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长春市2025年初中学业水平考试网上阅卷模拟练习
数学
本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A. + B. - C. × D. ÷
2. 如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
3. 如图是某个立体图形的表面展开图，这个立体图形是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球体 D. 长方体
4. 静止在斜面上的立方体受到的重力和摩擦力如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则重力与摩擦力的夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是梯子两梯腿张开的示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6. 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，根据图形折叠后的情况，可以判定是的中线的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法确定的正负
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 因式分解：___．
10. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______．
11. 已知一个正方形的面积为8，那么与它的边长最接近的整数是__________．
12. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有四人共车，三车空；三人共车，五人步，问人与车各几何．其大意为：现在有若干人乘车，每四人共乘一辆车，则有三辆空车；每三人共乘一辆车，则有五人无车可乘，问车和人各多少？若设有辆车，根据题意，可列方程为__________．
13. 如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是__________．
14. 如图，是的外接圆，是的直径，，垂足为点，的平分线交于点，交于点．给出下面五个结论：
①；②；③；
④当点与点重合时，若，则阴影部分面积为；
⑤当时，与的面积比．
上述结论中，正确结论的序号有__________．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15. 先化简再求值：，其中x = 2，y = 3.
16. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，当两辆汽车经过这个十字路口时，用画树状图（或列表）的方法求至少有一辆车向左转的概率．
17. 一个工程队原定在10天内至少要挖土600立方米，在前两天一共完成了120立方米，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．以后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？
18. 如图，在中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形．
19. 在大力推进生态文明建设的当下，垃圾分类乃是城市绿色发展的关键之举．按照相关标准，“厨余垃圾正确投放率”不低于即为达标．为深入了解某地区垃圾分类的落实情况，相关部门在该地区开展专项调查，从150个小区中随机抽取10个小区调查“厨余垃圾正确投放率”，数据如下（单位：％）：82，75，90，68，85，78，92，8，87，73．根据以上信息，回答下列问题：
（1）这组数据的中位数是__________％；
（2）估计该地区150个小区中“时余垃圾正确投放率”达标的小区数量；
（3）将抽取的10个小区作为试点，其中未达标的小区立即整改（已达标的小区无需整改），整改后全部达标，并且“厨余垃圾正确投放率”的中位数提升至，那么试点中整改小区的“厨余垃圾正确投放率”提升总和至少是__________．
20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点，、均是格点，外接圆的圆心记为点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．
（1）图①中，标出点；
（2）在图②中，过点作的切线，点为格点；
（3）在图②中，过点作的另一条切线，点为切点．
21. 数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量（个）变化的规律，小组成员从食堂取来、两种型号的碗各一摞（如图①）进行测量，下表是小组成员测量型碗得到的数据：
1 2 3 4
5 6.8 8.6 10.4
（1）请根据表中与的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点；
（2）观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上．如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由；
（3）如图②，把1个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为6.8cm；把2个型碗整齐叠放在1个型碗上面，量得碗的总高度为8.4cm．把8个型碗整齐叠放在6个型碗上面时，直接写出这些碗的总高度．
22. 【问题原型】如图①，四边形是正方形，点在直线上，试探究的值最小时点的位置．
【问题探究】如图②，小明首先在射线上作点，使，利用，将转化为，这样就将双变量问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点轨迹的问题；其次，小明发现当时，总有，进而可知恒为直角，即可确定点的轨迹．
以下是小明证明的部分过程：
证明：由【问题探究】作法可知，，
又，
．
．
四边形是正方形，
，且．
证明过程缺失
请你补全缺失的证明过程．
【问题解决】请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点，使的值最小，此时的值是__________．（保留作图痕迹）
23. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角，连结．
（1）求证：；
（2）当、、三点共线时，求线段的长；
（3）线段的长度的最小值是__________；
（4）当点落在矩形内部时，四边形面积的最大值是__________，此时线段的长度是__________．
24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，其横坐标是．当点不在轴上时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接．
（1）求该抛物线对应的函数表达式：
（2）试说明线段长度为4；
（3）当直线与抛物线（是常数）有两个公共点时，设这两个点分别为、（点在点左侧）．
①当时，求的值；
②当点、在线段上时，连结，过点作的平行线交轴于点．若，直接写出的取值范围．
长春市2025年初中学业水平考试网上阅卷模拟练习
数学
本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】①③⑤
三、解答题：本题共10小题，共78分．
【15题答案】
【答案】y-x,1
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】80立方米
【18题答案】
【答案】见解析
【19题答案】
【答案】（1）81； （2）75；
（3）34
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【21题答案】
【答案】（1）在给定的平面直角坐标系中描出相应的点，见解析
（2）
（3）
【22题答案】
【答案】【问题探究】见解析
【问题解决】
【23题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
（3）1 （4），
【24题答案】
【答案】（1）
（2）见解析 （3）①或；②

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