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2024-2025 学年河南省驻马店市某中学高三（下）质检
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ || | ≤ 3}， = { | 2 + 2 > 0}，则 ∩ =( )
A. { 3,2,3} B. { 3,3} C. {2,3} D. [ 3, 2) ∪ (1,3]
2.已知随机变量 服从正态分布 (4, 2)，若 (2 < < 6) = 3 ， ( ≤ 6) = 4 ，则 =( )
A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1

3.若复数 满足 = ，则 可以为( )
A. 1 B. 1 + C. 1 + 2 D. 1 2
4.地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯 里克特提出的，其计算基
于地震波的振幅，计算公式为 = 0，其中 表示某地地震的里氏震级， 表示该地地震台测振仪
记录的地震波的最大振幅， 0表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录
的地震波的最大振幅为 5000，且这次地震的标准地震振幅为 0.002，则该地这次地震的里氏震级约为( )(参
考数据： 2 ≈ 0.3)
A. 6.3 级 B. 6.4 级 C. 7.4 级 D. 7.6 级
5.在△ 4中， 是 的中点，直线 分别与 ， ， 交于点 ， ， ，且 = ， 3 = 2
， = ，
则 =( )
A. 85 B.
5 C. 73 4 D.
5
2
6.(1 4 )8的展开式中 2的系数是( )
A. 70 B. 70 C. 1 D. 1
+ 2, 为奇数
7.在数列{ }中， 1 = 2， 2 = 1， +2 = ，则{ }的前 20 项和 20 =( )
2 , 为偶数
A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134
2 2
8 .已知 1， 2是双曲线 1： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，椭圆 2与双曲线 1的焦点相同， 1与 2
在第一象限的交点为 ，若 1的中点在双曲线 1的渐近线上，且 1 ⊥ 2，则椭圆的离心率是( )
A. 1 3 5 52 B. 2 C. 3 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中， ( )的图象可以由 ( )的图象仅通过一次轴对称变换得到的有：( )
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A. ( ) = 2 ， ( ) = 13 B. ( ) = ， ( ) =
1
C. ( ) = 2， ( ) = 2 D. ( ) = 2 ， ( ) = ln
10 + + + .已知两组样本数据，第一组 1, 2, 1 23, 4, 2 ，第二组 1, 2, 3, ,
1 2 3
4 3 ，若 1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 4，则( )
A.这两组数据的平均数一定相等 B.这两组数据的极差一定相等
C.这两组数据的第 90 百分位数一定相等 D.这两组数据的众数一定相等
11 .已知函数 ( ) = tan(2 + )( 2 < <

2 )的部分图象如图所示，其最小正周期为 ，则( )
A. = 2
B. = 12
C. ( ) 7 的一个单调递增区间为( 6 , 12 )
D. ( 3 )为奇函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的 3 位妈妈带着 3 名女宝和 2 名男宝共 8 人踏春.
在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3 名女宝相邻且不排最前
面也不排最后面；为了防止 2 名男宝打闹，2 人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数共
有______．
13.已知两个正四棱锥组合成的简单几何体 中，顶点 ， 分别位于平面 的两侧.其中正方
形 的边长为 2，两个正四棱锥的侧棱长均为 3.则四棱锥 的外接球的表面积为______．
14.已实数 、 满足 2 + 2 ≤ 1，则|2 + 2| + |6 3 |的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知某险种首次参保的保费为 2000 元，保险期为 1 年.在总体中抽取 1000 单，统计其在一个保险期内的赔
偿次数，得到表 1．
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 900 60 20 10 10
表 1
用频率估计概率，解答下列问题．
(1)求随机抽取 1 单，该单的赔偿次数不少于 3 的概率．
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(2)下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为 元，下一个保险期的
保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表 2 所示．
上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4
下一个保险期的保费 0.95 1.1 1.2 1.3 1.4
表 2
已知甲 2025 年首次参保，此后计划每年都参保．
①估计甲 2026 年参保(第二个保险期)的保费为 元，求 的数学期望；
②求在甲 2026 年参保的保费大于 2000 元的前提下，甲 2027 年参保(第三个保险期)的保费少于 2400 元
的概率．
16.(本小题 15 分)

