| + | 2| + | 3| + | 4| + | 5| = 1024 1 = 1023.
题型 15 二项式乘积、三项展开式系数问题（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·安平面徽向量·期线性中运算）的坐二标项表示式(1 )(1 + 2 )5的展开式中 3的系数为（ ）
A． 40 B．40 C． 60 D．60
【解题思路】由(1 )(1 + 2 )5 = (1 + 2 )5 + (1 + 2 )5利用(1 + 2 )5的通项可得答案.
【解答过程】(1 )(1 + 2 )5 = (1 + 2 )5 + (1 + 2 )5，
(1 + 2 )5的通项为C 5(2 ) = C 2 5 , ∈ {0,1,2,3,4,5}，
根据题意，1 × C3 35(2) C25(2)2 = 40.
故选：B.
6
2．（23-24 高二下·重庆巴南·期中） 2 1 + 2 的展开式中常数项为（ ）
A．544 B．559 C．495 D．79
1
【解题思路】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号 2 + 2 中每个括号提供哪些项，分三种情况

解决即可.
【解答过程】展开式中的常数项分三种情况：
1
第一种，六个括号 2 + 2 都提供2，此时得到26 = 64；

1 1 2
第二种，六个括号中一个括号提供 2，两个括号提供 ，三个括号提供2，此时得到C
1C2C3 26 5 3 23
= 480；
1 4
第三种，六个括号中两个括号提供 2，四个括号提供 ，此时得到C
2 4 2 2
6C4 ( )
1 = 15
，
所以展开式的常数项为64 + 480 + 15 = 559，
故选：B.
3．（23-24 高二下·山西长治·期中）已知(1 + 2)(1 )4的展开式中 3的系数为 8，则（ ）
A． = 2 B．展开式中 4的系数为 17
C．展开式中所有项的系数和为 0 D．展开式中 的奇数次幂项的系数和为 32
【解题思路】由(1 + 2)(1 )4 = (1 )4 + 2(1 )4，写出(1 )4展开式的通项，即可求出 ，从而判断
A；利用通项判断 B；令 = 1求出展开式中所有项的系数和判断 C；利用通项判断 D.
【解答过程】对于 A，因为(1 )4的展开通项为 +1 = C4( ) ， ∈ {0,1,2,3,4}，
令 = 1得，C14 × ( ) = 4 ；令 = 3得，C34( )3 = 4 3；
又(1 + 2)(1 )4 = (1 )4 + 2(1 )4，
所以(1 + 2)(1 )4的展开式中 3的系数为 4 + ( 4 ) = 8，解得 = 3，故 A 错误，
对于 B，因为(1 3 2)(1 )4 = (1 )4 3 2(1 )4，
其中(1 )4的展开通项为 +1 = C4( ) ， ∈ {0,1,2,3,4}，
令 = 2得，C2 × ( )2 = 6 2；令 = 4得，C44 4( )4 = 4，
所以(1 3 2)(1 )4的展开式中 4的系数 3 × 6 + 1 × 1 = 17，故 B 正确；
对于 C，令 = 1得，(1 3 2)(1 )4的展开式中所有项的系数和为(1 3) × 0 = 0，故 C 正确；
对于 D，(1 )4的展开通项为 +1 = C 4( ) ， ∈ {0,1,2,3,4}，
所以(1 3 2)(1 )4的展开式中 的奇数次幂项的系数和为( C14) + ( C3 14) + ( 3) × ( C4) + ( 3) × ( C34
) = 16，故 D 错误．
故选：BC．
4．（23-24 高二下·山东淄博·期中）(1 + 2 2)5展开式中含 4的项的系数是 30 ．
【解题思路】将三项看成两项，利用二项式定理结合分类讨论得出答案.
5
【解答过程】(1 + 2 2)5 = (1 + 2 ) 2 其展开式为 +1 = C 5 5(1 + 2 ) ( 2) , = 0,1, ,5，
根据题意可得： = 0,1,2.
当 = 0时，则 1 = (1 + 2 )5，(1 + 2 )5展开式为 ′ = C (2 ) +1 5 , = 0,1, ,5.
∴ = 4,，则含 4的项的系数为C4 45 × 2 = 80.
