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2025年广东省惠州市高考数学模拟试卷（4月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁位志愿者中选位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点人已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.如图，在正方体中，，，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是( )
A. 平面平面
B.
C.
D. 平面
7.已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则( )
A. B.
C. 函数的周期为 D.
8.已知，均为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 为偶函数 B.
C. 无零点 D. 在上单调递减
10.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面反射后，集中于它的焦点若抛物线：的焦点为，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则( )
A. 的准线方程为 B.
C. 若点，则 D. 设直线与的准线的交点为，则点在直线上
11.设随机变量的所有可能取值为，，，，且，，现定义，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则随着的增大而增大
C. 若，则的最小值为
D. 若，随机变量的所有可能取值为，，，，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，则的值等于______．
13.一试验田某种作物一株生长果实个数服从正态分布，且，从试验田中随机抽取株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为______．
14.已知函数且，若恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且数列是公比为的等比数列，且．
求数列和数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
16.本小题分
体育课上，同学们进行投篮测试规定：每位同学投篮次，至少投中次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行次投篮训练已知甲同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立．
求甲同学通过测试的概率；
若乙同学每次投中的概率为，每次是否投中相互独立经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
Ⅱ若曲线上两点、处的切线都与轴垂直，且线段与轴有公共点，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，且点不在平面内如图，点在线段上不含端点．
证明：；
若．
当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的大小；
设平面与平面的夹角为，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：，，椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于、是不同的两点．
若椭圆的离心率是，求的值；
设的面积是，的面积是，若，时，求的值；
若点，满足且，则称点在点的左上方求证：当时，点在点的左上方．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由，
可得，
当时，，
上式对时也成立，
则，；
数列是公比为的等比数列，且，
可得；
，
可得数列的前项和，
，
相减可得
，
可得．
16.解：记事件为甲同学通过测试，
甲同学在次投篮中，投中次或次，
所以，
则甲同学通过测试的概率为；
记乙同学通过测试为事件，
乙同学在次投篮中，投中次或次，
所以，
易知的所有可能取值为，，，
所以，，
，
则的分布列为：
故．
17.解：Ⅰ由题设知．
令．
当时，
若，则，
所以在区间上是增函数；
若，则，
所以在区间上是减函数；
若，则，
所以在区间上是增函数；
当时，
若，则，
所以在区间上是减函数；
若，则，
所以在区间上是增函数；
若，则，
所以在区间上是减函数．
Ⅱ由Ⅰ的讨论及题设知，曲线上的两点、的纵坐标为函数的极值，
且函数在处分别是取得极值，．
因为线段与轴有公共点，所以．
即．
所以．
故，且．
解得或．
即所求实数的取值范围是．
18.解：证明：取中点为，连接，，
因为，，所以，，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
取的中点，因为为等边三角形，为等腰直角三角形，，
所以，，且，
由，则，
故E，
如图建立空间直角坐标系，
得，，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，
令，则，，
故．
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角为．
设平面的法向量为，，，
则，
取，则，，
故，
，则，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
所以，
令，则，
所以，
因为时，，
所以，
故的取值范围是．
19.解：因为椭圆的离心率是，
当时，，得；
当时，，得；
所以的值为或；
由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，，直线的方程，设
则．，直线的方程，设，
则，
由图，，
注意到，则．
又，
同理可得，
则．
证明：由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，，直线的方程，设
则 ，
，直线的方程，设，
则 ，
则
，
又在椭圆内部，则，故，
又根据题意知，所以，所以当时，点在点的左上方．
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