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2024-2025学年河南省驻马店高级中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则( )
A. B. C. D.
3.某检测箱中有袋食品，其中有袋符合国家卫生标准，质检员从中任取袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知复数满足其中为虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
5.函数的零点位于区间( )
A. B. C. D.
6.已知向量，满足，，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知中，角、、的对边分别为、、，若：：：：，则：：( )
A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：
8.在中，是的中点，，若，则，的值分别为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，值为的有( )
A. B. C. D.
10.如图是函数的部分图象，下列说法正确的是( )
A. 函数的周期是
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数
11.如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：米在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：秒之间的关系为，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D. 盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，是表面积为的球的球面上的三个点，且，则球心到平面的距离为______．
13.若函数的图像关于直线对称，则 ______．
14.如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点交两点不重合若，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
求的值；
若，且，求的值．
16.本小题分
已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
求的取值范围．
17.本小题分
已知复数，，其中．
若，且为纯虚数，求复数；
若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围．
18.本小题分
已知点、
求的坐标及；
若，，求及的坐标；
求．
19.本小题分
高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图其中正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
Ⅰ若，．
求该模型的体积；
求顶部正四棱锥的侧面积；
Ⅱ若顶部正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，底部正四棱柱的侧面积最大？并求出的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.；
．
16.解：由条件得，
由余弦定理得，
因为，所以，
得，即，
因为，所以，
又，所以．
．
因为为锐角三角形，
所以，且，所以．
所以
即的取值范围是．
17.
18.解：点、
，；
，，
，；
，
．
19.解：Ⅰ由，得，又，
因此正四棱锥的体积，
正四棱柱的体积，
所以模型有体积；
取的中点，连接，，由，得，
所以正四棱锥的侧面积；
Ⅱ设，正四棱柱的侧面积为，
则，，，
于是
，而，
因此当，即时，，
所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是．
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