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北京市第八十中学2024 2025学年高一下学期4月月考数学试卷
一、单选题（本大题共10小题）
1．已知复数满足，则对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知中，，，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
3．已知复数（），则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设D为所在平面内一点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．120°
6．要得到的图像，只要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7．在中，若，则为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
8．已知平面向量均为非零向量，则“”是“向量同向”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．如图，在倾斜角15°（）的山坡上有一个高度为30米的中国移动信号塔（），塔与水平地面垂直，在A处测得塔顶B的仰角为45°（），则塔顶到水平面的距离（）是（ ）米.
A． B． C．40 D．
10．在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
二、填空题（本大题共6小题）
11．已知向量，若，则x的值为 .
12．复数的共轭复数为 .
13．若复数为纯虚数，则实数a的值为 .
14．已知向量与的夹角为60°，，，则 ， .
15．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若的面积为，则角C等于 ，的最小值为 .
16．已知函数在上单调，且，则的取值可能为 .
① ② ③ ④12 ⑤
三、解答题（本大题共3小题）
17．已知向量，，且与的夹角为.
（1）求，；
（2）当实数取何值时，向量与方向相反
（3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18．设函数.
（1）求的最小正周期，单调增区间，对称中心；
（2）当时，求函数的最大值和最小值；
（3）若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围.
19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，有三个条件：①；②；③.从三个条件中选取两个条件，完成下面两个问题，并说明所有不能选取的条件组合的理由.
（1）求；
（2）设D为BC边上一点，且，求的面积.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，，
则对应的点位于复平面内的第四象限.
故选D.
2．【答案】D
【详解】因为中，，，，
所以，，
因为，可得，即，
所以或.
故选D.
3．【答案】A
【详解】解：因为，所以，当时，故充分性成立，当，即，解得，故必要性不成立，
故是的充分不必要条件；
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以.
故选C.
5．【答案】B
【详解】由，令，
，
又，则，
所以这个三角形的最大角的弧度数为.
故选B.
6．【答案】C
【详解】因为目标函数，所以将函数的图像向左平移个单位即可.
故选C.
7．【答案】C
【详解】解：在中， ，
，
为等腰三角形，
故选C．
8．【答案】B
【详解】当时，，
但此时向量不一定同向；反之，当向量同向时，
成立，所以“”是
“向量同向”的必要不充分条件.
故选B
9．【答案】A
【详解】在中，，，，
由正弦定理得，，
所以，得，
，
在中，因为，
所以，
所以.
故选A.
10．【答案】B
【详解】如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则，，．
设，则．
因为，所以P是圆A：上的点．
又点P与点距离的最大值为，即，
所以．
故的最大值为17．
故选B.

11．【答案】
【详解】由题意，向量，
因为，可得，解得，
所以x的值为.
12．【答案】
【详解】，则其共轭复数为.
13．【答案】-2
【详解】因为复数为纯虚数
所以，所以.
14．【答案】
【详解】由题意，，所以，
因为与的夹角为60°，，
所以，
所以.
15．【答案】 6
【详解】第一空：
因为，
所以由正弦定理得，，即，
所以由余弦定理得，，
因为，所以；
第二空：
因为的面积为，所以，所以，
由余弦定理得，，
当且仅当时等号成立，
所以，即的最小值为6.
16．【答案】①③
【详解】设的最小正周期为T，则由在上单调，
可得，即，
由且，
得的一个零点为.
因为，
所以有以下三种情况：①，则；
②，得，则；
③，得，则.
17．【答案】（1），
（2）
（3）
【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为，
所以，解得，
所以，
所以，
所以；
（2）因为向量与方向相反，
所以存在，使，
因为与不共线，所以，
解得（舍去），或，
所以；
（3）因为，，
所以，，
因为与的夹角为锐角，
所以，且与的不共线，
由，得，解得，
由与的不共线，得，得，
所以且，
即实数的取值范围为.
18．【答案】（1）；单调递增区间为；对称中心为
（2）最小值；最大值.
（3）
【详解】（1）
，
则最小正周期，
令，得，
则的单调递增区间为，
令，得，
则的对称中心为.
（2），则，则，
则，
故当，即时，取最小值；
当，即时，取最大值.
（3）函数在上有两个零点，则在上有两个根，
又，则，
结合正弦函数图像可得，，得，
则取值范围为
19．【答案】（1）；
（2）
【详解】（1）∵，即，
又，∴，∵为钝角，与矛盾，
∴①②中仅有一个正确，③一定正确，∴，
当①③正确时，由，
得，无解；
当②③正确时，∵，，得，
经检验成立，∴.
（2）如图所示，∵，∴，
∴，
∴.

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