当 = 1时，则 2 = C15(1 + 2 )4( 2) = 5 2(1 + 2 )4，
(1 + 2 )4展开式为 ′ = C 2 +1 4 , = 0,1, ,4， ∴ = 2，
则含 4的项的系数为 5 × 22 × C24 = 120.
当 = 2时, 则 = C23 5(1 + 2 )3( 2)2 = 10 4(1 + 2 )3,
(1 + 2 )3展开式为 ′ +1 = C32 , = 0,1,2,3，
∴ = 0，则含 4的项的系数为10 × C03 = 10.
综上所述:：含 4的项的系数为80 120 + 10 = 30.
故答案为： 30.
2 5．（23-24 高二下·重庆·期中）已知在二项式 2 + 的展开式中，第5项为常数项.
(1)求 ；

(2)求 2 + 2 的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；

(3)在( 3 1) 2 + 2 的展开式中，求含
6的项.
【解题思路】（1）写出展开式的第5项，再令 的指数为0，即可求出 ；
（2）根据二项式系数的性质计算可得；
6 6 6 6
（3）由( 3 1) 2 + 2 = 3 2 + 2 2 + 2 2 + 2 ，写出 展开式的通项，利用通项计算可得.
2 4
【解答过程】（1）由题意得第5项为C4 2 4 4 4 2 12 ( ) = 2 × C ，
则2 12 = 0，解得 = 6.
2 6 1
（2） 2 + 所有奇数项的二项式系数之和为2 × 2
6 = 32.
6 6 6
（3 2 2 2）由（1）知( 3 1) 2 + = 3 2 + 2 + ，
6
其中 2 + 2 2展开式的通项为 2 6 12 3 +1 = C6( ) = 2 × C6 （0 ≤ ≤ 6且 ∈ N ），
2 6
则 2 + 的展开式中，含
3的项为23 × C3 3 = 160 36 ，
含 6的项为22 × C2 6 66 = 60 ，
6
所以在( 3 1) 2 + 2 的展开式中含 6的项为160 3 3 60 6 = 100 6 .
题型 16 条件概率（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·河平面南向量商线丘性运·算期的中坐标）表示已知事件 ， ，若 ，且 ( ) = 0.4， ( ) = 0.7，则下列结论正确
的是（ ）
A． ( ) = 0.28 B． ( | ) = 0.4
C 4． | = 0.5 D． ( | ) = 7
【解题思路】根据条件概率公式计算，注意在 时， ( ) = ( )．
【解答过程】因为 ，
( )
所以 ( ) = ( ) = 0.4， ( | ) = 0.4 ( ) = 0.7 =
4
7，
( | ) = 1，
( ) = 1 ( ) = 0.6， ( ) = ( ) ( ) = 0.7 0.4 = 0.3，
( )
( | ) = = 0.3 ( ) 0.6 = 0.5，
故选：C．
2．（23-24 高二下·江苏扬州·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加4 × 100接力比赛．记事件 A 为“甲同
学不跑第一棒”，事件为 B“乙同学跑第二棒”，则 ( | )的值为（ ）
A 1 B 4 C 1．9 ．9 ．3 D
2
．9
【解题思路】根据题意，求出 ( )和 ( )，由条件概率公式计算可得答案.
【解答过程】事件 A 为“甲同学不跑第一棒”，事件为 B“乙同学跑第二棒”，
= C
1 3 1 2
则 ( ) 3
A3 3 C A 1
A4 = 4， ( ) =
2 2
4 = ，
4 A4 6
( ) 1 2
所以 ( | ) = 6 ( ) = 3 = 9.
4
故选：D.
3．（23-24 高二下·安徽·期中）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲
袋中装有 5 个红球和 5 个绿球；乙袋中装有 4 个红球和 6 个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，
再从乙袋中随机摸出一个小球，记 1表示事件“从甲袋摸出的是红球”， 2表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，
记 1表示事件“从乙袋摸出的是红球”， 2表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ）
A． 1， 2是互斥事件 B． 1， 2是独立事件
C 7． ( 2| 2 ) = 22 D． (
10
2| 1 ) + ( 1| 2 ) = 11
【解题思路】根据 1， 2是互斥事件可判断 A；求出 ( 1) ( 2), ( 1 2)是否相等可判断 B；计算出 ( 2| 2
)可判断 C；计算出 ( 2| 1 ) + ( 1| 2 )可判断 D.
