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2025 年湖北省部分高中协作体高考数学联考试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 4.已知 < 0， > 0，化简 9 8 4得( )
A. 3 2 B. 3 2 C. 3 2 D. 3 2

2.已知函数 ( ) = , ≤ 0ln , > 0 , ( ) = ( ) + + .若 ( )存在 2 个零点，则 的取值范围是( )
A. [ 1,0) B. [0, + ∞) C. [ 1, + ∞) D. [1, + ∞)
3.已知 ( 2,7)， (10, 2)，点 是线段 上的点，且 = 2 ，则点 的坐标是( )
A. ( 14,16) B. (22, 11) C. (6,1) D. (2,4)
4.如图所示，在平行六面体 1 1
1
1 1中， = ， 1 = 2 .设 = ， = ， 12 = ，
= + + ，则 + + =( )
A. 34 B.
1
4
C. 23 D.
1
3
5 1+ .若数列{ }满足 1 = 2， +1 = 1 ( ∈
)，则该数列的前 2025 项的乘积是( )

A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
6.从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有( )
A. 30 B. 20 C. 10 D. 6
7.曲线 = 3 + 1 在点( 1, )处的切线方程为( )
A. = 3 + 3 B. = 3 + 1 C. = 3 1 D. = 3 3
8
2 2
.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两条弦 ， 相交于点 (点 在第一象限)，且 ⊥ 轴， ⊥
轴.若 ： ： ： = 1：3：1：5，则椭圆 的离心率为( )
A. 5 10 2 5 2 105 B. 5 C. 5 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( )的定义域为 ，若 ( + 1)与 ( 1)都是偶函数，则( )
A. ( )是偶函数 B. ( )是奇函数
C. ( + 3)是偶函数 D. ( ) = ( + 4)
10.已知直线 的方程为( 2 1) 2 + 2 2 + 2 = 0， ∈ ， 为原点，则( )
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A.若 ≤ 2，则点 一定不在直线 上 B.若点 在直线 上，则 ≥ 2
C.直线 上存在定点 D.存在无数个点 总不在直线 上
11.已知函数 ( ) = 3 + 2 有两个极值点 1， 2，且 1 < 2，则( )
A. ≥ 0 B. 1 2 < 0
C. ( 1) > ( 2) D. ( )的图象关于点(0,2)中心对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，直三棱柱 1 1 1的各条棱长均为 2， 为棱 1 1上任意一点，则
三棱锥 1 的体积是______．
2
13 3.已知双曲线 2 + = 1 的渐近线方程为 =± 3 ，则 =______．
14.若直线 = + 2是曲线 = 的切线，也是曲线 = 的切线，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3cos2 + 32 ( > 0)的最小正周期为 ．
(Ⅰ)求函数 ( )的单调递减区间；
(Ⅱ)若 ( ) > 22 ，求 取值的集合．
16.(本小题 15 分)
2 2 2
记△ 的内角 ， + ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2．
(1)求 ；
(2) 若 + = 1，求△ 面积．
17.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的底面为菱形，∠ = 3， = = 2， ⊥底面 ， 是线段 的中点， ，
分别是线段 上靠近 ， 的三等分点．
(1)求证：平面 //平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
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18.(本小题 16 分)
已知点 (2,2)，圆 ： 2 + 2 8 = 0，过点 的动直线 与圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ， 为坐
标原点．
(1)求 的轨迹方程；
(2)当| | = | |时，求 的方程及△ 的面积．
19.(本小题 16 分)
已知数列{ }是等差数列， 1 = 1，且 1， 2， 5 1 成等比数列.给定 ∈ ，记集合{ | ≤ ≤ 2 , ∈ }
的元素个数为 ．
(1)求 1， 2的值；
(2)求满足 1 + 2 + … + > 2025 的最小自然数 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 33
13. 3
14. 12 3
15.解：(Ⅰ) ∵ ( ) = 3cos2 + 3 3 12 = 2 (1 + 2 ) + 2 2
3
2
= 32 2 +
1
2 2 = sin(2 +

