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2024-2025学年江苏省泰州中学高二下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则等于( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知四棱锥，底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为( )
A. B.
C. D.
5.若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.小明将，，，，，这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个之间只有一个数字，且与相邻，则可以设置的密码种数为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆、双曲线均是以直角三角形的斜边的两端点为焦点的曲线，且都过点，它们的离心率分别为，则
A. B. C. D.
8.中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源蹴鞠在年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次积分多者名次靠前，积分同者名次并列，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为，则在比赛结束时丙队在输了第一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 展开式中二项式系数和为
C. 展开式中所有项系数和为
D.
10.甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由，，三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序，，的概率分别为，，，当他负责工序，，时，该项目达标的概率分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 该项目达标的概率为
B. 若甲不负责工序，则该项目达标的概率为
C. 若该项目达标，则甲负责工序的概率为
D. 若该项目未达标，则甲负责工序的概率为
11.已知正方体的棱长为，点满足，与三点不重合，则下列说法正确的是( )
A. 当时，平面
B. 当时，平面
C. 当时，平面平面
D. 当时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.小红和小梅大学毕业后，主动到山区学校参加支教活动，她们两个都决定从包括甲学校在内的所学校中随机选择一所学校去支教，设事件为“两人至少有一人选择甲学校”，事件为“两人选择的学校不同”，若，则 ．
14.定义“规范数列”如下：共有项，其中项为，项为，且对任意，，，中的个数不少于的个数若，则不同的“规范数列”共有 个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平面，，，四边形为菱形．
证明：平面
若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
16.本小题分
猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜在一次猜灯谜活动中，若甲乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为假设甲乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
甲乙任选个独立竞猜，求甲乙恰有一人猜对的概率；
活动规定：若某人任选个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
甲乙各任选个独立竞猜，设甲乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
已知函数．
求函数的图像在点处的切线方程；
若，且对任意恒成立，求的最大值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，．

求证：平面；
过直线与线段的中点的平面与线段交于点．
试确定点位置；
若点为线段上一动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值．
19.本小题分
在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动个单位长度，机器人每次经过或时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到设事件表示“机器人的前次移动均未向雷达发送信息”．
求，
已知两个结论：设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为．
(ⅰ)证明：事件“雷达会收到信息”的概率为
(ⅱ)求机器人首次发送信息时所在位置为的概率．
参考答案
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15.证明：设交于点，连接，
，
，，，四点共面，
又平面，
平面，
在平面内的射影为，
又为菱形，，
，易得，
，
，
，
又，平面，，
平面
解：以为原点，，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
，，
由知是平面的一个法向量，且直线与平面所成角的正弦值为，
则，解得，
，
则点到平面的距离为，
的面积为，
故三棱锥的体积为．
16.解：设 “甲猜对一个灯谜”， “乙消对一个灯谜”，
则
因为甲乙恰有一人猜对的事件为 ，
所以
所以，甲乙恰有一人猜对的概率为 ；
设 “甲猜对两道题”， “甲中奖”，
则
，
所以，甲同学抽中新春大礼包的概率 ；
由知 ．
易知甲乙猜对灯谜的个数之和 的可能取值为 ，
则
所以 的分布列为
因此， 的数学期望
17.解：因为，所以，
函数的图像在点处的切线方程；
由知，，所以对任意恒成立，
即对任意恒成立．
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当时，，即，当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故整数的最大值是．
18.解：

连接、，设，连接，
，，，，则，
，即是的角平分线，，
，，平面，平面
同理可得
故，所以，，
因为，则，则，
解法一取的中点，连接、，
，，故为等边三角形，
为的中点，，
在底面中，，，，
过点作，则，所以，，，四点共面。
连结，则，则，所以，，，四点共面。
连结，面面，则必与相交，交点为所求的点，
，所以点为靠近的三等分点．
平面，平面，，
因为，，，所以，，则，
，，所以，，
所以，，即，
，平面，所以，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设，其中，
则，
所以，
，
因为，所以令，，，
所以，
设，对称轴为，
故当或，即或时，取得最小值．
因此，当点与点或点重合时直线与平面所成角的正弦值的最小值为．

解法二平面，平面，，
因为，，，所以，，则，
，，所以，，
所以，，即，
，平面，所以平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，
，，，
，，，四点共面，则，解得，，，
所以点为靠近的三等分点，下同解法一，
解法三延长，交于点，连结交于点，即为所求点在中，
，，，，则为中点又因为为中点，则为的重心，则，为靠近的三等分点．
平面，平面，，
因为，，，所以，，则，
，，所以，，
所以，，即，
，平面，所以平面，
，，，，，
设点到平面的距离为，
，，，
假设直线与平面交点为，
则直线与平面所成角正弦值，
所以当最大，正弦值最小，
，，
因为，
所以当点与点或点重合时最小．

19.解：
若机器人经过，则其概率
若机器人经过，则其概率，
；
，因此，
，
．
对于一系列无穷事件，存在正数，对于任意的都有则“中只有有限个事件同时发生”的概率为，即“中有事件不发生”的概率为，即“雷达会收到信息”的概率为．
设事件机器人从出发，运动至首次发送信息，根据，机器人发信息的概率为，即它会从运动至或的概率为，再根据对称性，机器人初始位置为，首次发信息在的概率与初始位置在，首次发信息在的概率相等，即设事件表示点移动到，事件表示点移动到，设事件表示点移动到．
易知事件与事件相互独立，
又根据全概率公式，若机器人初始位置为，
第一次移动后的位置为或，
，
若机器人初始位置为，第一次移动后的位置为，，
即，
解，解得，从而雷达第一次收到信息时机器人位置为的概率为．
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