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第27章《相似》全章知识点复习题
【题型1 成比例线段的计算】
1.已知线段a、b满足，且．
(1)求线段a、b的长；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
2.如果地图上、两处的图距是，表示这两地的实际距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 .
3.已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 .
4.巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)黄金矩形的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
【题型2 比例性质的应用】
1.已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
2.若，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3.已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为 ．
4.已知满足，试求的最大值 ．
【题型3 平行线分线段成比例的应用】
1.如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ．

2.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A． B． C． D．
3.如图，在中，，，与相交于点，则 .
4.在边长为1的等边三角形中，D为直线上一点，，点E在直线上，且，则的长为 ．
【题型4 相似三角形的判定】
1.如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：．
2.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）

A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对
3.如图，已知，添加一个条件 ，使得．

4.如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【题型5 利用相似三角形的性质求值】
1.某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为，面积差为30，则它们的面积和为（　　）
A．74 B．76 C．78 D．81
2.如图，则下列式子中不成立的是（ ）

A． B． C． D．
3.若与相似，已知，，，则 ．
4.若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为，则最短边为 ．
【题型6 与相似多边形有关的计算】
1.如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b
2.如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）．
3.如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4.为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
(1)每块地砖的长与宽分别为多少？
(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．
【题型7 网格中相似三角形的相关计算】
1.图①、图②、均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结，使与全等．（画出两个）
(2)在图②中的边上确定一点E，连结，使 ；
(3)在图③中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连结，使 ，且相似比为．
2.以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图1中，________；
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图2，在线段上找一点P，使；
②如图3，在线段上找一点P，使．
3.如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图中的外部作，使；
(2)在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的．
4.图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺．在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，并完成填空．

(1)在图①中的边上确定一点，连结，使．直接写出与的相似比为______；
(2)在图②中的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使，且相似比为．直接写出______；
(3)在图③中的边上确定一点，在边上确定一点，连结，使且相似比为．直接写出的长度为______．
【题型8 相似三角形的判定与性质的综合应用】
1.如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，点F是上一点，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
2.如图，在四边形ABCD中，，O是对角线的中点，连结并延长交边或边于点E．
(1)当点E在上，
①求证：；
②若，求的值；
(2)若，直接写出的长．
3.如图，在中，，为的角平分线，点在的延长线上，于点，点在上，，连接交于点．若点是的中点，则的值为 ．
4.如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过P作于F，设．
(1)求证：；
(2)当P也是边中点时，求的值；
(3)若以P，F，E为顶点的三角形也与相似，试求x的值；
(4)当点F与点E重合时，设交于点G，试判断与的大小关系并说明理由．
【题型9 与判定相似三角形中等积式的证明】
1.如图，在四边形中，，点在边上，连接、，满足，且．
(1)求证：四边形是等腰梯形；
(2)当时，求证；．
2.如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，．
(1)求证：；
(2)如果．
①求的长；
②若，求的长．
3.如图，矩形中，，，点是边上的任意一点（不与端点，重合），连接，且交于点．
(1)求证：；
(2)若点也在上，满足，如图所示．求证：．
4.如图，，，．
(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；
(2)如图2，若点E落在边上，求证：；
(3)如图3，若点H，I，J分别为，，中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）．
【题型10 相似三角形中的运动问题】
1.如图，四边形中，，，，，，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿运动，过点P作，交于E，连接，当点Q与B重合时，两动点均停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，求线段的长；
(2)当运动t秒时线段的长（用含t的式子表示）；
(3)运动过程中是否存在某一时刻，使与相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
2.如图，在中，，，，点从点开始向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当、两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．

(1)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
(2)如果、分别从、同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？
(3)几秒钟后，与相似？
3.如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．
(1)当动点运动时间 秒时，与相似．
(2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由．
4.已知矩形中，，点是对角线上一点，且．点是边中点，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，点从点出发，沿方向运动，速度为cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为．若面积记为，面积记为，面积记为．当点运动到点的正上方时，两点运动停止．

(1)如图①，点在线段(包含端点)上运动时，与的函数图像如图②所示，则的长为___________cm；
(2)如图③，点在线段上运动；
①若，求此时的值；
②若，求此时的值．
【题型11 利用相似三角形测物体的高度】
1.某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高米，请根据以上数据求出城楼的高度．
2.如图，屋架跨度的一半，高度．现要在屋顶上开一个天窗，在水平位置，且．求天窗高度的长．
3.用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆，此方法可测量旗杆的高度． 若人与标尺的水平距离，人与旗杆的水平距离，标尺的长度，根据测量结果，试求旗杆的高度．