【解答过程】对于 A，依题意，因为每次只摸出一个球， 1 ∩ 2 = ，
所以 1， 2是互斥事件，A 正确；
对于 B， ( 1) =
1 ( ) = 1 × 6 + 1 7 132， 2 2 11 2 × 11 = 22，
( ) = ( ) × ( ) = 1 6 31 2 1 2| 1 2 × 11 = 11， ( 1) ( 2) ≠ ( 1 2)，B 错误；
对于 C， ( 72| 2 ) = 11，C 错误；
对于 D， ( 6 4 102| 1 ) + ( 1| 2 ) = 11 + 11 = 11，D 正确.
故选：AD.
4．（23-24 高二下·浙江嘉兴·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记 = {两次的点数均为奇数}， = {两
2
次的点数之和为 8}，则 ( | ) = 9 .
【解题思路】利用古典概型及条件概率公式计算即可.
【解答过程】易知 = {1,1},{1,3},{1,5},(3,1),{3,3},{3,5},{5,1},{5,3},{5,5}，
∩ = {3,5},{5,3}，即 ( ) = 9, ( ) = 2，
所以 2( | ) = 9.
2
故答案为：9.
5．（23-24 高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回
答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有 2 人“通关”就可获得“团体奖”．根据平
时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
甲 乙 丙
2 1 1
第一轮回答正确的概率
3 2 2
1 1 1
第二轮回答正确的概率
2 2 3
若三人各自比赛时互不影响．
(1)求甲、乙两人至少有 1 人“通关”的概率；
(2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率．
【解题思路】（1）先用 , , 来表示甲、乙、丙三人的“通关”事件并求对应的概率，然后利用对立事件的性
质和独立事件的乘法公式即可求解.
（2）利用独立事件的乘法公式分别计算三人小组获得“团体奖”的概率和甲乙丙同时通关的概率，进而利用
条件概率的计算公式即可求解.
【解答过程】（1）记事件 = “甲通关”、 = “乙通关”、 = “丙通关”，
则 = 2 × 1( ) 3 2 =
1, 2 1 1 1 33 = 3， ( ) = 2 × 2 = 4, = 4.
甲、乙两人至少有 1 人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”，
, 2 3 1所以甲、乙两人至少有 1 人“通关”的概率等于1 = 1 3 × 4 = 2.
1
故甲、乙两人至少有 1 人“通关”的概率为2.
2 = 1 × 1 1 5（ ）由题意得 ( ) 2 3 = 6, = 6.
事件 = “三人小组获得团体奖”，
则 ( ) = + + + ( )
= 1 × 13 4 ×
5 1 3 1 2
6 + 3 × 4 × 6 + 3 ×
1 × 1 + 1 × 1 × 1 = 5+3+2+1 114 6 3 4 6 72 = 72.
甲乙丙同时通关的概率 ( ) =
1 × 1 1 13 4 × 6 = 72.
( )
所以 1 72 1( | ) = ( ) = 72 × 11 = 11.
故该三人小组获得“ 1团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为11.
题型 17 随机变量及其分布（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·北平面京向量顺线义性运·算期的坐中标）表示已知随机变量 的分布列如表：（其中 为常数）
0 1 2 3 4 5
0.2 0.1 0.3 0.2 0.1
则 (1 ≤ ≤ 3)等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【解题思路】根据分布列概率和为 1 求得 a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可.
【解答过程】根据分布列概率和为 1，可得0.2 + 0.1 + + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1, = 0.1,
(1 ≤ ≤ 3) = ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = 0.1 + 0.1 + 0.3 = 0.5.
故选：B.

2．（23-24 高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2),( = 0,1,2)，其中 a
是常数，则下列说法不正确的是（ ）
A． 4( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1 B． = 3
C． 8 4(0 ≤ < 2) = 9 D． ( ≥ 1) = 9
【解题思路】根据分布列的性质，求出 ，结合选项，逐项判定，即可求解.

