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2024-2025学年河南省郑州市第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从，中选一个数字，从，，中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被整除的个数为( )
A. B. C. D.
2.下列求导数的运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知随机变量的分布列如下表：
若，离散型随机变量满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，那么的值为( )
A. B. C. D.
5.甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率，乙命中目标的概率为假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为( )
A. B. C. D.
6.下列四个不等式中正确个数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则( )
A. 有三个极值点 B. 点是曲线的对称中心
C. 有三个零点 D. 直线是曲线的切线
8.已知实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在二项式的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则( )
A. B. 展开式中没有常数项
C. 展开式所有二项式系数和为 D. 展开式所有项的系数和为
10.已知随机事件，发生的概率分别为，事件，的对立事件分别为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若与互斥，则
C. 若，则，相互独立
D.
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的单调递减区间为和
B. 当时，
C. 若方程有个不等实数根，则
D. 设，若对，使得成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，则 ．
13.已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求 ．
14.安排甲、乙、丙、丁、戊名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 种；其中学生甲被单独安排去金华的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从甲、乙、丙等人中选出人排成一排．以下问题均用数字作答
甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法？
甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间可以不相邻有多少种排法？
甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法？
16.本小题分
已知二项式且满足．
求的值；
求展开式的中间一项；
设，求．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围．
18.本小题分
新高考数学试卷中共道多选题，每题满分为分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得分，部分选对得部分分如果有两个选项符合题目要求，选对一个得分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得分；有错选或不选，得分，某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的．
已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得分的概率；
小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知函数．
解不等式的解集；
若满足关于的方程，求证；
若是函数的零点，求使得不等式成立的整数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内，所以可以分步完成：
第步，从人中选中人，有种选法．
第步，从其余人中选出人，有种选法．
第步，将选出的个人全排列，有种排法．
根据分步乘法计数原理，不同的排法有
；
由于三人全在内，且甲在乙、丙之间，所以可以分步完成：
第步，从其余人中选出人，有种选法．
第步，将人安排到个位置，有种方法．
第步，剩余个位置排甲、乙、丙三人，有种方法
根据分步乘法计数原理，不同排法有
；
由于甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，所以分步完成：
第步：从其余人中选出人，有种选法．
第步：将甲、乙捆绑与选出的人排列，有种方法．
第步：将丙插空有种方法．
根据分步乘法计数原理，共有
．
16.由组合数公式得，，
因为，所以，解得或，
由组合数性质得，则．
当时，原二项式化为二项式，
由二项式性质得共有项，则展开式的中间一项是第项，
由二项式定理得的通项为，
当时，．
由已知得，则，
由题意得，
因为，
所以，
由二项式定理得展开式的通项为，
则，，
得到，，故．
17.当时，．
．
令，即．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
在处取得极小值为，无极大值．
当时， 在上递减；
当时，令，，
当时，，当时，，
在上递减，在上递增．
由知，当时，在上递减；至多有个零点，不合题意．
当时，有两个零点，则，即，
令，单调递增，．
，
，，
由零点存在定理知，在存在一个零点．
又，
，由零点存在定理知，在存在一个零点．
综上：时，有两个零点．
18.解：记“随机选择个选项作答”，，“小张得分”．
则，，，
，，，
则；
设记小王用策略一得分为随机变量，的取值为，，，
，，，
小王用策略一得分的分布列为：
故，
记小王用策略二得分为随机变量，的取值为，，，
，
，，
故．
19.令，
则，故在上递增，
因，则，得，
则不等式的解集为．
因为满足，即满足，
则，即，
令，则，
因，则函数在上单调递增，所以，
所以，即；
因为是函数的零点，则，
所以，即，
两边同除以有，
两边同乘以有，
所以，即，
即，
又函数在上单调递增，所以，即，
所以，
令，则，则在上单调递增，
又，，所以，
所以，
所以使得不等式成立的整数的最小值为．

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