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2024-2025学年河北省张家口市第一中学高二下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
2.函数的图象在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
3.的展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则极小值点的个数为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.从名医生，名护士中选出人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知定义在上的函数的导函数是，且若，则称是的“增值”函数．下列函数是的“增值”函数，其中使得在上不是单调函数的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数有两个极值点，，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则 ．
13.从黄瓜、白菜、豆角、韭菜、青椒种蔬菜种子中选出种分别种在，，三块不同的土地上，每块土地只种种，其中黄瓜不种在土地上，则不同的种法共有 种
14.已知恒成立，则正数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学习小组共人，其中男生名，女生名．
将人排成一排，名男生从左到右的顺序一定不一定相邻，不同排法有多少种？
从人中选出人，女生甲和女生乙至少人在内的不同选法共有多少种？
16.本小题分
已知的展开式中，各项的二项式系数之和为．
求展开式中的系数；
求展开式中有理项
17.本小题分
已知函数在时取得极值．
求，的值；
求在上的最大值和最小值．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调区间；
若在上的最小值为，求的值．
19.本小题分
已知，为的导数．
证明：当时，；
讨论在上的零点个数，并证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.男生名，女生名站成一排，共有种，又因为名男生从左到右的顺序一定，
所以不同的排法种数为种；
从人中出人，女生甲和女生乙至少人在内的不同选法共有种
16.因为各项的二项式系数之和为，根据二项式系数之和的性质，可知，即，所以．
在中，则其展开式的通项公式为：
令，解得．
将代入到通项公式的系数中，可得，即展开式中的系数．
当为整数时，该项为有理项．
因为且，则
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
所以展开式中的有理项为，，，．
17.解：由题可得，
，，
解得，；
由知，
令，解得，，
当时，，
所以的单调递增区间为，，
当时，，
所以的单调递减区间为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以在上的最大值为，最小值为．
18.解：的定义域为，
当时，在上单调递增．
当时，令，解得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，由知，在上单调递增，
所以，舍去，
当时，在上单调递增，
所以，舍去，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
解得，舍去，
当时，在上单调递减，
所以，
解得，符合题意．
综上，．
19.，则，
设，则，
所以在上单调递减，且，
故，即．
故当时，；
由知，
在上单调递减，且，
所以使得，即，
所以，，即；，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，；当时，，
所以，
又函数在上单调递增，
所以在上单调递增，且，则，
所以在上有个零点；
由，，
得，
即，所以．

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