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§3.2　导数与函数的单调性
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.设f'(x)=x2-2x是函数f(x)的导函数，则y=f(x)的图象可能是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
2.函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为(　　)
A.(1，+∞) B.(0，1)
C.(0，2) D.(2，+∞)
3.已知函数f(x)=ln x-ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A.a≥1 B.a>1
C.a≥ D.a>
4.若f(x)=-x3+x2+2ax在(1，+∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是(　　)
A.(-∞，0] B.(-∞，0)
C.[0，+∞) D.(0，+∞)
5.已知函数f(x)=x3+x2+x+1在(-∞，0)，(3，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C.(-∞，-2] D.
6.已知a=b=c=ln则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.如图为y=f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是(　　)
A.f(x)有三个单调区间
B.f(-2)C.f(-1)D.f(x)在[-1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
8.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1，m+1]上单调，则实数m的值可能是(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.函数y=的单调递减区间为　　　　　　　.
10.(2025·济南模拟)已知函数f(x)=2x-msin x在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知函数f(x)=+ax-(ax+1)ln x在x=1处的切线方程为y=bx+(a，b∈R).
(1)求a，b的值；(6分)
(2)证明：f(x)在(1，+∞)上单调递增.(7分)
12.(15分)(2024·西安模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)+(k∈R).
(1)若k=-3，求f(x)的单调区间；(7分)
(2)若f(x)在其定义域上单调递增，求k的取值范围.(8分)
每小题5分，共10分
13.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=(x-1)(ex+a)在区间(-1，1)上单调递增，则a的最小值为(　　)
A.e-1 B.e-2 C.e D.e2
14.若对任意的x1，x2∈(m，+∞)，且x1A. B. C. D.
答案精析
1.C　2.C　3.A
4.D　[f(x)=-x3+x2+2ax在(1，+∞)上存在单调递增区间，
只需f'(x)>0在(1，+∞)上有解即可.
由已知得f'(x)=-x2+x+2a，该函数图象开口向下，对称轴为x=
故f'(x)在(1，+∞)上单调递减，
所以f'(1)=2a>0，解得a>0.]
5.B　[由f(x)=x3+x2+x+1，得f'(x)=x2+ax+1，
∵f(x)在(-∞，0)，(3，+∞)上单调递增；在(1，2)上单调递减，
∴f'(x)=0的两根分别位于[0，1]和[2，3]内，
则
解得-≤a≤-.]
6.B　[设函数f(x)=ex-x-1，x∈R，
则f'(x)=ex-1，
当x<0时，f'(x)<0，
f(x)在(-∞，0)上单调递减；
当x>0时，f'(x)>0，
f(x)在(0，+∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)=0，
即ex≥1+x，当且仅当x=0时取等号，
∵ex≥1+x，∴>1-=
∴b>a，
由以上分析可知当x>0时，有ex-1≥x成立，当x=1时取等号，
即ln x≤x-1，当且仅当x=1时取等号，
∴ln <-1=
∴a>c，故b>a>c.]
7.CD　[对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误；
对于B，当x∈[-2，-1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以f(-2)>f(-1)，故B错误；
对于C，当x∈[-1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(-1)对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.]
8.AC　[由题意得函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=x-=
由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，+∞)，
由f'(x)≤0，可得0因为f(x)在区间[m-1，m+1]上单调，
所以或m-1≥3，
解得1结合选项可得A，C符合题意.]
9.(1，+∞)
解析　函数y=的定义域为(0，+∞)，
y'=
==
令y'<0得x>1，
所以y=的单调递减区间为(1，+∞).
10.m<-2或m>2
解析　因为f(x)=2x-msin x，
所以f'(x)=2-mcos x，
又f(x)不是单调函数，
所以函数f(x)有极值点，
即f'(x)在R上有变号零点，
则2-mcos x=0成立，
当cos x=0时，2-mcos x=0可化为2=0，显然不成立；
当cos x≠0时，m=
因为x∈R，-1≤cos x≤1，
所以≤-2或≥2，
所以实数m的取值范围为m<-2或m>2(因为要有变号零点，故不能取等号)，
经检验，m<-2或m>2满足要求.
