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【专项提升】全等三角形证明与计算 攻关练
1．如图，在中，，分别是，边上的高，是与的交点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形综合问题、等边对等角
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角 形的判定和性质是解题的关键．
根据题意可证，得到，，是等腰直角三角形，由，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：B ．
2．如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键．
根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”求解即可．
【详解】解：∵，，为中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
综上所述，全等三角形共有5对，
故选：C ．
3．如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（ ）
A．平分 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定依次判断即可，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、平分，可根据判定，故不符合题意
B、，可根据判定，故不符合题意．
C、，不能判定，故符合题意；
D、，可根据判定，故不符合题意；
故选：C．
4．如图，在凸五边形中，，是边的中点．有下列条件：①；②；③；④．其中，能推出与一定垂直的条件的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的综合运用是解题的关键．
如图所示，连接，证明，，可得条件①可推出结论；证明，，可得条件②可推出结论；证明，，可得条件③可推出结论；④不能找出三角形全等，及相关的数量关系，故不能推出结论，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
①，
∵，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即能推出与一定垂直；
②，
在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即能推出与一定垂直；
③，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即能推出与一定垂直；
④,
不能证明三角形全等，找不出数量关系，故不能推出与一定垂直；
综上所述，能推出与一定垂直的有①②③，共3个，
故选：C ．
5．如图，在中，平分，过点作，，垂足分别为，，连接．有以下几个结论：①；②；③；④垂直平分；⑤．其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②④⑤ D．①③⑤
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，垂直平分线的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理是解题的关键．
根据角平分线的性质定理可判定①；证明，可判定②；假设③可得，因题目缺少条件，无法得到与的等量关系，由此可判定③；证明，可判定④；根据三角形面积的计算与四边形面积的计算可得，可判定⑤；由此即可求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
在中，，
∴，故②正确；
∵，假设，
∴，即，
∴，则，
∴，
∵无法确定与的等量关系，
∴无法得到，
∴无法得到，故③错误；
如图所示，设交于点，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴垂直平分，故④正确；
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故选：C ．
6．如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．根据与互余，与互余，利用同角的余角相等即可判断①；假设，得出与题意不符，从而判断②；过E作于点H，过F作于点G，利用K字型全等，易证，同理可证，可得，再证，即可判断④；最后根据，结合全等三角形即可判断③．
【详解】解：∵为边上的高，，
∴，，
∴故①正确；
假设，
∵与为等腰直角三角形
∴，，
∴，
又∵，
，
根据已知条件无法证明，故②错误；
如图所示，过E作于点H，过F作，交的延长线于点G，
∵为等腰直角三角形，
∴在与中，
，
∴，
同理可证，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，故④正确；
∵，，
∴
，故③正确；
正确的有①③④共3个．
故选：C．
7．如图，中，用尺规按如图规迹作出射线，交于点，过点作于点于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．垂直平分
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，根据尺规作图得是的平分线，再根据角平分线的性质可得，再证明得到，，进而得是的垂直平分线，在证明，综上所述即可得出答案．
【详解】解：根据尺规作图可知：是的平分线，
又，，
，
故选项A正确，不符合题意；
在和中，
，
∴，
，
点在的垂直平分线上，
又，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
当时，垂直平分，
但是，根据已知条件无法判定，
因此选项B不正确，符合题意；
∵，
∴，
∵，
，
故选项C正确，不符合题意；
是的垂直平分线，
，
是的平分线，
，
在△和△中，
，
，
故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
8．如图，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意可证，可得，根据三角形内角和可得，再根据是的外角即可求解．
【详解】解：在中，
，
∴，
∴，
在中，，
∵是的外角，即，
∴
故选：D ．
9．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】A
【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的证明、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判断①；在上取一点N，使，证得，得到，再证得，得到，进而判断②正确；作于H，于M，根据三角形的面积可证得③错误．
【详解】解：∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∴，
，
故①正确．
∵，
∴，
∵，分别是和的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取一点N，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴，
故②正确．
作于H，于M，
∵和的平分线，相交于点O，
∴点O在的平分线上，
∴，
∵，
∴．
故③错误．
故选：A．
10．如图在的小正方形方格中，连接、、．则结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关基本性质找到角之间的关系是解题的关键．根据图形以及勾股定理可以得到边之间关系，从而得到，，为等腰直角三角形，对选项逐个判断即可求解．
【详解】解：如图，，，，
∵，，，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴
∵为等腰直角三角形
∴，
A、，故A正确，不符合题意；
B、，故B正确，不符合题意；
C、，故C正确，不符合题意；
D、，故D错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题
11．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有 ．（请填写序号）
【答案】①③④
【知识点】角平分线的有关计算、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①③④，根据角平分线的性质定理可判定②；由此即可求解．
【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∴，故③正确；
∴，即，故④正确；
∵，
∴平分，
当时，，即，
∵无法确定与的数量关系，
∴无法确定，故②错误；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④ ．
12．如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接．
(1) ；
(2) °．
【答案】(1)2
(2)或
