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2024-2025学年湖南省名校联考联合体高二（下）期中
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 3, 2,0,1,2} = { | 1， 1 ∈ }，则 ∩ =( )
A. { 3, 2,0,1,2} B. {0,2} C. {1,3} D. { 2,0,2}
2 2

.若复数 = 1+ ， 是虚数单位，则 的共轭复数 等于( )
A. 1 + B. 1 C. 2 + 2 D. 2 2
3.已知 = (3,6), = ( , )，若 + 3 = 0，则 =( )
A. (1,2) B. ( 1, 2) C. ( 1,2) D. (1, 2)
4.已知函数 ( ) = sin(2 + 3 )( > 0)，若 ( )的最小正周期为 ，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 12 D.
1
4
5.小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为 0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率
为 0.5，在长沙去徒步爬山的概率为 0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为( )
A. 0.54 B. 0.56 C. 0.58 D. 0.6
2 26.已知 1， 2分别是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，点 是双曲线 上在第一象限内的一
点，若 sin∠ 2 1 = 2 ∠ 1 2，且∠ 1 2 = 60°，则 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
7.棱长为 3 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1靠近 1的三等分点， 为棱 靠近 的三等分点，则
三棱锥 1 1 的外接球表面积为( )
A. 252 B. 18 C.
41 D. 432 2
8.已知各项均不为零的数列{ }，其前 项和为 ， 1 = ，且 = +1( = 1,2, ).下列结论中错误的
是( )
A. 2 = 1
B.不存在实数 ，使{ }为递减数列
C.存在实数 ，使得{ }为等比数列
D. ∈ ，使得当 > 时，总有 2 < 3
0.03
2 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法正确的是( )
A.在(3 + 2 )5的展开式中二项式系数和为 32
B.在( 2 )
3的展开式中常数项为 6
C.在(1 + )10的展开式中系数最大的项是第 5 项
D.在(1 2 )2025的展开式中各项系数的和为 1
10.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过焦点的直线 与抛物线 交于 ， 两点(点 在第二象限)，则( )
A. △ 可能为等边三角形
B. =
1
4
C. 16若直线 的倾斜角为 30°，则| | = 3
D.若直线 的倾斜角为 30°，则△ 的面积为 4 3
11.已知函数 ( ) = + + ，其中 为正整数， < 0 且为常数， 是函数 = ( )大于 0 的零点，其
构成数列{ }，则( )
A.函数 = 3( )不可能有三个零点
3
B.函数 = 4( )的减区间为( ∞,
1
4)
C. 1对于任意的 ，函数 = ( )在区间( 2 , 2)内均存在零点，则 ∈ ( 4, 1)
D.存在实数 使得数列{ }的部分项 1 , 2, 3 , 构成无穷等比数列
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知等差数列{ }的前 项和为 ， 2 = 9， 9 = 54，则 7 = ______．
13.某班一天上午有 4 节课，下午有 3 节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、政治，
体育 7 堂课的课程表，要求数学课、物理课都排在上午，且数学课、物理课不连排，体育课排在下午，不
同排法种数是______. (用数字作答)
14.已知在平面直角坐标系 中， ( 1,0)， (1,0)，动点 满足| | | | = 4，则| |的取值范围是
______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
人工智能(简称 )的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业.某公司推出的 软件主要
有四项功能：“视频创作”“图像修复”“语言翻译”“智绘设计”.为了解某地区大学生对这款 软件的
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使用情况，从该地区随机抽取了 100 名大学生，统计他们最喜爱使用的 软件功能(每人只能选一项)，统
计结果如下：
软件功能 视频创作 图像修复 语言翻译 智绘设计
大学生人数 30 20 30 20
假设大学生对 软件的喜爱倾向互不影响．
(1)从该地区的大学生中随机抽取 1 人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
(2)采用按比例分配的分层抽样的方式从最喜爱“视频创作”和“图像修复”的大学生中随机抽取 5 人，再
从这 5 人中随机抽取 2 人，其中最喜爱“视频创作”的人数为 ，求 的分布列，数学期望以及方差．
16.(本小题 15 分)
在△ 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边， 3 = 0．