11.(1)解　因为f(x)=+ax-(ax+1)ln x，
所以f'(x)=x+a-aln x-=x--aln x，
依题意可得
即
解得
(2)证明　由(1)可得f(x)=+2x-(2x+1)ln x，
则f'(x)=x--2ln x，
令g(x)=f'(x)=x--2ln x，x∈(1，+∞)，
则g'(x)=1+-=>0，
所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，
又g(1)=0，
所以当x∈(1，+∞)时，g(x)>0，
即f'(x)>0，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.
12.解　(1)函数f(x)=ln(x+1)+的定义域为(-1，+∞)，
求导得f'(x)=+
当k=-3时，f'(x)=-=
=
当-11+时，
f'(x)>0，
当1-所以函数f(x)的单调递增区间是(-1，1-)，(1++∞)，单调递减区间是(1-1+).
(2)由(1)知，f'(x)=+
由f(x)在其定义域上单调递增，得f'(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立，
则+≥0，
即2k≥-
当x>-1时，
-=-
≤-4，当且仅当x=0时取等号，
因此2k≥-4，解得k≥-2，
当k=-2时，
f'(x)=≥0，
f(x)在(-1，+∞)上单调递增，
所以k的取值范围是[-2，+∞).
13.A　[由题意得f'(x)≥0在(-1，1)上恒成立，
f'(x)=ex+a+(x-1)ex=xex+a，
故xex+a≥0，
即a≥-xex，
令g(x)=-xex，x∈(-1，1)，
则g'(x)=-ex-xex=-(x+1)ex<0在(-1，1)上恒成立，
故g(x)=-xex在(-1，1)上单调递减，
故g(x)故a≥e-1，故a的最小值为e-1.]
14.C　[对任意的x1，x2∈(m，+∞)，且x1<2，
易知m≥0，x1>0，x2>0，
则x1ln x2-x2ln x1<2x2-2x1，
所以x1(ln x2+2)即>.
令f(x)=
则函数f(x)在(m，+∞)上单调递减.
因为f'(x)=-
由f'(x)<0，可得x>
所以函数f(x)的单调递减区间为
所以(m，+∞)
故m≥
即实数m的取值范围为.]§3.2　导数与函数的单调性
课标要求　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y=f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上　　　　　　　
f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上　　　　　　　
f'(x)=0 f(x)在区间(a，b)上是　　　　　　
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的　　　　　　；
第2步，求出导数f'(x)的　　　　；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0.(　　)
(3)在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(　　)
(4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(　　)
2.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是(　　)
A.f(x)在(-3，1)上单调递增
B.f(x)在(1，3)上单调递减
C.f(x)在(2，4)上单调递减
D.f(x)在(3，+∞)上单调递增
3.函数f(x)=xln x的单调递减区间为(　　)
A. B.
C.(1，+∞) D.(0，1)
4.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=x2-ax+ln x(a∈R)的单调递减区间为，则a=　　　　　.
谨防四个易误点
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.
(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“=”不能少.必要时还需对“=”进行检验.
(4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.
题型一　不含参函数的单调性
例1　(1)若函数f(x)=x2-3x-4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(-∞，-1)，(4，+∞)
B.(-1，4)
C.(0，4)
D.(4，+∞)
(2)若函数f(x)=，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
思维升华　确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
跟踪训练1　(多选)函数y=x4-2x2+5的单调递减区间可以为(　　)
A.(-∞，-1) B.(-1，0)
C.(0，1) D.(1，+∞)
题型二　含参数的函数的单调性
例2　已知函数f(x)=e2x+(a-2)ex-ax.
讨论f(x)的单调区间.
思维升华　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
跟踪训练2　(2024·扬州质检)已知函数f(x)=ax2-(a+4)x+2ln x，其中a>0.
讨论f(x)的单调性.
