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北京市景山学校远洋分校2024 2025学年高一下学期4月月考数学试卷
一、单选题（本大题共10小题）
1．－315°化为弧度是（ ）
A．－π B． C． D．
2．下列结论中错误的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是；
C．，，则；
D．若是第三象限角，则是第二象限角．
3．若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
5．已知均为第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，，则在上的投影数量是（ ）
A． B． C． D．
9．若，是一组基底，向量（），则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则在另一组基底，下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ）
A．17 B．20 C．34 D．48
二、填空题（本大题共5小题）
11．计算： ．
12．已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为 .（写出一个即可）
13．已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为 .
14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积.弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长为米的弧田.按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.

15．我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点， 为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知若的余弦距离为，则的余弦距离为 .
三、解答题（本大题共5小题）
16．已知.
(1)求的值.
(2)若，求的值.
17．已知平面向量，.从下列条件①，条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问题：
(1)求的值；
(2)求向量夹角的余弦值.
条件①：；条件②：.
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角.
19．如图，已知是边长为2的正三角形．如图是边的两个四等分点．
(1)求的值；
(2)若为线段上一点，且，求实数的值；
(3)若为线段上的动点，求的最小值．
20．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题.
1.极化恒等式：，公式推导：；
2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则；
3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由.
(1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值；
(2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围；
(3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，
所以.
故选C.
2．【答案】D
【详解】终边经过点，则该终边为第一象限的角平分线，
即角的集合是，故A正确；
将表的分针拨慢10分钟，则旋转的角度为，即分针转过的角的弧度数是，故B正确；
表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，
表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即，故C正确；
由于为第三象限角，所以，
故，所以是第二或第四象限角，故D错误；
故选D.
3．【答案】B
【详解】设扇形圆心角为，则，又，解得.
故选B.
4．【答案】C
【详解】由，可得，，
故为第三象限角，
故选C
5．【答案】C
【详解】由题意， 若，因为均为第二象限角，所以，
所以，即，
所以，且均为第二象限角，
所以，所以，即充分性成立.
若，因为均为第二象限角，
所以，即，
所以，即，
因为均为第二象限角，所以，
所以，故必要性成立,
所以“”是“”的充要条件.
故选C.
6．【答案】C
【详解】由，，
可得：，
又，.
所以，解得：，
故选C
7．【答案】A
【详解】因为，所以，所以，
所以，因为，
所以，又因为，所以．
所以与的夹角为．
故选A．
8．【答案】A
【详解】在上的投影数量是，
故选A
9．【答案】C
【详解】因为，，，，
可知，
又因为向量在基底，下的坐标为，
则，
所以在基底，下的坐标为.
故选C.
10．【答案】C
【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为，
则分别是的中点，由勾股定理得，
，
，
故,
当反向时等号成立，
所以的最大值是.
故选C.
11．【答案】0
【详解】.
12．【答案】（不唯一）
【详解】解：因为角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，
所以，
则，
所以，
解得，
当时，.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
则在方向上的投影为.
14．【答案】 1
【详解】如图所示，过作于，的延长线交于.
则，，所以，，
所以，，
所以，
则弧田面积是.

15．【答案】/
【详解】由题意得，
则，
又，
，
，
.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由得，所以.
（2）由（1）知，
因为，且，所以，
所以，所以由得，解得，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：若选①：因为，，所以，
又，所以，解得；
若选②，因为，，所以，
又，所以，又，解得；
（2）解：由（1）得，所以，，
所以，
所以向量夹角的余弦值为.
18．【答案】(1)或.
(2)
【详解】（1）解：设，因为，所以．①
又，所以．②，由①②联立，解得或，所以或．
（2）解：由，
得，
又，解得，所以，
所以与的夹角.
19．【答案】(1)6
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以
.
（2）设，则，
所以，解得.
（3）记，
，
设，
则，，
，，
所以当，即时，取得最小值为.
20．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）.
由极化恒等式可得：.
（2）如图，连接.
因为，，
所以.
因为正八边形内切圆的半径为，，
所以.
因为，所以，所以，
即的取值范围是.
（3）令（其中），
则三点共线（如图），
从而的几何意义表示点到直线的距离为，
这说明是等边三角形，为边上的高，故.
取的中点，则由向量极化恒等式可得，
其中为点到边的距离.
即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值.

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