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2024-2025学年上海市黄浦区格致中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则该抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知圆：截直线：所得的弦长为则圆与圆：的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
3.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间小时
党员人数
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第百分位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.在平面直角坐标系中，已知椭圆：和：为上的动点，为上的动点，是的最大值．记在上，在上，且，则中元素个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷个
二、填空题：本题共12小题，共48分。
5.直线的倾斜角______．
6.椭圆的焦距等于______．
7.设事件、是互斥事件，且，则 ______．
8.若直线：与：互相垂直，则实数______．
9.抛物线上一点到焦点的距离为，则点的横坐标为 ．
10.已知，则 ______．
11.抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为______．
12.三角形三边长为，，，则以边长为的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______．
13.某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出名男生和名女生，这名学生的考试成绩如茎叶图所示单位：分，学校规定：成绩不低于分的人到班培训，低于分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取人，则人中到班的有______人
14.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．
15.如图，从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线已知椭圆：的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是______．
16.已知实数，满足，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：．
若直线在轴上的截距为，求实数的值；
直线与直线：平行，求与之间的距离．
18.本小题分
在年中国北京冬季奥运会期间，某工厂生产、、三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如表：单位：个
纪念品 纪念品 纪念品
精品型
普通型
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取个，其中种纪念品有个．
从种精品型纪念品中抽取个，其某种指标的数据分别如下：、、、、，把这个数据看作一个总体，其均值为，方差为，求的值；
用分层抽样的方法在种纪念品中抽取一个容量为的样本，从样本中任取个纪念品，求至少有个精品型纪念品的概率．
19.本小题分
已知点及圆：．
若直线过点且与圆相切，求直线的方程；
设过直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；
设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值．
20.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．
求的周长；
求面积的取值范围；
设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．
参考答案
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17.解：直线：，令，求得，则．
直线与直线：平行，则，得，
当时，直线：，即：满足条件
此时直线与之间的距离为．
18.解：因为数据、、、、的均值为，方差为，
所以，
则，
由于，
得，
从而，所以，
即；
设这一天生产的纪念品为，
由题意得，，
解得，
所以，
设所抽样本中有个精品型纪念品，
则，解得，
故抽取了个精品型纪念品，个普通型纪念品，
所以至少有个精品型纪念品的概率为．
19.解：由得，
设直线的斜率为，则方程为，
又圆的圆心为，半径，
由，解得或，
所以直线方程为或，
即直线的方程为或．
设的中点为，则，
又，所以，
，
或，
以为直径的圆的方程为或．
由直线与圆交于，两点，
则圆心到直线的距离，
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在上，
所以的斜率，而，所以，
由于不满足，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．
20.解：，为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，
，从而得到的周长为．
由题意，得，即的周长为．
由题意可设过的直线方程为，，，
联立，消去得，
则，
所以，
令，
则当时等号成立，即时，
所以，
故面积的取值范围为．
设，直线的方程为，
将其代入椭圆的方程可得，
整理可得，
则，得，，
故．
当时，直线的方程为，
将其代入椭圆方程并整理可得，
同理，可得，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立．
轴时，易知，，，
此时，
综上，的最大值为．
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