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2025年广东省高考数学模拟试卷5
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，，，且，，则的最小值是 ( )
A. B. C. D.
4.设，已知函数的定义域是且为奇函数且在是减函数，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.如图所示，图象对应的函数解析式为( )
A. B. C. D.
6.掷两枚均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为”为事件，“小骰子出现的点数小于大骰子出现的点数”为事件，则，分别为( )
A. B. C. D.
7.双曲线：的一条渐近线为直线：，若的一个焦点到直线的距离为，且与抛物线：的准线相交于点，点的纵坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知等比数列首项为，公比，前项和为，则下列结论正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角，，所对的边分别是，，，下列命题正确的是( )
A. 若，，则面积的最大值为
B. 若，，则面积的最大值为
C. 若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是
10.若对任意，存在，使得，则称是上的“边界函数”下列结论正确的是( )
A. 是上的“边界函数”
B. 是上的“边界函数”
C. 是上的“边界函数”
D. 若是，上的“边界函数”，则是上的“边界函数”
11.对于定义在上的可导函数，若满足，则下列说法正确的是 ．
A. 在上是增函数 B. 在上是减函数
C. 时，取得极小值 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为任意实数，直线的倾斜角的范围是 ．
13.若满足条件恒成立，则的最大值是______．
14.已知等边的边长为，、分别为、的中点，将沿折起得到四棱锥点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求函数最小值；
当时，函数有意义，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，棱台中，，底面是边长为的正方形，底面是边长为的正方形，连接，，．
证明：；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
年月日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考--如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．
Ⅰ求得分在上的频率；
Ⅱ求社区居民问卷调査的平均得分的估计值；同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表
Ⅲ以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取人参加问卷调査，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求函数的极小值；
Ⅱ当时，讨论的单调性；
Ⅲ若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且，；数列中，，点在直线上．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ设数列的前项和为，求；
Ⅲ设数列的前项和为，且，求．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：时，
当时，即时，取得最大值，
结合，可知的最小值为；
当时，函数有意义，即在上恒成立．
因为为正数，所以不等式在上恒成立．
设，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，当时，有最小值．
在上为减函数，在上为增函数，
当时，；当时，的最大值为．
因此，在上的值域为，最大值为．
若在上恒成立，则．
综上所述，当时，函数有意义，则的取值范围是．
16.【答案】解：证明：由题意，该棱台是正四棱台．连接交于，以，所在直线为，轴，
经过且垂直于平面的直线为轴，交上底面于，连接，建立空间直角坐标系如图．
根据正四棱台的性质，过作底面的垂线，则垂足在上．
根据题干数据，，，，为上底面正方形对角线长的一半，
显然，故，，
则，故，
于是，，
则，于是；
．，，
于是，，
设平面的法向量为，根据，令，则，，
平面的法向量为，
由，，
设平面的法向量为，
根据，令，
平面的法向量为，
于是，，
结合图形可知，二面角的平面角是锐角，则该二面角的余弦值是．
17.【答案】解：Ⅰ由频率分布直方图得：
得分在上的频率为：；
Ⅱ由Ⅰ可知，各组的中间值及对应的频率如下表：
中间值
频率
社区居民问卷调査的平均得分的估计值为：
；
Ⅲ依题意，的可能取值为，，，，，，
有，
，
，
，
，
，
，
的分布列为：


．
18.【答案】Ⅰ；Ⅱ详见解析；Ⅲ
19.【答案】解：Ⅰ，
当时，，分
即，
数列是等比数列．
，
分
点在直线上，
，
即数列是等差数列，
又，分
Ⅱ由题意可得，，分
，分
分
Ⅲ分
分
两式相减得：
分
分
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