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2024-2025学年江西省景德镇市高二下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
2.若，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.青铜神树是四川省广汉市三星堆遗址出土的文物，共有八棵，其中一号神树有三层枝叶，每层有三根树枝，树枝上分别有两条果枝，一条上翘、一条下垂，每层上翘的果枝上都站立着一只鸟，鸟共九只即太阳神鸟现从中任选三只神鸟，则三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数为( )
A. B. C. D.
4.已知的展开式中第项与第项的系数之比为，下列说法不正确的是( )
A. B. 展开式中的常数项为
C. 含的项系数为 D. 展开式中的有理项有项
5.设正数，随机变量的分布列，若随机变量的期望为，则最小值为( )
A. B. C. D.
6.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为( )
A. B. C. D.
7.总共有个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示、、号三个足够大的杯子，其中号杯子至少放一个小球，号杯子至少放两个小球，号杯子至少放三个小球，问总共有种放小球方法
A. B. C. D.
8.从标号为号到号的个小球中随机取出个，求这个球中恰好有两个标号为偶数和两个标号为奇数，且其中标号最大的小球是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于线性回归方程的分析，下列哪些选项是正确的有( )
A. 相关系数与回归系数的符号相同
B. 回归直线一定经过样本中心点
C. 线性回归方程中的越大，则两组变量的相关性越强
D. 若相关系数，则说明与的线性关系足够强，适合用该回归方程进行预测
10.若，则下列选项是正确的有( )
A. 二项式系数之和为 B. 展开式中含的系数为
C. D. 展开式中系数的绝对值最大是
11.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角如图，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下如图：
上表图中第行的第个数用表示，即展开式中含项的系数为，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，且随机变量，则 ．
13.在的展开式中，项的系数为 ____．
14.人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置．随着技术的发展与普及，越来越多学生和家长利用网络在线学习和辅导．若景乐同学每天可以选择在线课程或面授课程两种方式进行学习．已知第一天选择在线课程和面授课程的概率为都为，若第一天其选择在线课程，则第二天继续选择在线课程的概率为；第一天选择面授课程，则第二天选择在线课程的概率为那景乐同学第二天选择在线课程的概率为 ，若第二天选择了在线课程，则其第一天选择面授课程的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
有名男生名女生站成一排拍照．
女生不能排两端，有多少种不同的排法？
男女相间排成一排，有多少种不同的排法？
16.本小题分
健康是人生之基，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展．每年月日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间单位：分钟，通过随机抽样调查了位年轻人，得到样本的频率分布直方图如下：
根据频率分布直方图，估计这为年轻人每天健身时间的平均数单位：分钟；同一组数据用该组数据区间的中点值表示
若年轻人每日健身时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
附参考数据：若，则，，
17.本小题分
在年春节档电影中，由饺子导演的哪吒之魔童闹海电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班人进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生
男生
总计
已知从全班人中随机抽取人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为．
请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关；
从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取人做进一步的问卷调查，再从这人中随机选出人采访发言．设这人中男生人数为，求的分布列及期望值．
附：，．
18.本小题分
为了让学生更加了解学习红色文化，学校购买了一些书籍．其中永恒的力量：八一，永恒的力量：方志敏与永恒的力量：安源三本是红色文化书籍，另外西游记与红楼梦非红色文化书籍，并做好形状大小外观等一样的书签，某位同学随机排列这五张书签，并依次抽取若抽到红色文化书籍则停止，否则继续抽取书签．
求这五张书签共有多少种不同的排列方式？
求停止时已抽取非红色文化书籍书签数的期望值和方差．
19.本小题分
在班级一次活动中，进行一个轮摸球游戏，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黄、蓝三种颜色的球，从中随机摸出一个球摸出的球不再放回，若摸到红球则试验成功；若摸到黄球，则试验失败；若摸出蓝球，则进入判定环节：判定时，放回个蓝球并取出个黄球，再从中随机摸出一个球，若第二次摸到黄球，则试验失败，否则试验成功．若成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有个红球，个蓝球，个黄球．
求第轮试验成功的概率；
某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例；
记试验结束时，试验成功的概率为，证明：．
参考数据：，，，．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：第一步，先排两端，因为女生不能排两端，所以两端只能从名男生中选名进行排列，则排法有种
第二步，排中间个位置，此时剩下个人名男生和名女生全排列，排法有种
第三步，根据分步乘法计数原理，所以女生不能排两端的排法共种
第一步，先排男生，名男生全排列，排法有种
第二步，因为要男女相间，所以名男生排好后男生之间形成个空位，
将名女生插入这个空位中，排法有种
第三步，根据分步乘法计数原理，男女相间排成一排的排法共有种
16.解：由频率分布直方图可知，这为年轻人每天健身时间的平均数为
分钟．
由可得，，
所以
．
17.解：因为从全班人中随机抽取人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为，
所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生人，则男生人．
不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生人，则女生人．
列联表补充如下，
喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计
女生
男生
总计
根据列联表中的数据，计算可得
，故有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关．
由题意，按分层抽样抽取的人中，男生人数为，女生人数为．
表示从这人中随机选出人中男生的人数，所以的所有可能取值为．
则，
，
．
所以的分布列为
数学期望．
18.解：由题意结合全排列可知：
五张书签共有：种
设停止时已抽取非红色文化书籍书签数为，
易知的可能取值为：，
，
，
，
所以，
19.解：第轮试验中有个红球，个蓝球，个黄球，
摸到红球即试验成功的概率为，
摸出蓝球且试验成功的概率为，
所以，第轮试验成功的概率为．
由题意，，
所以，则所求经验回归方程为．
当试验轮数足够大，即足够大时，接近于，则接近于，故预测成功志愿者的比例为．
由题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为，则，
其中发生有两种可能：摸到黄球，其概率为；
先摸到蓝球再摸到黄球，其概率为．
所以，
则，
所以．

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