资源简介

安徽省部分示范高中2025届高三第三次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则( )
A. B. C. D.
3.函数若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
4.现将个相同的小球全部放入个不同的盒子里，每个盒子至少放个小球，则不同的放法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.已知是正实数，若函数对任意恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.若函数是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，样本数据：，，，：，，，则
A. 的平均数一定等于的平均数 B. 的中位数一定小于的中位数
C. 的极差一定大于的极差 D. 的方差一定小于的方差
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的周期为
B. 的图象关于对称
C. 在上恰有个零点
D. 若在上单调递增，则的最大值为
11.设，函数，则( )
A. 有两个极值点
B. 若，则当时，
C. 若有个零点，则的取值范围是
D. 若存在，满足，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则 ．
13.在三棱锥中，平面，若，且，则三棱锥的体积的最大值为 ．
14.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点其中在第一象限，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则直线的斜率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游戏，规则如下：先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为；再从第二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为记一次游戏后，得分总和为分
求的分布列和数学期望；
若有人玩该游戏各一次，求恰有人游戏得分不低于分的概率．
16.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
若不等式恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，侧棱与底面所成的角为，且，．
求；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆上的两点．
求椭圆的标准方程；
若为椭圆上任意一点，以点为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为证明：的面积为定值，并求出该定值．
19.本小题分
已知无穷数列满足以下条件：，当时，；若存在某项，则必有，使得且．
若，写出所有满足条件的；
若，证明：数列为等差数列；
设，求正整数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题知，可能取的值为，，，
，，
，，
的分布列为：
故．
由知，得分不低于分和低于分的概率均为
故人玩该游戏各一次恰有人游戏得分不低于分的概率为．

16.解：，，．
，切点坐标为，
函数在点处的切线方程为，即，
切线与坐标轴交点坐标分别为，
所求三角形面积为．
方法一：通性通法
，，且．
设，则
在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，，成立．
当时，，，，
存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
，
恒成立；
当时，不是恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
方法二【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以的取值范围为．
方法三：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为所以．
方法四：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以的取值范围为．
17.因为平面，平面
所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为平面，所以在平面上的射影为，
所以为直线与底面所成的角，
因为与底面所成的角为，所以，又，
所以，设，
因为，，，
所以，，又，故，
则，
因为因为平面，平面
所以，所以，
所以，
解得或舍去，
故．
以为坐标原点，、分别为、轴的正方向，过作垂直于平面的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
令，得，，
则为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
令，可得，，
得为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.设椭圆的方程为，
由题意知：，，解得，
所以椭圆的方程为．
设，则，且圆的方程为，
即圆的方程为
因为圆的方程为，
将圆的方程与圆的方程作差得，

所以的方程为，
点到直线的距离
，
又因为，所以的面积为为定值．
19.解：由题意，当时，，
，
或，
或，
，，
若，则或
若，则或
综上所述，满足条件的可能为，，，
先证当正整数时，，，，，是以为首项，为公差的等差数列，且，
由得，或，又，，
当时，，是以为首项，为公差的等差数列，且
假设当且时，，，，，是以为首项，为公差的等差数列，且，
若，则，
由题意，则必有，使得，，
，，，，是以为首项，为公差的等差数列，
，与矛盾，
，
当时，，，，，是以为首项，为公差的等差数列，且
由得，当正整数时，，，，，是以为首项，为公差的等差数列，且，
数列为等差数列
设且，则必有，使得，此时，
要使最小，则需，且，且
，此时取，则满足，
当正整数取最小值时，，，，，
，
，的最小值为．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