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2024-2025学年浙江省宁波市镇海中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数在上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，在上，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在实数、、使得且成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的周期为，且在上单调递增，则不符合条件的有( )
A. B. C. D.
10.已知，为正实数，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值
11.已知函数，则下列正确的是( )
A. 存在实数，使得存在零点
B. 存在实数，使得对任意实数恒成立
C. 不存在正实数，使得对任意实数恒成立
D. 不存在正实数，使得有实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ．
13.已知，且，则的最小值为 ．
14.设函数在上有定义，且满足以下性质：，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求的对称轴；
若函数在上单调递增，求的取值范围．
17.本小题分
已知线段、交于点，且，，．
若，求的长；
若且，求的长．
18.本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
若对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；
若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合，对于，，定义．
已知，求所有的，使得：
已知，求证：为偶数；
已知，对任意，均有，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意可得：集合，
若，则集合，
所以．
若，则，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为．
16.由题意可得：，
令，解得，
所以的对称轴为．
由可得，
因为且，则，
若函数在上单调递增，
则，解得，
所以的取值范围为．
17.如下图所示：
因为，且，
所以，由余弦定理可得，
即，整理可得，
因为，所以，，故．
若，且，，则，
所以，，又因为，则，可得，
所以，，不合乎题意，
因为，则，
则，
即，
整理可得，解得或，
因为，则，
所以，或，可得或，
若，则，，由正弦定理可得，则；
若，则，，由正弦定理可得，则．
综上所述，或．

18.因为，可知函数的定义域为，
若函数为偶函数，则，
即，可得，即，
此时，
则，即函数为偶函数，
所以．
因为，即，
可得，
即对于任意实数恒成立，
因为，则，可得，
所以实数的取值范围为．
由可知：，
若存在，使得成立，
即，
整理可得，
则，
令，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
构建，可知在内存在零点，
因为的图象开口向上，对称轴为，
若，可知在内单调递增，
则，解得；
若，可知在内单调递减，在内单调递增，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围为．
19.由题意，若，使得，设，
则，注意到，
从而这四个数中的其中一个要么是，要么是，
结合，可知必有个和一个，
所以我们分四种情况讨论即可：
，，解得，即此时；
，，解得，即此时；
，，解得，即此时；
，，解得，即此时；
综上所述，满足题意的为或或或；
若，设，，，
则，
由的定义可知，，
不妨设中有个，个，
中有个，个，
中有个，个，
这意味着有组满足，组满足，
组满足，组满足，
组满足，组满足，
不失一般性，设，
则，
因为，
所以设，
注意到，
在这里，分三种情况讨论：
若，则有，
即组满足，此时，
故是偶数，
若，则，
，
此时，
故是偶数；
若，则，
，
此时，
故是偶数；
综上所述，若，则为偶数；
若，对任意，则可设，，
根据的定义可知，，从而，
若，则只能，
即，
这表明，
则所有可能的情况为：或；或；；或；
下面证明所求的最大值是，
一方面：当时，可取取法不唯一，此时满足题意；
另一方面：当时，任取三个不同的，其中必有两个的第一个分量相等，
比如我们就让的第一个分量相等，
而这会导致，这就和矛盾，
故是不可能的，
综上所述，的最大值是．

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