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2024-2025学年浙江省宁波市鄞州中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.等边的边长为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如图所示，，，，则这块菜地的面积为( )
A. B. C. D.
4.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图是一种木陀螺，其直观图如图所示，为圆锥的顶点，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为，高为，圆柱的母线长为，则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
5.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
6.如图，两个底面半径相同的圆锥组合的一个几何体，若底面圆的半径为，两个圆锥的母线长分别为，，则该几何体内切球的半径为( )
A. B.
C. D.
7.在锐角中，，，的对边分别是，，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为，高为，是圆柱下底面圆周上的一个定点，是半球面上的一个动点，且，则点的轨迹的长度为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有( )
A. B. 复数对应的点位于第二象限
C. D.
10.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，的三角形有两解，则的取值范围为
11.如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点，点为线段上的一个动点，下列说法正确的是( )
A. 平面与底面的交线平行于
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与直线可能相交
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是关于的方程的一个根，则的值是______．
13.如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高 ______
14.在圆内接四边形中，已知，，平分，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，解这个三角形．
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形．
在图中画出这个多边形不必说出画法和理由；
平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比其中；
若点是侧面内的动点，且，当最小时，求长度的最小值．
17.本小题分
如图，正四棱锥中，，，为中点．
求证：平面；
求该正四棱锥的外接球的表面积；
求三棱锥的表面积和体积．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，向量，且．
若边，，的平分线交边于点求的长；
若为边上任意一点，，．
用，表示；
求的最小值．
19.本小题分
对于一组向量，，，，，且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范围；
若，且，向量组，，，，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
若对于一组向量，，，，，且，记，已知中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证：．
参考答案
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10.
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12.
13.
14.
15.解：因为，，
所以由三角形内角和定理得：．
由正弦定理得：
，．
16.解：设中点为，连接，，
则由正方体性质可得，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为中点为，中点为，所以，
所以，所以这个多边形为四边形．
在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
因为为的中点，所以为的中点，所以，
所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
所以另一部分几何体的体积，
所以两部分的体积．
取的中点，的中点，连接、、、，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又因为为的中点，所以且，
又因为且，所以且，
所以为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时，最小，
所以．
17.解：证明：如图，连接，再连接，
则可知为中点，又为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
因为四棱锥为正四棱锥，
所以其外接球的球心在直线上，
设球的半径为，
则易知，又，所以高，
所以，解得，
所以该正四棱锥的外接球的表面积为；
因为为中点，所以，，
又四棱锥为正四棱锥，取中心，连接，，
则易知，又由可知，，所以斜高，
所以，
又由可知，，为中点，所以，
所以，
又，
所以三棱锥的表面积为：
；
因为为中点，所以三棱锥的体积为：
．
18.解：由知，，得，
，
，由，得，
由余弦定理得，得，得，
可得，
得，
；
由已知：，即，
可得；
由及题意可得：，
，
，，
，即，
，当且仅当时取“”号，
的最小值为．
19.解：由题意可得：，，，，
，则，
解得：所以实数的取值范围；
存在“长向量”，且“长向量”为，，
理由如下：由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
因为，，，，，，，
所以，
故只需使
；
证明：由题意，得，
即，即，
即，
同理 ，
，
个式相加并化简得：，
即，所以．
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