4.某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度．
【题型12 影子部分不落在地面上求物体的高度】
1.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．10.2米
2.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为 ．
3.小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，段为地上的影子，段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度，长度的砖块，小明数了一下，段刚好是4块地砖的长度，而段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高，指示牌距保安亭，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
4.物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为米，请解答下列问题．

(1)如图1，乙同学测得旗杆在地面上的影长为6米，那么旗杆的高度为 米．
(2)如图2，丙同学想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长为3米，墙上的影长长为1米，则树的高度为多少？
(3)如图3，丁同学想测量一根电线杆的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面上的影长为4米，坡面上的影长为2米，已知斜坡的坡角为，则电线杆的高度是多少？
【题型13 位似图形】
1.在下列四个三角形中，与是位似图形且为位似中心的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2.如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点D B．位似中心是点G
C．位似比为 D．位似比为
3.如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（ ）
A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形
C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
4.如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为 ．
【题型14 位似变换作图与计算】
1.如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
(2)证明和相似．
2.如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为．
(1)以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的；
(2)点A的对应点D的坐标是______；
(3) ______．
3.在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标；
(2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的；
(3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点．
4.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出沿x轴翻折后的；
(2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形；
(3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________．
参考答案
【题型1 成比例线段的计算】
1.（1）解：，
设，，
，
，
，
，，
线段的长为18，线段的长为12．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为．
2.10
【分析】先设这个图距是，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于的方程，即可求解.
【详解】设这个图距是，
则4：20000000=x：50000000，
解得x=10．
故填：10．
3.
【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案．
【详解】解：由于线段，，，是成比例线段，
故，
即
解得
故答案为：．
4.（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
【题型2 比例性质的应用】
1.C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①当时，得；
②当时，
则，；
综上所述，k的值为1或．
故选：C．
2.D
【分析】本题主要考查比例性质的变形，根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定成立的选项即可
【详解】解：A.∵，∴，正确，不符合题意；
B. ∵，∴，∴，正确，不符合题意；
C. ∵，∴，∴，∴，∴，正确，不符合题意；
D.当时，原式不成立，故选项D符合题意，
故选：D
3.或
【分析】根据题意得出，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
即，
当时，，
当时，，
故答案为：或．
4.25
【分析】设，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．
【详解】解：设，
∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，
∴a2+b2 c2= (2k+1)2+(3k-1)2 (4k+2)2
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4
=-3k2-18k-2
=-3(k2+6k+9-9)-2
=-3(k+3) 2+25
∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，
∴a2+b2 c2的最大值为25，
故答案为：25．
【题型3 平行线分线段成比例的应用】
1.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．
【详解】解：直线，
，
，
故答案为：．
2.C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段 成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横 线于，交点所在的平行横线于，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
3.
【分析】先过E作，交于G，再作交于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可．
【详解】解：作交于，作交于，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
4.或3
【分析】分点在线段的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点在线段的延长线上时，推出为等腰三角形，三角形外角的性质求出，根据等边对等角，推出为含30 度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长即可，当点在线段的反向延长线上时，过点作，过点作，得到，根据等边三角形和等腰三角形的性质，结合平行线分线段成比例进行求解即可．
【详解】解：当点在的延长上时，如图，
∵边长为1的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点在的反向延长上时，如图，
过点作，过点作，
则：，
∵为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
故答案为：或3．
【题型4 相似三角形的判定】
1.证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
2.A
【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，，，可得，，即可证得；再根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解．
【详解】解：甲：根据题意得，，，，
∴，，
∴，
∴甲说法正确；
乙：根据题意得，，，则，，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似，
∴乙说法不正确；
故选：A．

