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2024-2025学年江西省赣州市十八县（市、区）二十五校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的前项为，，，，则的通项公式可以是( )
A. B. C. D.
2.关于随机变量和的样本线性相关系数，下列说法正确的是( )
A. 的取值范围为
B. 当时，随机变量和不相关
C. 当时，随机变量和的相关程度最强
D. 当时，随机变量和正相关
3.等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列的通项公式为，则的最小项为( )
A. B. C. D.
5.函数图象上一点到直线的最短距离为( )
A. B. C. D.
6.已知变量和的统计数据如表：
若和线性相关，则关于的回归直线方程为( )
附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
A. B. C. D.
7.已知是数列的前项和，且，，则( )
A. 是等比数列 B. 数列是等比数列
C. D.
8.已知各项均为整数的数列共有项，，，且对任意，，若，则满足条件的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的导数计算正确的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.已知，，，，，且，为等比数列，公比为，记，则( )
A. B. C. D.
11.已知曲线：，则下列结论正确的是( )
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上的点到轴的距离的最大值为
C. 若，且点在上，则
D. 若曲线与圆：只有个公共点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设数列是公差为的等差数列若的连续四项是集合中的元素，则 ______．
13.甲、乙等人站成一排拍照，已知甲没有站在最中间，则甲、乙相邻的概率为______．
14.如图，在棱长为的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
求过点且与曲线相切的直线方程．
16.本小题分
为了解观看，这两部影片的观众中男、女观众的占比情况，某机构采用简单随机抽样的方法，调查了人，得到如表数据．
观众 性别 合计
男 女
观看影片
观看影片
合计
试问观看这两部影片的观众的男女比例是否有差异？
若将表中所有数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断观看这两部影片的观众的男女比例是否有差异，若要使得有的把握判断观看这两部影片的观众的男女比例有差异，求的最小值．
附：．
在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断．
当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联．
17.本小题分
在矩形中，，为上两个不同的三等分点，如图将和分别沿，向上翻折，使得点，重合，记重合后的点为，如图已知，四棱锥的体积为．
求；
求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知数列满足，定义为的特征方程，特征方程的根和数列通项公式的形式密切相关设特征方程的两个根为，，若，则数列的通项公式为，若，则数列的通项公式为，其中，均为实数．
若数列满足，且，，求的通项公式；
若数列满足，且，，求的通项公式；
若数列满足，且，，记为数列的前项和，证明：．
19.本小题分
记圆：的圆心为，椭圆过点．
已知椭圆和圆交于点，，且．
求椭圆的方程；
已知点，若过点的直线交于另一点，且的面积为，求的方程．
若，直线与椭圆相切于点，与圆相切于点，且，求椭圆的方程．
附：若是椭圆上一点，则过点且与该椭圆相切的直线的方程为．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.解：，
则，
又，
则所求直线方程为，即；
当点为切点坐标时，由可知，直线方程为；
当切点不为点时，设切点坐标为，
此时切线方程为，
则，
即，即，
解得或舍，
则此时切线方程为，即．
综上，切线方程为或．
16.解：零假设：观看这两部影片的观众的男女比例无差异，
根据列联表计算，
因为，
所以我们推断成立，即观看这两部影片的观众的男女比例无差异；
若将表中所有数据都扩大为原来的倍，
则，
令，即，
因为，
所以的最小值为．
17.解：取，的中点分别为，，连接，，，
过点作，垂足为，
设，则，
为等边三角形，，
在中，，，
在中，，，
，
又梯形的面积，
所以四棱锥的体积为，
解得舍去，
即；
由可得，，，，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
所以，
所以，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
18.解：由数列满足，可得，解得，
可设，由，，可得，，解得，，
可得；
若数列满足，可得，解得，，
设，由，，可得，，
解得，，即有；
证明：若数列满足，可得，解得，，
可设，由，，可得，，解得，，
则，，
当时，，
则．
19.解：因为椭圆过点，所以，解得，
不妨设点在第一象限，因为，所以点的横坐标为，
将代入，解得或舍去，所以．
将，代入，解得．
故椭圆的方程为．
直线的斜率为，则直线的方程为，由题意得．
设点到直线的距离为，则，解得，
设过点，且与直线平行的直线的方程为，
则，解得或．
当时，直线与没有交点，不符合题意，舍去；
当时，直线经过点，
所以直线即直线．
不妨设点在第一象限，则，，
由题意可得直线的方程为，即．
因为直线与圆相切，所以
由可得．
因为圆：的圆心为，半径为，
所以，，
又，且，所以
由可得，所以，
化简得，
因为，
所以，解得，所以．
故椭圆的方程为．
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