题型三　函数单调性的应用
命题点1　比较大小或解不等式
例3　(1)已知函数f(x)=ln x-，设a=f(log32)，b=f(log0.20.5)，c=f(ln 4)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.c>a>b B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
(2)(2025·成都模拟)已知函数f(x)=3x-sin x，若f(a)+f(a2-2)>0，则实数a的取值范围为　　　　　.
常见组合函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是(　　)
A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x
命题点2　根据函数单调性求参数
例4　已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
思维升华　由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0)在该区间上存在解集.
跟踪训练3　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　)
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
(2)(2024·石家庄模拟)已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
答案精析
落实主干知识
1.单调递增　单调递减　常数函数
2.定义域　零点
自主诊断
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.C　3.A　4.3
探究核心题型
例1　(1)C　[因为f(x)=x2-3x-4ln x，定义域为(0，+∞)，
所以f'(x)=x-3-==，
令f'(x)<0，解得0则函数f(x)的单调递减区间为(0，4).]
(2)(0，1)
解析　f(x)的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=，
令φ(x)=-ln x-1(x>0)，
φ'(x)=--<0，
φ(x)在(0，+∞)上单调递减，
且φ(1)=0，
∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，
即f'(x)>0，
当x∈(1，+∞)时，φ(x)<0，
即f'(x)<0，
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1).
跟踪训练1　AC　[由题意得y'=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1)，
令y'<0，解得x<-1或0结合选项可知函数y=x4-2x2+5的单调递减区间可以为(-∞，-1)，(0，1).]
例2　解　由题意可知f(x)的定义域为R，且f'(x)=2e2x+(a-2)ex-a
=(2ex+a)(ex-1)，
①若a≥0，则2ex+a>0，
令f'(x)>0，解得x>0；
令f'(x)<0，解得x<0，
可知f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；
②若a<0，令f'(x)=0，
解得x=ln或x=0，
(ⅰ)当ln<0，
即-2令f'(x)>0，
解得x>0或x令f'(x)<0，解得ln可知f(x)在上单调递减，在，(0，+∞)上单调递增；
(ⅱ)当ln=0，即a=-2时，
则f'(x)=2(ex-1)2≥0，可知f(x)在R上单调递增；
(ⅲ)当ln>0，即a<-2时，
令f'(x)>0，
解得x<0或x>ln；
令f'(x)<0，解得0可知f(x)在上单调递减，在(-∞，0)，上单调递增.
综上所述，若a≥0，f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)；
若-2若a=-2，f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间；
若a<-2，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(-∞，0)，.
跟踪训练2　解　函数f(x)=ax2-(a+4)x+2ln x的定义域为(0，+∞)，
f'(x)=2ax-(a+4)+
=
=，
因为a>0，由f'(x)=0，
可得x1=，x2=，
①若>，则0当即函数f(x)在上单调递减，
当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在和上单调递增；
②若a=4，对任意的x>0，f'(x)=≥0，即函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；
③若<，则a>4，
当即函数f(x)在上单调递减，
当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在和上单调递增.
综上所述，当0当a=4时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；
当a>4时，函数f(x)在和上单调递增，
在上单调递减.
例3　(1)A　[因为f(x)=ln x-，则x∈(0，+∞)，
所以f'(x)=-=
=，
又当x∈(0，+∞)时，ex>1，-≥-，
所以f'(x)>0恒成立，
所以f(x)=ln x-在(0，+∞)上单调递增.
又00ln 4>1，
所以ln 4>log32>log0.20.5，
则c>a>b.]
(2)(-∞，-2)∪(1，+∞)
解析　函数f(x)=3x-sin x的定义域为R，且f(-x)=-3x+sin x=-f(x)，
所以f(x)=3x-sin x为奇函数，
又f'(x)=3-cos x>0，
所以f(x)=3x-sin x在R上单调递增，
不等式f(a)+f(a2-2)>0，
即f(a2-2)>-f(a)=f(-a)，
等价于a2-2>-a，
解得a>1或a<-2，
所以实数a的取值范围为(-∞，-2)∪(1，+∞).
微拓展
典例　ACD　[依题意，函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数.
