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2024-2025学年安徽省安庆一中诚毅书院高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则，是异面直线
D. 若，，，则
4.如图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为，中位数为，则关于与的大小关系，下面说法正确的是( )
A. B. C. D. 不确定
5.按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则( )
A. 第一枚正面朝上的概率是
B. “第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”不相互独立
C. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的
D. “至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的
6.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，，，，，后来复查数据时，又将，重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数
7.在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：；乙：；丙：；丁：判断结果与其它三个不一样的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.正方体的棱长为，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若事件与事件互为对立事件，则
B. 数据，，，，，的第百分位数为
C. 用简单随机抽样的方法从个个体中抽取个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D. 若样本数据，，，的平均数为，则，，，的平均数为
10.直角中，斜边，为所在平面内一点，其中，则( )
A. 的取值范围是
B. 点经过的外心
C. 点所在轨迹的长度为
D. 的取值范围是
11.在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 异面直线与所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过，，三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌粒种子中抽取粒进行检测，现将这粒种子编号如下，，，，若从随机数表第行第列的数开始向右读，则所抽取的第粒种子的编号是______如表是随机数表第行至第行



13.设为内一点，且，则与的面积之比为______．
14.如图，点是棱长为的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数是一元二次方程的根．
求，的值；
若复数其中为纯虚数，求复数的模．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，分别是和的中点．
求证：
平面；
平面平面．
17.本小题分
为了估计一批产品的质量状况，现对个产品的相关数据进行综合评分满分分，并制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为分及以上的产品为一等品．
求图中的值，并求综合评分的平均数；
用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取个产品，再从这个产品中随机抽取个产品记录有关数据，求这个产品中最多有个一等品的概率；
已知落在的平均综合评分是，方差是，落在的平均综合评分为，方差是，求落在的总平均综合评分和总方差．
18.本小题分
如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
已知是边上的两个动点不重合，记．
当时，设的面积为，求的最小值；
记，问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：因为是一元二次方程的根，
所以也是一元二次方程的根，
故，解得．
因为复数为纯虚数，
所以，且，即．
所以复数，
故．
16.证明：，，是的中点，
，，即是平行四边形．
．
平面，平面，
平面，又，
平面，平面，
平面，
，平面，且，
平面平面．
平面，
平面．
由题意，平面平面，且两平面交线为，平面，，
平面．
又，，平面，且，
平面．
平面，
平面平面．
17.解：由频率分布直方图可得：
，
解得，
则综合评分的平均数为
；
由题意，抽取个产品，
其中一等品有个，非一等品有个，
一等品记为、、，非一等品记为、，
从这个产品中随机抽取个，试验的样本空间，共个样本点，
记事件“抽取的这个产品中最多有个一等品”，
则，共个样本点，
所以所求的概率为；
，
．
18.Ⅰ证明：以为原点，，，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，，
所以，所以，
所以平面，平面，所以．
Ⅱ解：，所以，
由平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的为，
所以直线与平面所成角的正弦值．
Ⅲ解：由已知为平面的一个法向量，且，
由平面的一个法向量为，
所以，
由图可得平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：因为，由正弦定理可得：，
即，
整理可得：，即，
因为，则，
故A，即，又，
所以；
因为，所以，又，所以，．
如图，因，设，则，
则在中，由正弦定理可得：，
所以，
在中，由正弦定理，得，
所以，
所以，
因，则，
故当，即时，；
假设存在实常数，，对于所有满足题意的，，都有成立，
即都有，
由题意，代入整理得对于所有满足题意的，成立，
故有，从而有，即，
因为，所以．
即存在实常数，对于所有满足题意的，，都有成立．
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