(1)求角 的大小；
(2)若 为 的中点， = 3，△ 的面积为 3，求△ 的周长．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ， 为实数．
(1)若函数 ( )在 = 1 处的切线经过点(0,1)，求 的值；
(2)若 ( )有极小值，且极小值大于 2，求 的取值范围；
(3)若对任意的 1 > 2，且 1， 2 ∈ [1, ]， ( 1) ( 2) < 1 2恒成立，求 的取值范围. ( 为自然常数)
18.(本小题 17 分)
如图，矩形 中 = 12 = 2, 为 中点，将△ 沿着 折叠至 = 2 3．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)设平面 ∩平面 = ，点 ∈ ．
( )当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为 22；
11
( )在满足条件( )的情况下，过 作一截面，与棱 ， ， 分别交于点 ， ， ，且 //平面 ，
记四棱锥 的体积为 1，四棱锥 的体积为
1
2，求 ．2
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19.(本小题 17 分)
2 2
在平面直角坐标系 中，点 ， ， 分别是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右顶点、上顶点、左顶点，
3
若 的离心率为 2 , | | = 5．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 ， 两点，其中点 在线段 上运动(不含端点)， 与 关于 点对称，直线 与椭圆 的另一交
点为 点，直线 与椭圆 的另一交点为 点，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2，直线 ， 的斜率分
别为 3， 4．
( )求△ 的面积 的最大值；
( ) 1求证：( +
1
)( 3 + 4)为定值，并求出该定值．1 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13.432
14.[ 3, 5]
15.解：(1) 30 3根据题意可得该地区的大学生最喜爱“视频创作”的概率为 = 30+20+30+20 = 10．
(2)因为“视频创作”和“图象修复”的人数分别为 30 人和 20 人，
所以可得“视频创作”和“图象修复”的人数分别为 3 人和 2 人，
从这 5 人中随机抽取 2 人，其中“视频创作”的人数为 ，
则 的可能取值为 0，1，2，
2 1 1 2
又 ( = 0) = 2 12 = 10 , ( = 1) =
3 2 6 3 3
2
= 10 , ( = 2) = =5 5 25 10
，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2
1 6 3
10 10 10
所以 ( ) = 0 × 110 + 1 ×
6 3 6
10 + 2 × 10 = 5，
( ) = (0 6 2 1 6 25 ) × 10 + (1 5 ) ×
6
10 + (2
6
5 )
2 × 3 910 = 25．
16.解：(1)根据题意可知， 3 = 0，∴ 3 = 0，
∵ 0 < < ，∴ > 0，
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∴ 3 1 = 0 1，∴ 2 ( 6 ) = 1，∴ sin( 6 ) = 2，
∵ 0 < < ，∴ 6 = 6，即 = 3；
(2) ∵△ 的面积为 3，∴ 12 = 3
1 3
，∴ 2 × 2 = 3，
∴ = 4 1，∵ = ( 2
+ )，
∴
2 2 2
= 1 4 ( +
)2 = 1 ( + 2 + 4 )，
∴ 3 = 1 2 24 ( + + 2 ) =
1 2 2 2
4 ( + + 4)，∴ +
2 = 8， + = 4，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 = 8 2 × 4 × 12 = 4，解得 = 2，
∴ + + = 4 + 2 = 6，∴△ 的周长为 6．
17. (1) ( ) = 1 解： 由题意可得 ′ + 2，∴ ′(1) = 1 + ，
又 (1) = ，∴函数 ( )在 = 1 处的切线方程为 + = (1 + )( 1)，
∵切线经过点(0,1)，∴ 1 + = (1 + )(0 1)，解得 = 1；
(2)由(1)知 ( ) = 1 ，定义域为(0, + ∞)， ′( ) =
1+ = + 2 2 ，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增，无极值，
当 < 0 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
∴当 0 < < 时， ′( ) < 0，函数 ( )在(0, )上单调递减，
当 > 时， ′( ) > 0，函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，
∴当 = 时，函数 ( )有极小值，极小值为 ( ) = ln( ) + 1，
由 ln( ) + 1 > 2，∴ < ，∴ 的取值范围为( ∞, )；
(3)由 ( 1) ( 2) < 1 2得 ( 1) ( 2) < 1 2，
令 ( ) = ( ) ，∴对任意的 1 > 2，且 1， 2 ∈ [1, ]， ( 1) < ( 2)恒成立，
∴ ( )在[1, ]单调递减，
2
∴ 1 + + ′( ) = ′( ) 1 = + 2 1 = 2 ≤ 0 在[1, ]上恒成立，
∴ ≤ 2 在[1, ]上恒成立，
∵二次函数 = 2 在[1, ]上单调递增，
∴函数 = 2 在[1, ]上的最小值为 0，
∴ ≤ 0，即 的取值范围是( ∞,0]．
