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2024-2025学年湖南省常德一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是( )
A. B. ： C. D. ：
5.中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
7.已知一个圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，体积为，则该圆台的高为( )
A. B. C. D.
8.已知锐角三角形的内角、的对边的长分别为、，，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，则
C. 若复数满足，则的最大值为
D. 若，则
10.如图是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点如果将容器倒置，水面也恰好过点图，下列四个命题中，正确的有( )
A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B. 在图容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的
C. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
D. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
11.如图，的内角，，所对的边分别为，，若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是( )
A. 是等边三角形
B. 若，则，，，四点共圆
C. 四边形面积最大值为
D. 四边形面积最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
13.如图所示，在直三棱柱中，柱的侧面均为矩形，，，，是上的一动点，则的最小值为______．
14.已知是边长为的正三角形，点是的外接圆上一点，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，且为纯虚数．
求复数；
设、在复平面上对应的点分别为、，为坐标原点求向量在向量上的投影向量的坐标．
16.本小题分
如图，圆柱内接于球，已知球的半径，设圆柱的底面半径为．
以为变量，表示圆柱的表面积和体积；
当为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
17.本小题分
如图，菱形的边长为，，，求：
；
．
18.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点．
当为的中点时，求证：平面．
当平面，求出点的位置，说明理由．
19.本小题分
十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点在费马问题中所求的点称为费马点已知，，分别是三个内角，，的对边，且，点为的费马点．
求角；
若，求的值；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由已知可得，
因为为纯虚数，所以，所以，所以；
由可得，所以，即，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为．
16.解：如图，点为圆柱底面圆圆心，连接，
，圆柱的高，
，
；
，
当且仅当，即时，取最大值，最大值为．
17.解：，
．
，．
18.证明：在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，
取中点为，连接，，
在中，为的中点，为中点，
，
在平行四边形中，为的中点，
，
，，
四边形为平行四边形，
，面，面，
平面；
解：连接，，相交于，连接，
面，面面，面，
，
即存在点，为上靠近点的三等分点．
19.解，
，
，
，
又，，
，是三角形内角，，
，，
，又，，
设，
，三角形的三个角均小于，
根据题意可得，
又，
，
，
．
由，
，
，
由余弦定理可得，
同理可得，，
相加得，
又，，所以，
，，，，
所以，又，
故∽，所以，
故，即，
，
，当且仅当时等号成立，
又，所以，
，
令，则，所以，
由于函数均为上的单调递增函数．
为上的单调递增函数，
，进而．
即的取值范围是．
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