3.（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定推理即可；熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：由可得，
根据相似三角形的判定，可添加一个角或的两边对应成比例；
故可以添加：或或；
故答案为：（答案不唯一）
4.D
【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
【详解】解：根据旋转的性质得，，
∴，
∴，，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故B不符合题意；
又，，
∴，故C不符合题意；
根据题意，无法求解与相似，
故D符合题意；
故选：D．
【题型5 利用相似三角形的性质求值】
1.C
【分析】本题主要考查了对相似三角形性质的理解，解题的关键是掌握相似三角形面积比与相似比之间的关系，即相似三角形面积比等于相似比的平方．
已知两相似三角形的相似比，即可求出面积比．根据面积差为30，可求出两三角形的面积，进而可求出面积和．
【详解】解：∵两三角形的相似比为，
∴它们的面积比为，
设较小三角形的面积为，则较大三角形的面积为，
则，
解得，
∴面积和为，
故选C．
2.D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，故A，B，C正确,D错误
故选：D．
3.
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解分式方程等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
三角形相似，对应边成比例，据此即可求出答案．
【详解】解：，
，
，，，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的根，
故答案为：．
4.12
【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是设出与它相似的三角形的三边，利用最长边构造方程．
根据相似三角形的性质，依题意设这个三角形三边为，确定，即可得出最短边长．
【详解】解：∵三角形三边之比为4：4：7，
∴与他相似的三角形的三边之比也为4：4：7，
设这个三角形三边为，
∵与它相似的三角形的最长边为，
∴，
则，
最短边长为，
故答案为：12．
【题型6 与相似多边形有关的计算】
1.B
【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，
∴．
故选：B．
2.
【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵菱形与菱形相似，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
即，解得：．
故答案为：．
3.D
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
4.(1)设矩形地砖的长为a cm，宽为b cm，
由题图可知4b=60，即b=15.
因为 所以
所以矩形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.
(2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为 (cm)，宽为60 cm，
所以大矩形的长与宽之比为：
而小矩形的长与宽之比为：
即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．
所以它们不相似．　
【题型7 网格中相似三角形的相关计算】
1.（1）解：如图中，点中任取两个即为所求；
（2）解：如图中，点E即为所求；
由图可知，，
，
又，
，
是直角三角形，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：如图，取格点，连接，交于点，点P，点Q即为所求，
如图：，
四边形是平行四边形，
，
则：，
∴，
相似比为：．
2.（1）解：由图得，
，，
，
，
故答案：；
（2）解：①如图，
点为所求；
②如图，
点为所求．
3.（1）解：如图所示，即为所求．
理由：∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求．
4.（1）解：根据题意，作图如下：

，
，
，
，
，
故取格点，格点，连接，
，
，
相似比为：，
即为所求，
故答案为：；
（2）根据题意得：
，且相似比为，作图如下：

，
取格点，格点，连接，交于点，则，
即为所求，
由（1）得，
又相似比为，
，
，
故答案为：．
（3）根据题意得，
且相似比为，
，
，
，

取格点，格点，连接，交于点，则，
即为所求，
，
又，
，
故答案为：．
【题型8 相似三角形的判定与性质的综合应用】
1.B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到，，则由勾股定理得到，求出，则，再证明，得到，即，即可得到．
【详解】解：如图所示，连接
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：B．

2.（1）①证明：如图1，
∵，
∴，
∵，
∴
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
②解：如图2， 若，
在中，，
∴，
过点D作于点H，设，则，在中，，
∴，
∴，
；
（2）解：如图3，当点E在上时，
设则设
，
把代入中，得：
，
解得：， (舍去) ，
如图4， 当点E在上时，
，
∴四边形是矩形，
设
∵
∴
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
在中， 由勾股定理得
∴解得：，(舍去)
，
综上所述，的长为：或 ．
3.
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
先证明，可得，进而得到，从而证得，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∵H是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴＝．
故答案是：．
4.（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，．
又∵，
∴，
∴；
（2）当P是的中点时，．
∵，
∴，即，
∴；
（3）分两种情况：
①当，且时，则有，
∴四边形为矩形，
∴，即．
②当，且时．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴点F为的中点．
∵，
∴
，即，
∴，
∴，即；
∴满足条件的x的值为2或5；
（4）．理由如下：
如图，∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵E是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
∴．
又∵，
∴，
∴．
【题型9 与判定相似三角形中等积式的证明】
1.（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形；
（2）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
2.（1）证明：四边形是平行四边形
，
，
．
，即．
（2）①解：
，即
，
解得：（舍去负值）
②解：
，
3.（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故．
4.（1）解：∵，，，
∴，
又∵，
∴，
同理可得：，；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴；
（3）解：连接，设直线和交于点K，
∴，
∴，
设，，则，，
∵点H，I，J分别为，，中点，
∴，，，
∴，，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【题型10 相似三角形中的运动问题】
1.（1）当时，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由运动知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由运动知，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
若，，
∴，
∵，
∴，
∴(不合题意舍去)，
若，，
∴，
∴，
∴．
故当时，与相似．
2.（1）解：设经过秒以后，面积为（）
此时，，，
由，得，
整理得：，
解得：，（舍）．
（2）解：设经过秒后，的长度等于，
由，得，
解得：（舍去），．
答：2秒后，的长度为．
（3）解：当时，
即，解得
当时，
，
即，
解得，
或．
3.（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，， ；
1）当，即时，
；
，即，
．
２）当，即时，
，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似．
故答案为：或．
（2）如图，过点E作于F，
设经过运动时间为t秒时，，
则，，， ；
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
4.（1）解：由图②可知，
当x的值为时，点运动到了点，
∴，
故 (cm)
（2）解：①如图3，过点作于点
∵，
∴，
∵，
∴
在Rt中，
∴
解得：
∵点在线段上运动，
∴，
∴此时的值为3秒．
②如图3，过点作，交于点， 交于点
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
同理，
可得，
∵
∴，
∵
∴，
∴
解得：
∵，
∴此时的值为秒．

