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《第9章中心对称图形--平行四边形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，十堰经开区数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，点A、C的对应点分别为D、E，延长CA交DE于点F，下列结论错误的是（　　）
A．∠BED＝30° B．∠DBE＝45° C．∠ABD＝60° D．∠CBE＝60°
3．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CF是AB边上的中线，DE是△ABC的中位线，若CF＝6，则DE的长（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若，BD＝3，则菱形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；
②△PAB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（　　）
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
8．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则（　　）
A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°
B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）＝40°
C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）＝70°
D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）＝180°
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE：S△BCM＝2：3．其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知在 ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数是 　 　．
12．如图，长方形AOBC中，A、B在坐标轴上，OA＝2，OB＝1，则C的坐标为　 　．
13．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
14．如图，已知平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交边AD于E，∠ABC的平分线交AD于F，若AB＝12，AE＝5，则EF＝　 　．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若正方形ABCD的边长为2，则四边形OMCN的面积是 　 　．
16．如图，已知AB＝10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是　 　．
17．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边CD上，DE＝1，作EF∥BC，分别与边AB、AC交于点F、G，点M，N分别是AG，BE的中点，则∠FMA＝ 　 　°，△MNC的面积是 　 　．
18．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求 ABCD的面积．
20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）若将△ABC绕点P旋转得到△A2B2C2，则点P的坐标为 　 　．
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（1，1）
D．（1，0）
21．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点．
（1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形；
（2）如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
22．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD＝DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG＝13，CF＝6，求四边形BDFG的周长．
23．（12分）【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，则AP＝MN．
（1）如图②，将边长为40的正方形ABCD折叠，使得点B落在CD上的点E处．若折痕FG＝41，则CE＝　 　．
【继续探索】
（2）如图③，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，
DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN．
（3）如图④，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M，在MF上截取MN＝DM，
连接BN，G为BN中点，连接CG，CM．请依题意补全图形，若CG＝2，则CM＝　 　．
24．（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），点D为对角线OB的中点．点P是OC边上一动点，直线PD交AB边于点E．
（1）求证：四边形OPBE为平行四边形；
（2）若△ODP的面积与四边形OAED的面积之比为1：3，求点P的坐标；
（3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以点O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
25．（12分）平面直角坐标系不仅可以研究函数，还可以研究并解决很多图形以及图形变换问题．
（1）如图①，在菱形OABC中，若点A（3，4），则点B坐标为 　 　；
（2）如图②，线段AB、CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为 　 　；
（3）如图③，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（﹣5，1），点M、N分别是x轴、y轴上的点，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标为 　 　；
（4）如图④，已知正方形ABCD的边长为5，E、F分别是边CD、AD上的点，BE、CF交于点P，CE＝DF＝2，写出求AP长的解题思路．
参考答案
一．选择题
1．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此分析判断即可．
【解答】解：中心对称图形的概念逐项分析判断如下：
A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
C、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2．
【分析】直接根据旋转的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝45°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC＝45°，∠ABD＝∠CBE＝60°，