如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，∠ = 3，且△ 是边长为 2 的等边三角形．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若 = 6，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 2 + 1( ∈ )．
(1)若 ( ) ≤ 0 在(0, + ∞)上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)设 ( ) = ( ) + 2 1 有两个极值点 1， 2，且 1 < 2，求证：2 ( 1) ( 2) ≥ 1 3 2．
18.(本小题 17 分)
2 2 2 5
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，离心率为3，且经过点(2, 3 )．
(1)求 的方程；
(2)过 1且不垂直于坐标轴的直线 交 于 ， 两点，点 为 的中点，记△ 1 2的面积为 1，△ 1 2

的面积为 12，求 的取值范围．2
19.(本小题 17 分)
若正整数数列{ }满足：①{

}为有穷数列： 1， 2， ， ；② =1 = ；③当 1 < 时，满足 >
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的正整数对( , )有且仅有 个.称该数列{ }为 的 减数列．
(1)写出 5 的 2 减数列的所有情况；
(2)若存在 100 的 减数列，求正整数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.288
13.53
14.[3,13]
15. 10+10 1解：(1)该单的赔偿次数不少于 3 的概率约为 = 900+60+20+10+10 = 50；
(2)① 的可能取值为 1900，2200，2400，2600，2800；
( = 1900) = 900 = 91000 10， ( = 2200) =
60 3
1000 = 50，
( = 2400) = 20 11000 = 50 ( = 2600) = ( = 2800) =
10 1
1000 = 100，
( ) = 1900 × 910 + 2200 ×
3 + 2400 × 150 50 + 2600 ×
1 1
100 + 2800 × 100 = 1944(元)．
900 1
②甲 2026 年参保的保费大于 2000 元的概率为 1 = 1 1000 = 10．
甲 2026 年参保的保费大于 2000 元，且 2027 年参保的保费少于 2400 元的情况包括：
2026 年参保的保费为 2200 元，且 2026 年的赔偿次数为 0；
2026 年参保的保费为 2400 元，且 2026 年的赔偿次数为 0．
= 3 9 1 9 9其概率 2 50 × 10 + 50 × 10 = 125，
18
故所求的概率为 2 = 25．1
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16.(1)证明：如图，取 的中点 ，连接 、 ，

因为四边形 为菱形，∠ = 3，
则△ 为等边三角形，
因为 为 的中点，则 ⊥ ，同理可得 ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)解：由(1)可知， = 2 2 = 22 12 = 3，
同理可得 = 3，又 = 6，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ⊥ ，
则以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (1,0,0)， (0, 3, 0)， ( 2, 3, 0)， ( 1,0,0)， (0,0, 3)，
则 = ( 3, 3, 0)， = ( 1,0, 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3 + 3 = 0
则有 ，取 ，可得 ，

= 3 = ( 3, 3,1)
= + 3 = 0
因为 = (1, 3, 0)，
设直线 与平面 所成角为 ，
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= cos < , >= 4 3 2 39则
|
= = ，
|| | 2 13 13
即直线 与平面 所成角的正弦值为2 39．
13
17.解：(1)易知 ( )的定义域为(0, + ∞)，
由 ( ) = 2 + 1 ≤ 0，
2 +1
可得 ≥ ，
( ) = 1+2 令 ，函数定义域为(0, + ∞)，
( ) = 1 2 可得 ′ 2 ，
当 0 < < 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 > 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
( ) 2 2 所以 = ( ) = = ，
则 ≥ 2 ，
2
故实数 的取值范围为[ , + ∞)；
(2)证明：易知 ( ) = 2 + 2 ，
( ) = 2 + 2 = 2
2 +2
可得 ′ ( > 0)，
令 ′( ) = 0，
此时 2 2 + 2 = 0，
当 = 2 16 ≤ 0，即 4 ≤ ≤ 4 时， ′( ) ≥ 0，
此时 ( )在(0, + ∞)上单调递增，不存在极值点；
当 = 2 16 > 0，即 < 4 或 > 4 时，
若 < 4，则 ′( ) > 0 恒成立， ( )在(0, + ∞)上单调递增，此时不存在极值点；
2 16 + 2 16
若 > 4，则方程 2 2 + 2 = 0 的两根为 1 = 4 , 2 = 4 ，
2 2
当 ∈ (0, 16 ) ∈ ( + 164 或 4 , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
2 2
当 ∈ ( 16 + 164 , 4 )时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
此时函数 ( )存在两个极值点，
因为 1 < 2， 1 2 = 1,