对于A，g(x)=xex，g'(x)=(x+1)ex，
当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0，
∴g(x)在(-∞，-1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)=x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)=xln x，x>0，
g'(x)=1+ln x，
当x∈时，g'(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)=xsin x，
g'(x)=sin x+xcos x，
当x∈时，g'(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故D中函数不是“F函数”.]
例4　解　(1)因为f(x)在[1，4]上单调递减，
所以当x∈[1，4]时，f'(x)=-ax-2≤0恒成立，
即a≥-恒成立.
设G(x)=-，x∈[1，4]，
所以a≥G(x)max，
而G(x)=-1，
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max=-(此时x=4)，
所以a≥-，
又因为a≠0，所以实数a的取值范围是∪(0，+∞).
(2)因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则f'(x)<0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a>-有解，
又当x∈[1，4]时，=-1(此时x=1)，
所以a>-1，又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是(-1，0)∪(0，+∞).
跟踪训练3　(1)C　[依题可知，f'(x)=aex-≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，
所以xex≥在(1，2)上恒成立，
设g(x)=xex，x∈(1，2)，
所以g'(x)=(x+1)ex>0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，
g(x)>g(1)=e，故e≥，
即a≥=e-1，
即a的最小值为e-1.]
(2)D　[构造函数f(x)=，x∈(0，+∞)，
则f'(x)=，
令f'(x)>0，得0令f'(x)<0，得x>e，
因此f(x)=在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，
而a===f(4)，b===f(e)，c==f(3)，
因为4>3>e，所以f(e)>f(3)>f(4)，即b>c>a.](共85张PPT)
第三章
§3.2　导数与函数的单调性
数学
大
一
轮
复
习
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________
f'(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________
f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________
单调递增
单调递减
常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的 ；
第2步，求出导数f'(x)的 ；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
定义域
零点
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.
(　　)
(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0. (　　)
(3)在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.
(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
×
√
√
√
2.函数y＝f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是
A.f(x)在(－3，1)上单调递增
B.f(x)在(1，3)上单调递减
C.f(x)在(2，4)上单调递减
D.f(x)在(3，＋∞)上单调递增
√
当x∈(－3，0)时，f'(x)<0，故f(x)在(－3，0)上单调递减；当x∈(0，2)时，f'(x)>0，故f(x)在(0，2)上单调递增；当x∈(2，4)时，f'(x)<0，故f(x)在(2，4)上单调递减；当x∈(4，＋∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上单调递增，显然C正确，其他选项错误.
3.函数f(x)＝xln x的单调递减区间为
A. B.
C.(1，＋∞) D.(0，1)
√
函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，由已知f'(x)＝ln x＋1，由f'(x)＝ln x＋1<0得04.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)的单调递减区间为则a＝　　　.
由题意可得，f'(x)＝2x－a＋<0的解集为则a＝3.
3
谨防四个易误点
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.
(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验.
(4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)若函数f(x)＝x2－3x－4ln x，则函数f(x)的单调递减区间为
A.(－∞，－1)，(4，＋∞)
B.(－1，4)
C.(0，4)
D.(4，＋∞)
√
不含参函数的单调性
题型一
因为f(x)＝x2－3x－4ln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f'(x)＝x－3－
令f'(x)<0，解得0则函数f(x)的单调递减区间为(0，4).
(2)若函数f(x)＝则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
(0，1)
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝
令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，φ'(x)＝－<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0，1)时，φ(x)>0，即f'(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，即f'(x)<0，
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0，1).
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
思维升华
跟踪训练1　(多选)函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间可以为
A.(－∞，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，＋∞)
√
由题意得y'＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)，
令y'<0，解得x<－1或0结合选项可知函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间可以为(－∞,－1),(0,1).
√
例2　已知函数f(x)＝e2x＋(a－2)ex－ax.
讨论f(x)的单调区间.