故选项B、C、D正确，
由已知条件无法得出∠BED＝30°，
故选项A错误，
故选：A．
3．
【分析】由菱形的判定与性质即可得出A、B、D正确，C不正确．
【解答】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．∵菱形的对角线互相垂直且平分，
∴选项C不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选：C．
4．
【分析】根据直角三角形斜边上的直线的性质得出AB的长，再根据三角形中位线定理得出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CF是AB边上的中线，
∴AB＝2CF＝12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE6，
故选：D．
5．
【分析】首先根据三角形中位线定理得到，再计算菱形的面积即可．
【解答】解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的面积，
故选：C．
6．
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC10，
∴AO＝DOAC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12AO×EODO×EF，
∴125×EO5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF，
故选：C．
7．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MNAB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，
∴MN是△PAB的中位线，
∴MNAB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
PA、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：B．
8．
【分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2﹣θ1＝10°，θ4﹣θ3＝40°，两式相减即可得到（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAP＝90°﹣θ1，∠DCP＝90°﹣θ3，
∴△ABP中，90°﹣θ1+θ2+80°＝180°，即θ2﹣θ1＝10°，①
△DCP中，90°﹣θ3+θ4+50°＝180°，即θ4﹣θ3＝40°，②
由②﹣①，可得（θ4﹣θ3）﹣（θ2﹣θ1）＝30°，
即（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°，
故选：A．
9．
【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．
【解答】解：如图，连接AE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，
∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，
连接AC，
∴d1+d2+d3最小值为AC，
在Rt△ABC中，ACAB＝2，
∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，
故选：C．
10．
【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；
②在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等；
③可证明∠CDE＝∠DFE；
④可通过面积转化进行解答．
【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC，
∵FO＝FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；
②∵△BOC为等边三角形，FO＝FC，
∴BO⊥EF，BF⊥OC，
∴∠CMB＝∠EOB＝90°，
∴BO≠BM，
∴△EOB与△CMB不全等；
故②错误；
③易知△ADE≌△CBF，∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠ADE＝∠CBF＝30°，∠BEO＝60°，
∴∠CDE＝60°，∠DFE＝∠BEO＝60°，
∴∠CDE＝∠DFE，
∴DE＝EF，
故③正确；
④易知△AOE≌△COF，
∴S△AOE＝S△COF，
∵S△COF＝2S△CMF，
∴S△AOE：S△BCM＝2S△CMF：S△BCM，
∵∠FCO＝30°，
∴FM，BMCM，
∴，
∴S△AOE：S△BCM＝2：3，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选：B．
二．填空题
11．
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝40°，
∴∠B＝70°，∠A＝110°，
∴∠C＝∠A＝110°．
故答案为：110．
12．
【分析】根据矩形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，
∴AC＝OB＝1，BC＝OA＝2，∠CAO＝∠CBO＝90°，
∴C的坐标为（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
13．
【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
14．
【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，根据两直线平行内错角相等可得∠AFB＝∠FBC，再由角平分线的定义可得∠ABF＝∠FBC，从而不难推出∠AFB＝∠ABF，由等角对等边可得AB＝AF，已知AE的长，从而EF的长不难求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF；
∵AB＝12，AE＝5，
∴EF＝AF﹣AE＝12﹣5＝7，
故答案为：7．
15．
【分析】先证∠BOM＝∠CON，再证△BOM和△CON全等，得出△BOM和△CON的面积相等，再证得四边形OMCN的面积与△BOC的面积相等，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBM＝∠OCN＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BOM+∠COM＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠CON+∠COM＝90°，
∴∠BOM＝∠CON，
在△BOM和△CON中，
，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴S△BOM＝S△CON，
∴S四边形OMCN＝S△COM+S△CON＝S△COM+S△BOM＝S△BOC1，
故答案为：1．
16．
【分析】分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，易证四边形CPDH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【解答】解：如图，分别延长AC、BD交于点H，过G作MN∥AB，分别交AH于M，BH于N，
∵△APC和△BPD是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴△AHB是等边三角形，
