资源简介

2024-2025 学年上海市宝山区行知中学高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列有关线性回归分析的四个命题：①线性回归直线必过样本数据的中心点( , )；②回归直线就是散点
图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数 > 0 时，两个变量正相关；③如果两个变量的相关
性越强，则相关性系数 就越接近于 1.其中真命题的个数为( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2.空间四边形 中， = ， = ， = ，且 = 2 ， = ，则 3 =( )
A. 1 2 2 3
+ 1 B. 12 2 +
1
2
12
C. 23 +
2 + 1 D. 2 + 1 3 2 3 2 +
1
2
3.下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是( )
A.将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为
B.从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为
C.某射手的射击命中率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中的次数为
D.盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
4.如图，已知直线 = + 与曲线 = ( )相切于两点，则函数 ( ) = ( ) 有( )
A. 1 个极大值点，2 个极小值点 B. 2 个极大值点，1 个极小值点
C. 3 个极大值点，无极小值点 D. 3 个极小值点，无极大值点
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.( + 1 )
8的二项式展开式中，常数项为______．
6.已知等差数列{ }中，公差 > 0，且 3 7 = 16， 4 + 6 = 0，则 10 = ______．
7.某同学 10 次数学检测成绩统计如下：95，97，94，93，95，97，97，96，94，93，设这组数的平均数
为 ，中位数为 ，众数为 ，则 、 、 的大小为______. (用>符号连接)
第 1页，共 9页
8.已知 ( ) = + 2 2 ，函数 = ( )在点(1, (1))处切线的斜率是 4，则实数 = ______．
9.一个盒子中装有 2 个红球，8 个黑球，从中不放回地任取 1 个小球，则第二次才取出红球的概率是______．
10.若方程 4 2 + 2 = 4 表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于______．
11.已知点 (2,3)，点 ( 2, 3)，直线 过点 ( 1,0)，若直线 与线段 相交，则直线 的倾斜角的取值范
围是______．
12.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农
场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的方法数为______. (用数字
作答)
13.如图，在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1中， 为 的中点，点 为线段 1 上一动点，则异面直
线 1 与 所成角的最小值为______. (结果用反余弦表示)
14.据统计，某种脐橙的果实横径(单位： )服从正态分布 (80, 52)，现任取 10 个这种脐橙.设其果实横
径在[75,90)的个数为 ，则 ( ) = ______．
附： ( , 2)， ( < < + ) = 0.6827， ( 2 < < + 2 ) = 0.9545．
15.函数 ( )是定义域为 的可导函数，已知 ( + 1)为奇函数，且 ( 1)的图像关于 = 1 对称.若曲线 =
( )在 = 1 处的切线斜率为 2，则曲线 = ( )在 = 2025 处的切线方程为______．
16.已知点 (0,2)，圆 ： 2 + 2 = 16 上两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)满足 = ( ∈ )，则|3 1 + 4 1 +
25| + |3 2 + 4 2 + 25|的最小值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知四棱锥 的底面 为矩形， ⊥底面 ，且 = = 2 = 2，设 ， ， ，分别为
， ， 的中点， 为 的中点，如图．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
第 2页，共 9页
18.(本小题 14 分)

已知函数 ( ) = ．
(1)当 < 0 时，判断 ( )在定义域上的单调性；
(2)若函数 ( )在[1, ] 3上的最小值为2，求实数 的值．
19.(本小题 14 分)
今年某台风在沿海地区登陆，恰逢暑假，小明调查了当地某小区 100 户居民由于台风造成的经济损失，将
收集的数据(单位：元)分成(0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]五组，并绘
制如下频率分布直方图．
(1)台风过后居委会号召小区居民为重灾区捐款，小明调查的 100 户居民捐款情况如下表，在表格空白处填
写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500 元和自身经济损失是否超过4000
元有关？
( 2 = ( )
2
2
( + )( + )( + )( + ) , ( ≥ 3.841) ≈ 0.05)
损失不超过 4000损失超过 4000合计
捐款超过 500 60
捐款不超过 500 10
合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量受灾居民中，采取随机抽样方法每次抽取 1 户居民，
抽取 3 次，记被抽取的 3 户居民自身经济损失超过 4000 元的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，
求随机变量 的分布列、期望 ( )和方差 ( )．
20.(本小题 14 分)
2
已知椭圆 ： 22 + = 1 的右焦点为 ，不垂直 轴且不过 点的直线 与椭圆 相交于 、 两点．
(1)若直线 ： = + 1，试求△ 的面积；
第 3页，共 9页
(2)若直线 经过点 (2,0)，则直线 、 的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理
由；
(3)如果 ⊥ ，原点到直线 的距离为 ，求 的取值范围．
21.(本小题 14 分)
1
已知函数 ( )对任意实数 、 都满足 ( + ) = ( ) ( )，且 (1) = 3．
(1)当 ∈ 时，求 ( )的表达式；
(2)设 = 2025 ( ( )) + ( ∈ )，记数列{ }的最小项的项数为 0，求 0的值．
(3)设 ( +1) = ( ) ( ∈
)，数列{ } 1 1 1 1 2000 的前 项和为 ，若 + + + + < 对 ∈
恒成立，
1 2 3 2
求最小正整数 ．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.70
6.10
7. > >
8.