【知识点】等边对等角、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意画出对应的图形是解题关键．
（1）当点在点左边时，当点在线段上时，当点在点右边时，均有，据此即可求解；
（2）分类讨论当点在点左边时，当点在线段上时，当点在点右边时，三种情况即可求解；
【详解】（1）解： 当点在点左边时，如图所示：
∵，
∴，即；
当点在线段上时，如图所示：
∵，
∴，即；
当点在点右边时，如图所示：
∵，
∴，即；
∵，
∴三种情况下，均有，
∴，
故答案为：
（2）解：∵，
∴；
当点在点左边时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
当点在线段上时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
当点在点右边时，如图所示：
∵，
∴，
∴；
故答案为：或
13．如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为 ．
【答案】或
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定得出两种情况，求出每种情况的x值即可．
【详解】解：要使与全等，有两种情况：①，
点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，
；
②，，
时间为秒，
即，
所以的值是或，
故答案为：或．
14．如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ．
【答案】②③④
【知识点】根据三线合一证明、全等三角形综合问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”等知识点，根据、即可判断④；延长交延长线于，可推出是等腰三角形，证即可判断②③；根据即可判断①；
【详解】解：∵平分平分
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，故④正确；
如图，延长交延长线于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ (ASA)，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，即点E为的中点，故②正确；
∵，
∴，故①错误；
故答案为：②③④
15．如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为 ．
【答案】4
【知识点】全等三角形综合问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据条件可以得出，进而得出，就可以得出，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
16．如图，点P在的平分线上，于点C，于点D，则下列结论：①；②；③与的面积相等；④．其中正确的有 ．
【答案】①②③④
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】根据已知条件，可得，根据全等三角形的性质即可判断．
【详解】解：∵P是平分线上的点，
∴，
∵于点D，于点C，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①②选项符合题意，
∵，
∴与的面积相等，故③选项符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故④选项符合题意；
综上可知，①②③④均符合题意，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
17．如图，与中，，，，交于D．且点F在上，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．
【答案】①③④
【知识点】等边对等角、全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】先根据已知条件证明，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系依次判断，即可解答．
【详解】解：在与中，
，
∴，
∴，，故①正确；
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④正确；
不能证明，故②错误；
综上可知：①③④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
18．如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 ．(填序号)
【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题
【分析】作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据题意得：∠EPM=∠FPN，再根据角平分线的性质定理可得PE=PF，从而得到Rt△POE≌Rt△POF，进而得到OE=OF，可得到△PEM≌△PFN，从而得到∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，可得S△PEM=S△PFN，OM+ON= 2OE，从而得到①②③正确，再由M，N的位置变化，可得MN的长度是变化的，再证得△PMN是等边三角形，可得故④错误，即可求解．
【详解】解：如图，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
∵OP=OP，PE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∵∠MPE=∠NPF， PE=PF，∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴∠PEM=∠PFN，EM=NF，PM=PN，故①正确；
∴S△PEM=S△PFN，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③正确；
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确；
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，
∵PM=PN，∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形，
∴△PMN的周长是变化的，故④错误，
∴说法正确的有①②③．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等边三角形判定和性质等知识是解题的关键．
19．如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点，连接．下列结论：①；②⊥；③平分；④．其中正确结论的是 ．
【答案】①②④
【知识点】角平分线性质的实际应用、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用
【分析】证明△DAC≌△EAB，再利用全等三角形的性质即可判断①；②由全等三角形的性质可得∠ADC=∠AEB，再由∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD =90°，证得∠EOD=90°，即可判断②；过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AO平分∠BOD即可判断④；根据现有条件无法证明OA平分∠CAE即可判断③．
【详解】解：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴AD=AE，AC=AB，∠DAC=∠DAE+ ∠EAC=∠BAC+ ∠EAC=∠EAB，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠AEB，故①正确：
∵∠ADE+∠AED=∠AED+∠EDO+∠ADC=180°-∠EAD=90°，
∴∠AED+∠EDO+∠AEB=90°，
∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠EOD=90°，
∴BE⊥CD，故②正确：
如图，过点A分别作AM⊥CD与M，AN⊥BE于N，
∵△DAC≌△EAB，
∴，
∴AM=AN，
∴OA平分∠BOD，
∵BE⊥CD，
∴∠BOD=90°，
∴∠AOD=∠AOB=45°，故④正确；
根据现有条件无法证明OA平分∠CAE，故③错误，
∴正确结论为①②④．
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与定义，以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解答本题的关键．
20．如图，过边长为10的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
【答案】5
【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
【详解】过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=10，
