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2025年北京市西城区中考数学一模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. 正三角形 B. 矩形
C. 圆 D. 菱形
2.如图，直线与相交于点，若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
3.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
4.若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是( )
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
5.某创新型科技公司在遭遇到一次大规模网络攻击时及时启动了防御体系，构建了动态加密隧道，成功拦截了大部分恶意流量假设该公司被攻击的恶意流量为平均每秒字节，若持续被攻击秒的总流量为字节，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它们除颜色外无其他差别从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是( )
A. B. C. D.
7.下面是“过直线外一点作直线的垂线”的尺规作图方法．
任取一点，使得点和点在直线的两旁；
以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和点；
分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
作直线．
直线就是所求作的垂线．
上述方法通过构造直线上线段的垂直平分线，得到直线的垂线其中判定点在线段的垂直平分线上的依据可以是( )
A. 点与点关于直线对称
B. 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
8.如图，等边的边长为，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，，，连接，，对给出下面三个结论：
对任意都有是等边三角形；
存在唯一一点到点，，的距离相等；
当时，的周长是．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
10.分解因式： ______．
11.方程的解为______．
12.在平面直角坐标系中，若点和都在函数的图象上，则的值是______．
13.某单位有，两条生产线生产同一种产品为了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中随机抽取一定数量的样品进行调查在两条生产线的产品中每次各抽取个样品，共抽取五次已知在五次抽取中，，两条生产线合格产品的数量单位：个如下：
：
：
则五次抽取的样品中产品质量更为稳定的生产线是______．
14.用一组，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是： ______， ______．
15.如图，在矩形中，点，分别在边，上，且若，，，则的长为______．
16.某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成每名工人每天的工作量相同修复每个景点所需的工人数单位：人和天数单位：天如下：
景点
工人数
天数
公园计划聘用人，用天的时间完成所有修复工作．
若，则的最小值是______；
假设每名工人每天的工资为元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为元______用含的式子表示元．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解不等式组：．
19.本小题分
已知，求代数式的值．
20.本小题分
如图，在四边形中，，对角线，过点作于点，交于点．
求证：四边形是平行四边形；
连接，若点是的中点，，，求的长．
21.本小题分
为设计一类推理型模型，某公司计划投入万元购进、两种型号的芯片共片，其中型芯片至少片已知购进片型芯片和片型芯片共需万元，购进片型芯片和片型芯片共需万元为了满足基本需求，请判断该公司计划投入的资金是否够用，并说明理由．
22.本小题分
某地区计划通过面试从报名参加文化推广的人员中选出“文化志愿者”现收集了所有名报名者的面试成绩百分制，取整数，并对这个数据进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息：
个数据的频数分布直方图如下数据分组：，，，，：
个数据在这一组的是：
根据以上信息，回答下列问题：
频数分布直方图中的值是______，这个数据的中位数是______；
本次面试平均成绩约为______同一组数据用该组的组中值作代表，结果四舍五入取整数；
将本次面试成绩从高到低排序，面试成绩在前的报名者可以被录用为“文化志愿者”若一名报名者的面试成绩为分，判断他能否被录用，并说明理由．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．
求函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
24.本小题分
如图，是的直径，点在上，连接，作直线，交直线于点，交的角平分线于点，连接．
求证：是的切线；
连接交于点若，，求的半径．
25.本小题分
在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷图是由线段绕竖直的直线旋转一周得到的号帐篷点在直线上，点在水平地面上；图是由曲线段绕竖直的直线旋转一周得到的号帐篷点在直线上，点在水平地面上．
已知两个帐篷的底圆半径都是点是线段上的一动点，点是曲线段上的一动点当与的水平距离和与的水平距离都是单位：时，小菲分别记录了和的竖直高度单位：和单位：，部分数据如下：
补全表格结果保留小数点后两位；
______
通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
某学生的身高是，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______结果保留小数点后一位；甲、乙、丙三名学生的身高单位：分别为，，，若，且，则在号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的半径差填“”“”“”．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为．
当时，求的值；
点，是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围．
27.本小题分
在中，，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，设．
如图，当时，
求的大小用含的式子表示；
请用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
当时，请直接写出线段，，之间的数量关系．
28.本小题分
对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“关联点”．
在平面直角坐标系中，
已知点，的半径为，
在点，中，是点关于的“关联点”的是______；
若直线上存在点关于的“关联点”，则的取值范围是______；
已知是轴上一动点，点满足，的半径为，若点既是点关于的“关联点”，也是点关于的“关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】解：直线与相交于点，
，
，
，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由数轴可知，，故选项A错误；