含参数的函数的单调性
题型二
由题意可知f(x)的定义域为R，且f'(x)＝2e2x＋(a－2)ex－a＝(2ex＋a)(ex－1)，
①若a≥0，则2ex＋a>0，
令f'(x)>0，解得x>0；
令f'(x)<0，解得x<0，
可知f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
②若a<0，令f'(x)＝0，
解得x＝ln或x＝0，
(ⅰ)当ln<0，即－2令f'(x)>0，解得x>0或x令f'(x)<0，解得ln可知f(x)在上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；
(ⅱ)当ln＝0，即a＝－2时，
则f'(x)＝2(ex－1)2≥0，可知f(x)在R上单调递增；
(ⅲ)当ln>0，即a<－2时，
令f'(x)>0，解得x<0或x>ln；
令f'(x)<0，解得0可知f(x)在上单调递减，在(－∞，0)上单调递增.
综上所述，若a≥0，f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)；
若－2若a＝－2，f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间；
若a<－2，f(x)的单调递减区间为
单调递增区间为(－∞，0).
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.
思维升华
跟踪训练2　(2024·扬州质检)已知函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x，其中a>0.讨论f(x)的单调性.
函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝2ax－(a＋4)＋＝
因为a>0，由f'(x)＝0，可得x1＝x2＝
①若>则0当即函数f(x)在上单调递减，
当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在和上单调递增；
②若a＝4，对任意的x>0，f'(x)＝≥0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③若<则a>4，
当即函数f(x)在上单调递减，
当0时，f'(x)>0，
即函数f(x)在和上单调递增.
综上所述，当0当a＝4时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>4时，函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减.
例3　(1)已知函数f(x)＝ln x－设a＝f(log32)，b＝f(log0.20.5)，c＝f(ln 4)，则a，b，c的大小关系为
A.c>a>b B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
√
命题点1　比较大小或解不等式
函数单调性的应用
题型三
因为f(x)＝ln x－则x∈(0，＋∞)，
所以f'(x)＝＝
又当x∈(0，＋∞)时，ex>1≥－所以f'(x)>0恒成立，
所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增.
又0ln 4>1，
所以ln 4>log32>log0.20.5，则c>a>b.
(2)(2025·成都模拟)已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋f(a2－2)>0，则实数a的取值范围为　　　　　 .
(－∞，－2)∪(1，＋∞)
函数f(x)＝3x－sin x的定义域为R，且f(－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，
所以f(x)＝3x－sin x为奇函数，
又f'(x)＝3－cos x>0，
所以f(x)＝3x－sin x在R上单调递增，
不等式f(a)＋f(a2－2)>0，
即f(a2－2)>－f(a)＝f(－a)，
等价于a2－2>－a，解得a>1或a<－2，
所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
常见组合函数的图象
微拓展
典例　(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是
A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝sin x
√
√
√
依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.
对于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g'(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，x>0，g'(x)＝1＋ln x，
当x∈时，g'(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g'(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g'(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故D中函数不是“F函数”.
命题点2　根据函数单调性求参数
例4　已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0).
(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；
因为f(x)在[1，4]上单调递减，
所以当x∈[1，4]时，f'(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥恒成立.
设G(x)＝x∈[1，4]，
所以a≥G(x)max，
而G(x)＝－1，
因为x∈[1，4]，所以∈
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－
又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞).
(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，
则f'(x)<0在[1，4]上有解，
所以当x∈[1，4]时，a>有解，
又当x∈[1，4]时＝－1(此时x＝1)，
所以a>－1，又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x) ≤0)恒成立.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0)在该区间上存在解集.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为
A.e2 B.e C.e－1 D.e－2
√
依题可知，f'(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，
所以xex≥在(1，2)上恒成立，
设g(x)＝xex，x∈(1，2)，
所以g'(x)＝(x＋1)ex>0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，
g(x)>g(1)＝e，故e≥
即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.