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18.解：(1) 1证明：根据题目：矩形 中 = 2 = 2, 为 中点，将△ 沿着 折叠至 = 2 3．
= = 2， = = 2 2， = 4，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
∵ = 2 3, = 2, = 2 2，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ；
(2)( ) ∵ // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，所以 // //
以点 为坐标原点， 、 为 轴和 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
(0,0,0), (2 2, 0,0), (0,2 2, 0), ( 2, 2, 0), ( 2, 0, 2)，
∵ // ，∴ = = ( 2 2 , 2 2 , 0)，∴ ( 2 2 2 , 2 2 , 2)，
= ( 2 2, 2, 2), = ( 2, 2, 0), = (2 2 2 2 , 2 2 2, 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0, 2 2
+ 2 2 = 0,
即
= 0, 2 2 = 0,
令 = 1，得 = 1， = 3，∴ = (1, 1, 3)，

记直线 与平面 所成角为 ，则 =
| | |2 2 2 2 2 2 + 2 3 2| 22
|
= =
| | | ，11 (2 2 2 2 )2+(2 2 2)2+2 11
|4 | 1 1
化简得 = 18(1 )2+2(2 1)2+2 ，解得 = 2，所以 = 2 = 2．
当 为 2 时，直线 与平面 所成角的正弦值为 22；
11
( )由( ) 1知， = 2 , // ，
∴ 1 1 = = 2，即 = 3 (三等分点)，
又∵ //平面 ，
∴ // ，∴ = 13 (三等分点)，
∵ // ， = ，∴四边形 为平行四边形，
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∴ =
1 1
= 3，即 = 4 (四等分点)，
∴ = = = 1 , = = 1 = 1 1 = 9 4 4 36．
又∵ 1 1 = 3 × 2 × 2 2 × 2 2 × 2 =
4 2 , = 1 × 1 2 23 ，3 2 × 2 × 2 × 2 = 3
1×4 2+ 1 ×2 2
∴ 1 = 9 3 36 3 1 2 4 2+2 2
= 12．
3 3
2 2
19.解：(1)因为点 ， ， 分别是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右顶点、上顶点、左顶点，
3并且 的离心率为 2 , | | = 5．
= 3 = 2 = 2
那么可得 | | = 2 + 2 = 5，所以 = 1 ，
= 3
= 2 2
2
因此 4 +
2 = 1；
(2)( )设 为点 到 的距离，
因此三角形 的面积 = 2 △ = 2 ×
1
2 × | | = 5 ，
显然当过点 且与 平行的直线 ′与椭圆相切时 取得最大值，
由于 (0,1)， (2,0) 1 1，因此 = 2，设 ′为 = 2 + ( < 0)，即 + 2 2 = 0，
+ 2 2 = 0
联立椭圆方程和直线 ′可得 2 ，得 22 2 + 2
2 2 = 0，
4 + = 1
根据根的判别式 = 4 2 4(2 2 2) = 0，解得 =± 2(正值舍去)，
|2+2 2| 2+2 2
因此 ′为 + 2 + 2 2 = 0，又因为点 到 ′的距离 1 = = ，12+22 5
2+2 2因此 的最大值为 5 ，
= 5 × 2+2 2那么 5 = 2 + 2 2；
( )证明：设 ( , 0)( 2 < < 0)，那么 (4 , 0)，
1 + 1 4 因此 1
= 1 + 1 = 4，2
= 2 + 1
又因为直线 为 = 2 + 1，联立椭圆方程可得 2 2 2+ 2
，化简得(4
= 1 2
+ 1) + 8 2 = 0，
4
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= 8
2
因此 2 2 ，那么 = 2 + 1 = (
8 2
2 2 ) + 1 =
8 2
2 + 1，4 2+1 4 2+1 4 2+1
( 8
2 2
即 2 , 8 2 + 1) 8 8 ，同理可得 ( 1 , 1 + 1)，
4 2 2 2 22+1 4 2+1 4 1+1 4 1+1
2 2
因此 + = 4 1 1 + 4 2 13 4 8 21+8 21+2 8 2+8 2+2
(4 2 1)(8 2 +8 +2)+ (4 2 1)(8 21 2 2 2 1 +8 1 +2)=
(8 21 +8 21 +2)(8 2 +8 2 +2)
64 2 2+32 2= 1 2 1 2+32 2
2
1 8 2 8 1 4
64 2 2 2 2 2 2
，
1 2+64 1 2+64 2 1+16 2+16 1+64 1 2+16 2+16 1+4
1 + 1 = 4 + 由于 ，所以
1 2
= 4，因此 4 1 2 = 2 + 1，那么 16
2 21 2 2 1 2 = 22 + 21，
1 2 1 2
64 2 2+32 2 2
因此 + = 1 2 1 2+32 2 1 8 2 8 1 43 4 64 2 2 21 2+64 1 2+64 22 1+16 22+16 21+64 1 2+16 2+16 1+4
= 64
2 2
1 2+32 1 2 4
2 2 = 1，64 1 2 32 1 2+4
1 1
因此( + )( 3 + 4) = 4．1 2
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