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2025年四川省眉山市仁寿一中南校区高考三模
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：，，，，，若这两组数据的中位数相等，则删除的数为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线：，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设，，是两个平面，，是两条直线，则下列命题不正确的是( )
A. ，，则
B. ，直线，，则
C. ，，，则
D. 过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面
6.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点，若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则( )
A. B. C. D.
7.已知是定义在的奇函数，且若，则( )
A. B. C. D.
8.已知点在抛物线：上，点为圆：上任意一点，且的最小值为，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是( )
A. 的最小正周期为 B.
C. 为偶函数 D. 在上共有个极值点
10.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的被称作阿基米德体，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有( )
A. 平面
B. 该石凳的体积为
C. ，，，四点共面
D. 点到平面的距离为
11.已知数列满足，，给出下列结论正确的是( )
A. 存在，使得为常数列
B. 对任意的，为递增数列
C. 对任意的，既不是等差数列也不是等比数列
D. 对于任意的，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.若的展开式中的系数是，则实数的值是______．
14.设函数，函数，，若函数恰有两个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，已知．
求角；
若，，求的面积．
16.本小题分
如图，在平面四边形中，是边长为的等边三角形，且，沿将折起，使点到达点．
求证：；
当三棱锥体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动次已知每个质点移动次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动次后到达的点所对应的积分之和．
积分
求质点移动次后到达的点所对应的积分为的概率；
求随机变量的分布列及数学期望．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在上
求的方程；
设椭圆：若过的直线交于另一点，交于，两点，且在轴上方．
证明：；
为坐标原点，为右顶点设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号，用表示不超过的最大整数，例如，．
分别求函数和的值域；
若，求函数的值；
若数列满足：，，是数列的前项和，求的值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：因为，
所以由正弦定理得：，
又因为，所以，即，
又因为，所以；
由余弦定理得：，
即，
因为，所以，所以，
所以．
16.解：证明：取中点，连接，，
由，得，由等边，得，
而，平面，，
则平面，又平面，
所以．
依题意，的面积为，
三棱锥体积，
则当且仅当点到平面的距离最大时，三棱锥体积最大，
在中，，，
因此当平面时，三棱锥体积最大，
在平面内过作于，连接，
由平面，平面，
得，而，，平面，
于是平面，又平面，
则，
是二面角的平面角，
在中，，
在中，，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：设事件为“质点移动次后到达的点所对应的积分为”，
由题意可知点两次移动后在点，又起点为点，即的移动一次向左一次向右，
所以；
的所有可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：


．
18.解：因为点在上，
所以，
因为，
又椭圆的离心率，
所以，
则椭圆方程为；
证明：要证，
需证弦的中点与弦的中点重合，
当垂直于轴时，弦，的中点都是坐标原点，
所以它们的中点重合，
此时，
当不垂直于轴时，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以弦中点的横坐标为，
同理得，
所以弦中点的横坐标为，
所以弦的中点与弦的中点重合，
此时，
综上所述，；
假设存在实数使得的面积与的面积相等，
因为，
所以，
因为点在第一象限内，，
由知，
所以，
又，
所以，
化简得，
设到的距离为，到的距离为，
假设的面积与的面积相等，
此时，
因为，
所以，
即，
又，
因为，
所以，
所以，
又，
解得，
经检验符合题意．
则．

19.解：由于，所以，由于函数的值域为，所以的值域为整数集；
令，则，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，又，，
所以当时，，当时，．
由于恒成立，并且当时，，当时，．
故当且时，，，当时，，
所以．
令，则在上单调递减，且，
，所以，，
依次可得：，，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
故，，又，
所以当为偶数时，
，
，即，
故；
当为大于的奇数时，
，
，
即，故．
所以．
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