9. 845
10.2
11.[45°, 120°]
12.528
13.arccos 55
14.8.186
15.2 4050 = 0
16.48
17.(1)证明：因 ， ， 分别为 ， ， 的中点，故 EF// ，
// ，
从而 //平面 ， //平面 ，
又 ， 平面 ，且 = ，故平面 //平面 ，
由 平面 ，得 //平面 ；
(2)解：以 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建
立空间直角坐标系，如图所示：
则由已知条件，得相关点的坐标为 (0,0,0)， (1,0,0)， (1,2,0)，
(0,2,0)，
(0,0,2), ( 1 , 1,1), (1,1,0) ( 1 , 2,0) ( 1 , 3 , 12 ， 2 ， 2 2 2 )，
于是 = ( 1 1 1 2 , 2 , 2 )， = (1,0, 2), = (0,2,0)，
第 5页，共 9页
设面 的一个法向量为 = ( , , )，

则 = 2 = 0. ，取 = 1，得 = (2,0,1)，
= 2 = 0
1
设 与平面 所成的角为 ，则 = | | 2 15
|
= = ，
| | | 1 15
2 3 5
故 FH 与平面 所成角的正弦值为 15．
15
18.解：(1)由题意得 ( ) + 的定义域是(0, + ∞)，且 ′( ) = 2 ，
因为 < 0，所以当 0 < < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
故 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(2)由(1)可得 ′( ) = + 2 ，因为 ∈ [1, ]，
①若 ≥ 1，则 + ≥ 0，即 ′( ) ≥ 0 在[1, ]上恒成立，此时 ( )在[1, ]上单调递增，
所以 ( ) 3 = (1) = = 2，所以 =
3
2 (舍去)；
②若 ≤ ，则 + ≤ 0，即 ( ) ≤ 0 在[1, ]上恒成立，此时 ( )在[1, ]上单调递减，
所以 ( ) 3 = ( ) = 1 = 2，所以 = 2 (舍去)．
③若 < < 1，令 ′( ) = 0，得 = ，
当 1 < < 时， ′( ) < 0， ( )在(1, )上单调递减；
当 < < 时， ′( ) > 0， ( )在( , )上单调递增，
所以 ( ) = ( ) = ln( ) + 1 =
3
2，所以 = ．
综上， = ．
19.解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 户中，
经济损失不超过 4000 元的有 100 × 2000 × (0.00015 + 0.00020) = 70 户，
则经济损失超过 4000 元的有 30 户，
则表格数据如下：
损失不超过 4000损失超过 4000合计
捐款超过 500 60 20 80
捐款不超过 500 10 10 20
合计 70 30 100
零假设为 0：认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否超过 4000 元无关，
2 = 100×(60×10 20×10)
2
80×20×70×30 ≈ 4.762，
第 6页，共 9页
∵ 4.762 > 3.841， ( 2 ≥ 3.841) = 0.05，可知零假设 0不成立，
∴有 95%以上把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否超过 4000 元有关；
(2)由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频率为 0.3，
3
将频率视为概率，由题意知 的取值可能有 0，1，2，3，符合二项分布，则 ～ (3, 10 )，
( = 0) = 0 ( 3 )0 ( 7 3 3433 10 10 ) = 1000 , ( = 1) =
1 ( 3 )1 ( 7 23 10 10 ) =
441
1000，
( = 2) = 2 ( 3 )2 ( 7 )1 = 1893 10 10 1000 , ( = 3) =
3 ( 3 3 7 0 273 10 ) ( 10 ) = 1000，
从而 的分布列为：
0 1 2 3
343 441 189 271000 1000 1000 1000
( ) = = 3 × 310 = 0.9, ( ) = (1 ) = 3 ×
3 7
10 × 10 = 0.63．
2
20.解：(1)因为椭圆 ： 2 +
2 = 1，
所以 2 = 2， 2 = 1，
所以 2 = 2 2 = 1，
所以 = 1，
所以 (1,0)，
|1 0+1|