【解答过程】由 ( = ) = ( +1)( +2),( = 0,1,2)，
得 ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1，

即2 + 6 +
4
12 = 1，解得 = 3，故 AB 正确；
2 2 8(0 ≤ < 2) = ( = 0) + ( = 1) = 3 + 9 = 9，故 C 正确；
2 1 1( ≥ 1) = ( = 1) + ( = 2) = 9 + 9 = 3，故 D 错误.
故选：D.
3．（23-24 高二下·河南周口·期中）已知离散型随机变量 的分布列为
1 2 4 6
0.2 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A． + = 0.7 B．若 = 0.3，则 ( > 3) = 0.5
C．若 = 0.9，则 = 0.2 D． ( = 1) = 2 ( = 6)
【解题思路】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于 A 中，由分布列的性质，可得0.2 + + + 0.1 = 1，解得 + = 0.7，所以 A 正确；
对于 B 中，若 = 0.3，可得 = 0.4，则 ( > 3) = ( = 4) + ( = 6) = 0.5，故 B 正确；
对于 C 中，由概率的定义知 ≥ 0, ≥ 0，所以 C 不正确；
对于 D 中，由 ( = 1) = 0.2， ( = 6) = 0.1，则 ( = 1) = 2 ( = 6)，所以 D 正确．
故选：ABD.

4．（23-24 高二下·广东东莞·期中）已知随机变量 的概率分布为 ( = ) = 2+ ( ∈ , = 1,2,3)，则 =
43 .
【解题思路】由概率之和为1计算即可得.
【解答过程】由概率之和为1可得 ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = 1，

即12+1 + 22+2 +
4
32+3 = 1，解得 = 3.
4
故答案为：3.
5．（23-24 高二下·广东湛江·期中）A，B 两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、
打成平局和失败分别记 + 3分、m 分和 0 分．比赛两局，已知在每局比赛中 A 获胜、打成平局和战败的概
率分别为 0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立．
(1)若 = 2，求 A 两局得分之和为 5 的概率；
(2)若 = 3，用 X 表示 B 两局比赛的得分之和，求 X 的分布列．
【解题思路】（1）由 A 两局得分之和为 5 等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可；
（2）由题意可知 X 的可能取值为 0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得 X 的分布列．
【解答过程】（1）若 = 2，由已知条件得，A 两局得分之和为 5 等价于一胜一负，
所以 A 两局得分之和为 5 的概率为C12 × 0.2 × 0.5 = 0.2．
（2）因为在一局比赛中 A 获胜、打成平局和战败的概率分别为 0.5，0.3，0.2，
所以在一局比赛中 B 获胜、打成平局和失败的概率分别为 0.2，0.3．0.5，
若 = 3，则 X 的可能取值为 0，3，6，9，12，
( = 0) = 0.52 = 0.25，
( = 3) = C12 × 0.3 × 0.5 = 0.3，
( = 6) = 0.32 + C12 × 0.2 × 0.5 = 0.29，
( = 9) = C12 × 0.2 × 0.3 = 0.12，
( = 12) = 0.22 = 0.04，
所以 X 的分布列为
X 0 3 6 9 12
P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04
题型 18 期望、方差的性质及计算（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·福平面建向量福线州性运·算期的坐中标）表示已知随机变量 的概率分布如下表
x 1 2 4
P 0.4 0.3
则 (5 + 4) = （ ）
A．1 B．2.2 C．11 D．15
【解题思路】由概率和为1可得 ，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.
【解答过程】由0.4 + + 0.3 = 1，故 = 0.3，
则 (5 + 4) = 5 ( ) +4 = 5 × (1 × 0.4 + 2 × 0.3 + 4 × 0.3) +4 = 15.
故选：D.