B.由数轴可得：，，，则，故选项B错误；
C.观察数轴可知，，则，故选项C错误；
D.由数轴可知，，，则，故选项D正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：正多边形的外角和是，每个外角都是，
这个正多边形的边数是：，
这个正多边形是正五边形，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：列表如下：
红 红 绿
红 红，红 红，绿
红 红，红 红，绿
绿 绿，红 绿，红
共有种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个绿球的结果有种，
摸到一个红球和一个绿球的概率为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，判定点在线段的垂直平分线上的依据可以是与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：连接、、，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
同理可得，，
，
在和中，
，
≌，
同理可证≌≌，
，
故是等边三角形，故对；
是等边三角形，
外心也为外心，
存在一点到点，的距离相等，故对；
当时，则、、共线，
，，
如图，过作于点，
则，
，，
，
，
，故对，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原分式方程的解为，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：点和在函数的图象上，
即，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：生产线平均数：，
生产线平均数：．
生产线的方差：，
生产线的方差：，
，
产品质量更为稳定的生产线是，
故答案为：．
14.【答案】 答案不唯一
【解析】解：当，时，，而，
命题“若，则”是错误的，
故答案为：；答案不唯一．
15.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得．
故答案为：．
16.【答案】；
．
【解析】解：总工作量为：人天，
，
，
取正整数，
的最小值为，
故答案为：；
设是人数，是天数，支付给工人的工资总额元，则，
当最小时，取最小值，
当，时，，
此时，
故答案为：．
17.【答案】．
【解析】解：原式
．
18.【答案】．
【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
则不等式组的解集为．
19.【答案】，．
【解析】解：
，
，
，
原式．
20.【答案】证明见解析；
．
【解析】证明：，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，由可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
点是的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：负值已舍去，
，
即的长为．
21.【答案】该公司计划投入的资金够用，理由见解得过程．
【解析】解：该公司计划投入的资金够用，理由如下：
设型芯片单价为万元，型芯片单价为万元，
购进片型芯片和片型芯片共需万元，购进片型芯片和片型芯片共需万元，
，
解得，
型芯片单价为万元，型芯片单价为万元，
设购进型芯片片，则购进型芯片片，
，
解得，
投入的资金最多购进型芯片片，
，
该公司计划投入的资金够用．
22.【答案】，；；
面试成绩为分的面试者一定被录用为“文化志愿者”．
【解析】解：，将这名学生的面试成绩从小到大排列，处在第，第位的两个数的平均数位分，即中位数是分，
故答案为：，；
这名面试学生的成绩的平均数为分，
即本次面试平均成绩约为分，
故答案为：；
人，将这名学生的面试成绩从大到小排列，处在第位的数据为分，而，
所以面试成绩为分的面试者一定被录用为“文化志愿者”．
23.【答案】．
且．
【解析】解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
．
一次函数的图象过点，
．
．
这个一次函数的表达式为．
当时，，
吧代入，求得，
当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，
且．
24.【答案】证明见解答；
的半径长为．
【解析】证明：平分，
，
是的直径，点在上，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的半径，且于点，
是的切线．
解：连接交于点，连接，
是的半径，且于点，
是的切线，
，平分，
垂直平分，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
设，则，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
的半径长为．
25.【答案】补全表格见解析； 图见解析； ；．
【解析】解：观察表格可知：为定值，
当时，，
补全表格如下：
故答案为：；
图象如图所示；
由图象可知：当时，，
当时，，
他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为；
故答案为：；
由图象可知，随着的增加而增加，且增加的速度越来越慢，
当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大，
，且，
甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差；
故答案为：．
26.【答案】；
的取值范围是或．
【解析】解：当时，抛物线，
抛物线的对称轴为，
；
抛物线的对称轴为．
，
当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，
若，此时，
则当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，
，
成立，
当时，
点关于对称轴的对称点为．
．
．
当时，成立．
当时，不合题意，舍去．
若，此时，
则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
满足题意．
综上所述，的取值范围是或．
27.【答案】；
线段，，之间的数量关系：．
．
【解析】解：连接．
，点与点关于直线对称，
，．
在中，，，
，．
．
线段，，之间的数量关系：．
证明：过点作交于，连接．
．
，
，
．
在中，，，
，
．
，．
点，，，在以点为圆心，的长为半径的圆上．
．
．
．
≌．
．
点与点关于直线对称，
．
．
．
．
．
．
．
过点作交于，连接，，
同可证≌．
．
同可知是等腰直角三角形．
，
．
28.【答案】、；
；
．
【解析】解：由定义可知，若在上或者内，使得为顶角为的等腰直角三角形，
那么不妨以为底边，分别作等腰与，
则以，为圆心，为半径的，，
此时点在、圆上或圆内，
，符合题意，
故答案为：、；
同理可作等边与等边，
则，，且圆的半径为，
若直线与相切时，此时或，
但当时，直线与有交点，
故的取值范围为；
故答案为：；
是轴上一动点，点满足，的半径为，不妨令也在轴上，如下图，
要使得点是点关于的“一关联点”，也是点关于的“关联点”，
那么先来看点关于的“关联点”，
由可知，以为底边作等边与，
则点关于的“一关联点”在以、为圆心，为半径的与圆内或圆上．
那么再来看点关于的“关联点”，
此时以为底边作为顶角的等腰与，
则点关于的“一关联点”在以、为圆心，为半径的与圆内或圆上，
那么两圆公共部分区域即为点的可行区域，随着点在以为圆心，半径为的上运动时，公共部分会随之运动，
此时公共部分区域到点距离最远点为，最近点为，
随着点的运动，的取值范围为．
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