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2024-2025学年天津市耀华中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知随机变量的分布列如表：
若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.已知甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球所有球除颜色外完全相同，某学生先从甲箱中随机取出个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第，，层停靠若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，则随机变量的期望是( )
A. B. C. D.
9.已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是( )
A. 函数的单调减区间为
B. 函数的极小值是
C. 函数的图像有条切线方程为
D. 点是曲线的对称中心
10.年天津国际清洁能源大会将于月日至日在国家会展中心举行现安排名志愿者去甲、乙、丙个活动场地配合工作，每个活动场地去名志愿者，其中志愿者去甲活动场地，志愿者不去乙活动场地，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
11.已知函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
12.若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.已知随机变量服从两点分布，其中，则 ______．
14.若二项式展开式中的常数项为，则 ______．
15.已知函数在时有极值，则______．
16.甲乙丙丁在内的位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种
17.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．
18.用，，，，，这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个．
19.袋子中装有球，其中个黑球，个白球，若依次随机取出个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为______；若随机取出个球，记取出的球中白球的个数为，则的数学期望 ______．
20.已知，函数，若对任意的，恒成立，则的最小值为______．
三、解答题：本题共3小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
Ⅰ已知，求实数的值；
Ⅱ解方程：．
22.本小题分
设函数，．
若在处切线为，求实数的值；
是否存在实数，使得当时，函数的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
23.本小题分
已知函数．
若函数的极值点在内，求的取值范围；
若有两个零点，求取值的范围．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
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9.【答案】
10.【答案】
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12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
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16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】
21.解：Ⅰ利用组合数性质，将已知条件分为两种情况：
情况一：，解得；
情况二：，解得．
即或；
Ⅱ利用排列数公式，将已知方程化简，
得到解此方程得到或，
根据排列数定义，必须满足，因此不符合要求，舍去，
即方程的解为．
22.解：函数的定义域为，
，，，
；
由函数，求导得，
由，得，
当时，，函数在上单调递减，，解得，不成立；
当时，由，得；
由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，符合题意，
所以存在实数，当时，函数的最小值是．
23.解：根据函数，
那么导函数，
要使的极值点在内，
那么方程在上有解，
所以在上有解，那么，解得，
所以．
根据函数，，
那么导函数，
当时，，，那么，
此时在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，，令导函数，得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又时，，时，，
要使函数有两个零点，那么恒成立，
设函数，，那么导函数，
因此在上单调递增，又因为，
则，解得．
综上所述，取值的范围为．
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