∴DE=5．
故答案为：5．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
三、解答题
21．如图所示，在中，点为的中点，点在边上，与交于点，连接，已知，．证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题
【分析】本题考查全等三角形，三角形的内角和等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和的应用，根据题意，构造全等三角形，进行解答，即可．
（1）根据三角形的内角和，求出，根据等量代换，则，再根据三角形的内角和，即可；
（2）过点作，与的延长线交于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，推出，，再根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，根据，即可证明．
【详解】（1）解：证明如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴．
（2）解：证明如下：
过点作，与的延长线交于点，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．如图，中，于点，将沿翻折至，连接并延长，在射线上取点，使得，若，求的面积．
【答案】49
【知识点】全等三角形综合问题、折叠问题
【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，理解折叠的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据折叠的性质可得，得到，，，由三角形的面积计算公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即．
∵，
∴．
由翻折的性质，得，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由翻折的性质可得，
∴，
∴．
23．池塘两端A，B的距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案测量A，B的距离．老师查看后发现只有甲的方案可行．
甲：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长即可． 乙：如图2，①确定直线，过点作直线； ②在直线BE上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交直线于点； ④测量的长即可．
(1)请说明甲同学方案中的理由；
(2)请在乙同学的方案中“①”里面增加一个条件，使他的方案变得可行，你增加的条件是___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用．
（1）利用证明，即可证明；
（2）增加，利用证明，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：增加，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
24．如图，在中，平分，在射线上取一点，使．已知，，，求的长．
【答案】
【知识点】角平分线的有关计算、全等三角形综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理得出，由此可知，再由求值即可．
【详解】平分，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
又，
．
25．（1）如图1，在中，，点是边上一点，连接，，两点都在线段上，连接，，过作交延长线于点，若，．求证：；
（2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，，过作交于点，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质：
（1）由得，推出；根据可得，证即可；（2）截取，证，推出，进而得；结合，可推出得，即可求解；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：截取，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
26．如图，已知在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
(1)求证：．
(2)除了已知条件中所给的两个直角外，你还能找出图中的另一个直角吗？请写出该角是______，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等问题要注意找条件，有些条件需在图形中仔细观察，认真推敲方可，做题时，有时需要先猜后证．
（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由，即可得证；
（2）从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力，要证，需证，需证即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
又∵，
∴．
（2）解：结论：
理由如下：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
27．如图，在中，O为的中点，，的延长线交于点E．
(1)求证：O为线段的中点．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，
（1）根据中点及平行的性质可证，得，即可求证；
（2）由全等三角形的性质可得，由即可求解．
【详解】（1）证明：为的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，即为线段的中点；
（2）解：由（1）已知，
，
，
．
28．如图所示，于点于点交于点0，且平分．
(1)图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）；
(2)小明说：欲证，可先证明得到，再证明得到，然后利用等式的性质得到，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程；如果不正确，请说明理由；
(3)要得到，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．
【答案】(1)图中有4对全等三角形，有，
(2)正确，见解析
(3)有，见解析
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．
（1）根据题意即可判断；
（2）根据，可证得，再证即可求解；
（3）证即可；
【详解】（1）解：图中有4对全等三角形，有，
（2）解：正确，
理由是：平分，
，
∵，，
，
在和中
（AAS），
，
在和中
（ASA），
，
，
．
（3）解：平分，
，
在和中
（ASA），
．
29． 如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定．
（1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明；
（2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明：
（3）解题方法与（2）类似．
【详解】（1）证明①在中，，
，
于D ，于E，
，
，
，
，
；
② ，
，，
；
（2）证明：由（1）①同理可证，
，，
；
（3）解：，
理由如下：
由（1）①同理可证，
，，
．
30．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图．
(1)在图①中画出中边上的高线；
(2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形；
(3)在图③中画出一个与全等的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求面积、全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的性质，全等三角形的判定：
（1）根据三角形高的定义画图即可；
（2）根据三角形中线平分三角形面积，找到中点N，作直线即可；
（3）根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，高线即为所求；
（2）解：如图所示，取格点N，作直线，直线即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
31．已知，如图，点在同一条直线上，相交于点，，且________，________，则____________．
给出下列信息：①；②；③．请从中选择恰当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，并加以证明．

【答案】选择①②，求证③或选择②③，求证①
【知识点】全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握“角边角”，“角角边”证明三角形全等是解题的关键，特别主要，“边边角”不能证明三角形全等．