(2)(2024·石家庄模拟)已知a＝b＝c＝则a，b，c的大小关
系为
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.b>c>a
√
构造函数f(x)＝x∈(0，＋∞)，
则f'(x)＝
令f'(x)>0，得0令f'(x)<0，得x>e，
因此f(x)＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
而a＝＝f(4)，b＝＝f(e)，c＝＝f(3)，
因为4>3>e，所以f(e)>f(3)>f(4)，即b>c>a.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A D B B CD AC
题号 9 10 13 　14
答案 (1，+∞) m<-2或m>2 　A 　C
答案
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14
(1)因为f(x)=+ax-(ax+1)ln x，
所以f'(x)=x+a-aln x-=x--aln x，
依题意可得即
解得
11.
答案
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14
(2)由(1)可得f(x)=+2x-(2x+1)ln x，则f'(x)=x--2ln x，
令g(x)=f'(x)=x--2ln x，x∈(1，+∞)，则g'(x)=1+-=>0，
所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，
又g(1)=0，
所以当x∈(1，+∞)时，g(x)>0，
即f'(x)>0，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.
11.
答案
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(1)函数f(x)=ln(x+1)+的定义域为(-1，+∞)，求导得f'(x)=+
当k=-3时，f'(x)=-==
当-11+时，
f'(x)>0，当1-所以函数f(x)的单调递增区间是(-1，1-)，(1++∞)，单调递减区间是(1-1+).
12.
答案
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(2)由(1)知，f'(x)=+
由f(x)在其定义域上单调递增，得f'(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立，
则+≥0，即2k≥-
当x>-1时，-=-≤-4，当且仅当x=0时取等号，
因此2k≥-4，解得k≥-2，
12.
答案
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当k=-2时，f'(x)=≥0，
f(x)在(-1，+∞)上单调递增，
所以k的取值范围是[-2，+∞).
12.
一、单项选择题
1.设f'(x)＝x2－2x是函数f(x)的导函数，则y＝f(x)的图象可能是
√
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知识过关
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答案
令f'(x)>0，得x<0或x>2，
令f'(x)<0，得0所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减，
由图知，只有C选项的图象符合.
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答案
2.函数f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为
A.(1，＋∞) B.(0，1)
C.(0，2) D.(2，＋∞)
√
f(x)＝x－2ln(2x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝1－2··2＝1－
由f'(x)<0，可得x∈(0，2)，
故f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为(0，2).
3.已知函数f(x)＝ln x－ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为
A.a≥1 B.a>1
C.a≥ D.a>
√
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因为f(x)＝ln x－ax，
所以f'(x)＝－a，
因为f(x)在区间[1，3]上单调递减，
所以f'(x)≤0，即－a≤0，则a≥在[1，3]上恒成立，
因为y＝在[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥1.
答案
4.若f(x)＝－x3＋x2＋2ax在(1，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是
A.(－∞，0] B.(－∞，0)
C.[0，＋∞) D.(0，＋∞)
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14
f(x)＝－x3＋x2＋2ax在(1，＋∞)上存在单调递增区间，
只需f'(x)>0在(1，＋∞)上有解即可.
由已知得f'(x)＝－x2＋x＋2a，该函数图象开口向下，对称轴为x＝
故f'(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以f'(1)＝2a>0，解得a>0.
答案
5.已知函数f(x)＝x3＋x2＋x＋1在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围为
A. B.
C.(－∞，－2] D.
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14
由f(x)＝x3＋x2＋x＋1，得f'(x)＝x2＋ax＋1，
∵f(x)在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增；在(1，2)上单调递减，
∴f'(x)＝0的两根分别位于[0，1]和[2，3]内，
则
解得－≤a≤－.
答案
6.已知a＝b＝c＝ln 则a，b，c的大小关系为
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
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14
设函数f(x)＝ex－x－1，x∈R，
则f'(x)＝ex－1，
当x<0时，f'(x)<0，
f(x)在(－∞，0)上单调递减；
当x>0时，f'(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)≥f(0)＝0，
即ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号，
答案
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∵ex≥1＋x，∴>1－
∴b>a，
由以上分析可知当x>0时，有ex－1≥x成立，当x＝1时取等号，
即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号，
∴ln <－1＝
∴a>c，故b>a>c.
