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2025年内蒙古包头市高考数学二模试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
5.直线与双曲线交于，两点，线段的中点为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为的球与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“型不动点”函数的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线：的焦点到准线的距离为，过的焦点的直线与交于，两点，分别过，两点作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是( )
A. 抛物线的准线方程为
B. 以线段为直径的圆与抛物线的准线相切
C. 以线段为直径的圆与轴相交
D. 以线段为直径的圆过定点
10.一组样本数据，，其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．，分布如图所示，且，，则( )
A. 样本正相关 B.
C. D. 处理后的决定系数变大
11.已知下图为方格，挖去左上角的一个方格后，可以用个下列图形完全覆盖住可以旋转，翻折但不能重叠的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为偶函数，则实数________．
13.已知是数据，，，，，，的第百分位数，若，则 ______．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立．
证明：数列是等差数列；
设，是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且不与和重合，平面交棱于点．
求证：；
若为棱的中点，求二面角的正弦值；
记点，到平面的距离分别为，，求的最大值．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数在有最小值，求的值．
18.本小题分
高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将全班学生分为组，每组人，剩余的学生做裁判比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中个小组分三场进行比赛，每场比赛有个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍已知甲、乙、丙个小组的学生能成功猜对歌名的概率分别为，，．
现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望；
若从甲、乙、丙个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；
若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有个白球和个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，双曲线：，离心率为，点是上任意一点抛物线：．
求的方程；
过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，求证：平行四边形的面积为定值；
，是的两条切线，，是切点，求面积的最小值．
参考答案
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15.解：证明：数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立，
可得，
即，
由，可得，
即数列是首项和公差均为的等差数列；
由等差数列的通项公式，可得，
由，
假设存在正整数，，使得，，成等比数列，
可得，即，
化为，可得，
即有，；，；，；，；，；，．
则存在正整数，，使得，，成等比数列，
满足要求的和的所有值为：
，；，；，；，；，；，．
16.解：证明：因为，且平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以；
取的中点，连接，则，又，
所以四边形为平行四边形，
因为平面，平面，
所以，故四边形为矩形，
在中，，又，
所以在中，，所以，
因为平面，平面，
所以，又因为，平面，且，
所以平面，
以直线为轴，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
可取，
设平面的法向量为，
则，即，
可取，
设二面角的大小为，
则．
设，，则，
设平面的法向量为，
则，即，
可取，
因为，，
所以．
故，
设，，
则，
令，得，
解得舍去，，
故时，，时，，
所以，
故的最大值为．
17.解：当时，，，
，，
故曲线在点处的切线方程为．
，
当时，，因为，所以，此时在无最小值；
当时，
若，则在上，，
所以，在上单调递增，无最小值．
若，则时，有，在上单调递减，
时，有，在上单调递增，
故在上的最小值为，
即，整理得，解得或舍去．
综上，得．
18.解：由题意可知，，由二项分布的期望公式可得；
记事件、、分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件表示该同学能猜对，
所以，，，，
，由全概率公式可得．
所以，该学生能猜对的概率为；
由题意可知，积分增加分的概率为，增加分的概率为记得分为的概率为，
且，，，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
由累加法可得
，
因此，丁组获胜的概率为．
19.解：设双曲线的焦半距为，
此时，
因为双曲线的离心率为，
所以，
解得，
则双曲线的方程为；
证明：设，为渐近线，为渐近线，
直线的方程为，
联立，
解得，
所以，
同理得
所以，
因为直线的斜率，
所以，
所以，
则平行四边形的面积，
因为点在双曲线上，
所以，
即，
则平行四边形的面积为；
设，，，
因为，
可得，
所以直线的方程为，
因为在直线上，
所以，
解得，
同理得，
所以，均满足方程，
则直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
因为到直线的距离，
所以面积，
因为，
所以，
当为时，取得最小值，最小值为．
故面积最小值为．
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