2．（23-24 1高二下·江苏连云港·期中）随机变量 X 的分布列如表所示，若 ( ) = 3，则 (3 2) = （ ）
X 1 0 1
P 1 a b
6
A．3 B 5．3 C．5 D．9
1 1 1
【解题思路】由 ( ) = 3，利用随机变量 X 的分布列列出方程组，求出 = 3， = 2，由此能求出 ( )，再
由 (3 2) = 9 ( )，能求出结果．
【解答过程】 ∵ ( ) = 13， ∴ 由随机变量 X 的分布列得：
1 + + = 1 = 1
6 3
1 + = 1
，解得
= 1
，
6 3 2
2
∴ ( ) = ( 1 1 ) × 1 + (0 1
2 2
6 ) ×
1
3 + (1
1 ) × 12 =
5
3 3 3 9，
∴ (3 2) = 9 ( ) = 9 × 59 = 5.
故选：C．
3．（23-24 高二下·河北邢台·期中）已知离散型随机变量 的分布列如表所示，若离散型随机变量 满足
= 3 2，则（ ）
1 2 3 4
0.5 0.3 0.1
A． ( ) = 1.5 B． ( ) = 4
C． ( ) = 0.2 D． ( ) = 10.8
【解题思路】运用分布列性质求 ，再用均值和方差公式及其性质计算即可.
【解答过程】由分布列的性质知0.5 + + 0.3 + 0.1 = 1，则 = 0.1.
对 A， ( ) = 1 × 0.5 + 2 × 0.1 + 3 × 0.3 + 4 × 0.1 = 2，故 A 错误；
对 C， ( ) = 0.5 × ( 1)2 +0.1 × 02 +0.3 × 12 +0.1 × 22 = 1.2，故 C 错误；
对 B， ( ) = (3 2) = 3 ( ) 2 = 3 × 2 2 = 4，故 B 正确；
对 D， ( ) = (3 2) = 9 ( ) = 9 × 1.2 = 10.8，故 D 正确.
故选：BD.
4．（23-24 高二下·内蒙古赤峰·期中）已知 ( ) = 3, (2 1) = 8,则 (2 1) + ( ) = 7 .
【解题思路】根据数字特征的性质进行运算求解.
【解答过程】由 ( ) = 3, (2 1) = 8，
则 (2 1) = 4 = 8，故 ( ) = 2,
(2 1) + ( ) = 2 ( ) 1 + ( ) = 2 × 3 1 + 2 = 7.
故答案为：7.
5．（23-24 高二下·河南郑州·期中）随机变量 的分布列如下表，随机变量 = 2 + 1．
0 1
0.4 0.6
(1)求 ( )；
(2)求 ( )．
【解题思路】（1）根据分布列求出 的均值，利用均值的性质即可求解 ( )；
（2）根据公式求出 ( )，利用方差的性质求解 ( )．
【解答过程】（1） ( ) = 0 × 0.4 + 1 × 0.6 = 0.6，
( ) = (2 + 1) = 2 × 0.6 + 1 = 2.2．
（2） ( ) = (0 0.6)2 × 0.4 + (1 0.6)2 × 0.6 = 0.24，
( ) = 22 ( ) = 4 × 0.24 = 0.96．
题型 19 二项分布与超几何分布（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·辽平面宁向量沈线阳性运·算期的坐中标）表示设随机变量 (6, )，若 ( ) ≤ 2，则 ( )的最大值为（ ）
A．4 B．3 C 4 8．3 D．3
【解题思路】根据二项分布的期望得 的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的性质求得 ( )
的最大值.
【解答过程】随机变量 ~ (6, )，由 ( ) ≤ 2 0 < 6 ≤ 2 0 < ≤
1
，得 ，解得 3，
2
3 1( ) = 6 (1 ) = 6( 1 ) +2 2，则当 = 3时， ( )取得最大值，
1 2
所以 ( )的最大值为6 × 3 × 3 =
4
3.
故选：C.
2．（23-24 高二下·福建龙岩·期中）一箱零件中共有 12 个零件，其中有 3 个是尺寸不达标的，从这箱零件
中任意选取 4 个，则恰有 2 个的尺寸不达标的概率为（ ）
A 12．55 B
1
．5 C
14 3
．55 D．11
【解题思路】根据题意，结合超几何分布的概率计算公式，即可求解.
【解答过程】因为一箱零件中共有 12 个零件，其中有 3 个是尺寸不达标的，从中任意选取 4 个，
C2C2
由超几何分布概率计算公式，可得恰有 2 个的尺寸不达标的概率为 = 3 9C4 =
12
12 55
.