1 + 2 = 2，
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所以 0 < 1 < 1 < 2，
则 2 ( 21) ( 2) = 2( 1 + 2 ) ( 21 1 2 2 + 2 2)
= 2 2 21 2 1 + 4 1 2 + 2 2 2
= 2 21 4( 1 + 22) 1 + 4 1 2 + 2( 1 + 2) 2 2 2
= 2 21 2+ 4 2
2 2
1 + 2 2 2 = 2 + 2 6 2 2， 2
令 ( ) = 2 2 2 6 2, > 1，
4 2
可得 ′( ) = 2 + 4 6 = 2 6 +4 3 3 ，
4 2 2 2
= 2( 3 +2) = 2( 1)( 2) 3 3
= 2( +1)( + 2)( 1)( 2) 3 ，
当 ∈ (1, 2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
则 ( ) = ( 2) = ( 2)2 2 ( 2)2 6 2 2 = 1 3 2．
故 2 ( 1) ( 2) ≥ 1 3 2．
2 2 2
18.解：(1)因为 2 = 2 =
4
2 = ，所以 5
2 = 9 2，
9
因为点(2, 5 ) 4 253 在椭圆上，所以 2 + 9 2 = 1．
4
即 2 +
25 2 2
5 2 = 1，解得 = 9，所以 = 5，
2 2
所以椭圆 的方程为 ．
9 + 5 = 1
(2)由(1)得 1( 2,0)，依题意设 ： = 2( ≠ 0)，
2 2
由 9 + 5 = 1,消去 ，得(5 2 + 9) 2 20 25 = 0，
= 2
+ = 20 1 2 5 2设 ( 1,
+9
1)， ( 2, 2)，则 25 ， 1 2 = 5 2+9
设 ( , )，则 = 1+ 2 2 ，
1
1 2 | 1 2| | | |
1+ 2|
= = 2 = 1 | 1 1 + 1|，2 2 | 1 2| | 2| | 2| 2 2
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1 +
20
2 = 5 2+9 ( 1+ 2)2 = 16
2
由 得，
= 25 1
，
2 5 2+9
1 2 5 2+9
1 + 2 + 2 = 16
2
即 ，2 1 5 2+9
2 2
因为 2 > 0 1 16 16 ，所以 0 < ，所以 ，5 2+9 < 5 5 < 5 2+9 < 0
16所以 5 <
1 2
+ + 2 < 0，2 1
1
令 = ( < 0 且 ≠ 1)，2
16则 5 < +
1
+ 2 < 0
1
，解得 5 < < 5，且 ≠ 1，

所以 0 < 12 | + 1| < 2，所以
1
的取值范围为(0,2)．2
19.解：(1)由题意得 =1 = 5，则 1 + 1 + 3 = 5 或 1 + 2 + 2 = 5 或 2 + 1 + 1 + 1 = 5，
故所有 5 的 2 减数列有数列 3，1，1、数列 2，2，1 和数列 1，2，1，1．
(2)若数列中的每一项都相等，则 = 0，
若 ≠ 0，所以数列{ }存在大于 1 的项，
若末项 ≠ 1，将 拆分成 个 1 后 变大，所以此时 不是最大值，所以 = 1．
当 = 1，2， ， 1 时，
若 < +1，交换 ， +1的顺序后 变为 + 1，所以此时 不是最大值，所以 ≥ +1．
若 +1 {0,1}，所以 ≥ +1 + 2，
所以将 改为 1，并在数列末尾添加一项 1，则 变大，
(当数列末尾添加一项 1 后，因为数列{ }中必存在大于 1 的项，所以 必会变大)
所以此时 不是最大值，所以 +1 ∈ {0,1}．
若数列{ }中存在相邻的两项 ≥ 3， +1 = 2，将 改为 2，并在数列末尾添加 2 项 1 后， 的值会变
大，所以此时 不是最大值，
所以数列{ }的各项只能为 2 或 1，
所以数列{ }为 2，2， ，2，1，1， ，1 的形式，设其中有 项为 2，有 项为 1，
因为存在 100 的 减数列，所以 2 + = 100，
所以 = = (100 2 ) = 2 2 + 100 = 2( 25)2 + 1250，
所以，当且仅当 = 25， = 50 时，
取最大值为 1250，
所以，若存在 100 的 减数列， 的最大值为 1250．
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