选择①②，求证③，运用“角边角”证明即可；选择②③，求证①，运用“角角边”证明即可；选择①③，求证②，因为不能用“边边角”证三角形全等，所以不能选择①③，求证②；由此即可求解．
【详解】解：选择①②，求证③，即如图，点在同一条直线上，相交于点，，且，，求证：．
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴，
∴；
选择②③，求证①，即如图，点在同一条直线上，相交于点，，且，，求证：．
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴，
∴；
选择①③，求证②，
∵“边边角”不能证明，
∴不能选择①③，求证②．
综上所述，选择①②，求证③或选择②③，求证①，
故答案为：选择①②，求证③或选择②③，求证①．
32．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒．

(1)在运动过程中，若长为s，则s与t之间的关系式为 ；
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；时，和全等
【知识点】用关系式表示变量间的关系、等边对等角、全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据，结合点P运动的速度，列出关系式即可；
（2）分情况讨论：当时，，当，时，．
【详解】（1）解：∵动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动，
∴，
即；
（2）解：，
，
又，
当时，，
，为的中点，
，
，
解得；
当，时，，
，此方程组无解，
不存在这种情况，
综上所述，当时，．
33．已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接．
(1)如图1，当时，线段与相等吗 请说明理由．
(2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)3或8
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
（1）证明，即得出；
（2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解．
【详解】（1）解：相等，理由如下：
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：分类讨论：当时，如图，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
综上可知t的值为3或8．
34．如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于G点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质.
（1）易证，即可证明，即可解题；
（2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题；
（3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作交于点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为中点；
（3）解：过作的延长线交于点，如图，
，，，
，
由（1）（2）知：，，
，，
，
，
，
．
故答案为．
35．（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在上，且，于点D，于点E．请直接写出线段之间的关系；
（2）若（1）中，且，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否仍成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，过点B作，交于点F，连接，如图3，若，求的长．
【答案】（1）；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）
【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握定理内容寻找条件证是解决此题的关键．
（1）证即可；
（2）结合（1）中证明过程证证即可；
（3）根据条件可推出为等边三角形、为等边三角形，结合即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）（1）中结论不成立，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由（2）中得，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴
36．如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【知识点】全等三角形的性质、全等三角形综合问题
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，
（1）根据题意判定即可得到本题答案；
（2）由（1）知可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
37．在中，，过点C作直线于点M，于点N．
(1)若在外（如图1），求证：；
(2)若与线段相交（如图2），且，则＝ ．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用互余关系证，再证，得到，，即可得出结论；
（2）类似于（1）可证，得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵于M，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
38．问题探究：
小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)小圣证明的判定定理是______；
(2)的取值范围是______；
方法运用：
(3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：．
【答案】(1)边角边
(2)
(3)证明过程见详解
【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边的知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形的判定方法即可求解；
（2）运用三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解；
（3）如图所示，延长至点，使得，可证，可得，再根据可证，由此即可求解．
【详解】（1）解：是的中线，
∴，
∵延长到，使，，
∴，
∴运用的是“边角边”判定定理证明，
故答案为：边角边．
（2）解：由（1）可知，，
∴，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．
（3）证明：如图所示，延长至点，使得，
∵是中点，且，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴．
39．如图，四边形中，，平分，于点E．

(1)若，求证：；
(2)试探究线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的性质、全等三角形的判定及性质：
（1）根据角平分线的性质可得，再根据平行线的判定即可求证结论；
（2）过点作交的延长线于，利用可证得，进而可得，再利用证得，进而可得，再利用边的等量代换即可求解；
熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
．
（2），理由如下：
过点作交的延长线于，如图：
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
40．（1）理解证明：如图1，，射线在这个角的内部，点，在的边上，且于点于点．求证；
（2）类比探究 如图2，点在的边上，点在内部的射线上，分别是、的外角已知．求证：；
（3）拓展应用：如图3，在中，，点在边上，，点在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为________．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题
【分析】（1）根据垂直的性质可得，根据全等三角形的判定方法即可求解；
（2）根据分别是、的外角，可证，再根据全等三角形的判定和性质即可求解；
（3）根据（2）中的证明方法可得，，，根据，可得，且的面积为，由此即可求解；
本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，几何面积的计算方法的综合运用，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2），，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）根据（2）中的证明方法可得，