【题型11 利用相似三角形测物体的高度】
1.解：如图，过点作于点，交于点，
依题意，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴城楼的高度为米
2.解：由题意得，
，
又，
，
，
，
天窗高度的长．
3.解：由题意可知，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，，则，
∴，
即：旗杆的高度为．
4.解：过点作水平线交于点，交于点，由是水平线，都是铅垂线，则四边形是矩形，四边形是矩形，如图，
，，，
，
又根据题意，得， ，
，
，即 ，
解得：，
，
答：这棵树的高度为．
【题型12 影子部分不落在地面上求物体的高度】
1.A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长．
【详解】作于点，如图，
则四边形为矩形，，，
根据题意得，
即，
解得，
所以．
答：旗杆的高度为米．
故选：A．
2.4米
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】如图，设树高为AB，过点C作CD⊥AB于D，则CD=1.1+1.6=2.7米，DB=1米，
∵同一时刻物高与影长成正比例，
∴，
解得：AD＝3，
∴AB＝AD+DB＝3+1＝4（米）．
故答案为：4米．
3.解：如图：过点作，垂足为，
由题意得：，，
指示牌高，指示牌距保安亭，
，
，
，
爸爸的身高为．
4.（1）解：∵一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为米，
∴旗杆在地面上的影长为6米，旗杆的高度为12米，
故答案为：12；
（2）解：如图2，连接并延长，交直线于点H，

米，
米，
米，则，
解得：，
答：树的高度为7米；
（3）解：如图3，连接并延长，交直线于点C，过点K作于点N，

在中，米，，
则米，米，
由题意得：米，
米，
则，
解得：米，
答：电线杆的高度是米．
【题型13 位似图形】
1.B
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，
∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，
故选：B．
2.C
【分析】本题考查正方形的性质、位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．掌握位似图形的意义与位似比求法是解题的关键．连接、、，可知位似中心在点，之间，根据两个三角形网格数可知相似比，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接、、，
在正方形网格中，与位似，点是的中点，
位似中心在点，之间，，故选项A，B错误，
相似比为，
位似比为，故选项正确，D错误，
故选：．
3.D
【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断．
【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确；
B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确；
C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确；
D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误．
故选：D．
4.4
【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．
【详解】延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴．
∵位似图形与原图形的位似比为，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：4．
【题型14 位似变换作图与计算】
1.（1）解：如图所示：即为所求，
；
（2）证明：小正方形边长为1，
，，，，，，
，，，
∴，
∴．
2.（1）解：位似中心为点，位似比，已知，，，
∴对应点的坐标分别是，，，
连接点，如图所示，
；
（2）由（1）知，
故答案为：；
（3）如图，连接，，
，
，
，
∴，
∴设，则，
∴,
故答案为：．
3.（1）如图，，，关于原点对称，，，连接，
∴即为所求；
（2）如图，延长，，然后连接，
∴即为所求；
（3）如图，连接，相交于点，
∴点即为所求．
4.（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：点的坐标为，
∵沿x轴翻折后的，
∴，
∵按放大后的位似图形，
∴与的相似比为，
∴与的相似比为，
∴与的周长的比为，与的面积的比为．
故答案为：；；

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