∵∠A＝∠DPB＝60°，
∴AH∥PD，
∵∠B＝∠CPA＝60°，
∴BH∥PC，
∴四边形CPDH为平行四边形，
∴CD与HP互相平分．
∵G为CD的中点，
∴G正好为PH中点，
∵△ABH是等边三角形，
∴在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．
∴MNAB＝5，即G的移动路径长为5．
故答案为：5．
17．
【分析】先证明ADEF、BCEF是矩形，即可得到N是FC的中点，然后根据等腰直角三角形的三线合一得到∠AFE＝90°，，然后求出CG长，即可得到CM长，再根据解题即可．
【解答】解：连接FC，
由条件可知∠D＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，AF∥CD，
∴ADEF、BCEF是矩形，
∴AF＝DE＝1，BF＝3，∠AFE＝90°，
又∵N是BE的中点，
∴F、C、N共线，且N是FC的中点，
由条件可知FA＝FC＝1，
∴，
又∵点M是AG的中点，
∴∠AMF＝90°，，
又∵，
∴，
∴，
又∵N是FC的中点，
∴，
故答案为：90，．
18．
【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FDMD，
∴FM＝DM×cos30°，
∴MC，
∴A′C＝MC﹣MA′1．
故答案为：1．
三．解答题
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵BE＝DF，
∴△AEB≌△AFD
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，
AO＝OCAC6＝3，
∵AB＝5，AO＝3，
∴BO4，
∴BD＝2BO＝8，
∴S平行四边形ABCDAC×BD＝24．
20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）连接AA2，BB2，分别作线段AA2，BB2的垂直平分线，相交于点P，
则将△ABC绕点P逆时针旋转90°得到△A2B2C2，
由图可得，点P的坐标为（1，1）．
故选：C．
21．解：（1）如图1，点F，四边形AECF即为所求作．
（2）如图2，四边形EFGH即为所求作．
理由：由△AOE≌△COF，可得OE＝OF，
由△AOH≌△COF．可得OH＝OF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵OG＝OF，
∴FH＝EG，
∴四边形EFGH是矩形．
22．（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，
∴BDAC，
∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴DFAC，
∴BD＝DF；
（2）证明：∵BD＝DF，
∴四边形BGFD是菱形，
（3）解：设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
∴四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
23．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CB，
作FP⊥CB于P，连接BE，
则四边形AFPB是矩形，
∴∠BCE＝∠FPG＝90°，
由翻折知，GF⊥BE，
∴∠PFG＝∠CBE，
∵AB＝CB＝FP，
∴△FPG≌△BCE（ASA），
∴BE＝FG＝41，
在Rt△CBE中，由勾股定理得CE9，
故答案为：9；
（2）证明：如图2，连接FA，FP，FC，
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FEAP，
由【模型呈现】知，AP＝MN，
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN；
（3）解：根据题意补全图形如图所示：
连接MG并延长使得MG＝GH，
∵点G为BN的中点，
∴BG＝NG，
又∵∠BGH＝∠NGM，
∴△BGH≌△NGM（SAS），
∴HG＝MG，BH＝NM，∠BHG＝∠NMG，则BH∥NM，
∴∠CBH＝∠BFE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BFE＝∠DEM，∠CDM+∠EDM＝90°，
又∵DM⊥EF，
∴∠DEM+∠EDM＝90°，
∴∠CDM＝∠DEM，
∴∠CDM＝∠BFE，
∴∠CBH＝∠CDM，
∵MN＝DM，
∴BH＝DM，
由正方形的性质可知，CB＝CD，
∴△CBH≌△CDM（SAS），
∴CH＝CM，∠BCH＝∠DCM，∠BCD＝90°，
则∠BCH+∠BCM＝∠DCM+∠BCM＝∠BCD＝90°，
∴△MCH是等腰直角三角形，
∵HG＝MG，
∴CG⊥MH，则△CGM也是等腰直角三角形，则CG＝MG，
∴CMCG＝2．
故答案为：2．
24．（1）证明：∵四边形形OABC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠COB＝∠OBA，∠OPE＝∠PEB，
∵D为OB中点，
∴OD＝BD，
∴△OPD≌△BED（AAS），
∴OP＝BE，
又∵OC∥AB，即OP∥BE，
∴四边形OPBE为平行四边形；
（2）解：∵O（0，0），B（6，8），
∴OB中点D坐标为（3，4），
设P（0，t），则OP＝t，
∴S△OPDt 3，
设PD的直线表达式为y＝kx+t，
∵D在PD上，
∴4＝3k+t，
∴k，
∴PD：y．
令x＝6，则y＝﹣t+8，
∴E（6，8﹣t）．
∴S四边形OAED＝S△AED+S△ODA（8﹣t）+1224．
∵S△OPD：S四边形OAED＝1：3，
∴24＝3，
解得：t＝4，
∴P（0，4）．
（3）解：Q的坐标为（3，9）或（﹣3，4）或（3，）．
如图，以OD为边，四边形ODQP为菱形，
∵D（3，4），
∴OD5，
∴Q（3，9）；
如图，以OD为边，四边形ODPQ为菱形，
∴点D与点Q关于y轴对称，
∴Q（﹣3，4）；
如图，以OD为对角线，四边形OQDP为菱形，延长DQ交x轴于点H，则QH⊥x轴，
设OQ＝DQ＝m，则QH＝4﹣m，
∴32+（4﹣m）2＝m2，
∴m，
∴DQ，
∴QH＝4，
∴Q（3，）．
综上所述，Q的坐标为（3，9）或（﹣3，4）或（3，）．
25．解：（1）∵A（3，4），
∴AO5，
∵四边形AOBC为菱形，
∴AO＝AB＝5，AB∥OC，
∴点B坐标为（8，4），
故答案为：（8，4）；
（2）∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，
1，0，
∴点P的坐标为（1，0）．
设点C（x，y），
∵A（3，3），
∴1，0，
∴x＝﹣1，y＝﹣3．
∴C（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）；
（3）当AB平行且等于NM时，四边形ABMN是平行四边形，
∵A（﹣1，2），N在y轴上，
∴M的横坐标为﹣5+1＝﹣4；
当AB平行且等于NM时，四边形ABNM是平行四边形，
∵B（﹣5，1），N在y轴上，
∴M的横坐标为﹣1+5＝4；
当AB为对角线时，四边形ANBM是平行四边形，
∵A（﹣1，2），B（﹣5，1），
∴M的横坐标为﹣1﹣5＝﹣6；
故符合题意的有3个点，点M的横坐标分别为﹣4，4，﹣6．
故答案为：﹣4或4或﹣6；
（4）解题思路是：
①以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系；
②求点P的坐标；
③由勾股定理可求AP的长．

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