故选：A.
3．（23-24 高二下·安徽马鞍山·期中）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相
互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，
小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到
右分别编号为 1，2，3，…，6，用 表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． ( = 1) = ( = 6) = 132 B． ( ) =
5
2
C． ( ) = 32 D． ( ) =
5
4
【解题思路】设 = 1，分析出 5, 1 ，从而求出 的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到
2
正确答案．
1
【解答过程】设 = “向右下落”，则 = “向左下落”，且 ( ) = ( ) = 2，
= 1 1设 ，因为小球在下落过程中共碰撞 5 次，所以 5, ，
2
5 5
于是 ( = ) = ( = + 1) = C 15 1
1 = C 15 ( = 0,1,2,3,4,5)2 2 2 ．
5
所以 ( = 1) = ( = 6) = C0 15 =
1
2 32，A 正确；
5
( = 2) = ( = 5) = C1 15 =
5
2 32，
5
( = 3) = ( = 4) = C2 1 = 55 2 16，
1 7
所以 ( ) = ( + 1) = ( ) +1 = 5 × 2 +1 = 2，B 错误；
( ) = 1( + 1) = ( ) = 5 × × 1 1
5
2 =2 4，C 错误，D 正确
故选：AD．
4 1．（23-24 高二下·陕西安康·期中）已知随机变量 ~ 5, ，则 ( ) =
15
4 16
.
【解题思路】根据二项分布的方差公式求解即可.
1 1 3 15
【解答过程】因为随机变量 ~ 5, ，所以 ( ) = (1 ) = 5 × ×
4 4 4
= 16，
15
故答案为：16.
5．（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）近期重庆市育才中学校举行了“探‘乐’计划”校园歌手大赛和“想玩就
‘趣’FUN 3肆到底”育才达人甲、乙、丙三人均依次参加两个比赛，三人进入校园歌手大赛决赛的概率均是4，
1
进入达人秀决赛的概率均是3，且每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响．
(1)求甲两个比赛都进入决赛的概率；
(2)记三人中两个比赛均进入决赛的人数为 ．求随机变量 的概率分布和数学期望 ( )
【解题思路】（1）根据题意分别求出甲进入校园歌手大赛决赛和进入达人秀决赛的概率，再由独立事件的
乘法公式求解即可.
（2）根据题意先求出 的所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望
即可求解.
【解答过程】（1）设“甲进入校园歌手大赛决赛”为事件 ，“甲进入达人秀决赛”为事件 ，
则 3 1( ) = 4, ( ) = 3，
因为每个人是否进入歌手大赛决赛和达人秀决赛互不影响，
所以事件 和事件 相互独立，
= = 3 × 1 = 1所以甲两个比赛都进入决赛的概率为 ( ) ( ) ( ) 4 3 4.
1
故甲两个比赛都进入决赛的概率为4.
2 1（ ） 的可能取值为0,1,2,3，所以 3,
4
0 3
27( = 0) = C0 1 33 =4 4 64，
1 2
27( = 1) = C1 1 33 =4 4 64，
( = 2) = C2 1
2 3 1 = 93 4 4 64，
3 0
1( = 3) = C3 1 33 =4 4 64，
故随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
27 27 9 1
64 64 64 64
27 27 9 1 3所以 ( ) = 0 × 64 +1 × 64 +2 × 64 +3 × 64 = 4.
题型 20 正态分布（共 5 小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高二下·福平面建向量南线平性运·算期的坐中标）表示已知随机变量 (5, 2)，且 ( ≤ 2) = 0.4，则 ( < 8) = （ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【解题思路】根据题意结合正态分布的对称性分析求解.
【解答过程】因为 (5, 2)，则 = 5，且2 + 8 = 2 ，
又因为 ( ≤ 2) = 0.4，所以 ( < 8) = 1 ( ≤ 2) = 0.6.
故选：C.
2．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量 ～ (1000,2500)
（单位：个），估计 300 天内小笼包的销售量约在 950 到 1050 个的天数大约是 （ ）（若随机变量 ～
( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 )
≈ 0.9973）
A．205 B．246 C．270 D．275
【解题思路】由正态曲线的性质求出 (950 ≤ ≤ 1050) = ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，即可求解．
【解答过程】依题意，得 = 1000, = 50，
则 (950 ≤ ≤ 1050) = ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827，
则估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是：300 × 0.6827 = 204.81 ≈ 205，
故选：A.