3 )，
2
因为周期为2 = ，所以 = 1，故 ( ) = sin(2 + 3 )．
+ 2 ≤ 2 + 由2 3 ≤
3
2 + 2 , ∈

，得12 + ≤ ≤
7
12 + , ∈ ，
故函数 ( ) [ + , 7 的单调递减区间为 12 12 + ], ∈ ．
(Ⅱ) ( ) > 2 sin(2 + 2 ，即 3 ) >
2
2 ，
+ 2 < 2 + < 3 由正弦函数得性质得4 3 4 + 2 , ∈ ，

解得 12 + 2 < 2 <
5
12 + 2 ，所以

24 + < <
5
24 + , ∈ ，
则 取值的集合为{ | 24 + < <
5
24 + , ∈ }．
2 2 2
16. + 解：(1)记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2，
根据余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
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2+ 2 2 2
所以 = = 2 = 2，解得： = 1；
(2) 由正弦定理 = = = 2 可得 + = +
= sin( ) sin( ) sin( + ) sin( + ) = sin( + ) = 1，
变形可得：sin( ) sin( + ) = ，即 2 = ，
而 0 < ≤ 1，所以 = 1 32，又 0 < < ，所以 = 2 ，
1 1 3 3
故△ 的面积为 △ = 2 = 2 × 1 × 2 = 4 ．
17.(1)证明：连接 ，交 于点 ，连接 ，△ 中， ， 分别为 ， 的中点，
所以 // ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，同理： //平面 ，因为 ， 平面 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 ．
(2) 1解：记点 ， 到平面 ，平面 的距离分别为 ， ， △ = 2 × 2 × 2 ×
3
2 = 3，
因为 ⊥平面 ， = 2， = 1 23 ，所以 = 3，
在△ 中，cos∠ = 1 = 22 2 4 ，
在△ 32中， 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 9，
同理， = 4 23 ，又因为 为 中点，所以 ⊥ ．
1
在△ 中， = 2 3， △ = 2 × 2 3 ×
32
9 3 =
15
3 ，
3×2
因为 △ 3 2 5 = ，所以 = = = 5 ．△ 15
3
18.解：(1)由圆 ： 2 + 2 8 = 0，得 2 + ( 4)2 = 16，
∴圆 的圆心坐标为 (0,4)，半径为 4．
设 ( , )，则 = ( , 4)， = (2 , 2 )．
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由题意可得： = 0．
即 (2 ) + ( 4)(2 ) = 0．
整理得：( 1)2 + ( 3)2 = 2．
∴ 的轨迹方程是( 1)2 + ( 3)2 = 2．
(2)由(1)知 的轨迹是以点 (1,3)为圆心， 2为半径的圆，
由于| | = | |，
故 在线段 的垂直平分线上，
又 在圆 上，从而 ⊥ ．
∵ = 3，∴直线 的斜率为
1
3．
∴直线 的方程为 2 = 13 ( 2)，即 + 3 8 = 0．
| 8| 4 10
则 到直线 的距离为 = ．
12+32 5
|1×1+3×3 8| = 10又 到 的距离为 10 5 ，
∴ | | = 2 2 ( 10 )2 = 4 105 5 ．
∴ 1 4 10 4 10 16△ = 2 × 5 × 5 = 5．
19.解：(1)设数列{ }的公差为 ，因为 1， 2， 5 1 成等比数列，
所以 1( 5 1) = 22，即 1 × (1 + 4 1) = (1 + )2，即 4 = (1 + )2，解得 = 1．
所以 = .因为{ | ≤ ≤ 2 , ∈ }，所以当 = 1 时，集合{ |1 ≤ ≤ 2, ∈ } = {1,2}，
所以该集合中元素的个数 1 = 2，当 = 2 时，集合{ |2 ≤ ≤ 4, ∈ } = {2,3,4}，所以该集合中元素的
个数 2 = 3．
(2) (1) = 2 + 1 + + … + = 2(1 2
) ( +1)
2
结合 知 ，所以 1 2 1 2 2 + = 2(2
1) + 2 2．
2 2
当 = 10 时，2(2 1) 2 + 2 = 2001 < 2025，当 = 11

时，2(2 1) 2 + 2 = 4039 > 2025，
记 = 1 + 2 + … + ，显然数列{ }是递增数列，所以所求 的最小值是 11．
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