答案
二、多项选择题
7.如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是
A.f(x)有三个单调区间
B.f(－2)C.f(－1)D.f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减
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答案
对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误；
对于B，当x∈[－2，－1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调
递减，所以f(－2)>f(－1)，故B错误；
对于C，当x∈[－1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(－1)对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.
8.若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则实数m的值可
能是
A.4 B.3 C.2 D.1
√
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答案
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14
由题意得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝x－
由f'(x)≥0，可得x≥3，则函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)，
由f'(x)≤0，可得0因为f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调，
所以或m－1≥3，解得1结合选项可得A，C符合题意.
答案
三、填空题
9.函数y＝的单调递减区间为　　　 　.
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答案
(1，＋∞)
函数y＝的定义域为(0，＋∞)，
y'＝
令y'<0得x>1，
所以y＝的单调递减区间为(1，＋∞).
10.(2025·济南模拟)已知函数f(x)＝2x－msin x在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是　　 　.
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答案
m<－2或m>2
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因为f(x)＝2x－msin x，
所以f'(x)＝2－mcos x，
又f(x)不是单调函数，所以函数f(x)有极值点，
即f'(x)在R上有变号零点，
则2－mcos x＝0成立，
当cos x＝0时，2－mcos x＝0可化为2＝0，显然不成立；
答案
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当cos x≠0时，m＝
因为x∈R，－1≤cos x≤1，
所以≤－2或≥2，
所以实数m的取值范围为m<－2或m>2(因为要有变号零点，故不能取等号)，
经检验，m<－2或m>2满足要求.
答案
四、解答题
11.已知函数f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x在x＝1处的切线方程为y＝bx＋
(a，b∈R).
(1)求a，b的值；
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答案
因为f(x)＝＋ax－(ax＋1)ln x，
所以f'(x)＝x＋a－aln x－＝x－－aln x，
依题意可得即
解得
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答案
(2)证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
由(1)可得f(x)＝＋2x－(2x＋1)ln x，
则f'(x)＝x－－2ln x，
令g(x)＝f'(x)＝x－－2ln x，x∈(1，＋∞)，
则g'(x)＝1＋>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，
所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
12.(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋(k∈R).
(1)若k＝－3，求f(x)的单调区间；
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答案
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答案
函数f(x)＝ln(x＋1)＋的定义域为(－1，＋∞)，
求导得f'(x)＝
当k＝－3时，f'(x)＝
当－11＋时，f'(x)>0，
当1－所以函数f(x)的单调递增区间是(－1，1－)，(1＋＋∞)，单调递减区间是(1－1＋).
(2)若f(x)在其定义域上单调递增，求k的取值范围.
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答案
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答案
由(1)知，f'(x)＝
由f(x)在其定义域上单调递增，得f'(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，
则≥0，即2k≥－
当x>－1时，－＝－≤－4，当且仅当x＝0时取等号，
因此2k≥－4，解得k≥－2，
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答案
当k＝－2时，f'(x)＝≥0，
f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
所以k的取值范围是[－2，＋∞).
13.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝(x－1)(ex＋a)在区间(－1，1)上单调递增，则a的最小值为
A.e－1 B.e－2 C.e D.e2
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答案
√
能力拓展
由题意得f'(x)≥0在(－1，1)上恒成立，
f'(x)＝ex＋a＋(x－1)ex＝xex＋a，
故xex＋a≥0，即a≥－xex，
令g(x)＝－xex，x∈(－1，1)，
则g'(x)＝－ex－xex＝－(x＋1)ex<0在(－1，1)上恒成立，
故g(x)＝－xex在(－1，1)上单调递减，
故g(x)故a≥e－1，故a的最小值为e－1.
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答案
14.若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1A. B.
C. D.
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答案
√
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答案
对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<2，
易知m≥0，x1>0，x2>0，
则x1ln x2－x2ln x1<2x2－2x1，
所以x1(ln x2＋2)即>.
令f(x)＝
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答案
则函数f(x)在(m，＋∞)上单调递减.
因为f'(x)＝－
由f'(x)<0，可得x>
所以函数f(x)的单调递减区间为
所以(m，＋∞) 故m≥
即实数m的取值范围为.
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