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2025年四川省雅安市高考数学二诊试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则球的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知，，且，对于任意均有，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增
D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
10.已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的是( )
A. 曲线的方程为
B. 的最大值为
C. 点到直线的距离的最大值为
D. 设直线与曲线的另一个交点为，则
11.某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙两人写出所有两位素数后，对话如下：
甲：我不知道这个素数是多少．
乙：我早就知道你不可能知道．
甲：我还是不知道．
乙：我也早就知道你刚才不可能知道．
甲：我现在知道了．
则这个素数( )
A. 不是 B. 十位数字不是，
C. 是 D. 是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆上一点到其两焦点，的距离之和等于，则椭圆的标准方程为______．
13.在的展开式中，含的系数为______．
14.在公比不为的等比数列中，若，且有成立，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
国产动画电影哪吒之魔童闹海现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录下表截取了该电影上映后日的单日累计票房：
日期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 月日
日期代码
累计票房亿元
续表
日期 月日 月日 月日
日期代码
累计票房亿元
请根据这日数据：
计算，的平均值，；
求关于的经验回归方程．
用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？
附：
参考公式：经验回归方程斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
；
参考数据：，．
16.本小题分
记锐角的内角，，的对边分别为，，，．
求角；
若，求面积的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若，，求的单调区间和极值；
若，证明：当时，．
18.本小题分
如图，已知四面体中，，，，平面平面．
求证：；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较，，的大小．
19.本小题分
已知抛物线：．
若点为抛物线上一点，证明：抛物线在点处的切线方程为；
设，是抛物线：上两点，过点，分别作的切线交于点，点，分别在线段，的延长线上，直线与抛物线相切于点．
证明：；
记，的面积分别为，，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或．
15.解：根据这日数据：
，
；
因为，
所以根据题目的数据及公式可得，
所以，
所以关于的经验回归方程为；
由可得当时，，
预测结果不合理，因为票房增长不可能长期线性增长，实际会随着时间放缓甚至下降，
所以回归模型在此范围外的预测不可靠．
16.解：因为，
由正弦定理得，
又因为在锐角中，，
所以，
又，所以；
因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以．
17.解：若，，则，则，
令，得，令，得，所以函数的增区间为，减区间为，
所以函数的极小值为，无极大值；
证明：若，则，则，
当时，函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，
又当时，当时，，所以存在唯一实数，
使得，即，则，令，
则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以．
18.证明：过作，交于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，，、平面，
所以平面，
又平面，所以．
解：存在，且的值为，理由如下：
由得，
又，，、平面，
所以平面，
因为，所以，，
以为原点，，所在直线分别为，轴，过作，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设，，
则，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，
解得，
即的值为．
解：条棱中任选条，共有种情况，其中相互垂直的棱有对：，，，，，
所以，
个面任选个面，共有种情况，其中相互垂直的面有对：平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
任选个面和不在此面上的条棱，先从个平面任选个平面，共有种情况，再从不在此面上的条棱中选条，有种情况，共有情况，
其中满足垂直关系的有种，分别为平面，平面，
所以，
所以．
19.解：证明：二次函数，求导得，抛物线在点切线的斜率为，
则切线方程为，而，整理得，
所以抛物线在点处的切线方程为．
证明：令，，，设点，，的横坐标分别为，，，
由知，直线，，的方程分别为，，，
联立，，，
因此，
同理，，
所以．
由，令，
则，
，
，
，
，
所以的值为．
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