∴，设点到边的高为，
∴，且，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
【专项提升】全等三角形证明与计算 攻关练
一、选择题
1．如图，在中，，分别是，边上的高，是与的交点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
3．如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（ ）
A．平分 B．
C． D．
4．如图，在凸五边形中，，是边的中点．有下列条件：①；②；③；④．其中，能推出与一定垂直的条件的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在中，平分，过点作，，垂足分别为，，连接．有以下几个结论：①；②；③；④垂直平分；⑤．其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②④⑤ D．①③⑤
6．如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接为边上的高线，延长交于点，下列结论①；②；③；④，其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，中，用尺规按如图规迹作出射线，交于点，过点作于点于点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B．垂直平分
C． D．
8．如图，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
10．如图在的小正方形方格中，连接、、．则结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，以为边，作，满足，为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有 ．（请填写序号）
12．如图，在中，，D是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，连接．
(1) ；
(2) °．
13．如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为 ．
14．如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ．
15．如图，，，，，垂足分别为D，E，，，则的长为 ．
16．如图，点P在的平分线上，于点C，于点D，则下列结论：①；②；③与的面积相等；④．其中正确的有 ．
17．如图，与中，，，，交于D．且点F在上，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．
18．如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 ．(填序号)
19．如图，已知和都是等腰三角形，，、交于点，连接．下列结论：①；②⊥；③平分；④．其中正确结论的是 ．
20．如图，过边长为10的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
三、解答题
21．如图所示，在中，点为的中点，点在边上，与交于点，连接，已知，．证明：
(1)；
(2)．
22．如图，中，于点，将沿翻折至，连接并延长，在射线上取点，使得，若，求的面积．
23．池塘两端A，B的距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计了如下两种方案测量A，B的距离．老师查看后发现只有甲的方案可行．
甲：如图1，①在平地上取一个可以直接到达点的点； ②连接并延长到点，连接并延长到点，使； ③连接，测出的长即可． 乙：如图2，①确定直线，过点作直线； ②在直线BE上找可以直接到达点的一点，连接； ③作，交直线于点； ④测量的长即可．
(1)请说明甲同学方案中的理由；
(2)请在乙同学的方案中“①”里面增加一个条件，使他的方案变得可行，你增加的条件是___________．
24．如图，在中，平分，在射线上取一点，使．已知，，，求的长．
25．（1）如图1，在中，，点是边上一点，连接，，两点都在线段上，连接，，过作交延长线于点，若，．求证：；
（2）如图2，在中，，点为下方一点，连接，，过作交于点，若，，，求的长．
26．如图，已知在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．
(1)求证：．
(2)除了已知条件中所给的两个直角外，你还能找出图中的另一个直角吗？请写出该角是______，并说明理由．
27．如图，在中，O为的中点，，的延长线交于点E．
(1)求证：O为线段的中点．
(2)若，，求的长．
28．如图所示，于点于点交于点0，且平分．
(1)图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）；
(2)小明说：欲证，可先证明得到，再证明得到，然后利用等式的性质得到，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程；如果不正确，请说明理由；
(3)要得到，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．
29． 如图，在中，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时．求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时．求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时．求证：．
30．如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中画图．
(1)在图①中画出中边上的高线；
(2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形；
(3)在图③中画出一个与全等的．
31．已知，如图，点在同一条直线上，相交于点，，且________，________，则____________．
给出下列信息：①；②；③．请从中选择恰当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，并加以证明．

32．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒．

(1)在运动过程中，若长为s，则s与t之间的关系式为 ；
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
33．已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接．
(1)如图1，当时，线段与相等吗 请说明理由．
(2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值．
34．如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且．
(1)如图1，过F点作交于G点，求证：；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点；
(3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ．
35．（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在上，且，于点D，于点E．请直接写出线段之间的关系；
（2）若（1）中，且，其他条件不变，如图2，（1）中结论是否仍成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，过点B作，交于点F，连接，如图3，若，求的长．
36．如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论．
37．在中，，过点C作直线于点M，于点N．
(1)若在外（如图1），求证：；
(2)若与线段相交（如图2），且，则＝ ．
38．问题探究：
小圣遇到这样一个问题：如图1，中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)小圣证明的判定定理是______；
(2)的取值范围是______；
方法运用：
(3)如图2，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使，求证：．
39．如图，四边形中，，平分，于点E．

(1)若，求证：；
(2)试探究线段，，的数量关系，并说明理由．
40．（1）理解证明：如图1，，射线在这个角的内部，点，在的边上，且于点于点．求证；
（2）类比探究 如图2，点在的边上，点在内部的射线上，分别是、的外角已知．求证：；
（3）拓展应用：如图3，在中，，点在边上，，点在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为________．

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