所以点 (1,0)到直线 ： = + 1 的距离 = 2 = 2，
= + 1
联立 2 2 ，得 3
2 + 4 = 0，
2 + = 1
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
4
所以 1 + 2 = 3， 1 2 = 0，
所以| | = 1 + 12 ( 1 + 2
4 2
2) 4 1 2 = 2 × ( 3 ) 4 × 0 =
4 2
3 ，
= 1所以 △ 2 | | × =
1 × 4 2 42 3 × 2 = 3．
(2)设直线 的方程为 = ( 2)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 2)
联立 2 2 ，得(1 + 2
2) 2 8 2 + 8 2 2 = 0，
2 + = 1
8 2 8 2 2
所以 1 + 2 = 1+2 2， 1 2 = 1+2 2，
第 7页，共 9页
+ = ( 1 2) + ( 2 2) = ( 1 2)( 1)+ ( 所以 1 2 2)( 1 1) 1 1 2 1 ( 1 1)( 2 1)
8 2 2 8 2
2 ( 1 + 2) 3 ( + )+ 4 2 1+ 2 2 3 1+ 2 2 +4 = 1 2 =1 2 ( 1 + 2) + 1 8 2 2 8
2
1+ 2 2 1+ 2 2 +1
3 3
= 16 4 24 +4 +8
3
1+2 2 = 0．
(3)设直线 的方程为 = + ， ( 3, 3)， ( 4, 4)，
= +
联立 2 2 ，得(1 + 2
2) 2 + 4 + 2( 2 1) = 0，
2 + = 1
= 16 2 2 8(1 + 2 2)( 2 1) = 8(2 2 + 1 2) > 0，( )
4 2(
2 1)
3 + 4 = 1+2 2， 3 4 = 1+2 2 ，
因为 (1,0)，
所以 = ( 3 1, 3)， = ( 4 1, 4)，
因为 ⊥ ，
所以 = 0，
所以( 3 1, 3) ( 4 1, 4) = 0，
所以( 3 1)( 4 1) + 3 4 = 0，
所以( 3 1)( 4 1) + ( 3 + )( 4 + ) = 0，
所以( 2 + 1) 3 4 + ( 1)( 3 + 24) + + 1 = 0，
所以 2 2 2 2 2 + 2 2 2 4 2 2 + 4 + 2 + 2 2 2 + 1 + 2 2 = 0，
所以 3 2 + 4 1 = 0，
若 = 0，则 3 2 + 4 1 = 0 不成立，
2
所以 = 1 3 4 ，
2
代入( ) 1 3 ，可得 2( 4 ) + 1
2 > 0，
4+2 2+1
化简得 8 2 > 0 恒成立，
| | 2 16 4 16
原点(0,0)到直线 的距离 = = =
1+ 2 1 3 2 2 9 4( ) +1 6
2+1+16 2 = 1 10 ，
4 4
+
2
+9
1
4 +
10
2 + 9 = (
1 2 2
2 + 5) 16 > 5 16 = 9，
第 8页，共 9页
16 16 4
所以 = 1 10 < 9 = 3，
4+ 2+9
0 < < 4所以 3，
所以 4的取值范围为(0, 3 ).
21. (1) 1解： 由题可知， ( + 1) = ( ) (1)，即 ( + 1) = 3 ( )，
{ ( )} 1 1 1故数列 是首项为3，公比为3的等比数列，则 ( ) = ( 3 )
；
(2) 1由题可知， = 2025 ln( 3 ) +
= 2025 ln 13 +
，
1
则 = 2025( + 1) ln + +1 +1 3 2025 ln
1
3
= 2025 ln 13 +
( 1)，
当 ≥ 8 时， +1 > ，严格递增，当 ≤ 7 时， +1 < ，严格递减，
∴数列的最小项为 8， 0的值为 8；
(3) = 1由题可知， 3
1
，又 +1 = 3，
1 1
故数列{ }是首项为3，公差为3的等差数列，
= 1 + ( 1) × 1 = ( +1)则 3 2 3 6 ,
1 + 1 1 1 6 6 6 6 1
+ + + = + + + +2 3 1×2 2×3 3×4 ( +1)
= 6[(1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 62 ) + ( 2 3 ) + ( 3 4 ) + + ( +1 )] = 6 × (1 +1 ) = +1 = 6 +1，
6 6 6
当 ∈ 时， = +1为单调减函数，故 = 6 +1为单调增函数，又 6 +1 < 6，
2000
故要满足题意，只需 6 ≤ 2 ，解得 ≥ 2012，故最小正整数 的取值为 2012．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