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广东省湛江市第二十一中学2024 2025学年高一下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量不共线，，且，则实数（ ）
A．1或4 B．1或 C．或1 D．或1
4．已知向量，则（ ）
A．1 B． C． D．2
5．在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
6．已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数对任意都有，且当时，，则（ ）
A． B．8 C． D．12
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知平面向量，下列说法不正确的有（ ）
A．若，，则 B．
C． D．若，则
10．已知复数，则（ ）
A．的虚部为
B．
C．在复平面内的对应点位于直线上
D．为方程的一个根
11．在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则是锐角三角形
B．若，，，则有唯一解
C．若是锐角三角形，，，设的面积为S，则
D．若是锐角三角形，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．设向量，且⊥，则向量的模为
13．在中，，，，则 .
14．若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．化简求值：
(1);
(2)已知，计算.
16．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）.
(1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围；
(2)设备占地面积为多少时，的值最小？
17．已知．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
18．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求的取值范围．
19．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求在区间上的最大值．
参考答案
1．D
2．A
3．B
4．C
5．D
6．C
7．A
8．A
9．AB
10．BCD
11．BCD
12．
13．
14．
15．（1）原式.
（2），
.
16．（1）由题意得，
令即，整理得即，
所以解得，
所以设备占地面积的取值范围为.
（2），
当且仅当即时等号成立，
所以设备占地面积为时，的值最小.
17．（1）因为，
，
因为
所以，
（2）由（1）知，，
因为
所以当时，的最小值为
18．（1）因为，
且，则，可得，
整理得，所以.
（2）由余弦定理，即，
解得或（舍去），
所以的面积.
（3）由正弦定理，可得，
则
，
因为为锐角三角形，且，则，解得，
则，可得，
则，
所以的取值范围为.
19．（1）当时，，
，由，可得，解得，
即当时，函数的零点为；
（2）令，即求在区间上的最大值．
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，，则；
③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，，则；
④当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，.
综上所述，.

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