3．（23-24 高二下·辽宁朝阳·期中）已知某校有 1200 名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩 近似服
从正态分布 (100,225)，则下列说法不正确的有（ ）
（参考数据：① ( < ≤ + ) = 0.6827；② ( 2 < ≤ + 2 ) = 0.9545；
③ ( 3 < ≤ + 3 ) = 0.9973）
A．这次考试成绩超过 100 分的约有 500 人
B．这次考试分数低于 70 分的约有 27 人
C． (115 < ≤ 130) = 0.0514
D 2．从中任取 3 名同学，至少有 2 人的分数超过 100 分的概率为3
【解题思路】由正态分布的性质和3 原则求出 ( > 100)和 ( < 70)即可求出成绩超过 100 分和低于 70
分的人数判断 A、B；由正态分布的对称性和3 原则可求出 (115 < ≤ 130)，进而判断 C；利用独立事件
的概率公式和互斥事件的概率公式结合 A 选项即可求解判断 D.
1
【解答过程】由题意可知，对于选项 A， = 100， = 15，则 ( > 100) = 2，
1
则成绩超过 100 分的约有1200 × 2 = 600人，所以选项 A 错误；
对于选项B， ( < 70) = ( < 2 ) = 1 ( 2 < ≤ +2 ) =
1 0.9545
2 2 = 0.02275，
所以分数低于 70 分的人数约为0.02275 × 1200 = 27.3，即约为 27 人，故选项 B 正确；
C (115 < ≤ 130) = ( + < ≤ + 2 ) = ( 2 < ≤ +2 ) ( < ≤ + )对于选项 ， 2 =
0.9545 0.6827
2
= 0.1359，所以选项 C 错误；
1
对于选项 D，因为 ( > 100) = 2，且至少有 2 人的分数超过 100 分的情况如下：
2
①恰好 2 1 1 3人时概率为C23 =2 2 8；
②3 1
3 1
人均超过 100 分时的概率为 =2 8，
2 3 1 1则至少有 人的分数超过 100 分的概率为8 + 8 = 2，所以选项 D 错误.
故选：ACD.
4．（23-24 高二下·江苏南通·期中）已知随机变量 (2, 2)，且 ( > 1) = 0.7，则 (2 < < 3) = 0.2 .
【解题思路】根据正态分布的对称性求解即可.
【解答过程】因为随机变量 (2, 2)，且 ( > 1) = 0.7，
所以 (2 < < 3) = (1 < < 2) = ( > 1) 0.5 = 0.2.
故答案为：0.2.
5．（23-24 高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一
次环保知识竞赛，满分 100 分.随机抽取的 8 人的得分为 84，78，81，84，85，84，85，91.
(1)计算样本平均数 和样本方差 2；
(2)若这次环保知识竞赛的得分 X 服从正态分布 ( , 2)，其中 和 2的估计值分别为样本平均数 和样本方差
2，若按照 15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、
二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据2 3 ≈ 3.46）
附：若随机变量 X 服从正态分布 ( , 2)，则 ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6826，
( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈ 0.9544， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9974.
【解题思路】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，得到该市所有参赛者的成绩 (84,12)，设竞赛成绩达到 及以上为特等奖，成绩达到
但小于 为一等奖，成绩达到 但小于 为二等奖，成绩未达到 为参与奖，结合正态分布曲线的对称性质，
分别求得 , , 的值，即可得到结论.
【解答过程】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得：
1
数据的平均数为 = 8 × (84 + 78 + 81 + 84 + 85 + 84 + 85 + 91) = 84，
1
数据的方差为 2 = 8 × (0 + 36 + 9 + 0 + 1 + 0 + 1 + 49) = 12.
（2）该市所有参赛者的成绩 近似服从正态分布 (84,12)，
设竞赛成绩达到 及以上为特等奖，成绩达到 但小于 为一等奖，
成绩达到 但小于 为二等奖，成绩未达到 为参与奖

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